Drepte perpendiculare. Dreapta perpendiculară pe un plan

Privește un stâlp de iluminat înfipt drept în asfalt, un catarg de steag ridicat pe o terasă sau piciorul unei mese așezate pe podea. Toate au ceva în comun: stau „perfect vertical", adică formează un unghi drept cu suprafața pe care se sprijină — și nu doar cu o singură direcție de pe acea suprafață, ci cu toate direcțiile din ea. Aceasta este ideea centrală a lecției de azi: ce înseamnă ca o dreaptă să fie perpendiculară pe un plan și cum putem dovedi, cu un raționament scurt și sigur, acest lucru. Este una dintre cele mai importante noțiuni de geometrie în spațiu de la clasa a VIII-a și stă la baza aproape tuturor problemelor de la Evaluarea Națională cu prisme, piramide și cuburi.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști și să justifici când două drepte din spațiu sunt perpendiculare, fie că sunt concurente, fie că sunt necoplanare.
Vei ști să enunți corect definiția dreptei perpendiculare pe un plan.
Vei ști să aplici criteriul de perpendicularitate (perpendiculara pe două drepte concurente din plan) pentru a demonstra că o dreaptă este perpendiculară pe un plan.
Vei ști să folosești proprietățile perpendicularității: unicitatea perpendicularei și faptul că două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele.
Vei ști să reprezinți prin desen o dreaptă perpendiculară pe un plan și să recunoști muchiile perpendiculare pe fețe la cub și la paralelipipedul dreptunghic.

Hai să descoperim împreună

1. Ne amintim: două drepte perpendiculare în spațiu

În lecția Unghiul a două drepte în spațiu am definit unghiul dintre două drepte din spațiu. Reluăm ideea, pentru că perpendicularitatea este pur și simplu cazul particular al unghiului de $90°$ .

Două drepte din spațiu se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de $90°$ . Atenție însă la o deosebire importantă față de geometria plană: în spațiu, două drepte perpendiculare NU trebuie neapărat să se intersecteze. Distingem două situații:

Drepte perpendiculare concurente — se intersectează într-un punct și formează în acel punct un unghi drept. Exemplu: două muchii ale unui cub care pornesc din același colț.
Drepte perpendiculare necoplanare — nu au niciun punct comun și nu se află în niciun plan comun, dar unghiul dintre ele (măsurat cu metoda paralelelor) este de $90°$ . Exemplu: pe cub, muchia de jos a unei fețe și o muchie verticală de pe fața opusă.

Cum verificăm perpendicularitatea a două drepte necoplanare? Prin metoda paralelelor: ducem printr-un punct convenabil o dreaptă paralelă cu una dintre ele și măsurăm unghiul cu cealaltă. Dacă obținem $90°$ , dreptele sunt perpendiculare. Notăm perpendicularitatea a două drepte $a$ și $b$ prin $a ⊥ b$ .

Un rezultat foarte util (folosit des la Evaluarea Națională): dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre două drepte paralele, atunci este perpendiculară și pe cealaltă. Cu alte cuvinte, dacă $a ∥ b$ și $c ⊥ a$ , atunci $c ⊥ b$ . Vom folosi această idee des în demonstrații.

2. Definiția dreptei perpendiculare pe un plan

Acum trecem la vedeta lecției. Ce înseamnă ca o dreaptă întreagă să fie perpendiculară nu pe o altă dreaptă, ci pe un plan întreg?

Imaginează-ți catargul de steag înfipt în podea, în punctul $O$ . El este cu adevărat „vertical" doar dacă face unghi drept cu orice direcție am trasa pe podea prin punctul $O$ : cu direcția spre ușă, cu direcția spre fereastră, cu orice altă direcție. Aceasta este exact definiția.

Definiție. O dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $α$ dacă $d$ intersectează planul $α$ într-un punct $O$ și este perpendiculară pe orice dreaptă din planul $α$ care trece prin punctul $O$ .

Notăm acest lucru prin $d ⊥ α$ . Punctul $O$ în care dreapta „înțeapă" planul se numește piciorul perpendicularei.

Observă cât de „tare" este această condiție: dreapta trebuie să fie perpendiculară pe fiecare dreaptă din plan care trece prin picior, adică pe o infinitate de drepte deodată. Dacă d ar face un unghi drept doar cu o singură direcție din plan, dar cu alta un unghi de, să zicem, $80°$ , atunci $d$ nu ar fi perpendiculară pe plan — ar fi doar oblică (înclinată).

