Domeniul de definiție al unei funcții cu radical

Scrii într-un program de calcul tabelar formula =RADICAL(2*A1-6) și tragi de colț ca să o aplici pe o coloană întreagă de valori. Rezultatul te surprinde: pentru unele numere apare o cifră cuminte, iar pentru altele apare, cu roșu, mesajul #NUM!. Calculatorul nu s-a stricat. El îți spune, în limbajul lui, exact ceea ce spune și matematica: expresia nu are sens pentru orice intrare. Există numere pe care formula le acceptă și numere pe care le refuză.

Mulțimea intrărilor acceptate poartă un nume pe care îl cunoști deja din lecția despre noțiunea de funcție: domeniul de definiție. Când o funcție ți se dă doar printr-o formulă, fără să se precizeze pe ce mulțime lucrează, prima ta sarcină — înainte de orice grafic, orice tabel de valori, orice ecuație — este să găsești acest domeniu. La funcțiile cu radical de ordinul al doilea, sarcina se reduce la o singură regulă, pe care o vei aplica în această lecție de zeci de ori până devine reflex.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți condiția de existență a radicalului de ordinul al doilea și să explici de ce nu se poate altfel.
• Vei ști să determini domeniul maxim al funcțiilor de forma $f(x)=\sqrt{ax+b}$, pentru $a$ pozitiv sau negativ.
• Vei ști să tratezi radicalul la numitor, unde condiția devine strictă.
• Vei ști să intersectezi mai multe condiții pe axa numerelor și să scrii rezultatul ca interval sau reuniune de intervale.
• Vei ști să afli domeniul când sub radical stă o expresie de gradul al doilea, folosind tabelul de semn.
• Vei ști să deosebești domeniul matematic de domeniul impus de contextul practic al unei probleme.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „domeniul maxim de definiție"

Când primești o funcție scrisă complet, de exemplu $f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, domeniul îți este dat: e mulțimea $[0,\infty )$ scrisă în stânga săgeții. Dar la foarte multe exerciții — și la aproape toate subiectele de examen — ți se dă numai formula. Convenția, în acest caz, este următoarea:

Domeniul maxim de definiție al unei funcții date printr-o formulă este mulțimea tuturor numerelor reale $x$ pentru care expresia din formulă are sens și produce un număr real.

Cu alte cuvinte: iei formula, o citești bucată cu bucată și te întrebi de fiecare dată „ce ar putea strica aici?". În clasa a IX-a, doar două lucruri strică o expresie algebrică:

• împărțirea la zero — orice numitor trebuie să fie diferit de zero;
• radicalul de ordin par dintr-un număr negativ — expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă.

Toate celelalte operații (adunare, scădere, înmulțire, ridicare la putere) merg oricând, pentru orice număr real. Prin urmare, căutarea domeniului se reduce la a face lista tuturor radicalilor și a tuturor numitorilor din formulă.

2. Regula de aur a radicalului de ordinul al doilea

În lecția despre funcția radical de ordin 2 ai văzut de ce $\sqrt{-9}$ nu există printre numerele reale: a extrage radicalul înseamnă a căuta un număr al cărui pătrat să fie $-9$, iar orice pătrat de număr real este mai mare sau egal cu zero. Aceeași explicație, transformată în instrument de lucru, arată așa:

Condiția de existență. Pentru orice expresie $E(x)$, radicalul $\sqrt{E(x)}$ are sens în mulțimea numerelor reale dacă și numai dacă $E(x)\ge 0$.

Reține cu grijă semnul „mai mare sau egal": valoarea zero este permisă, pentru că $\sqrt{0}=0$ este un număr real perfect respectabil. Aceasta este cea mai frecventă sursă de greșeli: elevii scriu din reflex $E(x)>0$ și pierd un capăt de interval.

Așadar, determinarea domeniului unei funcții cu radical înseamnă rezolvarea unei inecuații. Nu a unei ecuații — nu cauți valorile care anulează expresia, ci pe toate cele care o fac nenegativă.

3. Radical dintr-o expresie de gradul întâi

Cel mai des vei întâlni forma $f(x)=\sqrt{ax+b}$, cu $a\ne 0$. Condiția $ax+b\ge 0$ este o inecuație de gradul întâi, pe care o rezolvi exact ca în lecția despre semnul funcției afine.

