Distanțe în spațiu. Înălțimi în corpuri

Când un electrician vrea să tragă cel mai scurt cablu de la o priză din tavan până la un raft, când un arhitect calculează cât de înaltă este o mansardă sau când un montator verifică grosimea unui geam termopan, toți fac, fără să știe, aceeași operație matematică: măsoară o distanță în spațiu. Iar în geometrie „distanță" nu înseamnă niciodată „un drum oarecare", ci cel mai scurt drum, adică lungimea unei perpendiculare. În această lecție învățăm să calculăm cele trei distanțe fundamentale din spațiu — de la un punct la o dreaptă, de la un punct la un plan și dintre două plane paralele — și le folosim ca să aflăm înălțimi în corpurile geometrice. Vei vedea cum instrumentul cel mai puternic pe care îl avem la îndemână, teorema celor trei perpendiculare, transformă probleme care par complicate în triunghiuri dreptunghice simple.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi distanța de la un punct la o dreaptă în spațiu, ca lungime a perpendicularei.
• Vei ști să calculezi distanța de la un punct la un plan, folosind proiecția punctului pe plan.
• Vei ști să calculezi distanța dintre două plane paralele și de ce ea este constantă.
• Vei ști să folosești teorema celor trei perpendiculare pentru a determina distanțe pe care nu le „vezi" direct.
• Vei ști să modelezi o situație practică în limbaj geometric pentru a afla o înălțime într-un corp.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „distanță" în matematică

Ideea de bază o cunoști din geometria plană, dar merită repetată cu grijă, pentru că totul se sprijină pe ea.

Distanța dintre două figuri geometrice este lungimea celui mai scurt segment care le unește.

Cheia este cuvântul „cel mai scurt". Între un punct și o dreaptă poți duce o infinitate de segmente, dar unul singur are lungimea minimă: perpendiculara. De aceea, ori de câte ori auzi „distanță", trebuie să te gândești imediat la un unghi drept. Fără perpendicularitate, nu vorbim despre distanță, ci doar despre o lungime oarecare.

În spațiu avem trei situații noi față de plan, pe care le luăm pe rând.

1. Distanța de la un punct la o dreaptă

Fie un punct $M$ și o dreaptă $d$ în spațiu. Chiar dacă suntem în spațiu, definiția rămâne aceeași ca în plan.

Definiție. Distanța de la punctul $M$ la dreapta $d$ este lungimea segmentului $MP$, unde $P\in d$ și $MP\perp d$. Punctul $P$ se numește piciorul perpendicularei.

Ce e nou în spațiu? Punctul $M$ și dreapta $d$ determină un plan unic (o dreaptă și un punct exterior ei determină un plan — ai văzut la lecția Determinarea planului). În acel plan, problema devine identică cu cea din geometria plană: cobori perpendiculara din $M$ pe $d$. Distanța este bine definită și este întotdeauna unică.

Cum o calculăm practic. Aproape întotdeauna, $MP$ este cateta unui triunghi dreptunghic sau se obține scriind aria unui triunghi în două moduri. De multe ori, punctul $M$ este „sus" (deasupra unui plan), iar dreapta $d$ este „jos" (într-un plan) — și atunci intervine vedeta lecției: teorema celor trei perpendiculare.

Reamintește-ți enunțul: dacă $VA\perp \alpha$ (dreapta $VA$ e perpendiculară pe plan), iar în plan ducem $AP\perp d$, atunci și oblica $VP\perp d$. Consecința este spectaculoasă pentru distanțe:

Dacă $VA\perp \alpha$ și $A$ este proiecția lui $V$ pe plan, atunci distanța de la $V$ la o dreaptă $d$ din $\alpha$ se află astfel: cobori $AP\perp d$ în plan, iar apoi $VP=\sqrt{V{A}^2+A{P}^2}$, pentru că triunghiul $VAP$ este dreptunghic în $A$.

Cu alte cuvinte, distanța „de sus" ($VP$) se obține din distanța „de jos" ($AP$) și din înălțime ($VA$) printr-o simplă aplicare a teoremei lui Pitagora. Iată de ce T3P și distanțele merg mereu împreună.