O consecință imediată și foarte importantă: dacă $d ⊥ α$ , atunci $d$ este perpendiculară pe orice dreaptă conținută în planul $α$ , chiar și pe cele care nu trec prin $O$ . De ce? Pentru că orice dreaptă din plan este paralelă cu o dreaptă care trece prin $O$ (dreapta prin $O$ având aceeași direcție), iar $d$ este perpendiculară pe acea paralelă, deci și pe dreapta dată. Rețineți acest lucru: o dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe toate dreptele din acel plan. Este cea mai folosită proprietate în problemele de examen.

3. Problema practică: cum verificăm definiția?

Definiția este frumoasă, dar are un dezavantaj: nu putem verifica niciodată perpendicularitatea pe o infinitate de drepte, una câte una. Ar dura o veșnicie. Avem nevoie de o „scurtătură", de o metodă rapidă care să ne garanteze că dreapta e perpendiculară pe TOATE direcțiile din plan, verificând doar câteva. Această scurtătură se numește criteriul de perpendicularitate.

4. Criteriul de perpendicularitate a dreptei pe plan

Iată rezultatul care face toată geometria în spațiu să funcționeze:

Criteriul de perpendicularitate (teoremă). Dacă o dreaptă $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan $α$ , atunci $d$ este perpendiculară pe întregul plan $α$ .

Cu alte cuvinte: nu trebuie să verifici o infinitate de drepte. Îți ajunge să găsești în plan două drepte $a$ și $b$ care:

trec prin același punct $O$ (sunt concurente în $O$ ), și
sunt fiecare perpendiculare pe $d$ (adică $d ⊥ a$ și $d ⊥ b$ ).

Dacă ambele condiții sunt îndeplinite, ai câștigat: $d ⊥ α$ , și de aici $d$ este perpendiculară pe TOATE dreptele din plan.

Cele două condiții sunt esențiale amândouă. Să vedem de ce nu putem renunța la niciuna:

Perpendiculară pe o singură dreaptă nu ajunge. O dreaptă poate fi perpendiculară pe o dreaptă din plan și totuși să fie doar înclinată față de plan. Gândește-te la o riglă sprijinită oblic de perete: ea poate face unghi drept cu linia orizontală de la baza peretelui, dar să fie totuși înclinată, nu perpendiculară pe perete.
Cele două drepte trebuie să fie concurente, nu paralele. Dacă $a ∥ b$ , ele „arată aceeași direcție", deci a fi perpendicular pe amândouă înseamnă, de fapt, a fi perpendicular pe o singură direcție — nu e suficient. Concurența garantează că $a$ și $b$ „acoperă" două direcții diferite, iar din ele planul întreg este determinat.

Acesta este instrumentul principal de lucru. Reține formularea-șablon pe care o vei scrie la examen:

Șablon de demonstrație: „ $d ⊥ a$ , $d ⊥ b$ , $a, b \subset α$ , $a \cap b = {O}$ , deci $d ⊥ α$ ."

5. De ce funcționează criteriul (justificare intuitivă)

Nu vom face o demonstrație riguroasă completă (nu se cere la gimnaziu), dar merită să înțelegi intuitiv de ce două drepte sunt de-ajuns. Două drepte concurente $a$ și $b$ determină planul $α$ — l-am văzut în lecția Determinarea dreptei și determinarea planului. Orice altă direcție din plan este, în esență, o „combinație" a direcțiilor lui $a$ și $b$ . Dacă dreapta $d$ este perpendiculară pe ambele direcții „de bază", ea rămâne perpendiculară pe orice combinație a lor, adică pe orice dreaptă din plan. Cele două drepte concurente joacă rolul a doi „stâlpi de sprijin" care fixează întreg planul.

6. Aplicație-model pe cub

Să vedem criteriul la lucru pe cel mai frecvent corp de la Evaluarea Națională: cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

Vrem să arătăm că muchia $A A^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei $(A B C D)$ .

Ne uităm la punctul $A$ , unde muchia verticală $A A^{'}$ atinge baza. Din $A$ pornesc, în planul bazei, două muchii: $A B$ și $A D$ .

