Dreaptă paralelă cu un plan

Privește tavanul camerei în care înveți și marginea de sus a ușii. Deși ușa se deschide și se închide, muchia ei de sus rămâne mereu la aceeași distanță de tavan: cele două nu se ating niciodată, oricât ai prelungi imaginar linia muchiei. Iată, în esență, ce înseamnă o dreaptă paralelă cu un plan — o linie care „însoțește" un plan fără să-l atingă vreodată. În această lecție înveți să recunoști, să demonstrezi și să desenezi paralelismul dintre o dreaptă și un plan, o competență cerută frecvent la Evaluarea Națională, unde apare atât la itemi de justificare, cât și în probleme cu cubul, prisma sau piramida.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești riguros ce înseamnă că o dreaptă este paralelă cu un plan și să deosebești această situație de celelalte poziții posibile.
• Vei ști să aplici criteriul de paralelism dreaptă–plan pentru a demonstra, pas cu pas, că o dreaptă este paralelă cu un plan.
• Vei ști să folosești proprietatea de intersecție (planul care conține dreapta taie planul dat după o dreaptă paralelă cu ea).
• Vei ști să recunoști și să justifici paralelismul dreaptă–plan pe cub, pe prismă și pe piramidă.
• Vei ști să reprezinți printr-un desen corect o dreaptă paralelă cu un plan într-o configurație spațială.

Hai să descoperim împreună

1. Cele trei poziții posibile ale unei drepte față de un plan

Înainte de a defini paralelismul, e util să vedem toate situațiile posibile. Reia pentru o clipă ce ai învățat în lecția despre relații între puncte, drepte și plane: o dreaptă și un plan din spațiu se pot afla în exact trei poziții relative, în funcție de câte puncte comune au.

Cazul 1 — dreapta este inclusă în plan. Toate punctele dreptei se află în plan. Scriem $d\subset \alpha$ (dreapta $d$ este inclusă în planul $\alpha$). În acest caz, dreapta și planul au o infinitate de puncte comune.

Cazul 2 — dreapta intersectează planul (este secantă). Dreapta „străpunge" planul într-un singur punct. Au exact un punct comun. Scriem $d\cap \alpha =\{P\}$, unde $P$ este punctul de străpungere.

Cazul 3 — dreapta este paralelă cu planul. Dreapta și planul nu au niciun punct comun. Scriem $d\parallel \alpha$.

Observă legătura cu numărul de puncte comune:

Această lecție se ocupă de al treilea caz.

2. Definiția dreptei paralele cu un plan

Definiție. Spunem că o dreaptă $d$ este paralelă cu un plan $\alpha$ dacă cele două nu au niciun punct comun. Notăm $d\parallel \alpha$.

Cu alte cuvinte, oricât de mult ai prelungi dreapta $d$ în ambele sensuri, ea nu va atinge niciodată planul $\alpha$. Muchia de sus a ușii și tavanul, o sfoară întinsă deasupra podelei fără s-o atingă, o grindă orizontală și tavanul — toate sunt modele de dreaptă paralelă cu un plan.

Atenție la un detaliu important. Uneori întâlnești formularea „dreapta $d$ este paralelă cu planul $\alpha$ sau este inclusă în el". În gimnaziu, la clasa a VIII-a, folosim definiția strictă: paralelă înseamnă zero puncte comune. Dacă dreapta este inclusă în plan, spunem că e inclusă, nu paralelă. Reține deci: la paralelism, dreapta este „în afara" planului și nu-l atinge.

3. Problema: cum verificăm paralelismul fără să „vedem infinitul"?

Definiția e clară, dar are un neajuns practic: cum demonstrezi că niciun punct al dreptei nu e în plan, dacă dreapta se prelungește la infinit? Nu putem verifica punct cu punct. Avem nevoie de un instrument care să transforme paralelismul dreaptă–plan (greu de verificat) într-un paralelism dreaptă–dreaptă (ușor de recunoscut). Acest instrument este criteriul de paralelism.

4. Criteriul de paralelism dreaptă–plan

Criteriul (teorema de paralelism dreaptă–plan). Dacă o dreaptă $d$, care nu este inclusă în planul $\alpha$, este paralelă cu o dreaptă $g$ conținută în planul $\alpha$, atunci dreapta $d$ este paralelă cu planul $\alpha$.