2. Distanța de la un punct la un plan

Aceasta este, poate, cea mai importantă distanță din tot capitolul, pentru că din ea se nasc înălțimile corpurilor.

Definiție. Distanța de la punctul $M$ la planul $\alpha$ este lungimea segmentului $MO$, unde $O$ este proiecția lui $M$ pe planul $\alpha$, adică $MO\perp \alpha$.

Punctul $O$ este piciorul perpendicularei duse din $M$ pe plan; l-ai întâlnit la lecția Proiecții pe un plan. Segmentul $MO$ este mai scurt decât orice alt segment $MX$ dus din $M$ la un punct $X$ din plan. De ce? Pentru că triunghiul $MOX$ este dreptunghic în $O$, deci $MX$ este ipotenuză, iar $MO$ este catetă — și ipotenuza e mereu mai mare decât cateta. Așadar $MO\le MX$, cu egalitate doar când $X=O$.

Foarte important — nu confunda:

• distanța de la $M$ la o dreaptă din plan = lungimea perpendicularei pe dreaptă (rămâi „lipit" de o linie);
• distanța de la $M$ la plan = lungimea perpendicularei pe plan (te „desprinzi" de întreaga suprafață).

Perpendiculara pe plan este întotdeauna mai scurtă sau egală cu perpendiculara pe orice dreaptă din acel plan, pentru că ea este drumul cel mai direct dintre toate.

Legătura cu înălțimile corpurilor. Într-un corp geometric:

• înălțimea unei prisme sau a unui cilindru este distanța dintre planele celor două baze;
• înălțimea unei piramide sau a unui con este distanța de la vârf la planul bazei, adică segmentul $VO\perp (\text{baza})$, unde $O$ este proiecția vârfului pe bază.

Deci a calcula o înălțime înseamnă, de fapt, a calcula o distanță punct–plan. Iată puterea acestei noțiuni.

3. Distanța dintre două plane paralele

La lecția Plane paralele ai văzut că două plane care nu se intersectează sunt paralele. Cât de „departe" sunt unul de altul?

Definiție. Distanța dintre două plane paralele $\alpha$ și $\beta$ este lungimea unui segment $AB$ cu $A\in \alpha$, $B\in \beta$ și $AB\perp \alpha$ (deci și $AB\perp \beta$).

Un fapt esențial, care surprinde mulți elevi: această distanță este aceeași oriunde am măsura-o. Dacă alegem alt punct $A^{\prime }$ în $\alpha$ și ducem perpendiculara $A^{\prime }{B}^{\prime }$ pe $\beta$, atunci $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$. Segmentele $AB$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sunt paralele (ambele perpendiculare pe aceleași plane paralele) și egale — formează un dreptunghi $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. De aceea planele paralele se comportă ca două „foi" perfect echidistante: grosimea dintre ele este constantă.

O observație de aur pentru probleme: pentru a măsura distanța dintre două plane paralele, este suficient să găsești un singur segment perpendicular pe amândouă. Într-un cub sau paralelipiped, muchiile verticale sunt exact astfel de segmente între planele bazelor.

Metoda de lucru în orice problemă de distanțe

Ca să nu te pierzi, urmează mereu acești pași:

1. Identifică tipul de distanță: punct–dreaptă, punct–plan sau plan–plan?
2. Construiește perpendiculara potrivită și numește piciorul ei. Aici desenul corect e jumătate din rezolvare.
3. Caută un triunghi dreptunghic în care perpendiculara ta e o latură. Foarte des, T3P îți garantează unghiul drept.
4. Aplică teorema lui Pitagora (sau relații metrice / aria dublă) și calculează.
5. Scrie clar concluzia, cu unitatea de măsură, dacă problema e practică.

Hai să vedem metoda în acțiune.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Distanța de la vârful cubului la o diagonală a bazei (T3P)

Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $6$ cm. Calculează distanța de la $A^{\prime }$ la dreapta $BD$.

Rezolvare.

Dreapta $BD$ este o diagonală a pătratului de bază $ABCD$. Notăm cu $O$ centrul bazei, adică intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$.

