Punctul $$M$$ nu se află în planul $$\alpha$$, iar $$O$$ este proiecția lui $$M$$ pe $$\alpha$$ (deci $$MO \perp \alpha$$). Care afirmație este corectă?

$$MO$$ este cea mai scurtă dintre toate segmentele $$MX$$, cu $$X \in \alpha$$, deci $$MO$$ este distanța de la $$M$$ la $$\alpha$$

$$MO$$ este cea mai lungă dintre toate segmentele $$MX$$, cu $$X \in \alpha$$

Distanța de la $$M$$ la $$\alpha$$ poate fi mai mare decât distanța de la $$M$$ la orice dreaptă din $$\alpha$$

Punctul $$O$$ poate fi ales oricare punct din planul $$\alpha$$, rezultatul fiind același

Două plane paralele $$\alpha$$ și $$\beta$$ sunt la distanța $$7$$ cm una de alta. Un segment $$MN$$, cu $$M \in \alpha$$ și $$N \in \beta$$, NU este perpendicular pe cele două plane. Ce se poate spune despre lungimea lui $$MN$$?

$$MN > 7$$ cm (valoarea $$7$$ cm se obține doar pentru segmentul perpendicular pe ambele plane)

$$MN = 14$$ cm, adică dublul distanței dintre plane

Cum aflu distanța de la un punct la un plan?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Distanțe în spațiu și înălțimi

Cobori din punct perpendiculara pe plan; lungimea acelui segment este distanța căutată. Piciorul perpendicularei se numește proiecția punctului, iar orice alt segment dus spre plan iese mai lung, fiind oblic. Într-un cub cu muchia de $12$ cm, distanța de la un vârf de sus la planul bazei este chiar muchia laterală, adică $12$ cm. Când perpendiculara nu este vizibilă, o construiești și lucrezi în triunghiul dreptunghic care apare.

În spațiu, „distanță" înseamnă mereu lungimea unei perpendiculare — cel mai scurt drum posibil, niciodată o linie oarecare. Avem trei cazuri: distanța de la un punct $M$ la o dreaptă $d$ este segmentul $M P$ , cu $M P ⊥ d$ ; distanța de la $M$ la un plan $α$ este $M O$ , unde $O$ e proiecția lui $M$ pe plan ( $M O ⊥ α$ ); iar distanța dintre două plane paralele e lungimea oricărui segment perpendicular pe amândouă — și e mereu aceeași, oriunde o măsori.

Cheia pentru probleme e teorema celor trei perpendiculare (T3P): dacă $V A ⊥ α$ și, în plan, $A P ⊥ d$ , atunci și oblica $V P ⊥ d$ , deci $V P = V A^{2} + A P^{2}$ .

Exemplu minimal. Într-un cub cu muchia $12$ cm, distanța de la $A^{'}$ la diagonala bazei $B D$ : $A O = 62$ cm (jumătate de diagonală), apoi T3P dă $A^{'} O = 1 2^{2} + (62)^{2} = 216 = 66$ cm. Iar înălțimile corpurilor sunt tot distanțe punct–plan sau plan–plan!

De reținut

distanța se măsoară mereu pe perpendiculară
distanța punct–plan = segmentul până la proiecția punctului
distanța dintre plane paralele este constantă

Greșeala tipică

Se ia drept distanță un segment oblic, care pare cel mai la îndemână în desen. Orice oblică este mai lungă decât perpendiculara, deci rezultatul iese prea mare.

Exerciții din această mini-lecție

Punctul $M$ nu se află în planul $α$ , iar $O$ este proiecția lui $M$ pe $α$ (deci $M O ⊥ α$ ). Care afirmație este corectă?
- a) $M O$ este cea mai lungă dintre toate segmentele $M X$ , cu $X \in α$
- b) $M O$ este cea mai scurtă dintre toate segmentele $M X$ , cu $X \in α$ , deci $M O$ este distanța de la $M$ la $α$
- c) Distanța de la $M$ la $α$ poate fi mai mare decât distanța de la $M$ la orice dreaptă din $α$
- d) Punctul $O$ poate fi ales oricare punct din planul $α$ , rezultatul fiind același
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $M O$ este cea mai scurtă dintre toate segmentele $M X$ , cu $X \in α$ , deci $M O$ este distanța de la $M$ la $α$

Pentru orice alt punct $X \in α$ , triunghiul $M O X$ este dreptunghic în $O$ , deci $M X$ este ipotenuză, iar $M O$ catetă: $M O \leq M X$ , cu egalitate doar când $X = O$ . Distanța la plan este mereu mai mică sau egală decât distanța la orice dreaptă din plan, iar $O$ (proiecția) este unic.
Fie $V A ⊥ α$ ( $A \in α$ , $V \in / α$ ) și, în planul $α$ , $A P ⊥ d$ , unde $d$ este o dreaptă din $α$ , iar $P \in d$ . Conform teoremei celor trei perpendiculare, ce se poate spune despre oblica $V P$ ?
- a) $V P ⊥ d$
- b) $V P ∥ d$
- c) $V P ⊥ α$
- d) $V P = A P$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $V P ⊥ d$

