Pentru a demonstra, cu ajutorul criteriului de perpendicularitate, că o dreaptă $$d$$ este perpendiculară pe un plan $$\alpha$$, ai nevoie de două drepte din $$\alpha$$ pe care $$d$$ să fie perpendiculară, iar aceste două drepte trebuie să fie:

oarecare, fără nicio condiție

În cubul $$MNPQM'N'P'Q'$$, muchia $$MM'$$ este perpendiculară pe $$MN$$ și pe $$MQ$$, iar $$MN \cap MQ = \{M\}$$, cu $$MN, MQ \subset (MNPQ)$$. Ce putem afirma despre $$MM'$$?

$$MM'$$ este doar oblică față de planul $$(MNPQ)$$

Nu putem afirma nimic fără alte drepte

Dacă o dreaptă $$d$$ este perpendiculară pe un plan $$\alpha$$, atunci $$d$$ este perpendiculară pe:

o singură dreaptă din $$\alpha$$

exact două drepte din $$\alpha$$

doar dreptele care trec prin piciorul perpendicularei

Când e o dreaptă perpendiculară pe un plan?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Dreapta perpendiculară pe plan

O dreaptă este perpendiculară pe un plan când îl străpunge într-un punct și face unghi drept cu toate segmentele trasate în plan din acel punct. Cum nu poți verifica o infinitate de drepte, îți ajung două care se taie între ele: dacă $d$ este perpendiculară pe amândouă, atunci este perpendiculară pe tot planul. Într-un cub, muchia $A A^{'}$ face unghi drept cu $A B$ și cu $A D$ , deci și cu întreaga bază.

O dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $α$ dacă înțeapă planul într-un punct $O$ (piciorul perpendicularei) și este perpendiculară pe orice dreaptă din $α$ care trece prin $O$ . Cum nu putem verifica o infinitate de drepte, folosim criteriul de perpendicularitate: dacă $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente $a$ și $b$ dintr-un plan, atunci $d ⊥ α$ . Cele două drepte trebuie neapărat concurente, nu paralele — altfel controlăm o singură direcție, nu tot planul.

Exemplu. În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , muchia $A A^{'}$ este perpendiculară pe $A B$ și pe $A D$ (fețele sunt pătrate), iar $A B \cap A D = {A}$ , deci $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ . De aici, $A A^{'}$ este perpendiculară pe orice dreaptă din bază, chiar și pe cele cu care nu se atinge (de exemplu $A A^{'} ⊥ B C$ ).

De reținut

criteriul: perpendiculară pe două drepte concurente din plan
atunci este perpendiculară pe orice dreaptă a planului
piciorul perpendicularei = proiecția punctului pe plan

Greșeala tipică

Se aplică criteriul pe două drepte paralele din plan. Cele două drepte trebuie neapărat să se taie, altfel se controlează o singură direcție și dreapta poate rămâne înclinată față de plan.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru a demonstra, cu ajutorul criteriului de perpendicularitate, că o dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $α$ , ai nevoie de două drepte din $α$ pe care $d$ să fie perpendiculară, iar aceste două drepte trebuie să fie:
- a) paralele
- b) concurente
- c) confundate
- d) oarecare, fără nicio condiție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) concurente

Criteriul cere ca cele două drepte din plan să fie concurente (să aibă un punct comun). Dacă ar fi paralele, ele ar indica aceeași direcție, iar $d$ ar fi perpendiculară pe o singură direcție, nu pe tot planul.
În cubul $M N P Q M^{'} N^{'} P^{'} Q^{'}$ , muchia $M M^{'}$ este perpendiculară pe $M N$ și pe $M Q$ , iar $M N \cap M Q = {M}$ , cu $M N, M Q \subset (M N P Q)$ . Ce putem afirma despre $M M^{'}$ ?
- a) $M M^{'} ⊥ (M N P Q)$
- b) $M M^{'}$ este doar oblică față de planul $(M N P Q)$
- c) $M M^{'} ∥ (M N P Q)$
- d) Nu putem afirma nimic fără alte drepte
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $M M^{'} ⊥ (M N P Q)$

Sunt îndeplinite ambele condiții ale criteriului: $M M^{'} ⊥ M N$ , $M M^{'} ⊥ M Q$ , iar $M N$ și $M Q$ sunt concurente în $M$ și conținute în plan. Deci $M M^{'} ⊥ (M N P Q)$ .
Dacă o dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $α$ , atunci $d$ este perpendiculară pe:
- a) o singură dreaptă din $α$
- b) exact două drepte din $α$
- c) doar dreptele care trec prin piciorul perpendicularei
- d) orice dreaptă din $α$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) orice dreaptă din $α$

Prin definiție, perpendicularitatea dreaptă–plan înseamnă că $d$ este perpendiculară pe toate dreptele din plan, nu doar pe cele care trec prin piciorul perpendicularei.

Întrebări conexe

Ce este piciorul perpendicularei?

Este punctul în care perpendiculara atinge planul, adică locul unde se oprește segmentul coborât din exterior. Se notează de obicei cu $O$ sau cu litera punctului însoțită de accent. Distanța de la punctul de sus până la el este chiar distanța până la plan.

De ce criteriul cere două drepte care se taie, nu două paralele?

Pentru că două drepte paralele arată o singură direcție din plan, iar planul are nevoie de două direcții diferite ca să fie prins tot. O riglă poate sta perpendicular pe niște dungi paralele de pe masă și totuși să fie înclinată față de masă.

Câte perpendiculare pot cobora dintr-un punct pe un plan?

Una singură. Dacă ar exista două, ele ar forma cu planul un triunghi cu două unghiuri drepte, ceea ce este imposibil. Din acest motiv proiecția unui punct pe un plan este bine determinată.

Cum arăt că muchia laterală a unei prisme drepte este perpendiculară pe bază?

Arăți că face unghi drept cu două laturi ale bazei care pornesc din același vârf. La o prismă dreaptă fețele laterale sunt dreptunghiuri, deci unghiurile respective sunt drepte prin construcție, iar criteriul se aplică imediat.

Cum pot fi două drepte perpendiculare fără să se atingă?

În spațiu, unghiul a două drepte se măsoară mutând una dintre ele paralel cu ea însăși, până se întâlnesc. Dacă unghiul astfel obținut este drept, dreptele sunt perpendiculare chiar dacă nu au niciun punct comun, așa cum se întâmplă la o muchie verticală a cubului și la o muchie a bazei pe care nu o atinge.

Ce legătură are o dreaptă perpendiculară pe plan cu dreptele desenate în plan?

Face unghi drept cu absolut toate, chiar și cu cele care trec departe de piciorul ei. La un cub, muchia verticală din colțul $A$ este perpendiculară și pe latura $B C$ , deși cele două nici nu se ating. Proprietatea aceasta scurtează multe demonstrații.

Oamenii mai întreabă și: dreaptă perpendiculară pe un plan · criteriul de perpendicularitate dreaptă plan · piciorul perpendicularei · când este o dreaptă perpendiculară pe un plan · perpendiculara pe un plan