Cazul $a>0$. Din $ax+b\ge 0$ obținem $ax\ge -b$, iar împărțirea la un număr pozitiv păstrează sensul inegalității: $x\ge -\frac{b}{a}$. Domeniul este $\left[-\frac{b}{a},\infty \right)$ — o semidreaptă spre dreapta.

Cazul $a<0$. Din $ax\ge -b$, împărțirea la un număr negativ schimbă sensul: $x\le -\frac{b}{a}$. Domeniul este $\left(-\infty ,-\frac{b}{a}\right]$ — o semidreaptă spre stânga.

Exemplu. Pentru $f(x)=\sqrt{2x-6}$: din $2x-6\ge 0$ rezultă $2x\ge 6$, deci $x\ge 3$ și $D=[3,\infty )$. Verificăm două valori: $f(3)=\sqrt{0}=0$ (există, deci capătul se include), iar pentru $x=2$ am avea $\sqrt{-2}$, care nu există. Exact ce spunea calculatorul tabelar din deschidere.

Exemplu. Pentru $g(x)=\sqrt{5-3x}$: din $5-3x\ge 0$ rezultă $-3x\ge -5$, iar prin împărțire la $-3$ (cu schimbarea sensului) $x\le \frac{5}{3}$. Deci $D=\left(-\infty ,\frac{5}{3}\right]$.

Observă structura: coeficientul lui $x$ decide încotro se deschide semidreapta, iar rădăcina expresiei de sub radical decide unde începe.

4. Radicalul la numitor: condiția devine strictă

Ce se întâmplă dacă radicalul stă la numitorul unei fracții, ca în $f(x)=\frac{1}{\sqrt{3x-12}}$? Aici se suprapun două cerințe:

• radicalul trebuie să existe: $3x-12\ge 0$;
• numitorul trebuie să fie nenul: $\sqrt{3x-12}\ne 0$, adică $3x-12\ne 0$.

Cele două condiții împreună înseamnă, pur și simplu, $3x-12>0$, deci $x>4$ și $D=(4,\infty )$. Capătul $4$ iese din domeniu, iar intervalul devine deschis.

Reține scurtătura: radical sub linia de fracție (adică la numitor) $\Rightarrow$ condiție strictă, cu $>$. Radical oriunde altundeva $\Rightarrow$ condiție cu $\ge$.

5. Mai multe condiții: intersecția lor

Când formula conține doi radicali, sau un radical și un numitor, fiecare își impune propria condiție, iar domeniul este mulțimea numerelor care le respectă pe toate simultan — deci intersecția condițiilor. Cuvântul-cheie este „și", exact conjuncția logică studiată la începutul anului.

Instrumentul practic este axa numerelor: desenezi o axă, marchezi pe ea prima condiție, dedesubt a doua, iar domeniul este porțiunea acoperită de ambele.

Exemplu. $f(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{8-x}$.

• Primul radical cere $x-2\ge 0$, adică $x\ge 2$.
• Al doilea cere $8-x\ge 0$, adică $x\le 8$.

Intersecția celor două semidrepte este segmentul $D=[2,8]$. Verificare rapidă: $f(2)=0+\sqrt{6}$ există, $f(8)=\sqrt{6}+0$ există, iar $f(9)$ ar cere $\sqrt{-1}$ — nu există. ✓

Exemplu. $f(x)=\frac{\sqrt{x+4}}{x-1}$. Condițiile sunt $x+4\ge 0$, adică $x\ge -4$, și $x-1\ne 0$, adică $x\ne 1$. Domeniul este $[-4,\infty )\setminus \{1\}$, pe care îl scriem elegant ca reuniune de intervale: $D=[-4,1)\cup (1,\infty )$.

6. Radical dintr-o expresie de gradul al doilea

Dacă sub radical stă un trinom, condiția $a{x}^2+bx+c\ge 0$ se rezolvă cu tabelul de semn din lecția despre semnul funcției de gradul al doilea. Reamintim regula: în afara rădăcinilor, trinomul are semnul lui $a$; între rădăcini, semn contrar lui $a$.

Exemplu. $f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}$. Rezolvăm $x^2-5x+6=0$: discriminantul este $25-24=1$, rădăcinile sunt $x_1=2$ și $x_2=3$. Cum $a=1>0$, trinomul este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele. Condiția $x^2-5x+6\ge 0$ dă deci

$$D=(-\infty ,2]\cup [3,\infty ).$$

Atenție la capete: în $2$ și în $3$ trinomul este zero, iar $\sqrt{0}$ există — deci ambele se includ.

