Cuantificatorii «oricare» (∀) și «există» (∃)

Un director de școală anunță la festivitate: „Toți elevii noștri au promovat examenul." Peste câteva minute, un profesor completează: „Există printre ei un elev cu media $10$ ." Două afirmații despre aceeași mulțime de elevi, dar cu greutăți foarte diferite. Prima e mult mai greu de susținut: îi ajunge un singur elev nepromovat ca să cadă. A doua e mult mai ușoară: îi ajunge un singur elev cu $10$ ca să stea în picioare. Iar ca să o dobori pe a doua, trebuie să verifici fiecare elev în parte.

Această asimetrie — cea care face ca „toți" să se prăbușească dintr-o singură lovitură, iar „există" să se ridice dintr-un singur exemplu — este inima lecției de astăzi. Ai învățat la Predicate și variabile că un enunț cu variabilă nu are valoare de adevăr până nu completăm locul gol. Am spus atunci că există două drumuri de la predicat la propoziție: înlocuirea variabilei și cuantificarea ei. Astăzi îl parcurgem pe al doilea, cel pe care se sprijină toate teoremele matematicii. Aproape fiecare enunț din manualul tău începe, explicit sau subînțeles, cu „pentru orice…" sau cu „există…", iar cine citește corect acești doi cuantificatori citește corect matematica.

Ce vei învăța

Vei ști să citești și să scrii corect simbolurile $\forall$ („oricare ar fi") și $\exists$ („există").
Vei ști când este adevărată o propoziție cuantificată, legând-o de mulțimea de adevăr a predicatului.
Vei ști cum se demonstrează un enunț cu $\forall$ și cum se demonstrează unul cu $\exists$ — două strategii complet diferite.
Vei ști să infirmi un enunț universal printr-un contraexemplu și să înțelegi de ce un exemplu favorabil nu demonstrează nimic.
Vei ști să folosești cuantificatorul $\exists!$ („există și este unic").
Vei ști de ce ordinea cuantificatorilor schimbă complet sensul unui enunț cu două variabile.

Hai să descoperim împreună

1. Al doilea drum de la predicat la propoziție

Fie predicatul $p (x)$ : „ $x + 0 = x$ ", cu $x \in N$ . Ca atare, nu are valoare de adevăr. Dar putem spune ceva despre el, ca întreg: pentru orice număr natural $x$ , $p (x)$ este adevărată. Aceasta este o propoziție și este adevărată.

Scriem prescurtat:

$\forall x \in N, x + 0 = x .$

Simbolul $\forall$ (un A răsturnat, de la „all") se numește cuantificator universal și se citește „oricare ar fi", „pentru orice", „pentru toți".

Tot despre același predicat putem afirma și altceva: există cel puțin un număr natural $x$ pentru care $p (x)$ este adevărată. Scriem:

$\exists x \in N, x + 0 = x,$

unde simbolul $\exists$ (un E răsturnat, de la „exists") se numește cuantificator existențial și se citește „există (cel puțin un)". În scrisul matematic apare deseori și forma completă: „ $\exists x \in N$ astfel încât $x + 0 = x$ ".

Ambele propoziții de mai sus sunt adevărate — dar prima spune mult mai mult decât a doua.

2. Cuantificatorul universal $\forall$

Definiție. Fie $p (x)$ un predicat cu domeniul $D$ . Propoziția $\forall x \in D, p (x)$ este adevărată dacă $p (x)$ este adevărată pentru fiecare valoare $x$ din $D$ , și falsă în caz contrar.

În limbajul mulțimii de adevăr, criteriul este foarte curat:

$\forall x \in D, p (x) este adev \overset{a}{˘} rat \overset{a}{˘} ⟺ A_{p} = D .$

Adică: cuantificatorul universal este adevărat exact atunci când predicatul este identic adevărat pe domeniul său. Câteva exemple, cu justificarea completă:

$\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ — adevărată: pătratul oricărui număr real este pozitiv sau nul.
$\forall x \in R, x + 1 > x$ — adevărată: inecuația se reduce la $1 > 0$ .
$\forall x \in R, x^{2} > 0$ — falsă: pentru $x = 0$ avem $0 > 0$ , ceea ce e fals.
$\forall n \in N, n^{2} \geq n$ — adevărată: pentru $n = 0$ și $n = 1$ avem egalitate, iar pentru $n \geq 2$ înmulțind inegalitatea $n \geq 1$ cu numărul pozitiv $n$ obținem $n^{2} \geq n$ .

