Ce valoare de adevăr are propoziția «$$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$$»?

nu este propoziție, pentru că are variabilă

Care dintre următoarele propoziții este falsă?

$$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > 0$$

$$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$$

$$\exists x \in \mathbb{R}$$ astfel încât $$x^2 = 4$$

$$\exists x \in \mathbb{Z}$$ astfel încât $$x + 1 = 0$$

Ce valoare de adevăr are propoziția «$$\exists x \in \mathbb{N}$$ astfel încât $$x + 5 = 3$$»?

falsă, pentru că $$-2 \notin \mathbb{N}$$

falsă, pentru că ecuația nu are soluție în $$\mathbb{R}$$

Ce înseamnă «oricare ar fi» și «există»?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Cuantificatorii ∀ și ∃

Sunt cei doi cuantificatori care transformă un predicat în propoziție. „Oricare ar fi”, scris $\forall$ , cere ca enunțul să se împlinească pentru toate valorile din domeniu: $\forall x \in R$ , $x^{2} \geq 0$ este adevărată. „Există”, scris $\exists$ , cere măcar o valoare potrivită: $\exists x \in Z$ cu $x + 1 = 0$ este adevărată, pentru $x = - 1$ . Un contraexemplu doboară primul tip, un exemplu îl confirmă pe al doilea.

Un predicat nu are valoare de adevăr, dar capătă una dacă îi pui în față un cuantificator.

Cuantificatorul universal $\forall$ se citește «oricare ar fi» sau «pentru orice»: $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ înseamnă «pentru orice număr real, pătratul lui este mai mare sau egal cu zero» — o propoziție adevărată.

Cuantificatorul existențial $\exists$ se citește «există»: $\exists x \in Z$ astfel încât $x + 1 = 0$ înseamnă «există un întreg $x$ cu $x + 1 = 0$ » — adevărată, pentru că $x = - 1$ funcționează.

Cum lucrezi cu ele:

ca să arăți că un enunț cu $\forall$ este fals, îți ajunge un singur contraexemplu;
ca să arăți că un enunț cu $\exists$ este adevărat, îți ajunge un singur exemplu;
ca să arăți că un enunț cu $\forall$ este adevărat (sau că unul cu $\exists$ este fals), ai nevoie de o demonstrație pentru toate valorile — exemplele nu sunt de ajuns.

Atenție la domeniu: $\exists x, x + 5 = 3$ este falsă în $N$ , dar adevărată în $Z$ (pentru $x = - 2$ ).

De reținut

$\forall$ se citește „oricare ar fi”, iar $\exists$ se citește „există”
un contraexemplu respinge un enunț cu $\forall$
un exemplu confirmă un enunț cu $\exists$

Greșeala tipică

Câteva cazuri verificate sunt luate drept dovadă pentru un enunț care începe cu „oricare ar fi”. Exemplele nu demonstrează nimic aici; e nevoie de un argument valabil pentru orice element al domeniului.

Exerciții din această mini-lecție

Ce valoare de adevăr are propoziția « $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ »?
- a) adevărată
- b) falsă, pentru $x = 0$
- c) falsă, pentru $x$ negativ
- d) nu este propoziție, pentru că are variabilă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) adevărată

Pătratul oricărui număr real este pozitiv sau zero, deci enunțul este adevărat pentru toate valorile. La $x = 0$ avem $0 \geq 0$ (adevărat), iar la $x$ negativ pătratul iese pozitiv, de exemplu $(- 3)^{2} = 9$ . Cuantificatorul închide variabila, deci enunțul este propoziție.
Care dintre următoarele propoziții este falsă?
- a) $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$
- b) $\forall x \in R, x^{2} > 0$
- c) $\exists x \in R$ astfel încât $x^{2} = 4$
- d) $\exists x \in Z$ astfel încât $x + 1 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\forall x \in R, x^{2} > 0$

Contraexemplul este $x = 0$ : $0^{2} = 0$ , care nu este strict mai mare decât zero. Celelalte sunt adevărate: a) pătratul e mereu $\geq 0$ , c) $x = 2$ (sau $- 2$ ), d) $x = - 1$ .
Ce valoare de adevăr are propoziția « $\exists x \in N$ astfel încât $x + 5 = 3$ »?
- a) adevărată, pentru $x = - 2$
- b) falsă, pentru că $- 2 \in / N$
- c) adevărată, pentru $x = 2$
- d) falsă, pentru că ecuația nu are soluție în $R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) falsă, pentru că $- 2 \in / N$

Ecuația dă $x = 3 - 5 = - 2$ , care este soluție în $Z$ , dar nu este număr natural. Cum căutăm în $N$ , propoziția este falsă. Dacă domeniul ar fi $Z$ , aceeași propoziție ar fi adevărată — domeniul contează.

Întrebări conexe

Cum arăt că un enunț cu «există» este fals?

Trebuie arătat că nicio valoare din domeniu nu îl împlinește, deci ai nevoie de un argument general, nu de exemple. Pentru „ $\exists x \in R$ cu $x^{2} = - 1$ ”, observația că un pătrat nu poate fi negativ închide discuția dintr-o singură propoziție.

Ce se schimbă dacă mut enunțul din numere naturale în întregi?

Se poate schimba chiar valoarea de adevăr. „Există $x$ cu $x + 5 = 3$ ” este falsă printre numerele naturale, dar adevărată printre întregi, unde $x = - 2$ funcționează. De aceea domeniul se scrie mereu lângă cuantificator, nu se subînțelege.

Cum se scrie cu simboluri enunțul «orice pătrat este pozitiv»?

Corect se scrie $\forall x \in R$ , $x^{2} \geq 0$ , cu semnul „mai mare sau egal”. Varianta cu $x^{2} > 0$ ar fi falsă, fiindcă la $x = 0$ pătratul face tot $0$ . Un cuvânt neatent din enunț schimbă complet valoarea de adevăr.

Ce valoare are un enunț cu «oricare» pe o mulțime fără elemente?

Este adevărat, oricât de ciudat sună. Nu există niciun element care să îl contrazică, deci nu are cum să fie fals. În schimb, un enunț cu „există” pe mulțimea vidă este întotdeauna fals, fiindcă nu are ce valoare să indice.

Unde apar cuantificatorii în enunțurile obișnuite de la ore?

În definiții și teoreme, chiar dacă nu sunt scriși cu simboluri. „Orice triunghi are suma unghiurilor de $18 0^{\circ}$ ” ascunde un „oricare ar fi”, iar „ecuația are soluție” ascunde un „există”. Recunoscându-i, știi imediat ce fel de demonstrație ți se cere.

Ce legătură au cuantificatorii cu mulțimea de adevăr?

Un enunț cu „oricare ar fi” este adevărat exact atunci când mulțimea de adevăr acoperă tot domeniul. Unul cu „există” este adevărat exact atunci când acea mulțime nu este vidă. Așa, două întrebări de logică se transformă în două comparații de mulțimi.

Oamenii mai întreabă și: cuantificatorul universal și existențial · ce înseamnă pentru orice în matematică · simbolul există · oricare ar fi x · cuantificatori în logică