Există și două cazuri extreme, care apar des la exerciții cu parametru:

• dacă trinomul este strict pozitiv oricând (adică $a>0$ și $\Delta <0$), condiția e îndeplinită automat și $D=\mathbb{R}$. Exemplu: $\sqrt{x^2+2x+5}$, unde $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4\ge 4>0$;
• dacă trinomul este negativ oricând (adică $a<0$ și $\Delta <0$), nicio valoare nu convine și $D=\varnothing$ — formula nu definește nicio funcție reală.

7. Rețeta completă, în patru pași

Un ultim sfat de disciplină: după ce ai scris domeniul, testează două valori — una dinăuntru și una din afară. Dacă cea dinăuntru dă un număr și cea din afară „crapă", răspunsul e aproape sigur bun.

8. Domeniul matematic și domeniul practic

Într-o problemă din viața reală, formula poate avea sens matematic pe o mulțime mai mare decât o permite contextul. O scară de $5$ metri sprijinită de un perete, cu piciorul la distanța $x$ de perete, atinge înălțimea $h(x)=\sqrt{25-x^2}$. Condiția matematică $25-x^2\ge 0$ dă $x\in [-5,5]$, dar o distanță negativă nu înseamnă nimic; contextul restrânge domeniul la $[0,5]$, ba chiar la $(0,5)$ dacă vrem ca scara să fie într-adevăr înclinată. Valorile sunt frumoase: $h(3)=\sqrt{16}=4$ metri, $h(4)=\sqrt{9}=3$ metri.

Într-un răspuns complet vei preciza întotdeauna care dintre cele două domenii îl folosești și de ce.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Radical dintr-o expresie de gradul întâi, coeficient pozitiv

Determinați domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{4x+10}$.

Rezolvare. Punem condiția $4x+10\ge 0$, de unde $4x\ge -10$ și, împărțind la $4>0$ (sensul se păstrează), $x\ge -\frac{5}{2}$.

Deci $D=\left[-\frac{5}{2},\infty \right)$. Verificare: $f\left(-\frac{5}{2}\right)=\sqrt{0}=0$ ✓, iar pentru $x=-3$ am avea $\sqrt{-2}$, care nu există ✓.

Exemplul 2 — Coeficient negativ, sensul se schimbă

Determinați domeniul funcției $g(x)=\sqrt{7-5x}$.

Rezolvare. Condiția este $7-5x\ge 0$, adică $-5x\ge -7$. Împărțim la $-5$, număr negativ, deci inegalitatea își schimbă sensul: $x\le \frac{7}{5}$.

Domeniul este $D=\left(-\infty ,\frac{7}{5}\right]$. Verificare: $g(1)=\sqrt{2}$ există ✓, iar $g(2)=\sqrt{-3}$ nu există ✓.

Exemplul 3 — Doi radicali: intersecție de condiții

Determinați domeniul funcției $h(x)=\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}$.

Rezolvare. Fiecare radical cere condiția lui:

• $2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{2}$;
• $x+3\ge 0\Rightarrow x\ge -3$.

Domeniul este intersecția: numerele care sunt și $\ge \frac{1}{2}$, și $\ge -3$. Cum orice număr mai mare sau egal cu $\frac{1}{2}$ este automat mai mare decât $-3$, condiția a doua nu adaugă nimic. Rezultă $D=\left[\frac{1}{2},\infty \right)$.

Reține: la intersecția a două semidrepte de același sens câștigă întotdeauna cea mai restrictivă.

Exemplul 4 — Radical și numitor în aceeași formulă

Determinați domeniul funcției $f(x)=\frac{\sqrt{6-x}}{\sqrt{x+2}}$.

Rezolvare. Radicalul de la numărător cere $6-x\ge 0$, deci $x\le 6$. Radicalul de la numitor cere condiție strictă, pentru că numitorul trebuie să existe și să fie nenul: $x+2>0$, deci $x>-2$.

Intersectăm: $x>-2$ și $x\le 6$, adică $D=(-2,6]$. Observă asimetria capetelor — la stânga interval deschis (a venit dintr-o condiție strictă), la dreapta interval închis. ✓

Exemplul 5 — Sub radical, o expresie de gradul al doilea

Determinați domeniul funcției $f(x)=\sqrt{4-x^2}$.