3. Cuantificatorul existențial $\exists$

Definiție. Propoziția $\exists x \in D, p (x)$ este adevărată dacă există cel puțin o valoare $x$ din $D$ pentru care $p (x)$ este adevărată, și falsă dacă nu există niciuna.

Criteriul cu mulțimi este la fel de simplu:

$\exists x \in D, p (x) este adev \overset{a}{˘} rat \overset{a}{˘} ⟺ A_{p} \neq = \emptyset .$

Exemple:

$\exists x \in Z, x^{2} = 9$ — adevărată: valoarea $x = 3$ o verifică (la fel și $x = - 3$ , dar una singură ajunge).
$\exists x \in R, x^{2} + 1 = 0$ — falsă: pentru orice real, $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ , deci nu poate fi zero.
$\exists n \in N, n + 5 = 2$ — falsă pe $N$ (ar trebui $n = - 3$ ), dar adevărată pe $Z$ .

Atenție la o nuanță de limbă: în matematică, „există" înseamnă întotdeauna „există cel puțin unul", niciodată „există exact unul". Dacă vrem unicitate, o spunem separat (vezi secțiunea 6).

4. Cum se demonstrează și cum se infirmă: cele patru situații

Aici se află partea cu adevărat utilă a lecției. Fiecare dintre cei doi cuantificatori se demonstrează într-un fel și se infirmă în alt fel, iar cele patru strategii sunt complet diferite:

enunțul	ca să arăți că este adevărat	ca să arăți că este fals
$\forall x \in D, p (x)$	demonstrezi $p (x)$ pentru un $x$ oarecare din $D$	dai un contraexemplu: o valoare concretă cu $p (x)$ falsă
$\exists x \in D, p (x)$	dai un exemplu: o valoare concretă cu $p (x)$ adevărată	demonstrezi că $p (x)$ e falsă pentru orice $x$ din $D$

Citește tabelul pe diagonală și vei vedea simetria: cazurile „ieftine" (o singură valoare concretă) sunt infirmarea lui $\forall$ și demonstrarea lui $\exists$ ; cazurile „scumpe" (o demonstrație generală) sunt demonstrarea lui $\forall$ și infirmarea lui $\exists$ .

Ce este un contraexemplu. Este o valoare concretă din domeniu pentru care predicatul devine fals. Un singur contraexemplu doboară definitiv un enunț universal, oricâte exemple favorabile ar exista. Enunțul „ $\forall n \in N$ , dacă $n$ este divizibil cu $3$ , atunci $n$ este divizibil cu $9$ " este fals, iar dovada încape într-un rând: pentru $n = 6$ , ipoteza e adevărată ( $6 = 3 \cdot 2$ ), dar concluzia e falsă ( $6$ nu se împarte exact la $9$ ).

Greșeala oglindă. Exemplele favorabile nu demonstrează un enunț universal. Faptul că $3$ , $9$ , $27$ și $81$ sunt divizibile cu $9$ atunci când sunt divizibile cu $3$ nu spune nimic despre restul numerelor. Pentru $\forall$ ai nevoie de o demonstrație care să funcționeze pentru un element oarecare, nu de o listă de cazuri. Când domeniul este $N$ și predicatul se transmite de la un număr la următorul, instrumentul potrivit este metoda inducției matematice.

5. Domeniul schimbă valoarea de adevăr

Ca și la predicate, domeniul face parte din enunț. Aceeași formulă poate fi adevărată pe un domeniu și falsă pe altul:

$\forall x \in N, x \geq 0$ — adevărată (toate numerele naturale sunt nenegative);
$\forall x \in Z, x \geq 0$ — falsă, cu contraexemplul $x = - 1$ ;
$\exists x \in Q, x^{2} = 2$ — falsă (nu există număr rațional cu pătratul $2$ );
$\exists x \in R, x^{2} = 2$ — adevărată, cu exemplul $x = 2$ .

De aceea, când scrii un enunț cuantificat, domeniul se trece imediat după cuantificator: $\forall x \in R$ , $\exists n \in N$ . Un $\forall x$ fără domeniu este o cerință incompletă, exact ca o ecuație fără mulțimea în care se caută soluțiile.

6. Cuantificatorul „există și este unic": $\exists!$

Uneori nu ne interesează doar că soluția există, ci și că este singura. Pentru asta folosim simbolul $\exists!$ , citit „există și este unic":

$\exists! x \in R, 2 x + 6 = 0.$

Enunțul este adevărat: soluția $x = - 3$ există (verificare: $2 \cdot (- 3) + 6 = 0$ ✓) și este singura, pentru că din $2 x + 6 = 0$ rezultă, prin transformări reversibile, $x = - 3$ .

