Determinarea dreptei și determinarea planului

Când un dulgher vrea ca o masă să nu se clatine, el știe un truc simplu: o masă cu trei picioare stă întotdeauna perfect, în timp ce una cu patru picioare uneori se leagănă. De ce? Pentru că trei puncte așezate pe podea „fixează" complet un plan, iar al patrulea picior s-ar putea să nu mai atingă acel plan. Aceeași idee stă la baza trepiedelor de la aparatele foto sau a scaunelor de bar. În această lecție descoperim exact ce înseamnă „a determina" o dreaptă și un plan, adică din ce condiții minime (câte puncte, câte drepte) obținem o singură dreaptă sau un singur plan. Este piatra de temelie a întregii geometrii în spațiu din clasa a VIII-a și apare an de an la Evaluarea Națională.

Ne bazăm pe notațiile și convențiile din lecția precedentă, Puncte, drepte și plane în spațiu, deci le vom folosi fără să le mai reluăm.

Ce vei învăța

• Vei ști să determini o dreaptă și un plan din condițiile date (puncte, drepte).
• Vei ști să recunoști cele patru moduri de determinare a unui plan.
• Vei ști să justifici de ce trei puncte necoliniare determină un singur plan.
• Vei ști să aplici axioma: dacă două puncte ale unei drepte sunt într-un plan, atunci toată dreapta este inclusă în plan.
• Vei ști să numeri câte drepte sau câte plane se pot forma cu un set de puncte date, ca la itemii de examen.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „a determina"

În matematică, a spune că niște elemente determină o figură înseamnă că, respectând acele condiții, obținem una și numai una — adică figura există și, în plus, este unică. Sunt două cerințe ascunse în cuvântul „determină":

1. Existență: din condițiile date se poate construi figura.
2. Unicitate: nu există două figuri diferite care să respecte aceleași condiții.

Dacă lipsește unicitatea, spunem că elementele nu determină figura. De exemplu, printr-un singur punct trec o infinitate de drepte — deci un punct singur nu determină o dreaptă. Ține minte această idee: „determină" = „există și e unic(ă)".

Determinarea dreptei: două puncte distincte

Începem cu situația cea mai simplă, pe care o intuiești din clasele mici, dar acum o exprimăm riguros.

Axiomă (determinarea dreptei). Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una.

Cu alte cuvinte: două puncte distincte determină o unică dreaptă. Dacă punctele se numesc $A$ și $B$, dreapta se notează $AB$ (sau $BA$ — este aceeași dreaptă).

Observă cuvântul-cheie: distincte. Dacă cele două puncte ar coincide ($A=B$), atunci de fapt avem un singur punct, iar printr-un punct trec o infinitate de drepte. Deci condiția „distincte" este esențială.

De ce este importantă unicitatea? Pentru că îți dă un instrument de raționament: dacă știi că un punct $C$ se află pe dreapta $AB$ și, în același timp, pe o altă dreaptă care trece prin $A$ și $B$, atunci cele două drepte coincid. Nu pot exista două drepte diferite prin aceleași două puncte.

Un mic exemplu de numărare. Câte drepte determină 4 puncte, oricare trei necoliniare? Fiecare pereche de puncte dă o dreaptă, iar punctele fiind în „poziție generală" (fără trei coliniare), toate perechile dau drepte diferite. Numărul de perechi din 4 puncte este numărul de segmente, adică $\frac{4\cdot 3}{2}=6$. Deci 6 drepte. Reține formula pentru $n$ puncte, oricare trei necoliniare:

$$\text{numa˘r de drepte}=\frac{n(n-1)}{2}.$$

Această formulă va reveni la examen, așa că merită memorată împreună cu logica din spatele ei: alegem 2 puncte din $n$, iar ordinea nu contează (dreapta $AB$ = dreapta $BA$).

De la dreaptă la plan: de ce nu ne ajung două puncte

Am văzut că două puncte fixează o dreaptă. Dar o dreaptă este „subțire" — ea nu umple spațiul. Ca să prindem o suprafață plată infinită, adică un plan, avem nevoie de mai multă informație.