Pe scurt: dacă $d\not\subset \alpha$, $g\subset \alpha$ și $d\parallel g$, atunci $d\parallel \alpha$.

Cu alte cuvinte: ca să arăți că o dreaptă e paralelă cu un plan, e suficient să găsești în plan o dreaptă paralelă cu ea. Aceasta e cheia tuturor demonstrațiilor din lecție.

De ce funcționează criteriul? (justificare intuitivă) Dreptele $d$ și $g$ sunt paralele, deci determină un plan — să-l numim $\beta$ — și în acest plan ele „merg în aceeași direcție", fără să se întâlnească. Presupunem, prin absurd, că $d$ ar avea un punct comun $P$ cu planul $\alpha$. Atunci $P$ ar fi și pe dreapta $d$ (deci în planul $\beta$), și în planul $\alpha$. Dar planele $\alpha$ și $\beta$ se intersectează exact după dreapta $g$ (linia lor comună). Ar rezulta că $P$ se află pe $g$. Cum $P$ este și pe $d$, ar însemna că $d$ și $g$ au un punct comun — contradicție cu faptul că $d\parallel g$. Așadar $d$ nu poate avea niciun punct comun cu $\alpha$, adică $d\parallel \alpha$.

Nu trebuie să reproduci această justificare la examen, dar e bine să înțelegi de ce criteriul e adevărat: paralelismul cu o singură dreaptă din plan „blochează" orice întâlnire cu planul.

Cele trei condiții ale criteriului — verifică-le mereu:

1. dreapta $g$ se află în plan: $g\subset \alpha$;
2. dreapta $d$ este paralelă cu $g$: $d\parallel g$;
3. dreapta $d$ nu este inclusă în plan: $d\not\subset \alpha$ (altfel n-am vorbi de paralelism, ci de incluziune).

Dacă toate trei sunt îndeplinite, concluzia $d\parallel \alpha$ este garantată.

5. Cum arăți paralelismul $d\parallel g$? Instrumentele din plan

Ca să aplici criteriul, ai nevoie să găsești în plan o dreaptă paralelă cu dreapta ta. Cele mai folosite unelte care „produc" drepte paralele, învățate în clasele anterioare, sunt:

• Laturile opuse ale unui paralelogram (deci și ale unui dreptunghi, romb, pătrat) sunt paralele. Multe fețe ale corpurilor sunt dreptunghiuri sau paralelograme.
• Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu latura a treia (o vei folosi la piramide și tetraedre).
• Reciproca: dacă într-un patrulater două laturi opuse sunt paralele și congruente, patrulaterul este paralelogram, deci și celelalte două laturi sunt paralele.
• Tranzitivitatea paralelismului: dacă $a\parallel b$ și $b\parallel c$, atunci $a\parallel c$.

Reține și un rezultat foarte comod, valabil în spațiu:

Muchiile paralele ale unui corp. La cub și la paralelipipedul dreptunghic, muchiile se grupează în trei „direcții", câte patru muchii paralele între ele. La o prismă, muchiile laterale sunt toate paralele și congruente între ele.

6. Proprietatea planelor care conțin dreapta paralelă

Criteriul spune cum obții paralelismul. Următoarea proprietate spune ce se întâmplă când ai deja paralelismul — și e la fel de utilă.

Proprietate. Dacă o dreaptă $d$ este paralelă cu planul $\alpha$, atunci orice plan $\beta$ care conține dreapta $d$ și care taie planul $\alpha$ îl intersectează după o dreaptă paralelă cu $d$.

Adică: din $d\parallel \alpha$, $d\subset \beta$ și $\alpha \cap \beta =g$, rezultă $d\parallel g$.

Intuitiv: dacă „plimbi" un plan prin dreapta paralelă $d$ și acest plan intersectează $\alpha$, urma lăsată pe $\alpha$ (dreapta de intersecție) merge în aceeași direcție cu $d$. Această proprietate se folosește des în probleme unde trebuie să arăți că două drepte sunt paralele, pornind de la un paralelism dreaptă–plan deja cunoscut — este, de fapt, criteriul „citit invers".