În schimb, enunțul $\exists! x \in R, x^{2} = 4$ este fals: soluțiile există, dar sunt două, $x = 2$ și $x = - 2$ , deci unicitatea nu are loc. Observă că enunțul cu $\exists$ simplu ar fi fost adevărat — semnul de exclamare este o cerință în plus, nu o simplă înfrumusețare.

O demonstrație de tip $\exists!$ are deci întotdeauna două părți: existența (arăți un element care verifică) și unicitatea (arăți că nu pot fi două diferite). Vei recunoaște tiparul: seamănă cu demonstrarea unei echivalențe, unde tot două lucruri trebuie arătate.

7. Ordinea cuantificatorilor contează

La predicatele cu două variabile putem pune doi cuantificatori, iar ordinea lor schimbă complet sensul. Compară cele două enunțuri de mai jos, construite din același predicat „ $x + y = 0$ " pe $R$ :

$\forall x \in R, \exists y \in R, x + y = 0$ — „oricare ar fi $x$ , există un $y$ care îl anulează". Este adevărată: pentru fiecare $x$ luăm $y = - x$ , iar $x + (- x) = 0$ . Aici $y$ depinde de $x$ : pentru $x = 5$ luăm $y = - 5$ , pentru $x = 7$ luăm $y = - 7$ .
$\exists y \in R, \forall x \in R, x + y = 0$ — „există un $y$ care merge pentru toți $x$ deodată". Este falsă: un asemenea $y$ ar trebui să verifice simultan $5 + y = 0$ (deci $y = - 5$ ) și $7 + y = 0$ (deci $y = - 7$ ), imposibil.

Regula pe care merită să o reții: cuantificatorul din interior poate depinde de cel din exterior, dar nu invers. În primul enunț, $y$ vine după $x$ , deci are voie să se schimbe odată cu el; în al doilea, $y$ este ales primul și trebuie să funcționeze pentru toate valorile lui $x$ — o cerință mult mai tare.

Un al doilea exemplu, la fel de instructiv: $\forall x \in R, \exists y \in R, y > x$ este adevărată (luăm $y = x + 1$ ), în timp ce $\exists y \in R, \forall x \in R, y > x$ este falsă, pentru că ar cere un număr real mai mare decât toate numerele reale — inclusiv decât el însuși plus unu.

8. Cum se citește matematica prin cuantificatori

Odată ce ai acest limbaj, poți citi orice definiție și orice teoremă în forma ei adevărată. Iată câteva traduceri:

„Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este $18 0^{\circ}$ " înseamnă, de fapt: pentru orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor este $18 0^{\circ}$ — un enunț universal, cu $\forall$ subînțeles.
„Ecuația $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ are soluții reale" înseamnă: există $x \in R$ cu $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ — un enunț existențial, iar exemplul $x = 2$ îl demonstrează ( $4 - 10 + 6 = 0$ ✓).
„Numărul $0$ este element neutru la adunare" înseamnă: pentru orice $x$ , $x + 0 = x$ .

Reține deci: teoremele sunt, aproape întotdeauna, enunțuri universale, iar formulările fără cuantificator explicit ascund un $\forall$ . De aceea o teoremă se dovedește falsă printr-un singur contraexemplu — și de aceea căutarea contraexemplelor este o metodă de lucru serioasă, nu o joacă. Regulile după care se neagă un enunț cuantificat, adică felul în care $\forall$ și $\exists$ își schimbă rolurile sub negație, le vei studia separat, în lecția Negarea propozițiilor cu cuantificatori.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea și scrierea cuantificatorilor

Scrieți cu simboluri: a) „orice număr real ridicat la pătrat este mai mare sau egal cu zero"; b) „există un număr natural al cărui pătrat este $49$ ". Apoi citiți în cuvinte enunțul $\forall n \in N, n + 1 > n$ .

Rezolvare. a) $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ . b) $\exists n \in N, n^{2} = 49$ . Citirea: „oricare ar fi numărul natural $n$ , $n + 1$ este mai mare decât $n$ ".

Observă poziția domeniului: imediat după variabilă, legat prin simbolul $\in$ . Fără el, enunțul e incomplet.

Exemplul 2 — Valoarea de adevăr a unor enunțuri universale

Stabiliți valoarea de adevăr, cu justificare: a) $\forall x \in R, ∣ x ∣ \geq x$ ; b) $\forall n \in N, n^{2} > n$ .