Gândește-te așa: pune două puncte în aer și ține între ele o riglă. Sprijină acum o foaie de carton pe riglă: poți roti foaia în jurul riglei în câte poziții vrei — prin acea dreaptă trec o infinitate de plane, ca paginile unei cărți deschise care se rotesc în jurul cotorului. Deci o dreaptă singură nu determină un plan. Ne mai trebuie ceva care să „oprească" rotația.

Determinarea planului prin trei puncte necoliniare

Acesta este modul fundamental de determinare a planului, formulat ca axiomă.

Axiomă (determinarea planului). Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul.

Deci trei puncte necoliniare determină un unic plan. Dacă punctele se numesc $A$, $B$, $C$, planul se notează adesea $(ABC)$.

Cuvântul-cheie de data aceasta este necoliniare, adică cele trei puncte să nu se afle toate pe aceeași dreaptă. De ce e nevoie de această condiție?

• Dacă cele trei puncte ar fi coliniare (toate pe o dreaptă), ele nu ar face altceva decât să repete informația unei drepte, iar prin acea dreaptă trec o infinitate de plane. Deci trei puncte coliniare nu determină planul.
• Dacă punctele sunt necoliniare, al treilea punct „iese" din dreapta primelor două și blochează rotația: rămâne un singur plan care le conține pe toate trei.

Aici e miezul întrebării de la examen „de ce trei puncte necoliniare determină un plan". Iată justificarea clară, în pași:

1. Fie $A$ și $B$ două dintre puncte. Ele determină dreapta $AB$ (axioma dreptei).
2. Al treilea punct, $C$, nu este pe dreapta $AB$ (fiindcă punctele sunt necoliniare), deci $C$ este exterior dreptei $AB$.
3. O dreaptă și un punct exterior ei determină un singur plan (proprietatea de mai jos). Prin urmare $A$, $B$, $C$ se află într-un plan unic.

Aceasta este și legătura cu masa cu trei picioare din introducere: cele trei tălpi ating podeaua în trei puncte necoliniare, care „prind" un plan unic — masa nu se poate legăna. La masa cu patru picioare, al patrulea punct poate să nu fie în același plan, iar masa se clatină.

Cele patru moduri de determinare a planului

Din axioma celor trei puncte se deduc, prin raționament, alte trei situații care determină și ele un unic plan. La Evaluarea Națională trebuie să le recunoști pe toate patru. Le trecem pe rând.

Modul 1 — Trei puncte necoliniare. (Axioma de bază, deja discutată.) Trei puncte care nu sunt pe aceeași dreaptă determină planul $(ABC)$.

Modul 2 — O dreaptă și un punct exterior ei. O dreaptă $d$ și un punct $A$ care nu aparține dreptei ($A\notin d$) determină un unic plan. Justificare: pe dreapta $d$ alegem două puncte distincte $B$ și $C$; atunci $A$, $B$, $C$ sunt trei puncte necoliniare (fiindcă $A$ nu e pe $d$, deci nu e pe dreapta $BC$), deci determină un plan unic. Notăm planul $(d,A)$.

Modul 3 — Două drepte concurente. Două drepte concurente (care se intersectează într-un punct) determină un unic plan. Justificare: fie dreptele $a$ și $b$ care se taie în punctul $O$. Pe dreapta $a$ mai luăm un punct $M\ne O$, iar pe dreapta $b$ un punct $N\ne O$. Atunci $O$, $M$, $N$ sunt necoliniare (căci $M$ e pe $a$, $N$ e pe $b$, iar cele două drepte diferite se întâlnesc doar în $O$), deci determină planul. Notăm $(a,b)$.

Modul 4 — Două drepte paralele. Două drepte paralele (distincte) determină un unic plan. De fapt, definiția a două drepte paralele în spațiu cere chiar ca ele să fie coplanare (în același plan) și să nu aibă niciun punct comun — deci planul care le conține este cel determinat de ele. Notăm $(a,b)$.