Rezolvare. Condiția este $4-x^2\ge 0$. Rescriem: $x^2\le 4$, adică $|x|\le 2$, deci $-2\le x\le 2$.

Alternativ, cu tabelul de semn: rădăcinile lui $4-x^2$ sunt $-2$ și $2$, iar coeficientul dominant este $a=-1<0$, deci expresia este pozitivă între rădăcini. Ambele drumuri dau $D=[-2,2]$. Graficul acestei funcții este, de altfel, semicercul superior de rază $2$ cu centrul în origine.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$. a) Determinați domeniul maxim de definiție. b) Determinați valorile lui $m$ pentru care funcția $g(x)=\sqrt{x^2+2x+m}$ are domeniul $\mathbb{R}$.

Rezolvare. a) Rezolvăm $x^2-4x+3=0$: discriminantul este $16-12=4$, deci $x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$, adică $x_1=1$ și $x_2=3$. Cum $a=1>0$, trinomul este nenegativ în afara rădăcinilor:

$$D=(-\infty ,1]\cup [3,\infty ).$$

b) Domeniul este $\mathbb{R}$ exact atunci când $x^2+2x+m\ge 0$ pentru orice $x$ real. Cum coeficientul dominant este $1>0$, parabola este orientată în sus, iar condiția revine la a cere ca ea să nu coboare sub axă, adică $\Delta \le 0$:

$$\Delta =4-4m\le 0⟺m\ge 1.$$

Verificare pentru $m=1$: $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\ge 0$ ✓ (se anulează în $-1$, dar zero este permis). Verificare pentru $m=0$: $x^2+2x=x(x+2)$ este negativ pe $(-2,0)$, deci domeniul nu ar mai fi $\mathbb{R}$ ✓. Răspuns: $m\in [1,\infty )$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu scrie mai întâi condițiile, apoi rezolvarea lor, apoi intersecția, și abia la final domeniul sub formă de interval.

1. Determină domeniul funcției $f(x)=\sqrt{x-7}$.

2. Determină domeniul funcției $f(x)=\sqrt{3x+12}$.

3. Determină domeniul funcției $f(x)=\sqrt{10-2x}$.

4. Determină domeniul funcției $f(x)=\sqrt{7-5x}$ și verifică răspunsul pe două valori de probă.

5. Determină domeniul funcției $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}$.

6. Determină domeniul funcției $f(x)=\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}$ și explică de ce una dintre condiții nu contează.

7. Determină domeniul funcției $f(x)=\frac{\sqrt{x+5}}{x-3}$.

8. Determină domeniul funcției $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ și explică de ce capătul nu se include.

9. Determină domeniul funcției $f(x)=\sqrt{x^2-9}$.

10. Determină domeniul funcției $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ și spune ce figură geometrică este graficul ei.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f(x)=\sqrt{x^2+2x+5}$ are domeniul $\mathbb{R}$."

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcțiile $f(x)=\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+2}$ și $g(x)=\sqrt{x^2-4}$ au același domeniu de definiție."

13. (Problemă aplicată.) O scară de $5$ metri se sprijină de un perete vertical, cu piciorul la distanța $x$ metri de perete. Înălțimea atinsă este $h(x)=\sqrt{25-x^2}$. a) Care este domeniul matematic al formulei? b) Care este domeniul impus de context? c) Calculează $h(3)$ și $h(4)$.

14. Determină domeniul funcției $f(x)=\frac{\sqrt{6-x}}{\sqrt{x+2}}$ și explică de ce cele două capete se tratează diferit.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{x^2-4x+3}$.

16. Determină domeniul funcției $f(x)=\sqrt{x+1}+\frac{3}{x^2-25}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care funcția $f(x)=\sqrt{x^2+2x+m}$ este definită pe $\mathbb{R}$.

18. (Provocare.) Determină domeniul funcției $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+\frac{1}{x-2}$ și scrie-l ca reuniune de intervale.