Rezolvare. a) Adevărată. Discutăm după semnul lui $x$ : dacă $x \geq 0$ , atunci $∣ x ∣ = x$ , deci $∣ x ∣ \geq x$ ; dacă $x < 0$ , atunci $∣ x ∣ = - x > 0 > x$ , deci din nou $∣ x ∣ \geq x$ . Cum am acoperit toate cazurile posibile, enunțul are loc pentru orice $x$ real.

b) Falsă. Contraexemplu: $n = 1$ dă $1 > 1$ , fals. (Și $n = 0$ este contraexemplu: $0 > 0$ e fals.) Este suficient un singur contraexemplu, dar e bine să alegi unul cât mai simplu de verificat.

Exemplul 3 — Valoarea de adevăr a unor enunțuri existențiale

Stabiliți valoarea de adevăr, cu justificare: a) $\exists x \in N, x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ; b) $\exists x \in R, ∣ x ∣ < 0$ .

Rezolvare. a) Adevărată. Alegem $x = 2$ : $4 - 10 + 6 = 0$ ✓. Un singur exemplu este o demonstrație completă pentru un enunț existențial. (Ar fi mers și $x = 3$ : $9 - 15 + 6 = 0$ ✓.)

b) Falsă. Trebuie o demonstrație generală, nu o listă de încercări: prin definiție, modulul oricărui număr real este pozitiv sau nul, deci $∣ x ∣ \geq 0$ pentru orice $x$ , iar inegalitatea $∣ x ∣ < 0$ nu poate fi verificată de nicio valoare.

Exemplul 4 — Contraexemplul, pas cu pas

Arătați că enunțul „ $\forall n \in N$ , dacă $n$ este par, atunci $n$ este divizibil cu $4$ " este fals.

Rezolvare. Căutăm o valoare care face ipoteza adevărată și concluzia falsă — altfel implicația ar fi adevărată și n-ar servi drept contraexemplu. Alegem $n = 6$ : este par ( $6 = 2 \cdot 3$ ), dar nu este divizibil cu $4$ , pentru că $6 : 4$ dă restul $2$ . Prin urmare, pentru $n = 6$ predicatul este fals, deci enunțul universal este fals. $■$

Reține tiparul: la un enunț universal de forma „dacă… atunci…", contraexemplul trebuie să verifice ipoteza și să încalce concluzia. Un $n$ impar, de pildă $n = 7$ , nu ar fi contraexemplu: acolo ipoteza e falsă, deci implicația e adevărată.

Exemplul 5 — Ordinea cuantificatorilor

Stabiliți valoarea de adevăr a enunțurilor, unde $x, y \in N$ : a) $\forall x \in N, \exists y \in N, y > x$ ; b) $\exists y \in N, \forall x \in N, y > x$ .

Rezolvare. a) Adevărată. Pentru fiecare număr natural $x$ alegem $y = x + 1$ , care este tot natural și verifică $x + 1 > x$ . Aici $y$ are voie să depindă de $x$ , iar alegerea făcută funcționează mereu.

b) Falsă. Enunțul cere un singur număr natural $y$ mai mare decât toate numerele naturale. Presupunând că un astfel de $y$ ar exista, el ar trebui să fie mai mare inclusiv decât $y$ însuși (luând $x = y$ ), adică $y > y$ — absurd. Deci nu există.

Aceleași două cuantificatori, aceeași condiție, ordine diferită, valori de adevăr diferite: motivul pentru care în matematică ordinea cuvintelor nu se schimbă niciodată „ca să sune mai bine".

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră predicatul $p (x)$ : „ $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$ ", cu $x \in R$ . a) Calculați $p (0)$ , $p (2)$ și $p (5)$ . b) Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției $\forall x \in R, p (x)$ . c) Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției $\exists x \in R, p (x)$ .

Rezolvare. a) Înlocuim:

$p (0)$ : $0 - 0 + 3 = 3 \geq 0$ , deci A;
$p (2)$ : $4 - 8 + 3 = - 1$ , iar $- 1 \geq 0$ este fals, deci F;
$p (5)$ : $25 - 20 + 3 = 8 \geq 0$ , deci A.

b) Propoziția universală este falsă, iar punctul a) ne-a oferit deja contraexemplul: pentru $x = 2$ predicatul este fals. Un singur contraexemplu este suficient și trebuie scris explicit în rezolvare.

c) Propoziția existențială este adevărată, iar exemplul este tot din punctul a): pentru $x = 0$ predicatul este adevărat, căci $3 \geq 0$ .

Comentariu. Structura acestui exercițiu este tipică pentru examen: se cer câteva valori punctuale, tocmai pentru ca ele să-ți servească drept exemplu și contraexemplu la punctele următoare. Când vezi o astfel de cerință, folosește calculele deja făcute — nu căuta altele noi.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare enunț cu $\forall$ întreabă-te „pot găsi un contraexemplu?", iar la fiecare enunț cu $\exists$ întreabă-te „pot găsi un exemplu?" — aceste două întrebări rezolvă majoritatea exercițiilor.