Reține tabelul mintal al celor patru moduri de determinare a planului:

Observație importantă: modurile 2, 3 și 4 se reduc toate la modul 1, adică la trei puncte necoliniare. De aceea axioma fundamentală rămâne cea a celor trei puncte, iar celelalte sunt proprietăți deduse.

Situații care NU determină un plan

La fel de util este să știi ce nu ajunge:

• Un singur punct — infinit de multe plane trec prin el.
• O dreaptă singură — infinit de multe plane (se rotesc în jurul ei).
• Două puncte (sau echivalent, două puncte = o dreaptă) — tot infinit de multe plane.
• Trei puncte coliniare — se reduc la o dreaptă, deci infinit de multe plane.
• Două drepte oarecare (necoplanare) — dacă cele două drepte nu sunt nici concurente, nici paralele, ele sunt necoplanare (nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă). Vom studia aceste drepte în Poziții relative a două drepte în spațiu.

Axioma incluziunii dreptei în plan

Mai avem o proprietate esențială, care leagă dreapta de plan și pe care o vei folosi în aproape orice demonstrație de geometrie în spațiu.

Axiomă. Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci întreaga dreaptă este inclusă în acel plan.

În limbaj matematic: dacă $A\in \alpha$, $B\in \alpha$ și $A\ne B$, atunci $AB\subset \alpha$.

Intuitiv: un plan este perfect „drept" și „întins". Dacă rigla atinge planul în două puncte, atunci se așază complet pe plan, fără să iasă în afară. Nu poate exista un punct al dreptei care să „plutească" deasupra sau sub plan, pentru că planul e neted și nemărginit.

O consecință directă și foarte folosită: intersecția unui plan cu o dreaptă care nu e inclusă în plan este cel mult un punct. Dacă ar avea două puncte comune, dreapta ar fi inclusă în plan (conform axiomei), contradicție. Iar dacă două plane distincte au un punct comun, ele au o dreaptă comună întreagă (dreapta de intersecție) — proprietate pe care o vom detalia în lecția Relații între puncte, drepte și plane.

Cum recunoști modul de determinare într-un corp geometric

La examen, condițiile nu vin scrise „trei puncte necoliniare", ci ascunse într-un cub, o prismă sau o piramidă. Iată cum le citești, folosind cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ca model.

• Fața $ABCD$ este o porțiune a planului $(ABC)$, determinat de trei vârfuri necoliniare ale bazei.
• Muchiile $AB$ și $BC$ sunt drepte concurente (se întâlnesc în $B$), deci determină planul feței de jos, adică $(ABC)$.
• Muchiile $AB$ și $DC$ sunt paralele, deci determină și ele planul bazei $(ABC)$.
• Muchia $A{A}^{\prime }$ și punctul $B$ (exterior dreptei $A{A}^{\prime }$) determină planul feței laterale $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Vezi așadar că același plan poate fi determinat în mai multe feluri — prin trei puncte, prin două muchii concurente sau prin două muchii paralele. La un exercițiu, e suficient să indici un mod valabil de determinare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea modului de determinare. Se dau punctele $A$, $B$, $C$, $D$ astfel încât $D$ nu aparține planului $(ABC)$, iar $A$, $B$, $C$ sunt necoliniare. Precizează, pentru fiecare caz, prin ce mod se determină planul: a) planul $(ABC)$; b) planul care conține dreapta $AB$ și punctul $C$.

Rezolvare. a) Punctele $A$, $B$, $C$ sunt necoliniare (dat), deci planul $(ABC)$ este determinat de trei puncte necoliniare (modul 1). b) Dreapta $AB$ și punctul $C$: cum $A$, $B$, $C$ sunt necoliniare, $C\notin AB$, deci $C$ este exterior dreptei $AB$. Planul se determină prin o dreaptă și un punct exterior ei (modul 2). Este, de fapt, tot planul $(ABC)$ — două descrieri ale aceluiași plan.