7. Paralelism dreaptă–plan pe cub

Cubul e „terenul de antrenament" preferat la Evaluarea Națională, pentru că are multe fețe și muchii. Fie cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, unde $ABCD$ este fața de jos, iar $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ fața de sus (vârful $A^{\prime }$ este deasupra lui $A$ ș.a.m.d.).

Exemplul-tip: vrem să arătăm că muchia $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este paralelă cu fața de jos $(ABCD)$.

• Fața $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este un pătrat, deci un paralelogram; prin urmare laturile opuse sunt paralele: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$.
• Dreapta $AB$ este o latură a feței de jos, deci $AB\subset (ABCD)$.
• Muchia $A^{\prime }{B}^{\prime }$ nu este în fața de jos: $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$.

Conform criteriului: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$. La fel arăți că fiecare dintre muchiile de sus ($A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $D^{\prime }{A}^{\prime }$) este paralelă cu fața de jos.

Reține un tipar rapid: orice muchie a feței de sus este paralelă cu fața de jos, pentru că are, exact dedesubt, o muchie paralelă din fața de jos. Analog, o diagonală a feței de sus este paralelă cu fața de jos (de exemplu $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC\subset (ABCD)$).

8. Paralelism dreaptă–plan pe prismă și pe piramidă

La prisma dreaptă (de exemplu o prismă triunghiulară $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$), muchiile laterale $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ sunt paralele între ele. De aici: muchia laterală $A{A}^{\prime }$ este paralelă cu fața laterală opusă $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, pentru că $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, iar $B{B}^{\prime }\subset (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ și $A{A}^{\prime }\not\subset (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.

La piramidă intervine deseori linia mijlocie. Fie piramida $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$ și vârful $V$. Notăm cu $M$ mijlocul lui $VA$ și cu $N$ mijlocul lui $VB$. În triunghiul $VAB$, segmentul $MN$ este linie mijlocie, deci $MN\parallel AB$. Cum $AB\subset (ABCD)$ și $MN\not\subset (ABCD)$, rezultă $MN\parallel (ABCD)$.

8bis. Cum redactezi corect o demonstrație la examen

La Evaluarea Națională, punctajul se dă pe pași justificați, nu doar pe rezultat. Folosește mereu aceeași structură în trei pași:

1. Găsesc în plan o dreaptă paralelă: „În fața $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ (pătrat), $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$."
2. Precizez că acea dreaptă e în plan: „$AB\subset (ABCD)$."
3. Aplic criteriul (și menționez că dreapta nu e în plan): „Cum $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$, din criteriul de paralelism dreaptă–plan rezultă $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$."

Această redactare scurtă, dar completă, îți aduce tot punctajul. Trecem acum la exemple lucrate integral.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — recunoașterea poziției (definiție)

Enunț. Se dă cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Stabilește poziția fiecărei drepte față de planul feței de jos $(ABCD)$: (a) $AB$; (b) $B{B}^{\prime }$; (c) $A^{\prime }{D}^{\prime }$.

Rezolvare.

(a) Dreapta $AB$ este o latură a feței de jos, deci este inclusă în plan: $AB\subset (ABCD)$. Au o infinitate de puncte comune.

(b) Muchia $B{B}^{\prime }$ pornește chiar din punctul $B\in (ABCD)$ și urcă în afara feței. Are exact un punct comun cu planul, punctul $B$: ea intersectează (străpunge) planul, $B{B}^{\prime }\cap (ABCD)=\{B\}$.

(c) Muchia $A^{\prime }{D}^{\prime }$ este pe fața de sus. Ea este paralelă cu $AD$ (laturi opuse ale pătratului $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$), iar $AD\subset (ABCD)$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }\not\subset (ABCD)$; deci $A^{\prime }{D}^{\prime }$ este paralelă cu planul: $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel (ABCD)$. Nu au niciun punct comun.

Exemplul 2 — demonstrație cu criteriul, pe cub

Enunț. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, arată că dreapta $D^{\prime }{C}^{\prime }$ este paralelă cu planul $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ (fața din față).

Rezolvare. Aplicăm cei trei pași.