1. Citește în cuvinte: a) $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ ; b) $\exists n \in N, n^{2} = 25$ ; c) $\forall n \in N, n + 1 > n$ .

2. Scrie cu simboluri: a) „orice număr natural este mai mare sau egal cu zero"; b) „există un număr întreg al cărui pătrat este $16$ "; c) „pentru orice număr real, suma dintre el și opusul lui este zero".

3. Stabilește valoarea de adevăr, cu justificare: a) $\forall x \in R, x^{2} + 1 > 0$ ; b) $\forall x \in R, x^{3} \geq 0$ .

4. Stabilește valoarea de adevăr, cu justificare: a) $\exists n \in N, n^{2} = 20$ ; b) $\exists n \in Z, n + 7 = 3$ .

5. Dă un contraexemplu pentru enunțul: $\forall n \in N$ , dacă $n$ este divizibil cu $2$ , atunci $n$ este divizibil cu $6$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ca să demonstrezi că enunțul $\forall x \in R, p (x)$ este adevărat, este suficient să verifici predicatul pentru zece valori diferite ale lui $x$ ."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ca să demonstrezi că enunțul $\exists x \in R, p (x)$ este adevărat, este suficient să găsești o valoare a lui $x$ pentru care $p (x)$ este adevărată."

8. Stabilește valoarea de adevăr a enunțului $\forall x \in N, x^{2} \geq x$ și justifică (atenție la $x = 0$ și $x = 1$ ).

9. Pentru fiecare enunț, precizează dacă e adevărat pe $N$ și dacă e adevărat pe $Z$ : a) $\exists x, x + 4 = 1$ ; b) $\forall x, x^{2} \geq 0$ ; c) $\exists x, 2 x = 5$ .

10. Stabilește valoarea de adevăr: a) $\exists! x \in R, 3 x - 12 = 0$ ; b) $\exists! x \in R, x^{2} = 9$ ; c) $\exists! x \in N, x este prim ș i par$ .

11. Traduce în limbaj cu cuantificatori: „Orice pătrat perfect este mai mare sau egal cu zero" și „Există un număr natural care este divizor al oricărui număr natural".

12. Stabilește valoarea de adevăr, cu justificare, pentru $x, y \in R$ : a) $\forall x, \exists y, x \cdot y = 0$ ; b) $\exists y, \forall x, x \cdot y = 0$ .

13. (Problemă aplicată.) Într-o clasă cu $25$ de elevi, dirigintele afirmă: „Toți elevii au adus acordul părinților" și „Există un elev care a fost la toate cele patru excursii". Ce trebuie verificat, concret, pentru fiecare afirmație: câte dosare trebuie deschise ca să dovedești prima afirmație și câte ca să o dovedești pe a doua? Dar ca să le infirmi?

14. Enunțul $\forall n \in N, n^{2} + n$ este par este adevărat. Demonstrează-l, observând că $n^{2} + n = n (n + 1)$ .

15. Găsește un predicat $p (x)$ pe $N$ pentru care $\exists x, p (x)$ este adevărată, iar $\forall x, p (x)$ este falsă. Explică de ce nu se poate întâmpla invers (adică $\forall$ adevărată și $\exists$ falsă), dacă domeniul este nevid.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră predicatul $p (x)$ : „ $x^{2} - 6 x + 5 \geq 0$ ", $x \in R$ . a) Calculați $p (0)$ , $p (3)$ și $p (6)$ . b) Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției $\forall x \in R, p (x)$ . c) Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției $\exists x \in R, p (x)$ .

17. Stabilește valoarea de adevăr a enunțului: $\forall x \in R, \exists y \in R, x + y = 10$ . Apoi schimbă ordinea cuantificatorilor și stabilește valoarea de adevăr a noului enunț.

18. (Provocare.) Fie $D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ și predicatul $p (x, y)$ : „ $x$ este divizor al lui $y$ ", cu $x, y \in D$ . Stabilește valoarea de adevăr a enunțurilor: a) $\forall y \in D, \exists x \in D, p (x, y)$ ; b) $\exists x \in D, \forall y \in D, p (x, y)$ ; c) $\forall x \in D, \exists y \in D, p (x, y)$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) „Oricare ar fi numărul real $x$ , pătratul lui este mai mare sau egal cu zero." b) „Există un număr natural $n$ al cărui pătrat este $25$ ." c) „Pentru orice număr natural $n$ , $n + 1$ este mai mare decât $n$ ."