Exemplul 2 — Aplicarea axiomei de incluziune. Un plan $\alpha$ conține punctele $M$ și $N$ ($M\ne N$). Punctul $P$ se află pe dreapta $MN$. Arată că $P\in \alpha$.

Rezolvare. Din $M\in \alpha$, $N\in \alpha$ și $M\ne N$, aplicăm axioma incluziunii: dreapta $MN$ este inclusă în plan, adică $MN\subset \alpha$. Cum $P\in MN$ și $MN\subset \alpha$, rezultă $P\in \alpha$. Deci orice punct al dreptei $MN$ aparține planului. $■$

Exemplul 3 — Numărarea dreptelor. În planul unei foi se dau 5 puncte, oricare trei necoliniare. Câte drepte determină ele?

Rezolvare. Fiecare pereche de puncte determină o dreaptă, iar poziția generală (fără trei coliniare) garantează că toate perechile dau drepte diferite. Numărul de perechi din 5 puncte: $$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=\frac{20}{2}=10.$$ Deci se determină 10 drepte.

Exemplul 4 — Numărarea planelor. Se dau 5 puncte în spațiu, oricare patru necoplanare (deci și oricare trei necoliniare). Câte plane determină ele?

Rezolvare. Un plan e determinat de câte trei puncte necoliniare. Cum oricare trei sunt necoliniare, fiecare grup de 3 puncte dă un plan, iar condiția „oricare patru necoplanare" asigură că grupuri diferite de 3 puncte dau plane diferite. Numărul de grupuri de câte 3 din 5 puncte: $$\frac{5\cdot 4\cdot 3}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{60}{6}=10.$$ Deci se determină 10 plane.

Exemplul 5 — Coliniaritate ascunsă. Se dau punctele $A$, $B$, $C$, $D$, iar $A$, $B$, $C$ sunt coliniare, în timp ce $D$ nu aparține dreptei $AB$. Câte plane distincte se determină cu aceste patru puncte?

Rezolvare. Punctele $A$, $B$, $C$ fiind coliniare, orice grup de trei care le conține doar pe ele nu determină un plan (sunt pe o dreaptă). Planul apare doar când adăugăm $D$, care este exterior dreptei $AB=AC=BC$. Dreapta $ABC$ și punctul $D$ determină un singur plan (modul 2). Grupurile $\{A,B,D\}$, $\{A,C,D\}$, $\{B,C,D\}$ dau toate același plan, fiindcă toate conțin dreapta comună $ABC$ și punctul $D$. Așadar se determină un singur plan.

Exemplul 6 — Item tip Evaluarea Națională (adevărat/fals cu justificare). Stabilește valoarea de adevăr și justifică: „Două drepte distincte din spațiu determină întotdeauna un plan."

Rezolvare. Afirmația este falsă. Două drepte distincte determină un plan doar dacă sunt concurente sau paralele (adică dacă sunt coplanare). Există însă drepte necoplanare (nici concurente, nici paralele), pentru care nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă. Un exemplu concret: în cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, dreptele $AB$ și $C{C}^{\prime }$ sunt necoplanare, deci nu determină un plan. Prin urmare afirmația nu este adevărată „întotdeauna".

Să exersăm

1. Completează: „Prin două puncte ______ trece o dreaptă și numai una." Ce cuvânt lipsește și de ce este necesar?

2. Care este condiția ca trei puncte să determine un plan? Ce se întâmplă dacă cele trei puncte sunt coliniare?

3. Enumeră cele patru moduri de determinare a unui plan.

4. Adevărat sau fals (cu motivare): „Un punct și o dreaptă determină întotdeauna un plan."

5. Adevărat sau fals (cu motivare): „O dreaptă singură determină un plan."

6. Câte drepte determină 6 puncte din plan, dacă oricare trei sunt necoliniare?

7. Câte plane determină 4 puncte din spațiu, oricare trei necoliniare și toate patru necoplanare?

8. Se dau punctele $A\in \alpha$ și $B\in \alpha$, cu $A\ne B$. Punctul $T$ se află pe dreapta $AB$. Ce poți spune despre poziția lui $T$ față de planul $\alpha$? Justifică.

9. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, indică un mod de determinare a planului feței laterale $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ folosind: a) trei puncte; b) două drepte concurente; c) două drepte paralele.

10. Se dau 4 puncte $A$, $B$, $C$, $D$, în care $A$, $B$, $C$ sunt coliniare, iar $D$ nu e pe dreapta lor. Câte drepte distincte determină cele 4 puncte?

11. La același enunț ca la exercițiul 10, câte plane distincte se determină?

12. Adevărat sau fals (cu motivare): „Dacă un plan conține două puncte ale unei drepte, atunci conține toată dreapta."

13. Adevărat sau fals (cu motivare): „Două drepte paralele distincte determină un unic plan."

14. Explică, folosind axioma celor trei puncte, de ce o dreaptă $d$ și un punct $P\notin d$ determină un singur plan.

15. Un trepied are trei picioare care ating podeaua în punctele $P$, $Q$, $R$. De ce trepiedul nu se clatină niciodată, indiferent de teren? Formulează răspunsul cu noțiunea de determinare a planului.

16. Item tip Evaluarea Națională: în piramida $VABC$ (cu baza triunghiul $ABC$), câte plane se determină de cele 4 vârfuri, știind că oricare trei sunt necoliniare și cele patru nu sunt coplanare? Numește-le.

17. Adevărat sau fals (cu motivare): „Trei puncte determină întotdeauna un plan."

18. Se dau 5 drepte, oricare două concurente, dar oricare trei fără punct comun și toate în același plan. Formează ele configurația unor drepte coplanare? Ce plan determină oricare două dintre ele?

Răspunsuri și explicații

1. Cuvântul lipsă este distincte. Dacă punctele ar coincide, am avea de fapt un singur punct, iar printr-un punct trec o infinitate de drepte, deci nu ar mai fi unicitate.

2. Condiția este ca punctele să fie necoliniare (să nu fie toate pe aceeași dreaptă). Dacă sunt coliniare, ele se reduc la o dreaptă, iar printr-o dreaptă trec o infinitate de plane, deci nu determină un plan.

3. Cele patru moduri: (1) trei puncte necoliniare; (2) o dreaptă și un punct exterior ei; (3) două drepte concurente; (4) două drepte paralele distincte.

4. Fals. Contează poziția: dacă punctul este exterior dreptei, determină un plan; dar dacă punctul se află pe dreaptă, atunci avem doar o dreaptă, prin care trec o infinitate de plane. Deci nu „întotdeauna".

5. Fals. Printr-o dreaptă trec o infinitate de plane (se rotesc în jurul ei), deci nu există unicitate.

6. $\frac{6\cdot 5}{2}=\frac{30}{2}=15$ drepte.

7. $\frac{4\cdot 3\cdot 2}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{24}{6}=4$ plane (grupurile de câte 3 puncte: $\{A,B,C\},\{A,B,D\},\{A,C,D\},\{B,C,D\}$).

8. $T\in \alpha$ (punctul aparține planului). Din $A\in \alpha$, $B\in \alpha$, $A\ne B$, prin axioma incluziunii $AB\subset \alpha$; cum $T\in AB$, rezultă $T\in \alpha$.

9. Pentru fața $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: a) trei puncte necoliniare, de exemplu $B$, $C$, $C^{\prime }$; b) două drepte concurente, de exemplu muchiile $BC$ și $B{B}^{\prime }$ (se întâlnesc în $B$); c) două drepte paralele, de exemplu muchiile $BC$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (sau $B{B}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$).

10. Perechile de puncte: $AB$, $AC$, $BC$ dau aceeași dreaptă (fiindcă $A$, $B$, $C$ sunt coliniare), deci 1 dreaptă. Apoi $DA$, $DB$, $DC$ sunt trei drepte distincte (D nu e pe dreapta $ABC$). Total: $1+3=4$ drepte.

11. Un singur plan (1). Toate grupurile de trei puncte care conțin $D$ dau același plan — cel determinat de dreapta $ABC$ și punctul $D$; iar $\{A,B,C\}$ nu determină plan (coliniare).