Fața $A B B^{'} A^{'}$ este un pătrat (fețele cubului sunt pătrate), deci unghiul din $A$ este drept: $A A^{'} ⊥ A B$ .
Fața $A D D^{'} A^{'}$ este de asemenea un pătrat, deci $A A^{'} ⊥ A D$ .
Dreptele $A B$ și $A D$ sunt concurente în $A$ și sunt conținute în planul $(A B C D)$ .

Aplicăm criteriul: $A A^{'} ⊥ A B$ , $A A^{'} ⊥ A D$ , $A B \cap A D = {A}$ , $A B, A D \subset (A B C D)$ , deci $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ .

De aici tragem un beneficiu uriaș: pentru că $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ , muchia $A A^{'}$ este perpendiculară pe orice dreaptă din baza cubului. De exemplu $A A^{'} ⊥ A C$ (diagonala bazei), $A A^{'} ⊥ B D$ , ba chiar și pe drepte care nu trec prin $A$ . Cu un singur raționament am obținut o mulțime de perpendicularități utile în problemele de arii, volume și distanțe.

La fel se demonstrează că orice muchie verticală ( $B B^{'}$ , $C C^{'}$ , $D D^{'}$ ) este perpendiculară pe planul bazei, și că orice muchie verticală este perpendiculară pe planul feței superioare $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ .

7. Proprietatea 1: unicitatea perpendicularei

Ai putea să te întrebi: printr-un punct dat, câte drepte perpendiculare pe un plan pot exista? Răspunsul este net:

Proprietatea unicității. Printr-un punct dat (fie el în plan, fie în afara planului) trece o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat.

Este exact ce ne spune și experiența: dintr-un punct din tavan atârnă o singură direcție „drept în jos"; nu poți avea două fire cu plumb care să atârne vertical în direcții diferite din același cui. Această unicitate este cea care ne va permite, în lecțiile următoare, să definim fără ambiguitate proiecția unui punct pe un plan și distanța de la un punct la un plan — vezi Proiecții pe un plan.

8. Proprietatea 2: două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele

A doua proprietate cheie leagă perpendicularitatea de paralelism:

Proprietate. Dacă două drepte distincte sunt perpendiculare pe același plan, atunci ele sunt paralele între ele.

Intuitiv: dacă doi stâlpi sunt fiecare „drept vertical" față de aceeași podea, atunci ei sunt paraleli — arată în aceeași direcție (în sus). Pe cub, muchiile verticale $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ , $D D^{'}$ sunt toate perpendiculare pe planul bazei $(A B C D)$ , deci sunt toate paralele între ele — lucru pe care îl știam deja, dar acum îl putem și justifica prin această proprietate.

Reciproc, este adevărat și rezultatul „pereche": dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci orice dreaptă paralelă cu ea este de asemenea perpendiculară pe acel plan. Cele două rezultate lucrează adesea împreună în demonstrații.

9. Recunoașterea muchiilor perpendiculare pe fețe (cub și paralelipiped)

La Evaluarea Națională ți se cere adesea să indici rapid ce muchie este perpendiculară pe ce față. Regula practică pentru paralelipipedul dreptunghic (și cazul lui particular, cubul) este simplă:

La un paralelipiped dreptunghic, fiecare muchie este perpendiculară pe cele două fețe pe care le „înțeapă", adică pe fețele la care este muchie de sprijin, dar nu în planul lor.

Concret, la paralelipipedul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ :

Muchiile verticale ( $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ , $D D^{'}$ ) sunt perpendiculare pe planul bazei $(A B C D)$ și pe planul feței superioare $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ .
Muchiile de tip $A B$ (și paralelele lor $D C$ , $A^{'} B^{'}$ , $D^{'} C^{'}$ ) sunt perpendiculare pe fețele laterale „din capete", adică pe $(A D D^{'} A^{'})$ și $(B C C^{'} B^{'})$ .
Muchiile de tip $A D$ (și paralelele lor) sunt perpendiculare pe fețele $(A B B^{'} A^{'})$ și $(D C C^{'} D^{'})$ .

Motivul, de fiecare dată, este același criteriu: în fiecare colț al unui paralelipiped dreptunghic se întâlnesc trei muchii, două câte două perpendiculare (unghiurile fețelor sunt drepte). Fiecare muchie este atunci perpendiculară pe cele două muchii ale feței pe care se sprijină și, cum acestea sunt concurente, muchia e perpendiculară pe planul feței.