Răspunsuri și explicații

1. Condiția $x-7\ge 0$ dă $x\ge 7$, deci $D=[7,\infty )$. Capătul $7$ se include, pentru că $\sqrt{0}=0$ există.

2. Din $3x+12\ge 0$ obținem $3x\ge -12$ și, împărțind la $3>0$, $x\ge -4$. Deci $D=[-4,\infty )$.

3. Din $10-2x\ge 0$ rezultă $-2x\ge -10$; împărțim la $-2<0$ și schimbăm sensul: $x\le 5$. Deci $D=(-\infty ,5]$.

4. Din $7-5x\ge 0$ rezultă $x\le \frac{7}{5}$, deci $D=\left(-\infty ,\frac{7}{5}\right]$. Probe: pentru $x=1$ avem $\sqrt{2}$, care există ✓; pentru $x=2$ am avea $\sqrt{-3}$, care nu există ✓.

5. Condițiile sunt $x-1\ge 0$, adică $x\ge 1$, și $9-x\ge 0$, adică $x\le 9$. Intersecția lor este $D=[1,9]$ — un segment, pentru că cele două semidrepte se deschid în sensuri opuse.

6. Condițiile sunt $x\ge \frac{1}{2}$ și $x\ge -3$. Ambele se deschid spre dreapta; orice număr mai mare sau egal cu $\frac{1}{2}$ este automat mai mare decât $-3$, deci a doua condiție e cuprinsă în prima. Rămâne $D=\left[\frac{1}{2},\infty \right)$.

7. Radicalul cere $x+5\ge 0$, adică $x\ge -5$; numitorul cere $x-3\ne 0$, adică $x\ne 3$. Deci $D=[-5,3)\cup (3,\infty )$.

8. Radicalul stă la numitor, deci trebuie să existe și să fie nenul: $x-2>0$, adică $x>2$ și $D=(2,\infty )$. Capătul $2$ iese, pentru că acolo numitorul ar fi $\sqrt{0}=0$, iar împărțirea la zero este interzisă.

9. Rădăcinile lui $x^2-9$ sunt $-3$ și $3$, iar $a=1>0$, deci expresia este nenegativă în afara rădăcinilor: $D=(-\infty ,-3]\cup [3,\infty )$.

10. Din $4-x^2\ge 0$ obținem $x^2\le 4$, deci $-2\le x\le 2$ și $D=[-2,2]$. Graficul este semicercul superior de rază $2$ cu centrul în origine, deoarece $y=\sqrt{4-x^2}$ cu $y\ge 0$ este echivalent cu $x^2+y^2=4$ și $y\ge 0$.

11. Adevărat. Scriem $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$. Cum $(x+1{)}^2\ge 0$, expresia este cel puțin $4$, deci strict pozitivă pentru orice $x$ real. (Același lucru se vede din $\Delta =4-20=-16<0$ și $a=1>0$.) Condiția e îndeplinită automat, deci $D=\mathbb{R}$.

12. Fals. Pentru $f$ avem două condiții simultane, $x-2\ge 0$ și $x+2\ge 0$, deci $D_f=[2,\infty )$. Pentru $g$ avem o singură condiție, $x^2-4\ge 0$, deci $D_g=(-\infty ,-2]\cup [2,\infty )$. La $x=-5$, de exemplu, $g$ are sens ($\sqrt{21}$), dar $f$ nu ($\sqrt{-7}$ nu există). Egalitatea $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ funcționează doar când ambii factori sunt nenegativi.

13. a) Condiția $25-x^2\ge 0$ dă $x^2\le 25$, deci domeniul matematic este $[-5,5]$. b) Distanța dintre piciorul scării și perete nu poate fi negativă, iar la $x=5$ scara ar fi culcată pe podea; contextul cere $x\in [0,5)$, sau chiar $(0,5)$ dacă scara trebuie să fie efectiv înclinată. c) $h(3)=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ metri; $h(4)=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$ metri.

14. Numărătorul cere $6-x\ge 0$, deci $x\le 6$ (condiție cu egal, capătul intră). Numitorul cere $x+2>0$, deci $x>-2$ (condiție strictă, capătul iese, pentru că altfel numitorul ar fi zero). Domeniul este $D=(-2,6]$.

15. Rezolvăm $x^2-4x+3=0$: $\Delta =16-12=4$, deci $x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$, adică $1$ și $3$. Cum $a=1>0$, trinomul este nenegativ în afara rădăcinilor: $D=(-\infty ,1]\cup [3,\infty )$. Ambele capete se includ (acolo trinomul este zero).