Pasul 1 — perpendiculara „de jos". În pătratul $ABCD$, diagonalele sunt perpendiculare, deci $AO\perp BD$. Cum $O$ este mijlocul lui $BD$ și al lui $AC$, avem $$AO=\frac{AC}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{cm}.$$

Pasul 2 — T3P ridică perpendiculara „sus". Muchia $A^{\prime }A\perp (ABCD)$ (muchie verticală a cubului), iar $A$ este proiecția lui $A^{\prime }$ pe bază. Deoarece $AO\perp BD$, teorema celor trei perpendiculare ne dă $A^{\prime }O\perp BD$. Prin urmare, distanța de la $A^{\prime }$ la $BD$ este exact $A^{\prime }O$.

Pasul 3 — Pitagora în triunghiul $A^{\prime }AO$ (dreptunghic în $A$): $$A^{\prime }O=\sqrt{A^{\prime }{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{6^2+(3\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{36+18}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}\text{cm}.$$

Distanța cerută este $3\sqrt{6}$ cm ($\approx 7,35$ cm).

Exemplul 2 — Distanța de la un vârf la un plan diagonal al cubului

În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $8$ cm, calculează distanța de la $A$ la planul $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.

Rezolvare.

Planul $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ este planul diagonal care conține diagonala $BD$ a bazei și este „vertical" (conține muchiile $B{B}^{\prime }$ și $D{D}^{\prime }$).

Pasul 1 — găsim proiecția lui $A$ pe acest plan. Fie $O$ centrul bazei. Am arătat că $AO\perp BD$. În plus, $AO$ este orizontal (e în planul bazei), iar $B{B}^{\prime }$ este vertical, deci $AO\perp B{B}^{\prime }$. Cum $AO$ este perpendicular pe două drepte concurente din planul $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ (pe $BD$ și pe $B{B}^{\prime }$), rezultă $AO\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.

Pasul 2 — distanța. Așadar $O$ este proiecția lui $A$ pe plan, iar distanța cerută este $$AO=\frac{AC}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\text{cm}\approx 5,66\text{cm}.$$

Distanța de la $A$ la planul $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ este $4\sqrt{2}$ cm.

Exemplul 3 — Distanța dintre două plane paralele într-un paralelipiped

Se dă paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8$ cm, $AD=6$ cm și $A{A}^{\prime }=5$ cm. a) Calculează distanța dintre planele bazelor $(ABC)$ și $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. b) Calculează distanța dintre planele $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Rezolvare.

a) Planele bazelor sunt paralele. Muchia $A{A}^{\prime }$ este perpendiculară pe ambele baze (proprietate a paralelipipedului dreptunghic). Deci distanța dintre baze este chiar lungimea acestei muchii: $$d((ABC),(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }))=A{A}^{\prime }=5\text{cm}.$$

Aceasta este, de fapt, înălțimea corpului.

b) Fețele $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ sunt două fețe opuse, paralele. Un segment perpendicular pe amândouă este muchia $AD$ (perpendiculară pe fața $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$). Deci $$d((AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }),(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }))=AD=6\text{cm}.$$

Distanțele sunt $5$ cm, respectiv $6$ cm. Observă cât de simplu devine totul când găsești muchia perpendiculară pe ambele plane.

Exemplul 4 — Distanța de la vârful piramidei la o muchie a bazei

O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are baza un pătrat cu latura de $10$ cm și înălțimea $VO=12$ cm ($O$ = centrul bazei). a) Cât este distanța de la $V$ la planul bazei? b) Cât este distanța de la $V$ la muchia $BC$?

Rezolvare.

a) Prin definiția înălțimii unei piramide, distanța de la vârf la planul bazei este chiar $VO=12$ cm.

b) Fie $M$ mijlocul muchiei $BC$. Segmentul $VM$ se numește apotema piramidei.

Pasul 1 — perpendiculara „de jos". $O$ este centrul pătratului, iar $OM$ unește centrul cu mijlocul unei laturi, deci $OM\perp BC$ și $$OM=\frac{\text{latura}}{2}=\frac{10}{2}=5\text{cm}.$$

Pasul 2 — T3P. $VO\perp (ABC)$, iar $O$ este proiecția lui $V$; cum $OM\perp BC$, teorema celor trei perpendiculare dă $VM\perp BC$. Deci distanța de la $V$ la $BC$ este $VM$.