12. Adevărat. Este chiar axioma incluziunii: dacă două puncte distincte ale dreptei aparțin planului, toată dreapta este inclusă în plan.

13. Adevărat. Este modul 4 de determinare a planului; două drepte paralele distincte sunt coplanare și determină un unic plan.

14. Pe dreapta $d$ alegem două puncte distincte $A$ și $B$. Cum $P\notin d$, punctele $P$, $A$, $B$ sunt necoliniare, deci determină un plan unic (axioma celor trei puncte). Acest plan conține și toată dreapta $d$ (prin axioma incluziunii, fiindcă $A,B\in$ plan), deci $d$ și $P$ determină un singur plan.

15. Cele trei tălpi ating podeaua în trei puncte $P$, $Q$, $R$, care (fiind picioarele unui trepied) sunt necoliniare. Trei puncte necoliniare determină un unic plan, deci vârful trepiedului se sprijină stabil — nu există o a doua poziție posibilă în care picioarele să atingă podeaua, deci nu se clatină, indiferent de teren.

16. Se determină $\frac{4\cdot 3\cdot 2}{6}=4$ plane: $(ABC)$ — baza, $(VAB)$, $(VBC)$, $(VCA)$ — cele trei fețe laterale.

17. Fals. Trei puncte determină un plan doar dacă sunt necoliniare. Dacă sunt coliniare, nu determină plan. Deci nu „întotdeauna".

18. Da, prin ipoteză toate cele 5 drepte sunt în același plan, deci sunt coplanare. Oricare două dintre ele, fiind concurente (se intersectează într-un punct), determină exact acel plan comun (modul 3). Toate perechile determină același plan.

De reținut

• Două puncte distincte determină o unică dreaptă ($AB$).
• Trei puncte necoliniare determină un unic plan ($(ABC)$) — axioma fundamentală.
• Cele patru moduri de determinare a planului: trei puncte necoliniare; o dreaptă și un punct exterior ei; două drepte concurente; două drepte paralele distincte.
• Axioma incluziunii: dacă $A,B\in \alpha$ ($A\ne B$), atunci $AB\subset \alpha$ — două puncte ale unei drepte în plan „trag" toată dreapta în plan.
• Numărare rapidă: $n$ puncte în poziție generală dau $\frac{n(n-1)}{2}$ drepte; iar din trei-n-trei puncte se formează planele.

Greșeli frecvente

• Uiți cuvântul „necoliniare". A spune „trei puncte determină un plan" este greșit: trebuie necoliniare. Trei puncte pe o dreaptă nu determină plan. Verifică mereu condiția.
• Confuzi „un punct pe dreaptă" cu „un punct exterior dreptei". Doar un punct exterior dreptei, împreună cu dreapta, determină un plan. Dacă punctul e chiar pe dreaptă, ai doar o dreaptă.
• Crezi că orice două drepte determină un plan. Fals: doar dreptele concurente sau paralele (coplanare). Dreptele necoplanare nu determină niciun plan.
• Numeri greșit dreptele/planele când există puncte coliniare. Când trei puncte sunt coliniare, perechile lor dau aceeași dreaptă, iar ele nu formează plan singure. Tratează separat punctele coliniare, nu aplica orbește formula.

Aplică acasă

1. Masa care se clatină. Găsește în casă o masă cu patru picioare care se leagănă și una cu trei (sau un taburet cu trei picioare). Observă că cel cu trei picioare stă ferm pe orice suprafață, iar cel cu patru se clatină dacă podeaua nu e perfect plană. Explică unui membru al familiei, folosind expresia „trei puncte necoliniare determină un plan", de ce se întâmplă asta.

2. Muchiile din cameră. Alege un colț al camerei tale, unde se întâlnesc două ziduri și podeaua. Identifică: două muchii concurente (care determină un plan — un perete) și două muchii paralele (care determină același perete). Desenează schema pe o foaie și notează modul de determinare pentru fiecare perete.