Teorema celor trei perpendiculare: dacă $V A$ este perpendiculară pe plan, iar $A P$ este perpendiculara din proiecția $A$ pe dreapta $d$ din plan, atunci oblica $V P$ este și ea perpendiculară pe $d$ : $V P ⊥ d$ . Varianta (b) e falsă (dacă $V P$ ar fi paralelă cu $d$ , nu ar mai fi perpendiculară pe ea), (c) e falsă pentru că perpendiculara pe plan este $V A$ , nu $V P$ (o dreaptă are o singură perpendiculară pe plan dintr-un punct), iar (d) e falsă deoarece în triunghiul dreptunghic $V A P$ ipotenuza $V P$ este strict mai mare decât cateta $A P$ : $V P = V A^{2} + A P^{2}$ .
Două plane paralele $α$ și $β$ sunt la distanța $7$ cm una de alta. Un segment $M N$ , cu $M \in α$ și $N \in β$ , NU este perpendicular pe cele două plane. Ce se poate spune despre lungimea lui $M N$ ?
- a) $M N = 7$ cm întotdeauna
- b) $M N > 7$ cm (valoarea $7$ cm se obține doar pentru segmentul perpendicular pe ambele plane)
- c) $M N < 7$ cm întotdeauna
- d) $M N = 14$ cm, adică dublul distanței dintre plane
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $M N > 7$ cm (valoarea $7$ cm se obține doar pentru segmentul perpendicular pe ambele plane)

Distanța dintre două plane paralele este lungimea segmentului perpendicular comun (aici $7$ cm) — aceasta este cea mai mică lungime posibilă a unui segment cu capetele în cele două plane. Fie $M^{'}$ proiecția lui $M$ pe $β$ : triunghiul $M M^{'} N$ este dreptunghic în $M^{'}$ , cu cateta $M M^{'} = 7$ cm și ipotenuza $M N$ , deci $M N > 7$ cm pentru orice segment neperpendicular. Nu există niciun motiv ca $M N$ să fie exact $14$ cm (d): oblica poate fi oricât de lungă.

Întrebări conexe

Prin ce diferă distanța până la o dreaptă de distanța până la un plan?

Prima se măsoară pe perpendiculara dusă în planul care conține punctul și dreapta, a doua pe perpendiculara dusă pe întreaga suprafață. Ambele sunt cele mai scurte drumuri posibile, dar a doua cere ca segmentul să fie perpendicular pe toate dreptele din plan care trec prin picior.

De ce distanța dintre două plane paralele este aceeași peste tot?

Pentru că planele nu se apropie și nu se depărtează niciunde, iar toate segmentele perpendiculare pe amândouă sunt egale între ele. Poți măsura în orice colț și obții același număr, exact cum grosimea unei cărămizi rămâne constantă.

Cum aflu distanța de la un vârf de sus la o diagonală a bazei într-un cub?

Cobori întâi perpendiculara din vârf pe planul bazei, apoi, în bază, perpendiculara pe diagonală. Teorema celor trei perpendiculare îți dă oblica cerută. La muchia de $12$ cm iese $1 2^{2} + (62)^{2} = 66$ cm.

Ce distanță reprezintă înălțimea unei piramide?

Este tocmai perpendiculara coborâtă din vârful piramidei până jos, iar lungimea ei arată cât de departe stă vârful de suprafața pe care se sprijină corpul. La piramida regulată piciorul acestei perpendiculare nimerește în centrul poligonului de jos. Nu o confunda cu apotema piramidei, care ajunge doar la mijlocul unei laturi.

De ce nu pot lua un segment oarecare drept distanță?

Fiindcă orice segment oblic este ipotenuză într-un triunghi dreptunghic în care perpendiculara joacă rol de catetă, deci iese mai lung decât ea. Distanța înseamnă cel mai scurt drum, iar acest drum există într-o singură variantă, cea perpendiculară.

Cum recunosc într-o problemă că mi se cere o distanță, nu o lungime oarecare?

După cuvintele de la, până la sau dintre, urmate de un punct, o dreaptă sau un plan. Enunțul nu îți spune pe ce segment să măsori, fiindcă alegerea este obligatorie: perpendiculara. Primul lucru pe care îl faci este să o construiești pe desen.

Oamenii mai întreabă și: distanța de la un punct la un plan · cum calculez distanța până la un plan · distanța dintre două plane paralele · distanța de la un punct la o dreaptă în spațiu · distanța punct plan