Pasul 3 — Pitagora în triunghiul $VOM$ (dreptunghic în $O$): $$VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{cm}.$$

Distanța de la $V$ la planul bazei este $12$ cm, iar la muchia $BC$ este $13$ cm. Compară cele două: distanța la plan ($12$) este mai mică decât distanța la o dreaptă din plan ($13$) — exact cum ne așteptam.

Exemplul 5 — Modelare practică: lampa din tavan

Într-o sală de clasă, tavanul este paralel cu podeaua, iar înălțimea camerei este de $3$ m. O lampă este fixată în tavan, într-un punct $L$. Un elev stă pe podea în punctul $E$, la $4$ m (măsurați pe podea) de punctul $P$ situat exact sub lampă. Cât de departe este lampa de capul elevului dacă vârful capului este la $1,5$ m de podea?

Rezolvare (modelare geometrică).

Modelăm situația: podeaua și tavanul sunt două plane paralele la distanța de $3$ m. Lampa $L$ se proiectează pe podea în $P$ (deci $LP\perp$ podea, $LP=3$ m). Capul elevului este un punct $C$ aflat la $1,5$ m deasupra podelei, pe verticala punctului $E$.

Înălțimea lămpii față de capul elevului: diferența pe verticală este $3-1,5=1,5$ m.

Deplasarea pe orizontală între capul elevului și verticala lămpii este $EP=4$ m.

Distanța reală $LC$ este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $1,5$ m (pe verticală) și $4$ m (pe orizontală): $$LC=\sqrt{1,5^2+4^2}=\sqrt{2,25+16}=\sqrt{18,25}\approx 4,27\text{m}.$$

Lampa este la aproximativ $4,27$ m de capul elevului. Observă cum o situație din viața reală s-a transformat, prin modelare, într-un triunghi dreptunghic.

Exemplul 6 — Distanța de la un punct la o dreaptă, cunoscând proiecția

Punctul $P$ nu se află în planul $\alpha$; $PA\perp \alpha$, cu $PA=9$ cm și $A\in \alpha$. În planul $\alpha$ există o dreaptă $d$, iar distanța de la $A$ la $d$ este $12$ cm. Cât este distanța de la $P$ la $d$?

Rezolvare.

Fie $B$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $d$, deci $AB\perp d$ și $AB=12$ cm.

Prin T3P, deoarece $PA\perp \alpha$ și $AB\perp d$, oblica $PB\perp d$. Așadar distanța de la $P$ la $d$ este $PB$.

În triunghiul $PAB$, dreptunghic în $A$: $$PB=\sqrt{P{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\text{cm}.$$

Distanța de la $P$ la $d$ este $15$ cm.

Să exersăm

Un elev cu creion și riglă în fața unui caiet pe care e desenat un cub cu o diagonală evidențiată; alături, o listă numerotată de exerciții.

1. Adevărat sau fals, cu justificare: „Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea oricărui segment dus din punct până la dreaptă."

2. Completează: Distanța de la un punct $M$ la un plan $\alpha$ este lungimea segmentului $M\_$, unde punctul respectiv este ______ lui $M$ pe planul $\alpha$.

3. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $10$ cm, cât este distanța de la $A$ la planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$?

4. Un paralelipiped dreptunghic are $A{A}^{\prime }=7$ cm. Cât este distanța dintre planele bazelor $(ABC)$ și $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$?

5. În același paralelipiped, $AD=9$ cm. Cât este distanța dintre fețele paralele $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$?

6. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $4$ cm, calculează distanța de la $A^{\prime }$ la diagonala $BD$ a bazei.

7. Triunghiul echilateral $ABC$ are latura de $12$ cm și este situat în planul $\alpha$. În vârful $A$ se ridică $VA\perp \alpha$, cu $VA=6$ cm. Calculează distanța de la $V$ la dreapta $BC$.