16. Radicalul cere $x+1\ge 0$, adică $x\ge -1$. Numitorul cere $x^2-25\ne 0$, adică $x\ne 5$ și $x\ne -5$. Cum $-5$ este deja în afara semidreptei $[-1,\infty )$, singura valoare care se scoate efectiv este $5$. Deci $D=[-1,5)\cup (5,\infty )$.

17. Cerem $x^2+2x+m\ge 0$ pentru orice $x$ real. Coeficientul dominant este $1>0$, deci parabola se deschide în sus și condiția revine la $\Delta \le 0$: $4-4m\le 0$, adică $m\ge 1$. Răspuns: $m\in [1,\infty )$. Pentru $m=1$ trinomul devine $(x+1{)}^2$, care se anulează în $-1$ — permis, fiindcă $\sqrt{0}$ există.

18. Trei condiții: $x-1\ge 0$ (deci $x\ge 1$), $3-x\ge 0$ (deci $x\le 3$) și $x-2\ne 0$ (deci $x\ne 2$). Primele două dau segmentul $[1,3]$, din care scoatem punctul $2$:

$$D=[1,2)\cup (2,3].$$

Observă că domeniul unei funcții poate fi „mărginit și găurit" în același timp — nimic nu obligă domeniul să fie un singur interval.

De reținut

• Condiția de existență a radicalului de ordinul al doilea: $\sqrt{E(x)}$ are sens $⟺E(x)\ge 0$. Semnul „mai mare sau egal" este esențial: $\sqrt{0}=0$ există.
• Domeniul maxim de definiție al unei funcții date printr-o formulă este mulțimea tuturor valorilor lui $x$ pentru care formula produce un număr real. Îl obții rezolvând inecuațiile de existență.
• La $\sqrt{ax+b}$, semnul lui $a$ decide sensul semidreptei: $a>0$ dă $\left[-\frac{b}{a},\infty \right)$, iar $a<0$ dă $\left(-\infty ,-\frac{b}{a}\right]$. Împărțirea la un număr negativ schimbă sensul inegalității.
• Radical la numitor $\Rightarrow$ condiție strictă ($>0$), pentru că numitorul trebuie să existe și să fie nenul.
• Mai multe condiții se intersectează („și"), iar rezultatul se scrie ca interval sau reuniune de intervale. Sub radical de gradul al doilea, folosești tabelul de semn al trinomului.

Greșeli frecvente

• Scrii $E(x)>0$ în loc de $E(x)\ge 0$. Pierzi capetele intervalului și, la examen, punctul aferent. Strict pozitiv se cere doar când radicalul stă la numitor.
• Nu schimbi sensul inegalității când împarți la un număr negativ. Din $-3x\ge -5$ nu rezultă $x\ge \frac{5}{3}$, ci $x\le \frac{5}{3}$. Verifică mereu cu o valoare de probă.
• Reunești în loc să intersectezi. Două condiții simultane înseamnă „și", deci intersecție. Reuniunea apare doar înăuntrul unei singure condiții, de exemplu la $x^2-9\ge 0$.
• Simplifici înainte de a scrie domeniul. $\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+2}$ nu este același lucru cu $\sqrt{x^2-4}$: domeniul se stabilește pe forma dată, nu pe cea prelucrată.
• Uiți numitorii care nu au radical. Într-o formulă cu radical și fracție, condiția „numitor nenul" e la fel de obligatorie și se uită cel mai des.

Aplică acasă

1. Coloana cu erori. Într-un program de calcul tabelar, scrie în coloana A numerele de la $-5$ la $10$, iar în coloana B formula radicalului din $2A-6$. Notează exact de la ce valoare încolo dispar mesajele de eroare și compară cu domeniul calculat de tine, $[3,\infty )$. Repetă apoi cu formula radicalului din $10-2A$.

2. Vânătoarea de condiții. Deschide manualul sau un culegere la capitolul de funcții și alege cinci formule care conțin radicali și fracții. Fără să le rezolvi complet, scrie doar lista condițiilor pe care le impune fiecare. Exersează astfel pasul care se uită cel mai des: identificarea corectă a locurilor „fragile" din formulă.