2. a) $\forall x \in N, x \geq 0$ ; b) $\exists x \in Z, x^{2} = 16$ ; c) $\forall x \in R, x + (- x) = 0$ .

3. a) Adevărată: $x^{2} \geq 0$ pentru orice real, deci $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ . b) Falsă: contraexemplu $x = - 2$ , pentru care $x^{3} = - 8 < 0$ .

4. a) Falsă: pătratele numerelor naturale din vecinătate sunt $16$ ( $4^{2}$ ) și $25$ ( $5^{2}$ ), deci $20$ nu este pătrat perfect; niciun $n$ natural nu verifică. b) Adevărată: $n = - 4$ , căci $- 4 + 7 = 3$ .

5. Contraexemplu: $n = 4$ . Este divizibil cu $2$ ( $4 = 2 \cdot 2$ ), dar nu cu $6$ ( $4 : 6$ nu se împarte exact). La fel merg $n = 2$ , $n = 8$ , $n = 10$ . Contraexemplul trebuie să verifice ipoteza și să încalce concluzia.

6. Fals. Zece verificări (sau un milion) nu acoperă infinitatea valorilor posibile. Pentru un enunț universal e nevoie de o demonstrație valabilă pentru un $x$ oarecare. Verificările pot doar sugera că enunțul e plauzibil sau, dacă găsesc un contraexemplu, îl pot doborî.

7. Adevărat. Prin definiție, $\exists x, p (x)$ afirmă existența a cel puțin unei valori potrivite; exhibarea unei astfel de valori este o demonstrație completă. Este singura situație în care „un exemplu" chiar demonstrează ceva.

8. Adevărată. Pentru $x = 0$ : $0 \geq 0$ ✓. Pentru $x = 1$ : $1 \geq 1$ ✓. Pentru $x \geq 2$ : din $x \geq 1$ , înmulțind cu numărul pozitiv $x$ , obținem $x^{2} \geq x$ ✓. Toate cazurile fiind acoperite, enunțul este adevărat. (Atenție: cu inegalitate strictă, $x^{2} > x$ , enunțul ar fi fals.)

9. a) Pe $N$ : falsă (ar trebui $x = - 3$ ); pe $Z$ : adevărată ( $x = - 3$ ). b) Pe amândouă: adevărată (pătratul oricărui întreg este nenegativ). c) Pe $N$ : falsă ( $2 x$ este par, deci nu poate fi $5$ ); pe $Z$ : tot falsă, din același motiv.

10. a) Adevărată: $3 x - 12 = 0 ⟺ x = 4$ , soluție unică. b) Falsă: soluțiile sunt $x = 3$ și $x = - 3$ , deci există, dar nu sunt unice. c) Adevărată: singurul număr prim par este $2$ (orice alt număr par se împarte la $2$ și la el însuși, deci are mai mult de doi divizori).

11. „Orice pătrat perfect este mai mare sau egal cu zero": $\forall n \in N, n^{2} \geq 0$ (sau, mai general, $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ ). „Există un număr natural care este divizor al oricărui număr natural": $\exists d \in N^{*}, \forall n \in N, d ∣ n$ — enunț adevărat, cu $d = 1$ .

12. a) Adevărată: pentru orice $x$ putem alege $y = 0$ , iar $x \cdot 0 = 0$ . b) Adevărată și aceasta: valoarea $y = 0$ funcționează pentru toți $x$ deodată, căci $x \cdot 0 = 0$ pentru orice $x$ . Este un exemplu în care ordinea nu schimbă răspunsul — ceea ce se întâmplă exact atunci când alegerea din interior nu depinde de variabila din exterior.

13. Pentru a dovedi prima afirmație („toți") trebuie deschise toate cele $25$ de dosare; pentru a o infirma ajunge unul singur, al unui elev fără acord. Pentru a dovedi a doua afirmație („există") ajunge un singur dosar, al elevului cu patru excursii; pentru a o infirma trebuie verificate toate cele $25$ . Este exact tabelul din secțiunea 4, tradus în dosare.

14. $n^{2} + n = n (n + 1)$ este produsul a două numere naturale consecutive. Dintre două numere consecutive, unul este obligatoriu par (numerele pare și impare alternează), deci produsul lor conține factorul $2$ și este par. Cum raționamentul a folosit doar faptul că $n$ este natural oarecare, enunțul universal este demonstrat. $■$

15. Exemplu: $p (x)$ : „ $x$ este par", pe $N$ . $\exists x, p (x)$ este adevărată ( $x = 4$ ), dar $\forall x, p (x)$ este falsă (contraexemplu $x = 3$ ). Invers nu se poate: dacă $\forall x, p (x)$ este adevărată și domeniul are măcar un element, atunci acel element face predicatul adevărat, deci și $\exists x, p (x)$ este adevărată. Pe scurt, pe un domeniu nevid, din $\forall$ rezultă întotdeauna $\exists$ .