8. O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei de $10$ cm și înălțimea de $12$ cm. Calculează distanța de la vârful $V$ la o muchie a bazei (apotema piramidei).

9. Pentru piramida de la exercițiul 8, cât este distanța de la vârful $V$ la planul bazei? Compară acest rezultat cu cel de la exercițiul 8 și explică în cuvinte de ce unul este mai mic.

10. Punctul $P$ verifică $PA\perp \alpha$, $PA=8$ cm, $A\in \alpha$. Distanța de la $A$ la o dreaptă $d\subset \alpha$ este de $6$ cm. Cât este distanța de la $P$ la $d$?

11. Justifică, folosind teorema celor trei perpendiculare, de ce apotema $VM$ a unei piramide regulate este perpendiculară pe muchia bazei $BC$ (unde $M$ este mijlocul lui $BC$, iar $VO$ este înălțimea piramidei).

12. Camera unui apartament are podeaua paralelă cu tavanul, la distanța de $2,7$ m. Un cârlig fixat în tavan și un cui fixat în podea sunt exact unul sub celălalt. Cât este cel mai scurt fir care i-ar uni? Ce tip de distanță ai calculat?

13. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $8$ cm, calculează distanța de la $A$ la planul diagonal $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.

14. În dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=6$ cm și $AD=8$ cm, calculează distanța de la vârful $A$ la diagonala $BD$. (Indicație: aria triunghiului $ABD$ scrisă în două moduri.)

15. Item tip Evaluarea Națională. Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei $AB=16$ cm și înălțimea $VO=6$ cm. a) Calculează distanța de la centrul bazei $O$ la muchia $BC$. b) Calculează distanța de la vârful $V$ la muchia $BC$ (apotema piramidei). c) Precizează distanța de la $V$ la planul bazei.

16. Adevărat sau fals, cu justificare: „Distanța dintre două plane paralele are aceeași valoare, indiferent de locul unde ridicăm perpendiculara între ele."

17. Un stâlp vertical $VA$ de $15$ m înălțime este fixat pe un teren orizontal (planul $\alpha$), $A$ fiind baza stâlpului. La $8$ m de baza stâlpului, pe teren, trece o alee dreaptă $d$ (adică distanța de la $A$ la $d$ este $8$ m). Ce lungime are cel mai scurt cablu întins din vârful $V$ până la alee?

18. Item tip Evaluarea Națională. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $6$ cm, fie $O$ centrul bazei $ABCD$. a) Arată că $AO\perp BD$ și calculează $AO$. b) Folosind teorema celor trei perpendiculare, arată că $A^{\prime }O\perp BD$. c) Calculează distanța de la $A^{\prime }$ la dreapta $BD$.

Răspunsuri și explicații

1. Fals. Distanța este lungimea perpendicularei, adică a celui mai scurt segment, nu a unuia oarecare. Orice alt segment dus din punct la dreaptă este mai lung (este o oblică, deci ipotenuza unui triunghi dreptunghic a cărui catetă este perpendiculara).

2. Distanța este lungimea segmentului $MO$, unde $O$ este proiecția lui $M$ pe planul $\alpha$ (piciorul perpendicularei duse din $M$ pe plan).

3. Distanța de la $A$ la fața de sus $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ este muchia verticală $A{A}^{\prime }=10$ cm (planele bazelor sunt paralele, iar $A{A}^{\prime }$ e perpendiculară pe ele).

4. $A{A}^{\prime }=7$ cm. Muchia verticală este perpendiculară pe ambele baze, deci distanța dintre baze este $7$ cm.

5. $AD=9$ cm. Muchia $AD$ este perpendiculară pe fețele opuse $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, deci distanța dintre ele este $9$ cm.

6. $O$ = centrul bazei; $AO\perp BD$ și $AO=\frac{AC}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$ cm. Prin T3P, $A^{\prime }O\perp BD$, deci distanța este $$A^{\prime }O=\sqrt{A^{\prime }{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{4^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{16+8}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\text{cm}\approx 4,90\text{cm}.$$

7. Fie $M$ mijlocul lui $BC$. În triunghiul echilateral, $AM$ este și mediană, și înălțime, deci $AM\perp BC$ și $$AM=\frac{\text{latura}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{cm}.$$ Prin T3P ($VA\perp \alpha$, $AM\perp BC$), rezultă $VM\perp BC$. Atunci $$VM=\sqrt{V{A}^2+A{M}^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12\text{cm}.$$ Distanța de la $V$ la $BC$ este $12$ cm.