Fii însă atent: la o prismă oblică sau la o piramidă, nu toate muchiile „laterale" sunt perpendiculare pe bază. Perpendicularitatea muchiei laterale pe bază este garantată doar când problema o spune sau când figura este dreaptă/regulată. Nu presupune niciodată perpendicularitatea; ea trebuie justificată prin criteriu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicarea directă a criteriului

Enunț. În figură, dreapta $V O$ este perpendiculară pe două drepte $O M$ și $O N$ din planul $α$ , unde $O, M, N \in α$ , iar $O M$ și $O N$ sunt distincte. Ce putem afirma despre poziția dreptei $V O$ față de planul $α$ și despre dreapta $O P$ , unde $P \in α$ este un punct oarecare?

Rezolvare. Verificăm condițiile criteriului de perpendicularitate:

$V O ⊥ O M$ și $V O ⊥ O N$ (din ipoteză);
$O M$ și $O N$ sunt concurente în $O$ (au punctul comun $O$ și sunt distincte);
$O M, O N \subset α$ .

Toate condițiile sunt îndeplinite, deci $V O ⊥ α$ .

Pentru $O P$ : dreapta $O P$ este o dreaptă din planul $α$ (fiindcă $O, P \in α$ ). Dar o dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan, așadar $V O ⊥ O P$ . Concluzie: $V O ⊥ α$ și $V O ⊥ O P$ .

Exemplul 2 — Demonstrație pe cub

Enunț. Fie cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Demonstrează că $D D^{'} ⊥ (A B C D)$ și deduce că $D D^{'} ⊥ A C$ .

Rezolvare. Ne plasăm în punctul $D$ , unde muchia $D D^{'}$ atinge baza. Din $D$ pornesc, în baza $(A B C D)$ , muchiile $D A$ și $D C$ .

Fața $A D D^{'} A^{'}$ este pătrat $\Rightarrow$ unghiul din $D$ este drept $\Rightarrow D D^{'} ⊥ D A$ .
Fața $D C C^{'} D^{'}$ este pătrat $\Rightarrow D D^{'} ⊥ D C$ .
$D A \cap D C = {D}$ și $D A, D C \subset (A B C D)$ .

Din criteriu: $D D^{'} ⊥ (A B C D)$ .

Cum $A C$ este o dreaptă a bazei (diagonala pătratului $A B C D$ ), iar $D D^{'}$ e perpendiculară pe plan, rezultă $D D^{'} ⊥ A C$ . Concluzie demonstrată.

Exemplul 3 — Perpendicularitate necoplanară pe cub

Enunț. În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , arată că dreptele $A A^{'}$ și $B C$ sunt perpendiculare, deși nu se intersectează.

Rezolvare. Observăm mai întâi pozițiile: $A A^{'}$ este verticală, $B C$ este o muchie a bazei; ele nu au niciun punct comun și nu sunt paralele, deci sunt necoplanare. Folosim un rezultat pe care tocmai l-am obținut: $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ (muchia verticală e perpendiculară pe bază, exact ca în Exemplul 2).

Dar $B C$ este o dreaptă conținută în planul bazei $(A B C D)$ . O dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan, inclusiv pe cele cu care nu are punct comun. Prin urmare $A A^{'} ⊥ B C$ . Concluzie: cele două drepte sunt perpendiculare (necoplanar), $A A^{'} ⊥ B C$ .

Acest exemplu arată puterea criteriului: în loc să căutăm complicat unghiul dintre două drepte necoplanare cu metoda paralelelor, deducem perpendicularitatea instantaneu, folosind că una dintre drepte e perpendiculară pe un plan ce o conține pe cealaltă.

Exemplul 4 — Paralelipiped dreptunghic

Enunț. Fie paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu $A B = 6$ cm, $A D = 4$ cm, $A A^{'} = 3$ cm. a) Arată că $A B ⊥ (A D D^{'} A^{'})$ . b) Folosind punctul a), justifică faptul că triunghiul $A B D^{'}$ este dreptunghic în $A$ .

Rezolvare. a) În punctul $A$ , muchia $A B$ întâlnește fața $(A D D^{'} A^{'})$ . Din $A$ , în acest plan, pornesc dreptele $A D$ și $A A^{'}$ .

Fața $A B C D$ e dreptunghi $\Rightarrow A B ⊥ A D$ .
Fața $A B B^{'} A^{'}$ e dreptunghi $\Rightarrow A B ⊥ A A^{'}$ .
$A D \cap A A^{'} = {A}$ , $A D, A A^{'} \subset (A D D^{'} A^{'})$ .