3. Numără dreptele. Marchează 7 puncte pe o foaie astfel încât oricare trei să nu fie pe aceeași dreaptă. Calculează întâi cu formula $\frac{n(n-1)}{2}$ câte drepte ar trebui să obții, apoi trasează-le și verifică numărând. (Răspunsul așteptat: 21.)

Pentru părinți și profesori

Această lecție așază fundamentul geometriei în spațiu din clasa a VIII-a: fără ideea de „determinare", elevul nu poate justifica riguros nimic în lecțiile despre paralelism și perpendicularitate care urmează. Accentul cade pe două lucruri — recunoașterea celor patru moduri de determinare a planului și redactarea corectă a justificărilor (ipoteză → concluzie), exact stilul cerut la Evaluarea Națională.

Cum vă puteți da seama că elevul a înțeles: cereți-i să enumere pe de rost cele patru moduri, apoi să vă arate fiecare mod pe un obiect real (o cutie, o carte, un colț de cameră). Un elev care a înțeles va spune imediat de ce „trei puncte" nu e suficient fără „necoliniare" și de ce două drepte oarecare nu determină un plan.

Întrebări de verificare utile: „De ce nu determină un plan două puncte?"; „Dă-mi un exemplu în care o dreaptă și un punct NU determină un plan." (răspuns: când punctul e pe dreaptă); „Câte plane trec printr-o dreaptă?" (o infinitate).

Unde apare la examen: la Evaluarea Națională, aceste noțiuni apar mai ales ca itemi de tip adevărat/fals cu justificare (Subiectul I sau II) și ca pas dintr-o problemă de geometrie în spațiu, unde elevul trebuie să argumenteze de ce niște puncte sunt coplanare sau de ce o dreaptă este inclusă într-un plan. Punctajul se pierde frecvent la formularea justificării, nu la idee — de aceea exersați scrisul complet, nu doar răspunsul.

Întrebări frecvente

Câte puncte determină o dreaptă? Două puncte distincte determină o unică dreaptă. Un singur punct nu ajunge, pentru că prin el trec o infinitate de drepte. Condiția „distincte" (adică diferite) este obligatorie.

De ce trei puncte necoliniare determină un plan? Pentru că primele două determină o dreaptă, iar al treilea, fiind în afara acelei drepte, „oprește" rotația planurilor din jurul ei și lasă un singur plan care le conține pe toate trei. Dacă punctele ar fi coliniare, ar rămâne o infinitate de plane.

Care sunt cele patru moduri de a determina un plan la clasa a 8-a? (1) Trei puncte necoliniare; (2) o dreaptă și un punct exterior ei; (3) două drepte concurente; (4) două drepte paralele distincte. Toate se reduc, în fond, la trei puncte necoliniare.

Două drepte concurente determină un plan? Da. Două drepte care se intersectează într-un punct sunt coplanare și determină un unic plan. Alegi câte un punct pe fiecare dreaptă, diferit de punctul de intersecție, și obții trei puncte necoliniare care fixează planul.

Două drepte oarecare determină întotdeauna un plan? Nu. Determină un plan doar dacă sunt concurente sau paralele (adică sunt coplanare). Dacă sunt necoplanare — nici nu se taie, nici nu sunt paralele — nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă.

Ce spune axioma despre o dreaptă inclusă într-un plan? Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci întreaga dreaptă este inclusă în acel plan. Scris matematic: dacă $A,B\in \alpha$ și $A\ne B$, atunci $AB\subset \alpha$.

Trei puncte coliniare determină un plan? Nu. Fiind toate pe aceeași dreaptă, ele nu aduc mai multă informație decât o dreaptă, iar printr-o dreaptă trec o infinitate de plane. Este nevoie de trei puncte necoliniare.

Cum aflu câte plane determină niște puncte date? Dacă oricare trei puncte sunt necoliniare și grupurile de trei nu se repetă în același plan, numeri câte grupuri de câte 3 puncte se pot forma. Atenție la punctele coliniare: ele nu formează plan singure și trebuie tratate separat.