8. $M$ = mijlocul unei muchii a bazei; $OM=\frac{10}{2}=5$ cm și $OM\perp BC$. Prin T3P, $VM\perp BC$, deci apotema $$VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{cm}.$$

9. Distanța de la $V$ la planul bazei este chiar înălțimea $VO=12$ cm. Este mai mică decât distanța la muchia $BC$ ($13$ cm), pentru că perpendiculara pe întregul plan este cel mai scurt drum posibil, mai scurt decât perpendiculara pe orice dreaptă din plan. (Într-adevăr, $VO$ este catetă în triunghiul dreptunghic $VOM$, iar $VM$ este ipotenuză.)

10. Fie $B$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $d$: $AB=6$ cm. Prin T3P, $PB\perp d$, deci $$PB=\sqrt{P{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$$

11. $VO$ este înălțimea piramidei, deci $VO\perp (\text{baza})$; $O$ este proiecția vârfului $V$ pe planul bazei. Într-o piramidă regulată, $O$ este centrul poligonului de bază, iar segmentul $OM$ care unește centrul cu mijlocul $M$ al muchiei $BC$ este perpendicular pe acea muchie: $OM\perp BC$. Aplicând teorema celor trei perpendiculare pentru $VO\perp (\text{baza})$ și $OM\perp BC$, obținem că oblica $VM\perp BC$. Deci apotema este perpendiculară pe muchia bazei.

12. Firul cel mai scurt este perpendicular pe ambele plane (tavan și podea), deci are lungimea egală cu distanța dintre plane: $2,7$ m. Am calculat o distanță dintre două plane paralele.

13. $O$ = centrul bazei. $AO\perp BD$ (diagonalele pătratului) și $AO\perp B{B}^{\prime }$ (căci $AO$ e orizontal, $B{B}^{\prime }$ vertical). Cum $AO$ e perpendicular pe două drepte concurente din planul $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, avem $AO\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$. Distanța este $$AO=\frac{AC}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\text{cm}\approx 5,66\text{cm}.$$

14. $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ cm. Aria triunghiului dreptunghic $ABD$ (dreptunghic în $A$) este $\frac{AB\cdot AD}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24$ cm². Aceeași arie, luând ca bază ipotenuza $BD$ și înălțimea $AN$ (distanța de la $A$ la $BD$): $\frac{BD\cdot AN}{2}=24\Rightarrow \frac{10\cdot AN}{2}=24\Rightarrow AN=\frac{48}{10}=4,8$ cm.

15. a) $O$ = centrul pătratului; $OM\perp BC$ și $OM=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8$ cm. b) Prin T3P, $VM\perp BC$, deci apotema $$VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$$ c) Distanța de la $V$ la planul bazei este înălțimea $VO=6$ cm.

16. Adevărat. Două segmente perpendiculare între aceleași plane paralele sunt paralele între ele (perpendiculare pe aceleași plane) și determină un dreptunghi, deci sunt egale. Prin urmare distanța dintre plane este constantă, indiferent de locul măsurării.

17. Distanța de la $A$ (baza stâlpului) la aleea $d$ este $8$ m; fie $B$ piciorul perpendicularei, $AB=8$ m, $AB\perp d$. Prin T3P ($VA\perp \alpha$, $AB\perp d$), $VB\perp d$, deci cablul cel mai scurt are lungimea $$VB=\sqrt{V{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\text{m}.$$

18. a) În pătratul $ABCD$, diagonalele $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare și se înjumătățesc în $O$, deci $AO\perp BD$ și $AO=\frac{AC}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ cm. b) $A^{\prime }A\perp (ABCD)$ (muchie verticală a cubului), $A$ = proiecția lui $A^{\prime }$; cum $AO\perp BD$, prin teorema celor trei perpendiculare $A^{\prime }O\perp BD$. c) Distanța de la $A^{\prime }$ la $BD$ este $$A^{\prime }O=\sqrt{A^{\prime }{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{6^2+(3\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{36+18}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}\text{cm}\approx 7,35\text{cm}.$$

