Cum aflu domeniul unei funcții cu radical?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Domeniul funcției cu radical

Pui condiția ca expresia de sub radicalul de ordin par să nu coboare sub zero, apoi rezolvi inecuația obținută. Capătul se include, fiindcă radicalul din zero există. Pentru $3 x - 12$ ceri $3 x - 12 \geq 0$ , deci domeniul este $[4, \infty)$ . Când apar mai multe condiții, domeniul este intersecția lor, nu reuniunea.

Domeniul maxim de definiție al unei funcții date printr-o formulă este mulțimea tuturor numerelor reale $x$ pentru care formula are sens și produce un număr real. Pentru radicalul de ordinul al doilea, regula este simplă: $E (x)$ are sens dacă și numai dacă $E (x) \geq 0$ . Semnul „mai mare sau egal" contează enorm — $0 = 0$ există, deci acel capăt de interval rămâne în domeniu.

La $f (x) = a x + b$ , rezolvi inecuația de gradul întâi: dacă $a > 0$ , obții $x \geq - \frac{b}{a}$ (semidreaptă spre dreapta); dacă $a < 0$ , împărțirea schimbă sensul și obții $x \leq - \frac{b}{a}$ (semidreaptă spre stânga).

Dacă radicalul stă la numitor, condiția devine strictă ( $E (x) > 0$ ), pentru că numitorul trebuie să fie și nenul. Când formula are mai mulți radicali sau un radical și un numitor, fiecare impune propria condiție, iar domeniul este intersecția tuturor condițiilor — nu reuniunea.

Când sub radical stă un trinom de gradul al doilea, condiția $a x^{2} + b x + c \geq 0$ se rezolvă cu tabelul de semn: trinomul păstrează semnul lui $a$ în afara rădăcinilor și semn contrar între ele. Dacă $Δ < 0$ și $a > 0$ , condiția e îndeplinită pentru orice $x$ , deci $D = R$ .

De reținut

radical de ordin par: expresia de sub el $\geq 0$
radical la numitor: condiție strictă, expresia $> 0$
mai multe condiții se intersectează, nu se reunesc

Greșeala tipică

Se scrie condiție strictă la un radical obișnuit și capătul intervalului se pierde, deși radicalul din zero există; condiția strictă apare doar când radicalul stă la numitor.

Exerciții din această mini-lecție

Determinați domeniul de definiție al funcției $f (x) = 3 x - 12$ .
- a) $[4, \infty)$
- b) $(4, \infty)$
- c) $(- \infty, 4]$
- d) $[- 4, \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[4, \infty)$

Condiția este $3 x - 12 \geq 0$ , adică $3 x \geq 12$ , deci $x \geq 4$ (împărțim la $3 > 0$ , sensul se păstrează). Capătul $4$ se include, pentru că $0 = 0$ există. Domeniul este $D = [4, \infty)$ .
Determinați domeniul de definiție al funcției $f (x) = \frac{1}{2 x - 8}$ .
- a) $[4, \infty)$
- b) $(4, \infty)$
- c) $(- \infty, 4)$
- d) $R ∖ {4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(4, \infty)$

Radicalul stă la numitor, deci condiția este strictă: $2 x - 8 > 0$ , adică $x > 4$ . Domeniul este $D = (4, \infty)$ , cu capătul $4$ exclus, pentru că acolo numitorul ar fi $0 = 0$ .
Determinați domeniul de definiție al funcției $f (x) = x - 4 + 12 - x$ .
- a) $[4, 12]$
- b) $(4, 12)$
- c) $[4, \infty)$
- d) $\emptyset$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[4, 12]$

Primul radical cere $x - 4 \geq 0$ , adică $x \geq 4$ ; al doilea cere $12 - x \geq 0$ , adică $x \leq 12$ . Intersecția celor două condiții este segmentul $D = [4, 12]$ .

Întrebări conexe

Ce domeniu are funcția radical din 2x minus 6?

Condiția este ca expresia de sub radical să nu fie negativă: $2 x - 6 \geq 0$ , deci $x \geq 3$ . Domeniul este $[3, \infty)$ , cu capătul inclus, fiindcă acolo radicalul dă zero. Împărțirea la un număr pozitiv nu schimbă sensul inegalității.

Ce condiție pun când radicalul se află la numitor?

Ceri ca expresia de sub radical să fie strict pozitivă, nu doar nenegativă. Radicalul trebuie să existe și, în plus, numitorul nu are voie să se anuleze. Pentru $\frac{1}{2 x - 8}$ obții $x > 4$ , deci capătul se exclude.

Trebuie condiții la radicalul de ordin impar?

Nu. Ridicarea la o putere impară păstrează semnul, deci orice număr real are un radical de ordinul trei. Formulele cu asemenea radicali au sens pe toată axa, iar restricțiile apar doar din alte părți ale expresiei, cum ar fi un numitor.

Cum scriu domeniul sub formă de interval?

Traduci inecuația în interval: pentru $x \geq 4$ scrii $[4, \infty)$ , iar pentru $x > 4$ scrii $(4, \infty)$ . Paranteza dreaptă arată capăt inclus, cea rotundă capăt exclus, iar la infinit se pune întotdeauna paranteză rotundă. Mai multe bucăți se leagă cu semnul de reuniune.

De ce scriu domeniul înainte de a rezolva ecuația?

Pentru că rezultatele din afara domeniului nu au sens, oricât de corect ar fi calculul care le-a produs. Dacă simplifici sau ridici la pătrat mai întâi, restricțiile dispar din scriere, dar rămân valabile. Domeniul stabilit la început filtrează soluțiile la final.

Ce înseamnă domeniul maxim de definiție?

Este cea mai mare mulțime de numere pentru care formula dă un rezultat real. Se obține punând toate condițiile cerute de expresie: radicali de ordin par nenegativi, numitori nenuli. Dacă enunțul precizează alt domeniu, el are prioritate față de cel maxim.

Oamenii mai întreabă și: domeniul de definiție cu radical · condiția de existență a radicalului · cum aflu domeniul lui radical din x · domeniul maxim al unei funcții cu radical