3. Scara din curte. Măsoară lungimea unei scări reale (sau folosește $L=5$ metri) și, pentru trei distanțe diferite ale piciorului față de perete, calculează înălțimea atinsă cu formula $h(x)=\sqrt{L^2-x^2}$. Verifică apoi cu un metru, dacă poți. Notează pentru ce distanțe formula are sens matematic și pentru care are sens practic — și explică în două rânduri de ce cele două mulțimi nu coincid.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează primul reflex al capitolului despre funcția radical: înainte de orice calcul, stabilește domeniul. Elevul trebuie să plece de aici știind să transforme automat fiecare radical într-o inecuație de tipul „expresia de sub radical este mai mare sau egală cu zero", fiecare numitor într-o condiție de nenulitate, iar radicalul de la numitor într-o condiție strictă. Accentul cade pe rezolvarea corectă a inecuațiilor de gradul întâi (în special pe schimbarea sensului la împărțirea cu un număr negativ) și pe intersecția condițiilor, reprezentată pe axa numerelor.

Întrebări bune de control: „De ce se include capătul intervalului la $\sqrt{x-3}$, dar nu și la $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$?"; „Ce condiție pui când sub radical apare un trinom de gradul al doilea?"; „Poate domeniul unei funcții să fie o reuniune de două intervale? Dar mulțimea vidă?". Semne că a înțeles: scrie condițiile înainte de a începe calculele, nu confundă intersecția cu reuniunea, verifică răspunsul cu o valoare din domeniu și una din afară, și distinge domeniul matematic de cel impus de contextul unei probleme practice.

Un avertisment util: această lecție nu rezolvă ecuații cu radicali — acelea vin mai târziu în capitol și au reguli proprii, cu ridicare la pătrat și verificarea soluțiilor. Aici se lucrează doar cu inecuațiile de existență. La examen, cerința „determinați domeniul maxim de definiție" apare frecvent ca prim subpunct al unei probleme de funcții, iar punctele se acordă integral pe condiții corect scrise și corect intersectate, chiar dacă restul problemei rămâne neterminat.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă domeniul de definiție al unei funcții cu radical? Este mulțimea tuturor numerelor reale pe care le poți introduce în formulă fără ca ea să „crape": toate valorile lui $x$ pentru care expresia de sub radical este mai mare sau egală cu zero și pentru care niciun numitor nu se anulează.

De ce expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu zero? Pentru că a extrage radicalul de ordinul al doilea înseamnă a căuta un număr al cărui pătrat să dea expresia respectivă. Orice pătrat de număr real este mai mare sau egal cu zero, deci un număr negativ nu poate fi pătratul nimănui în mulțimea numerelor reale.

Se include sau nu capătul intervalului? Se include, dacă radicalul apare oriunde în afară de numitor: acolo unde expresia de sub radical este exact zero, radicalul dă zero, ceea ce este perfect valabil. Capătul nu se include când radicalul se află la numitor, pentru că atunci ar apărea o împărțire la zero.

Cum aflu domeniul când formula are doi radicali? Scrii câte o condiție pentru fiecare radical, le rezolvi separat și apoi le intersectezi: domeniul este format din numerele care satisfac ambele condiții în același timp. Cel mai sigur mod de a intersecta este să desenezi condițiile pe axa numerelor.

Ce fac dacă sub radical este o expresie de gradul al doilea? Rezolvi ecuația de gradul al doilea, faci tabelul de semn și păstrezi intervalele pe care trinomul este mai mare sau egal cu zero. Dacă discriminantul este negativ și coeficientul dominant pozitiv, condiția e îndeplinită oricând, iar domeniul este mulțimea numerelor reale.

Poate o funcție cu radical să aibă domeniul mulțimea vidă? Da. Dacă expresia de sub radical este negativă pentru orice $x$ — de exemplu la $\sqrt{-x^2-1}$ — nu există nicio valoare acceptabilă, deci formula nu definește nicio funcție reală.

Care este diferența dintre domeniul matematic și cel practic? Domeniul matematic conține toate valorile pentru care formula are sens. Domeniul practic este restrâns suplimentar de contextul problemei: lungimi negative, timpi negativi sau cantități imposibile se elimină, chiar dacă formula le-ar accepta.

De ce nu am voie să simplific formula înainte de a scrie domeniul? Pentru că simplificarea poate „vindeca" o expresie care de fapt nu are sens. Produsul $\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+2}$ are domeniul $[2,\infty )$, în timp ce $\sqrt{x^2-4}$ are domeniul $(-\infty ,-2]\cup [2,\infty )$: sunt funcții diferite, deși seamănă. Domeniul se citește întotdeauna de pe forma dată în enunț.