1. Fața de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este pătrat, deci $D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$.
2. Dreapta $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este o latură a feței $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, deci $A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
3. Muchia $D^{\prime }{C}^{\prime }$ nu se află în fața $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$: $D^{\prime }{C}^{\prime }\not\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Din criteriul de paralelism dreaptă–plan rezultă $D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. $■$

Exemplul 3 — folosirea liniei mijlocii, pe piramidă

Enunț. Se dă piramida $VABC$ cu baza triunghiul $ABC$. Fie $P$ mijlocul muchiei $VA$ și $Q$ mijlocul muchiei $VC$. Demonstrează că dreapta $PQ$ este paralelă cu planul bazei $(ABC)$.

Rezolvare.

1. În triunghiul $VAC$, punctele $P$ și $Q$ sunt mijloacele laturilor $VA$, respectiv $VC$. Deci $PQ$ este linie mijlocie și $PQ\parallel AC$.
2. Latura $AC$ este în baza piramidei: $AC\subset (ABC)$.
3. Segmentul $PQ$ nu se află în planul bazei: $PQ\not\subset (ABC)$.

Din criteriul de paralelism dreaptă–plan: $PQ\parallel (ABC)$. $■$

Exemplul 4 — proprietatea intersecției (paralelism invers)

Enunț. Se știe că dreapta $d$ este paralelă cu planul $\alpha$. Un plan $\beta$ conține dreapta $d$ și taie planul $\alpha$ după dreapta $g$. Arată că $d\parallel g$ și folosește acest lucru pe cub: dacă $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$, iar planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$ taie fața $(ABCD)$ după $CD$, atunci $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel CD$.

Rezolvare. Din proprietatea planelor care conțin dreapta paralelă: fiindcă $d\parallel \alpha$, $d\subset \beta$ și $\alpha \cap \beta =g$, rezultă direct $d\parallel g$.

Aplicație pe cub: dreapta $d=A^{\prime }{B}^{\prime }$ este paralelă cu planul $\alpha =(ABCD)$ (arătat în Secțiunea 7). Planul $\beta =(A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$ conține pe $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și taie fața de jos după dreapta $g=CD$. Prin urmare $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel CD$. (Verificare: într-adevăr, $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ și $AB\parallel CD$, deci prin tranzitivitate $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel CD$.) $■$

Exemplul 5 — construcție și justificare, pe paralelipiped

Enunț. Fie paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Notăm cu $M$ mijlocul muchiei $A{A}^{\prime }$ și cu $N$ mijlocul muchiei $B{B}^{\prime }$. Arată că dreapta $MN$ este paralelă cu planul de jos $(ABCD)$.

Rezolvare.

1. Muchiile $A{A}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$ sunt paralele și congruente (muchii laterale ale paralelipipedului). Cum $M$ și $N$ sunt mijloacele lor, avem $AM\parallel BN$ și $AM=BN$ (jumătăți de segmente egale și paralele).
2. Patrulaterul $ABNM$ are două laturi opuse paralele și congruente ($AM\parallel BN$, $AM=BN$), deci este paralelogram. Rezultă $MN\parallel AB$.
3. Latura $AB\subset (ABCD)$, iar $MN\not\subset (ABCD)$.

Din criteriul de paralelism dreaptă–plan: $MN\parallel (ABCD)$. $■$

Exemplul 6 — item de tip Evaluare Națională (adevărat/fals cu justificare)

Enunț. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, stabilește dacă afirmația „dreapta $AC$ este paralelă cu planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$" este adevărată sau falsă și justifică.

Rezolvare. Afirmația este adevărată. Diagonala $AC$ a feței de jos este paralelă cu diagonala $A^{\prime }{C}^{\prime }$ a feței de sus (patrulaterul $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este paralelogram, deoarece $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ și $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$, deci $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$). Cum $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ și $AC\not\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, din criteriul de paralelism dreaptă–plan rezultă $AC\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. $■$

Să exersăm

Rezolvă în ordine; primele sunt de recunoaștere, ultimele cer demonstrație scrisă îngrijit, ca la examen. Pentru toate exercițiile pe cub/prismă, folosește notațiile standard din lecție.

