Câte puncte determină un plan?
Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Determinarea dreptei și a planului
Trei puncte care nu stau pe aceeași dreaptă determină un singur plan, notat cu literele lor. Dacă punctele ar fi coliniare, prin dreapta lor ar trece o infinitate de plane, deci nu s-ar mai obține unul singur. Din această idee ies celelalte trei situații care fixează un plan: o dreaptă și un punct din afara ei, două drepte care se taie, două drepte paralele distincte. Toate ascund, de fapt, tot trei puncte necoliniare.
O dreaptă este determinată de două puncte distincte — prin ele trece o singură dreaptă, niciodată două. Dar ca să prindem un plan avem nevoie de mai mult: axioma fundamentală spune că trei puncte necoliniare determină un unic plan, notat . Dacă cele trei puncte ar fi coliniare, ele s-ar reduce la o dreaptă, iar printr-o dreaptă trec o infinitate de plane, deci nu ar mai fi unicitate.
Din această axiomă derivă celelalte trei moduri de a determina un plan: o dreaptă și un punct exterior ei; două drepte concurente; două drepte paralele distincte. Toate patru „ascund" de fapt trei puncte necoliniare, deci se reduc la aceeași idee.
Exemplu minimal: dacă , , sunt vârfurile unui triunghi (deci necoliniare), planul este unic — exact ca picioarele unui trepied, care nu se clatină niciodată, indiferent de teren.
De reținut
- două puncte distincte determină o dreaptă
- trei puncte necoliniare determină un plan
- o dreaptă și un punct exterior, două drepte concurente sau două paralele distincte determină tot un plan
Greșeala tipică
Se spune că orice trei puncte determină un plan. Condiția de necoliniaritate este obligatorie: trei puncte de pe aceeași dreaptă lasă o infinitate de plane posibile.
Exerciții din această mini-lecție
Punctele , , nu sunt coliniare. Ce se poate spune despre planul pe care îl determină?
- a) Nu determină niciun plan
- b) Determină un unic plan
- c) Determină exact două plane
- d) Determină o infinitate de plane
Vezi răspunsul
Răspuns corect: b) Determină un unic plan
Aceasta este axioma fundamentală: trei puncte necoliniare determină un plan și numai unul, notat .
Care dintre următoarele situații NU determină un plan unic?
- a) Trei puncte necoliniare
- b) O dreaptă și un punct situat chiar pe
- c) Două drepte concurente
- d) Două drepte paralele distincte
Vezi răspunsul
Răspuns corect: b) O dreaptă și un punct situat chiar pe
Dacă se află pe dreapta , nu avem nicio informație în plus față de dreapta , iar printr-o dreaptă trec o infinitate de plane. E nevoie ca punctul să fie exterior dreptei.
Punctele , , sunt coliniare. Prin câte plane trec, toate trei deodată?
- a) Exact un plan
- b) O infinitate de plane
- c) Niciun plan
- d) Exact două plane
Vezi răspunsul
Răspuns corect: b) O infinitate de plane
Fiind coliniare, , , se află toate pe dreapta , deci orice plan care conține dreapta le conține pe toate trei. Printr-o dreaptă trec o infinitate de plane, deci răspunsul este: o infinitate. Tocmai de aceea axioma cere trei puncte necoliniare — punctele coliniare nu determină un plan unic.
Întrebări conexe
Câte plane trec printr-o dreaptă dată?
O infinitate. Poți roti planul în jurul dreptei ca pe o pagină în jurul cotorului și toate pozițiile sunt valabile. De aceea o dreaptă singură nu fixează niciun plan; îți mai trebuie un punct din afara ei.
Două drepte paralele determină întotdeauna un plan?
Da, dacă sunt paralele și distincte. Prin definiție dreptele paralele sunt coplanare, iar planul care le conține pe amândouă este singurul posibil. Dacă ar fi una și aceeași dreaptă, condiția nu se mai aplică.
Cum se notează planul determinat de trei puncte?
Cu literele celor trei puncte, între paranteze rotunde: planul care trece prin , și se scrie . Ordinea literelor nu contează, fiindcă ele numesc același plan. Notația spune astfel și de unde provine planul, nu doar cum se cheamă.
Ce înseamnă că trei puncte sunt necoliniare?
Înseamnă că nu există nicio dreaptă care să le conțină pe toate trei, deci formează un triunghi adevărat. Vârfurile oricărui triunghi sunt necoliniare, iar de aceea despre un triunghi se poate vorbi mereu ca despre un plan.
De ce un scaun cu trei picioare nu se clatină, iar unul cu patru da?
Fiindcă vârfurile a trei picioare sunt trei puncte necoliniare și fixează un singur plan de sprijin. Al patrulea picior poate cădea în afara acelui plan, iar atunci scaunul se sprijină pe rând pe triplete diferite.
Cum arăt că un punct se află în planul determinat de alte trei?
Cauți o dreaptă din acel plan care să treacă prin punctul dat. Dacă stă pe segmentul , iar și sunt în planul , atunci și îi aparține, fiindcă dreapta întreagă este inclusă în plan.
Oamenii mai întreabă și: câte puncte determină un plan · trei puncte necoliniare determină un plan · cum se determină un plan · moduri de a determina un plan · determinarea dreptei și a planului
