În cubul $$ABCDA'B'C'D'$$ (baza jos $$ABCD$$, baza sus $$A'B'C'D'$$), care este poziția muchiei $$B'C'$$ față de planul $$(ABCD)$$?

$$B'C'$$ este paralelă cu $$(ABCD)$$

$$B'C'$$ este inclusă în $$(ABCD)$$

$$B'C'$$ intersectează $$(ABCD)$$ într-un punct

Nu se poate stabili fără măsurători

Criteriul de paralelism dreaptă–plan cere ca dreapta $$d$$ să fie paralelă cu o dreaptă $$g$$ din plan și, în plus:

$$d$$ să nu fie inclusă în plan

planul să conțină punctul de intersecție

Când e o dreaptă paralelă cu un plan?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Dreaptă paralelă cu un plan

Paralelismul dintre o dreaptă și un plan înseamnă zero puncte comune, oricât ai prelungi dreapta în ambele sensuri; se scrie $d ∥ α$ . Cum nu poți verifica la nesfârșit, folosești un ocol sigur: găsești în plan o dreaptă cu aceeași direcție ca $d$ și arăți că $d$ nu se află în plan. Într-un cub, muchia de sus $A^{'} B^{'}$ are direcția lui $A B$ din baza de jos, deci este paralelă cu planul acelei baze.

O dreaptă $d$ este paralelă cu un plan $α$ dacă cele două nu au niciun punct comun, oricât ai prelungi dreapta. Notăm $d ∥ α$ . Alte poziții posibile: dreapta inclusă în plan (infinitate de puncte comune) sau secantă (un singur punct comun).

Cum demonstrezi paralelismul, dacă nu poți verifica „la infinit”? Cu criteriul de paralelism: dacă găsești în plan o dreaptă $g$ paralelă cu $d$ , iar $d$ nu este inclusă în plan, atunci $d ∥ α$ .

Exemplu. În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ : fața $A B B^{'} A^{'}$ e pătrat, deci $A^{'} B^{'} ∥ A B$ ; cum $A B \subset (A B C D)$ și $A^{'} B^{'} \neq \subset (A B C D)$ , rezultă $A^{'} B^{'} ∥ (A B C D)$ .

Reține cei trei pași de redactare: găsești $g$ în plan, arăți $d ∥ g$ , precizezi $d \neq \subset α$ .

De reținut

$d ∥ α$ înseamnă zero puncte comune
criteriul: o dreaptă din plan cu aceeași direcție, iar dreapta să nu fie inclusă
cele trei poziții: inclusă, secantă, paralelă

Greșeala tipică

Se spune că o dreaptă paralelă cu un plan este paralelă cu toate dreptele din acel plan. În realitate ea are aceeași direcție doar cu unele dintre ele, iar cu restul este necoplanară.

Exerciții din această mini-lecție

Câte puncte comune are o dreaptă $d$ paralelă cu un plan $α$ ?
- a) Exact unul
- b) Niciunul
- c) O infinitate
- d) Depinde de plan
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Niciunul

Definiția paralelismului dreaptă–plan cere zero puncte comune. Dacă ar avea un punct comun, dreapta ar fi secantă; dacă ar avea o infinitate, ar fi inclusă în plan.
În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ (baza jos $A B C D$ , baza sus $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ), care este poziția muchiei $B^{'} C^{'}$ față de planul $(A B C D)$ ?
- a) $B^{'} C^{'}$ este inclusă în $(A B C D)$
- b) $B^{'} C^{'}$ intersectează $(A B C D)$ într-un punct
- c) $B^{'} C^{'}$ este paralelă cu $(A B C D)$
- d) Nu se poate stabili fără măsurători
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $B^{'} C^{'}$ este paralelă cu $(A B C D)$

Fața $B C C^{'} B^{'}$ este pătrat, deci $B^{'} C^{'} ∥ B C$ . Cum $B C \subset (A B C D)$ și $B^{'} C^{'} \neq \subset (A B C D)$ , din criteriul de paralelism rezultă $B^{'} C^{'} ∥ (A B C D)$ .
Criteriul de paralelism dreaptă–plan cere ca dreapta $d$ să fie paralelă cu o dreaptă $g$ din plan și, în plus:
- a) $d$ să intersecteze planul
- b) $g$ să treacă prin $d$
- c) $d$ să nu fie inclusă în plan
- d) planul să conțină punctul de intersecție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $d$ să nu fie inclusă în plan

Pe lângă $d ∥ g$ , mai trebuie ca $d$ să nu fie inclusă în plan, altfel $d$ ar fi conținută în $α$ , nu paralelă cu el.

Întrebări conexe

Câte drepte paralele cu un plan trec printr-un punct din afara lui?

O infinitate. Prin acel punct treci un plan paralel cu cel dat, iar toate dreptele desenate în el sunt paralele cu planul inițial. De aceea paralelismul dreaptă–plan nu fixează o direcție anume, spre deosebire de paralelismul a două drepte.

Poate o dreaptă paralelă cu un plan să îl atingă dacă o prelungesc destul?

Nu, niciodată. Paralelismul înseamnă zero puncte comune pe toată lungimea infinită a dreptei, nu doar pe porțiunea desenată. Dacă la un moment dat ar apărea un punct comun, dreapta ar fi secantă încă de la început.

Ce muchii ale unei prisme drepte sunt paralele cu planul unei baze?

Muchiile celeilalte baze, fiindcă fiecare are aceeași direcție cu muchia corespunzătoare de jos și nu se află în planul acesteia. Muchiile laterale, dimpotrivă, înțeapă ambele baze, deci sunt secante, nu paralele.

Cum redactez corect o demonstrație de paralelism între o dreaptă și un plan?

Scrii trei rânduri: numești dreapta din plan care are aceeași direcție, justifici paralelismul dintre cele două drepte și precizezi că dreapta dată nu este inclusă în plan. Fără al treilea rând demonstrația rămâne incompletă, chiar dacă desenul pare limpede.

La ce ajută paralelismul dreaptă–plan într-o problemă cu secțiuni?

Ajută la trasarea liniei de tăiere. Când paralelismul dintre dreaptă și plan este dat, planul secant care conține acea dreaptă taie planul dat după o linie cu aceeași direcție. Astfel afli imediat cum arată conturul secțiunii, fără nicio măsurătoare.

Ce înseamnă că o dreaptă și un plan nu au niciun punct comun?

Înseamnă chiar paralelism, fiindcă asta este definiția. Celelalte două situații posibile aduc puncte comune: dreapta inclusă are o infinitate, iar cea secantă are exact unul. Numărătoarea punctelor comune separă, așadar, toate cele trei poziții.

Oamenii mai întreabă și: dreaptă paralelă cu un plan · când este o dreaptă paralelă cu un plan · criteriul de paralelism dreaptă plan · cum demonstrez că o dreaptă e paralelă cu un plan · d paralel cu alfa