16. a) $p (0)$ : $0 - 0 + 5 = 5 \geq 0$ , deci A. $p (3)$ : $9 - 18 + 5 = - 4$ , deci F. $p (6)$ : $36 - 36 + 5 = 5 \geq 0$ , deci A. b) Falsă, cu contraexemplul $x = 3$ calculat mai sus. c) Adevărată, cu exemplul $x = 0$ (sau $x = 6$ ).

17. Primul enunț, $\forall x \in R, \exists y \in R, x + y = 10$ , este adevărat: pentru fiecare $x$ alegem $y = 10 - x$ , iar $x + (10 - x) = 10$ ✓. Cu ordinea schimbată, $\exists y \in R, \forall x \in R, x + y = 10$ , enunțul este fals: un asemenea $y$ ar trebui să verifice și $0 + y = 10$ (deci $y = 10$ ), și $1 + y = 10$ (deci $y = 9$ ), imposibil.

18. a) Adevărată: pentru fiecare $y$ din $D$ alegem $x = 1$ , iar $1$ divide orice număr. b) Adevărată: valoarea $x = 1$ funcționează pentru toți $y$ deodată, fiind divizor universal. c) Adevărată: pentru fiecare $x$ din $D$ alegem $y = x$ , iar orice număr se divide pe sine ( $x ∣ x$ ). Merită observat că la punctul b) am avut noroc: dacă am fi scos elementul $1$ din $D$ , enunțul ar fi devenit fals, pentru că niciun alt element nu divide toate numerele din mulțime — de exemplu $2$ nu divide $3$ .

De reținut

$\forall$ (cuantificatorul universal) se citește „oricare ar fi"; enunțul $\forall x \in D, p (x)$ este adevărat exact când mulțimea de adevăr coincide cu domeniul, adică $A_{p} = D$ .
$\exists$ (cuantificatorul existențial) se citește „există cel puțin un"; enunțul $\exists x \in D, p (x)$ este adevărat exact când $A_{p} \neq = \emptyset$ .
Un contraexemplu doboară un enunț universal, oricâte exemple favorabile ar exista; în schimb, un exemplu demonstrează un enunț existențial. Aceasta este asimetria fundamentală a lecției.
Domeniul face parte din enunț: $\exists x \in Q, x^{2} = 2$ este falsă, iar $\exists x \in R, x^{2} = 2$ este adevărată.
Ordinea cuantificatorilor schimbă sensul: în $\forall x \exists y$ alegerea lui $y$ poate depinde de $x$ , în $\exists y \forall x$ același $y$ trebuie să funcționeze pentru toate valorile lui $x$ .

Greșeli frecvente

„Am verificat câteva cazuri, deci este adevărat." Verificările nu demonstrează niciodată un enunț universal. Pentru $\forall$ e nevoie de un raționament valabil pentru un element oarecare al domeniului.
Contraexemplu care nu verifică ipoteza. La enunțuri de forma „dacă… atunci…", contraexemplul trebuie să facă ipoteza adevărată și concluzia falsă. Un caz în care ipoteza e falsă nu dovedește nimic.
Confundarea lui „există" cu „există exact unul". În matematică, $\exists$ înseamnă „cel puțin unul". Unicitatea se cere separat, cu $\exists!$ , și se demonstrează separat.
Omiterea domeniului. „ $\forall x, x \geq 0$ " nu are valoare de adevăr până nu spui unde variază $x$ : pe $N$ e adevărată, pe $Z$ e falsă.
Schimbarea ordinii cuantificatorilor. $\forall x \exists y$ și $\exists y \forall x$ sunt enunțuri diferite. Nu le rescrie niciodată „ca să sune mai bine" — poți transforma un enunț adevărat într-unul fals.

Aplică acasă

Vânătoarea de contraexemple. Alege cinci afirmații pe care le auzi într-o zi obișnuită și care încep cu „toți", „toată lumea", „niciodată". Pentru fiecare, caută un contraexemplu real. Notează câte au rezistat: vei descoperi că enunțurile universale din vorbirea curentă sunt aproape întotdeauna false, iar cele din matematică sunt adevărate tocmai fiindcă au fost demonstrate.
Manualul citit cu cuantificatori. Deschide manualul de matematică la o pagină cu definiții și teoreme și rescrie trei enunțuri punând în față cuantificatorul subînțeles („pentru orice triunghi…", „pentru orice numere reale…"). Vei vedea că enunțul devine mai lung, dar mult mai clar.
Regula clasei. Formulează o regulă a clasei tale în două variante, una cu „toți elevii" și una cu „există un elev". Discută cu un coleg ce ar trebui verificat, concret, ca să dovediți fiecare variantă și ce ar trebui găsit ca să le infirmați.