Din criteriu: $A B ⊥ (A D D^{'} A^{'})$ .

b) Segmentul $A D^{'}$ este o dreaptă (diagonala feței) conținută în planul $(A D D^{'} A^{'})$ . Cum $A B ⊥ (A D D^{'} A^{'})$ , rezultă $A B ⊥ A D^{'}$ . Deci unghiul $∠ B A D^{'} = 90°$ , adică triunghiul $A B D^{'}$ este dreptunghic în $A$ . (Bonus: putem chiar calcula $A D^{'} = A D^{2} + A A^{'2} = 16 + 9 = 5$ cm, iar apoi $B D^{'} = A B^{2} + A D^{'2} = 36 + 25 = 61$ cm — diagonala paralelipipedului.)

Exemplul 5 — Piramidă cu muchie perpendiculară pe bază

Enunț. Fie piramida $V A B C$ în care muchia $V A$ este perpendiculară pe planul bazei $(A B C)$ . Arată că $V A ⊥ B C$ și că triunghiurile $V A B$ și $V A C$ sunt dreptunghice.

Rezolvare. Din ipoteză $V A ⊥ (A B C)$ . Deci $V A$ este perpendiculară pe orice dreaptă din baza $(A B C)$ :

$V A ⊥ A B \Rightarrow$ triunghiul $V A B$ este dreptunghic în $A$ ;
$V A ⊥ A C \Rightarrow$ triunghiul $V A C$ este dreptunghic în $A$ ;
$B C \subset (A B C) \Rightarrow V A ⊥ B C$ .

Concluzie. Toate cele trei perpendicularități rezultă dintr-o singură ipoteză, $V A ⊥ (A B C)$ . Reține tiparul: „muchie perpendiculară pe bază" $\Rightarrow$ o mulțime de triunghiuri dreptunghice cu unghiul drept la piciorul muchiei. Este cheia problemelor cu piramide de la examen.

Exemplul 6 — Deducerea paralelismului din perpendicularitate

Enunț. Două drepte $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt fiecare perpendiculare pe planul $α$ . Se știe că $d_{1}$ trece prin punctul $A \in α$ și $d_{2}$ prin punctul $B \in α$ , $A \neq = B$ . Ce relație există între $d_{1}$ și $d_{2}$ ? Poate exista printr-un punct $A$ o a doua dreaptă, diferită de $d_{1}$ , tot perpendiculară pe $α$ ?

Rezolvare. Ambele drepte sunt perpendiculare pe același plan $α$ ; conform proprietății demonstrate, două drepte distincte perpendiculare pe același plan sunt paralele, deci $d_{1} ∥ d_{2}$ .

La a doua întrebare, răspunsul este nu: conform proprietății de unicitate, printr-un punct trece o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat. Dacă ar mai exista o dreaptă $d_{1}^{'}$ prin $A$ , perpendiculară pe $α$ , atunci $d_{1}^{'} ∥ d_{1}$ (fiind perpendiculare pe același plan), dar două drepte paralele distincte nu pot avea un punct comun — contradicție. Deci $d_{1}$ este unica perpendiculară prin $A$ .

Să exersăm

Rezolvă exercițiile pe caiet, făcând de fiecare dată un desen clar. La demonstrații, scrie complet șablonul criteriului.

1. Completează: O dreaptă $d$ este perpendiculară pe planul $α$ dacă intersectează planul într-un punct $O$ și este perpendiculară pe ............ dreaptă din plan care trece prin $O$ .

2. Enunță criteriul de perpendicularitate a unei drepte pe un plan. Câte drepte din plan și cu ce poziție relativă îți trebuie?

3. Adevărat sau fals (justifică): Dacă o dreaptă este perpendiculară pe o dreaptă dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe plan.

4. Adevărat sau fals (justifică): Dacă $d ⊥ α$ , atunci $d$ este perpendiculară pe orice dreaptă din $α$ , chiar dacă nu trece prin piciorul perpendicularei.

5. Adevărat sau fals (justifică): Două drepte perpendiculare în spațiu se intersectează întotdeauna.

6. În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , demonstrează că $C C^{'} ⊥ (A B C D)$ .

7. În același cub, folosind exercițiul 6, arată că $C C^{'} ⊥ B D$ (diagonala bazei).

8. În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , precizează, cu justificare, poziția muchiei $B B^{'}$ față de planul feței superioare $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ .

9. Fie paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Arată că $A D ⊥ (A B B^{'} A^{'})$ și deduce că $A D ⊥ A B^{'}$ .

10. În paralelipipedul dreptunghic de la exercițiul 9, cu $A B = 12$ cm și $A A^{'} = 5$ cm, calculează $A B^{'}$ (diagonala feței $A B B^{'} A^{'}$ ) și apoi arată că triunghiul $A D B^{'}$ este dreptunghic. Dacă $A D = 8$ cm, calculează $D B^{'}$ .

11. Dreapta $V O ⊥ α$ , cu $O \in α$ . Punctele $M, N \in α$ sunt astfel încât $O$ , $M$ , $N$ sunt necoliniare. Câte triunghiuri dreptunghice apar cu vârful în $V$ și unghiul drept în $O$ ? Numește-le.

12. Două drepte $a$ și $b$ sunt paralele, iar dreapta $c$ este perpendiculară pe $a$ . Este $c$ perpendiculară și pe $b$ ? Justifică.

13. Fie piramida $V A B C D$ cu baza pătratul $A B C D$ , în care $V A ⊥ (A B C D)$ . Arată că $V A ⊥ A C$ și că $V A ⊥ B D$ .

14. (tip Evaluare Națională) În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , stabilește dacă dreptele $A A^{'}$ și $B^{'} C^{'}$ sunt perpendiculare. Justifică folosind o dreaptă perpendiculară pe un plan.

15. (tip Evaluare Națională) Dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt perpendiculare pe planul $α$ . Se știe că $d_{1} \neq = d_{2}$ . Alege răspunsul corect și justifică: dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ sunt (A) concurente; (B) paralele; (C) necoplanare; (D) confundate.

16. Explică, în două-trei propoziții, de ce în criteriul de perpendicularitate cele două drepte din plan trebuie să fie concurente, și nu pot fi paralele.

17. (raționament) Se dă planul $α$ și punctul $P \in / α$ . Câte drepte perpendiculare pe $α$ trec prin $P$ ? Dar drepte paralele cu $α$ prin $P$ ? Justifică diferența.

18. (sinteză, tip Evaluare Națională) În piramida $V A B C$ cu $V A ⊥ (A B C)$ se știe că triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ (deci $A B ⊥ B C$ ). a) Arată că $B C ⊥ (V A B)$ . b) Deduce că $B C ⊥ V B$ .

Răspunsuri și explicații

1. ...orice (fiecare)... — dreapta trebuie să fie perpendiculară pe orice dreaptă din plan care trece prin picior. Aceasta este definiția.

2. Dacă o dreaptă $d$ e perpendiculară pe două drepte concurente dintr-un plan $α$ , atunci $d ⊥ α$ . Îți trebuie două drepte din plan, concurente (cu un punct comun).

3. Fals. Perpendicularitatea pe o singură dreaptă din plan nu garantează perpendicularitatea pe plan — dreapta poate fi oblică. Ai nevoie de două drepte concurente. (Exemplu: o riglă înclinată de perete poate fi perpendiculară pe linia de la baza peretelui, fără a fi perpendiculară pe perete.)

4. Adevărat. Dacă $d ⊥ α$ , atunci $d$ e perpendiculară pe orice dreaptă din $α$ , indiferent dacă aceasta trece sau nu prin picior, pentru că orice dreaptă din plan e paralelă cu una care trece prin picior, iar $d$ e perpendiculară pe acea paralelă.

5. Fals. În spațiu, două drepte pot fi perpendiculare fără să se intersecteze — cazul necoplanar (ex.: $A A^{'}$ și $B C$ pe cub).

6. În $C$ : fața $B C C^{'} B^{'}$ pătrat $\Rightarrow C C^{'} ⊥ C B$ ; fața $D C C^{'} D^{'}$ pătrat $\Rightarrow C C^{'} ⊥ C D$ ; $C B \cap C D = {C}$ , $C B, C D \subset (A B C D)$ . Din criteriu, $C C^{'} ⊥ (A B C D)$ .

7. $B D$ e o dreaptă din planul $(A B C D)$ ; cum $C C^{'} ⊥ (A B C D)$ , rezultă $C C^{'} ⊥ B D$ (perpendiculară pe plan $\Rightarrow$ perpendiculară pe orice dreaptă din plan).