De reținut

• Distanța = lungimea perpendicularei. Fără unghi drept nu vorbim despre distanță, ci despre o lungime oarecare.
• Punct–dreaptă: distanța de la $M$ la $d$ este $MP$, cu $MP\perp d$. Când $M$ e „sus", folosește T3P: $MP=\sqrt{M{A}^2+A{P}^2}$, unde $A$ e proiecția lui $M$ și $AP\perp d$ în plan.
• Punct–plan: distanța de la $M$ la $\alpha$ este $MO$, cu $O$ proiecția lui $M$ pe plan ($MO\perp \alpha$). Este mai mică sau egală cu distanța de la $M$ la orice dreaptă din plan.
• Plan–plan paralele: distanța este lungimea oricărui segment perpendicular pe ambele plane; ea este constantă.
• Înălțimi în corpuri: înălțimea prismei/cilindrului = distanța dintre baze; înălțimea piramidei/conului = distanța de la vârf la planul bazei ($VO$).
• Unealta principală: teorema celor trei perpendiculare transformă orice distanță „de sus" într-un triunghi dreptunghic rezolvabil cu Pitagora.

Greșeli frecvente

• Confuzia distanță punct–dreaptă cu distanță punct–plan. Prima e perpendiculara pe o linie, a doua pe o suprafață întreagă. La plan, distanța e mereu mai mică sau egală. Întreabă-te mereu: „pe ce cobor perpendiculara — pe o dreaptă sau pe un plan?"
• Măsurarea distanței pe o oblică. Elevii aleg uneori un segment care „arată" scurt în desen, dar nu formează unghi drept. Verifică întotdeauna că segmentul ales este perpendicular și, ideal, justifică unghiul drept cu T3P.
• Uitarea justificării perpendicularității cu T3P. La Evaluarea Națională, dacă folosești $VM\perp BC$ fără să spui de ce, pierzi puncte. Scrie explicit: „$VO\perp$ bază, $OM\perp BC$, deci prin T3P $VM\perp BC$."
• Amestecarea înălțimii piramidei cu apotema. Înălțimea $VO$ merge de la vârf la centrul bazei (perpendiculară pe plan); apotema $VM$ merge de la vârf la mijlocul unei muchii. Sunt două segmente diferite, cu lungimi diferite ($VM>VO$).

Aplică acasă

1. Grosimea unui geam sau a unei mese. Alege un obiect cu două fețe plate paralele (un geam termopan, o masă, o carte groasă). Măsoară cu rigla, perpendicular pe fețe, distanța dintre ele. Ai măsurat exact distanța dintre două plane paralele. Verifică în două-trei locuri diferite că iese aceeași valoare — asta confirmă că distanța e constantă.

2. Umbra și stâlpul. Ieși în curte când soarele e sus. Alege un stâlp sau un pom vertical și o linie dreaptă marcată pe sol (marginea unei alei). Măsoară pe sol distanța de la baza stâlpului la alee, apoi estimează înălțimea stâlpului. Folosind teorema lui Pitagora ca în exercițiul 17, calculează ce lungime ar avea cel mai scurt cablu întins din vârf până la alee.

3. Înălțimea unei piramide de hârtie. Construiește din carton o piramidă patrulateră regulată (bază pătrat). Măsoară latura bazei și apotema (de la vârf la mijlocul unei muchii). Din formula $VO=\sqrt{V{M}^2-O{M}^2}$, unde $OM$ e jumătate din latură, calculează înălțimea reală a piramidei tale, apoi verific-o măsurând cu rigla pe verticală.

Pentru părinți și profesori

Această lecție încheie firul logic „proiecții → unghiuri → distanțe" din geometria în spațiu și este una dintre cele mai productive pentru Evaluarea Națională: aproape orice problemă de geometrie în spațiu din subiectul II sau III cere, la un moment dat, o distanță (înălțimea unui corp, distanța de la un vârf la o muchie sau la un plan diagonal).