Pentru părinți și profesori

Cuantificatorii sunt, alături de implicație, punctul în care limbajul matematic se desparte definitiv de limbajul curent. Miza lecției nu este memorarea a două simboluri, ci formarea a două reflexe: „un exemplu nu demonstrează un enunț universal" și „un contraexemplu îl doboară definitiv". Aceste reflexe se transferă direct în toate capitolele următoare și, mai târziu, în orice raționament riguros.

Puncte de verificat în caiet: (1) scrie domeniul imediat după cuantificator; (2) la infirmarea unui enunț universal indică explicit contraexemplul și verifică-l prin calcul, nu doar îl numește; (3) la enunțurile de tip „dacă… atunci…", contraexemplul verifică ipoteza; (4) nu confundă $\exists$ cu $\exists!$ ; (5) la enunțuri cu doi cuantificatori, respectă ordinea din enunț. Întrebări bune de control: „Câte valori trebuie verificate ca să dovedești «există»? Dar ca să dovedești «pentru orice»?"; „Ce este un contraexemplu și de ce ajunge unul singur?"; „Ce se schimbă dacă interschimbi $\forall$ cu $\exists$ ?".

La teze și la Bacalaureat, cuantificatorii apar explicit în subiectele de logică din clasa a IX-a și implicit peste tot: orice cerință de tipul „arătați că, pentru orice număr real…" este un enunț universal de demonstrat, iar orice cerință de tipul „determinați o valoare a lui $m$ pentru care…" este un enunț existențial, care se rezolvă exhibând valoarea și verificând-o. Semne că elevul a înțeles: produce contraexemple corecte fără ajutor, nu mai spune „am verificat, deci merge" și sesizează singur diferența dintre cele două ordini ale cuantificatorilor.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă simbolul ∀ în matematică? Este cuantificatorul universal și se citește „oricare ar fi" sau „pentru orice". Enunțul $\forall x \in D, p (x)$ afirmă că predicatul $p$ este adevărat pentru toate valorile din domeniul $D$ , fără excepție.

Ce înseamnă simbolul ∃ în matematică? Este cuantificatorul existențial și se citește „există cel puțin un". Enunțul $\exists x \in D, p (x)$ afirmă că măcar o valoare din domeniu face predicatul adevărat; nu spune câte și nici care.

Cum demonstrez un enunț care începe cu «pentru orice»? Iei un element oarecare din domeniu, fără să presupui nimic special despre el, și demonstrezi predicatul pentru el. Verificarea câtorva valori concrete nu este demonstrație, oricât de multe ar fi.

Ce este un contraexemplu? Este o valoare concretă din domeniu pentru care predicatul devine fals. Un singur contraexemplu este suficient ca să arate că un enunț universal este fals — de aceea căutarea contraexemplelor este prima mișcare atunci când bănuiești că o afirmație nu stă în picioare.

De ce un exemplu nu demonstrează un enunț cu «pentru orice»? Pentru că enunțul afirmă ceva despre toate valorile domeniului, care de regulă sunt infinit de multe. Un exemplu confirmă un singur caz și lasă neatinse toate celelalte; abia un raționament valabil pentru un element oarecare acoperă întregul domeniu.

Ce înseamnă simbolul ∃! ? Se citește „există și este unic" și cere două lucruri deodată: existența unei valori care verifică predicatul și faptul că nu există o a doua. Demonstrația are, prin urmare, două părți: existența și unicitatea.

Contează ordinea cuantificatorilor? Da, foarte mult. În $\forall x \exists y$ valoarea lui $y$ poate fi aleasă în funcție de $x$ ; în $\exists y \forall x$ un singur $y$ trebuie să funcționeze pentru toate valorile lui $x$ . Primul enunț poate fi adevărat, iar al doilea fals, cu exact aceeași condiție.

Unde apar cuantificatorii la Bacalaureat? În subiectele de logică apar direct, ca cerințe de stabilire a valorii de adevăr pentru enunțuri de tip $\forall$ sau $\exists$ . Indirect, ei apar în orice problemă formulată cu „pentru orice număr real…" sau „determinați o valoare a parametrului pentru care…", unde strategia de rezolvare este dictată tocmai de cuantificatorul din enunț.