1. Completează: o dreaptă este paralelă cu un plan dacă cele două au ______ puncte comune.

2. Câte poziții relative poate avea o dreaptă față de un plan în spațiu? Enumeră-le.

3. Adevărat sau fals: „Dacă o dreaptă nu străpunge un plan (nu este secantă cu el), atunci ea este obligatoriu paralelă cu planul." Motivează.

4. Enunță, cu cuvintele tale, criteriul de paralelism dreaptă–plan. Care sunt cele trei condiții pe care trebuie să le verifici?

5. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, stabilește poziția dreptei față de planul $(ABCD)$: (a) $C{C}^{\prime }$; (b) $B^{\prime }{C}^{\prime }$; (c) $DC$.

6. În același cub, numește trei muchii diferite paralele cu fața de jos $(ABCD)$ și justifică pentru una dintre ele.

7. Adevărat sau fals, cu motivare: în cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, dreapta $A^{\prime }{D}^{\prime }$ este paralelă cu fața $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

8. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, demonstrează, redactând cei trei pași, că $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (ABCD)$.

9. În prisma triunghiulară dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, arată că muchia laterală $C{C}^{\prime }$ este paralelă cu fața laterală $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

10. În piramida $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$, fie $E$ mijlocul lui $VB$ și $F$ mijlocul lui $VC$. Demonstrează că $EF\parallel (ABCD)$.

11. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, arată că diagonala $B^{\prime }{D}^{\prime }$ a feței de sus este paralelă cu planul $(ABCD)$.

12. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă o dreaptă $d$ este paralelă cu planul $\alpha$, atunci $d$ este paralelă cu orice dreaptă din $\alpha$."

13. Se dă paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Fie $M$ mijlocul lui $D{D}^{\prime }$ și $N$ mijlocul lui $C{C}^{\prime }$. Demonstrează că $MN\parallel (ABCD)$.

14. În piramida $VABC$, fie $G$ mijlocul lui $VA$, $H$ mijlocul lui $VB$ și $K$ mijlocul lui $VC$. Arată că planul $(GHK)$ conține trei drepte ($GH$, $HK$, $GK$) fiecare paralelă cu planul bazei $(ABC)$.

15. Se știe că dreapta $d\parallel \alpha$. Un plan $\beta$ conține $d$ și taie $\alpha$ după dreapta $g$. Ce relație există între $d$ și $g$? Enunță proprietatea folosită.

16. (item EN, justificare completă) În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, arată că dreapta care unește mijlocul $P$ al lui $A{A}^{\prime }$ cu mijlocul $Q$ al lui $D{D}^{\prime }$ este paralelă cu planul $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

17. Adevărat sau fals, cu motivare: „O dreaptă inclusă într-un plan este paralelă cu acel plan."

18. (raționament) O dreaptă $d$ este paralelă cu planul $\alpha$. Poate exista în planul $\alpha$ o dreaptă care să nu fie paralelă cu $d$? Explică pe scurt.

Răspunsuri și explicații

1. Niciun (zero) puncte comune. Aceasta este chiar definiția paralelismului dreaptă–plan.

2. Trei poziții: (1) dreapta inclusă în plan (infinitate de puncte comune); (2) dreapta secantă/intersectează planul (un punct comun); (3) dreapta paralelă cu planul (niciun punct comun).

3. Fals. O dreaptă care nu străpunge planul (nu e secantă) poate fi paralelă cu el (zero puncte comune), dar poate fi și inclusă în el (o infinitate de puncte comune) — iar o dreaptă inclusă în plan nu este paralelă cu planul. Formularea corectă: o dreaptă neinclusă în plan, care nu are niciun punct comun cu el, este paralelă cu planul.

4. Criteriul: dacă o dreaptă $d$, neinclusă în plan, este paralelă cu o dreaptă $g$ din plan, atunci $d$ este paralelă cu planul. Cele trei condiții: $g\subset \alpha$; $d\parallel g$; $d\not\subset \alpha$.

5. (a) $C{C}^{\prime }$ intersectează $(ABCD)$ în punctul $C$ (are un singur punct comun, $C$). (b) $B^{\prime }{C}^{\prime }$ este paralelă cu $(ABCD)$: $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC\subset (ABCD)$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }\not\subset (ABCD)$. (c) $DC$ este inclusă în $(ABCD)$ (latură a feței de jos).