Cum sprijiniți elevul. Cel mai important obicei de format este desenul îngrijit: o figură corectă, cu perpendicularele marcate și triunghiul dreptunghic evidențiat, rezolvă jumătate din problemă. Încurajați-l să coloreze sau să îngroașe segmentul care reprezintă distanța și să scrie mereu de ce un anumit unghi este drept.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Ce înseamnă, exact, distanța de la un punct la un plan?" (răspuns așteptat: lungimea perpendicularei pe plan, adică segmentul până la proiecție).
• „De ce este apotema piramidei mai lungă decât înălțimea ei?" (pentru că înălțimea e catetă, iar apotema e ipotenuză în același triunghi dreptunghic).
• „Cum justifici că $VM\perp BC$?" (cu teorema celor trei perpendiculare).
• „Distanța dintre două plane paralele se schimbă dacă o măsor în alt punct?" (nu, este constantă).

Dacă elevul poate explica cu cuvinte de ce distanța este mereu o perpendiculară și poate desena corect configurația T3P, a înțeles esența. La examen, punctajul se dă pe pași justificați, nu doar pe rezultatul final, așa că insistați pe redactarea completă: ipoteză, justificarea perpendicularității, aplicarea lui Pitagora, concluzie cu unitate de măsură.

Întrebări frecvente

Cum calculez distanța de la un punct la un plan la clasa a 8-a? Cobori din punct perpendiculara pe plan; piciorul ei este proiecția punctului. Lungimea acestei perpendiculare este distanța. În practică, o afli aproape întotdeauna ca latură a unui triunghi dreptunghic, folosind teorema lui Pitagora.

Care este diferența dintre distanța de la un punct la o dreaptă și distanța de la un punct la un plan? La dreaptă cobori perpendiculara pe o linie; la plan cobori perpendiculara pe o întreagă suprafață. Distanța până la plan este mereu mai mică sau egală cu distanța până la orice dreaptă din acel plan, pentru că e drumul cel mai scurt dintre toate.

De ce este constantă distanța dintre două plane paralele? Pentru că oricare două segmente perpendiculare între aceleași plane paralele sunt paralele și egale — ele formează laturile unui dreptunghi. Așadar, oriunde ai măsura, obții aceeași valoare.

Ce legătură are teorema celor trei perpendiculare cu distanțele? Teorema celor trei perpendiculare îți garantează că oblica din vârf este perpendiculară pe o dreaptă din plan, atunci când proiecția ei este perpendiculară pe acea dreaptă. Astfel poți fi sigur că segmentul pe care îl calculezi este chiar distanța (o perpendiculară adevărată), nu o oblică oarecare.

Ce este apotema unei piramide și cu ce diferă de înălțime? Apotema este distanța de la vârful piramidei la mijlocul unei muchii a bazei ($VM$). Înălțimea este distanța de la vârf la centrul bazei ($VO$), perpendiculară pe planul bazei. Apotema este mereu mai lungă decât înălțimea, fiind ipotenuză în triunghiul dreptunghic $VOM$.

Cum aflu înălțimea unei prisme sau a unui cub? Înălțimea prismei drepte (și a cubului sau paralelipipedului) este distanța dintre planele celor două baze, adică lungimea unei muchii laterale, care este perpendiculară pe baze. La cub, este chiar lungimea muchiei.

De ce distanța este mereu o perpendiculară și nu un segment oarecare? Pentru că orice segment oblic dus dintr-un punct spre o dreaptă sau un plan este ipotenuza unui triunghi dreptunghic în care perpendiculara este o catetă. Cum ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât cateta, perpendiculara dă drumul cel mai scurt — adică distanța.

Ce tipuri de itemi cu distanțe apar la Evaluarea Națională? Cel mai frecvent: distanța de la un vârf la o muchie a bazei (apotema), distanța de la un vârf la un plan diagonal al cubului sau paralelipipedului, înălțimea unui corp și distanța de la un punct la o dreaptă folosind T3P. Toate se reduc la un triunghi dreptunghic rezolvat cu teorema lui Pitagora, cu justificarea perpendicularității.