6. De exemplu: $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$ (oricare muchie a feței de sus). Justificare pentru $A^{\prime }{B}^{\prime }$: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ (fața $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ e pătrat), $AB\subset (ABCD)$, $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$ $\Rightarrow$ $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$. (Alt răspuns valabil: și diagonalele feței de sus, ex. $A^{\prime }{C}^{\prime }$, sunt paralele cu fața de jos.)

7. Adevărat. $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ (laturi opuse ale pătratului feței de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$; de fapt $A^{\prime }{D}^{\prime }$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$ sunt muchii paralele). Cum $B^{\prime }{C}^{\prime }\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ și $A^{\prime }{D}^{\prime }\not\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, rezultă $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

8. Redactare completă: (1) Fața de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ e pătrat, deci $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$. (2) $BC\subset (ABCD)$. (3) $B^{\prime }{C}^{\prime }\not\subset (ABCD)$. Din criteriu: $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (ABCD)$. $■$

9. Muchiile laterale ale prismei sunt paralele: $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$. Cum $A{A}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ (este muchie a acelei fețe) și $C{C}^{\prime }\not\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, din criteriu rezultă $C{C}^{\prime }\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. (Se poate folosi la fel de bine $C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.) $■$

10. În triunghiul $VBC$, $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $VB$, respectiv $VC$, deci $EF$ este linie mijlocie: $EF\parallel BC$. Cum $BC\subset (ABCD)$ și $EF\not\subset (ABCD)$, rezultă $EF\parallel (ABCD)$. $■$

11. Diagonala feței de sus $B^{\prime }{D}^{\prime }$ este paralelă cu diagonala feței de jos $BD$ (patrulaterul $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ este paralelogram, deoarece $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$, deci $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$). Cum $BD\subset (ABCD)$ și $B^{\prime }{D}^{\prime }\not\subset (ABCD)$, avem $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel (ABCD)$. $■$

12. Fals. Dacă $d\parallel \alpha$, dreapta $d$ este paralelă doar cu acele drepte din $\alpha$ care au aceeași direcție cu ea; în plan există și multe drepte de alte direcții, care sunt necoplanare cu $d$ (drepte în spațiu care nu se întâlnesc și nu sunt paralele). Deci $d$ nu e paralelă cu orice dreaptă din $\alpha$.

13. Muchiile $D{D}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$ sunt paralele și congruente. $M$ și $N$ fiind mijloacele lor, $DM\parallel CN$ și $DM=CN$, deci $DCNM$ este paralelogram $\Rightarrow$ $MN\parallel DC$. Cum $DC\subset (ABCD)$ și $MN\not\subset (ABCD)$, rezultă $MN\parallel (ABCD)$. $■$

14. $G,H,K$ sunt mijloacele muchiilor $VA,VB,VC$. În triunghiul $VAB$: $GH$ linie mijlocie $\Rightarrow GH\parallel AB\subset (ABC)$, deci $GH\parallel (ABC)$. În triunghiul $VBC$: $HK\parallel BC\subset (ABC)$, deci $HK\parallel (ABC)$. În triunghiul $VAC$: $GK\parallel AC\subset (ABC)$, deci $GK\parallel (ABC)$. Toate trei dreptele sunt paralele cu planul bazei. (Observație: întregul plan $(GHK)$ este paralel cu $(ABC)$ — vezi lecția următoare, plane paralele.) $■$

15. $d\parallel g$. Proprietatea: dacă o dreaptă e paralelă cu un plan, orice plan care o conține și taie planul dat îl intersectează după o dreaptă paralelă cu dreapta inițială.

16. $P$ mijlocul lui $A{A}^{\prime }$, $Q$ mijlocul lui $D{D}^{\prime }$. Muchiile $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ și $A{A}^{\prime }=D{D}^{\prime }$; deci $AP\parallel DQ$ și $AP=DQ$, adică $ADQP$ este paralelogram $\Rightarrow PQ\parallel AD$. Latura $AD$... atenție: $AD\not\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Folosim în schimb: $AD\parallel BC$ (laturi opuse ale pătratului $ABCD$), deci $PQ\parallel BC$; iar $BC\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ și $PQ\not\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Rezultă $PQ\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. $■$ (Cheia era să trecem prin $BC$, care e chiar în planul cerut.)

17. Fals. O dreaptă inclusă în plan are o infinitate de puncte comune cu planul, pe când paralelismul cere zero puncte comune. Deci o dreaptă inclusă în plan nu este paralelă cu planul; spunem că este inclusă.

18. Da, poate. În planul $\alpha$ există o singură direcție paralelă cu $d$; toate dreptele din $\alpha$ de alte direcții nu sunt paralele cu $d$ (sunt necoplanare cu ea, adică nici nu o taie, nici nu-i sunt paralele). Așadar doar unele drepte din $\alpha$ sunt paralele cu $d$.

De reținut

• Definiție: $d\parallel \alpha$ înseamnă că dreapta și planul nu au niciun punct comun. O dreaptă și un plan pot fi doar în trei poziții: inclusă ($\infty$ puncte), secantă (1 punct), paralelă (0 puncte).
• Criteriul de paralelism (unealta principală): dacă $d\not\subset \alpha$, există $g\subset \alpha$ cu $d\parallel g$, atunci $d\parallel \alpha$. Redactează mereu în trei pași: găsești $g$ în plan, arăți $d\parallel g$, precizezi $d\not\subset \alpha$.
• Proprietatea intersecției: dacă $d\parallel \alpha$, iar planul $\beta \supset d$ taie $\alpha$ după $g$, atunci $d\parallel g$. Folosește-o pentru a demonstra că două drepte sunt paralele.
• Unelte care produc paralelism $d\parallel g$: laturile opuse ale paralelogramelor/dreptunghiurilor, muchiile paralele ale corpurilor, linia mijlocie a triunghiului, tranzitivitatea ($a\parallel b$, $b\parallel c\Rightarrow a\parallel c$).
• Pe corpuri: orice muchie (sau diagonală) a feței de sus a unui cub/prismă este paralelă cu fața de jos; muchiile laterale sunt paralele cu fața laterală opusă.

Greșeli frecvente

• Confuzi „paralelă" cu „inclusă". Dacă dreapta se află în plan, ea nu este paralelă (are infinit de multe puncte comune). Verifică întotdeauna condiția $d\not\subset \alpha$ înainte de a scrie $d\parallel \alpha$.
• Uiți să spui că dreapta ajutătoare este în plan. La examen, pasul „$g\subset \alpha$" trebuie scris explicit; fără el, criteriul e incomplet și pierzi punctaj. Alege drept $g$ o dreaptă care chiar este o latură/muchie a planului cerut.
• Crezi că $d\parallel \alpha$ înseamnă $d$ paralelă cu toate dreptele din plan. Fals: $d$ e paralelă doar cu dreptele din plan care au aceeași direcție; cu celelalte este necoplanară.
• Alegi o dreaptă $g$ care nu e în planul cerut. Ca la exercițiul 16: dacă $PQ\parallel AD$ dar $AD$ nu e în planul căutat, trebuie să continui până găsești o dreaptă paralelă care chiar aparține acelui plan (acolo, $BC$).

Aplică acasă

• Vânătoarea de paralele în cameră. Alege o suprafață plană drept „plan" (podeaua sau tavanul) și caută cinci muchii/obiecte drepte din cameră care sunt paralele cu ea (marginea de sus a ușii, o poliță orizontală, o grindă, cablul întins al unei lămpi). Pentru fiecare, spune cu ce dreaptă „din plan" este paralelă — aplici, fără să-ți dai seama, criteriul.
• Cutia de carton = cub/paralelipiped. Ia o cutie goală, notează vârfurile cu litere ($A,B,C,D$ jos și $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ sus) și, cu un elastic sau o ață, întinde „diagonala" feței de sus. Verifică prin măsurare că rămâne mereu la aceeași distanță de fața de jos — model concret de dreaptă paralelă cu un plan.
• Desenează și demonstrează. Desenează pe caiet un cub în perspectivă și alege o muchie de sus. Redactează, în trei pași, demonstrația că e paralelă cu fața de jos, exact ca la Evaluarea Națională. Compară-ți redactarea cu Exemplul 2.

Pentru părinți și profesori

Această lecție construiește puntea dintre geometria plană (paralelogram, linie mijlocie) și geometria în spațiu. Elevul reușește dacă știe să traducă un paralelism dreaptă–plan (greu de „văzut") într-un paralelism dreaptă–dreaptă (ușor de recunoscut într-o față a corpului).

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Câte poziții poate avea o dreaptă față de un plan și cum le deosebești după numărul de puncte comune?"
• „Ce trebuie să găsești în plan ca să demonstrezi paralelismul? Poți să-mi spui cei trei pași?"
• „De ce nu e suficient să spui doar că $d$ e paralelă cu $g$ — ce condiție mai lipsește?" (răspuns: $g$ să fie în plan și $d$ să nu fie în plan).

Semne că a înțeles: identifică singur o dreaptă din plan paralelă cu cea dată, scrie explicit incluziunea $g\subset \alpha$ și nu confundă „paralelă" cu „inclusă". La Evaluarea Națională, paralelismul dreaptă–plan apare de regulă în subiectul III (geometrie în spațiu), integrat în probleme cu cubul, prisma sau piramida, unde se cere o justificare scurtă înainte de calculul unei arii, al unui volum sau al unei distanțe. Insistați pe redactarea în pași, pentru că punctajul se acordă pe justificare, nu doar pe rezultat. Lecția pregătește direct următoarea temă, plane paralele, și, mai departe, secțiunile paralele cu baza.

Întrebări frecvente

Când este o dreaptă paralelă cu un plan la clasa a 8-a? O dreaptă este paralelă cu un plan atunci când cele două nu au niciun punct comun, oricât ai prelungi dreapta. Practic, demonstrezi acest lucru găsind în plan o dreaptă paralelă cu dreapta dată (criteriul de paralelism), cu condiția ca dreapta să nu fie inclusă în plan.

Care este criteriul de paralelism dreaptă–plan? Dacă o dreaptă $d$, care nu este inclusă în planul $\alpha$, este paralelă cu o dreaptă $g$ din planul $\alpha$, atunci $d$ este paralelă cu $\alpha$. Cele trei condiții obligatorii sunt: $g\subset \alpha$, $d\parallel g$ și $d\not\subset \alpha$.

Care e diferența dintre o dreaptă paralelă cu un plan și una inclusă în plan? O dreaptă inclusă în plan are o infinitate de puncte comune cu el (se află „în interiorul" planului). O dreaptă paralelă are zero puncte comune și se află în afara planului. Deci o dreaptă inclusă în plan nu este considerată paralelă cu planul.

Cum arăt că o muchie a cubului e paralelă cu o față? Găsești, în acea față, o muchie paralelă cu muchia dată (folosind că fețele cubului sunt pătrate, deci laturile opuse sunt paralele). Apoi aplici criteriul: muchia din față este în plan, muchia ta e paralelă cu ea și nu se află în față — deci e paralelă cu fața.

Dacă o dreaptă e paralelă cu un plan, e paralelă cu toate dreptele din plan? Nu. Este paralelă doar cu dreptele din plan care au aceeași direcție cu ea. Cu celelalte drepte din plan formează perechi de drepte necoplanare (drepte care nici nu se intersectează, nici nu sunt paralele).

La ce folosește linia mijlocie în paralelismul dreaptă–plan? Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu latura a treia. La piramide și tetraedre, unești mijloacele a două muchii care pornesc din vârf; segmentul obținut este paralel cu o latură a bazei, iar acea latură este în planul bazei — deci segmentul e paralel cu baza.

Apare paralelismul dreaptă–plan la Evaluarea Națională? Da, frecvent, în subiectul de geometrie în spațiu. De obicei se cere o scurtă justificare a paralelismului (redactată în pași) ca parte dintr-o problemă mai mare cu cub, prismă sau piramidă, înainte de a calcula o arie, un volum sau o distanță.

Ce înseamnă notația $d\parallel \alpha$? Simbolul $\parallel$ înseamnă „paralel", iar $\alpha$ (litera grecească alfa) notează de obicei un plan. Așadar $d\parallel \alpha$ se citește „dreapta $d$ este paralelă cu planul $\alpha$" și înseamnă că dreapta și planul nu au niciun punct comun.