8. $B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ . În $B^{'}$ : fețele $A B B^{'} A^{'}$ și $B C C^{'} B^{'}$ sunt pătrate $\Rightarrow B B^{'} ⊥ B^{'} A^{'}$ și $B B^{'} ⊥ B^{'} C^{'}$ ; $B^{'} A^{'} \cap B^{'} C^{'} = {B^{'}}$ , ambele în $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ . Din criteriu, $B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ .

9. În $A$ : $A B ⊥ A D$ (dreptunghiul $A B C D$ ) și $A A^{'} ⊥ A D$ (dreptunghiul $A D D^{'} A^{'}$ ), deci $A D ⊥ A B$ și $A D ⊥ A A^{'}$ ; $A B \cap A A^{'} = {A}$ , $A B, A A^{'} \subset (A B B^{'} A^{'})$ . Din criteriu, $A D ⊥ (A B B^{'} A^{'})$ . Cum $A B^{'} \subset (A B B^{'} A^{'})$ , rezultă $A D ⊥ A B^{'}$ .

10. $A B^{'} = A B^{2} + A A^{'2} = 144 + 25 = 169 = 13$ cm. Din exercițiul 9, $A D ⊥ A B^{'}$ , deci $∠ D A B^{'} = 90°$ și triunghiul $A D B^{'}$ e dreptunghic în $A$ . Atunci $D B^{'} = A D^{2} + A B^{'2} = 64 + 169 = 233$ cm $\approx 15, 26$ cm. (Observație: $233$ este chiar diagonala paralelipipedului, $1 2^{2} + 8^{2} + 5^{2} = 144 + 64 + 25 = 233$ .)

11. Cu punctele date $O$ , $M$ , $N$ apar două triunghiuri dreptunghice cu vârful în $V$ și unghiul drept în $O$ : $△ V O M$ și $△ V O N$ . Într-adevăr, $V O ⊥ α \Rightarrow V O ⊥ O M$ și $V O ⊥ O N$ (fiindcă $O M, O N \subset α$ ), deci unghiurile $∠ V O M$ și $∠ V O N$ sunt drepte. (Triunghiul $△ V M N$ nu este neapărat dreptunghic, iar $△ O M N$ nu are vârful în $V$ .)

12. Da. Dacă $a ∥ b$ și $c ⊥ a$ , atunci $c ⊥ b$ : perpendiculara pe una dintre două drepte paralele este perpendiculară și pe cealaltă (au aceeași direcție).

13. $V A ⊥ (A B C D)$ ; $A C$ și $B D$ sunt drepte din planul bazei (diagonalele pătratului), deci $V A ⊥ A C$ și $V A ⊥ B D$ (perpendiculară pe plan $\Rightarrow$ perpendiculară pe orice dreaptă din plan).

14. Da, sunt perpendiculare. $A A^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ (muchia verticală e perpendiculară pe fața superioară, exercițiul 8 aplicat la $A^{'}$ ). Dreapta $B^{'} C^{'}$ este în planul $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ , deci $A A^{'} ⊥ B^{'} C^{'}$ . (Sunt necoplanare, dar perpendiculare.)

15. Răspuns: (B) paralele. Două drepte distincte perpendiculare pe același plan sunt paralele.

16. Două drepte paralele „arată aceeași direcție", deci a fi perpendicular pe amândouă înseamnă a fi perpendicular pe o singură direcție — insuficient pentru a controla tot planul. Numai două drepte concurente acoperă două direcții diferite, care determină planul; perpendicularitatea pe ele garantează perpendicularitatea pe orice direcție din plan.

17. Prin $P$ trece o singură dreaptă perpendiculară pe $α$ (proprietatea unicității). În schimb, prin $P$ trec o infinitate de drepte paralele cu $α$ (toate dreptele din planul prin $P$ paralel cu $α$ ). Diferența: perpendicularitatea fixează o direcție unică (verticala), pe când paralelismul cu un plan admite toate direcțiile din plan.

18. a) $V A ⊥ (A B C) \Rightarrow V A ⊥ B C$ (căci $B C \subset (A B C)$ ). De asemenea $A B ⊥ B C$ (ipoteza, dreptunghic în $B$ ). Deci $B C$ e perpendiculară pe $V A$ și pe $A B$ , două drepte concurente în... atenție: $V A$ și $A B$ se intersectează în $A$ , ambele în planul $(V A B)$ . Din criteriu, $B C ⊥ (V A B)$ . b) $V B \subset (V A B)$ , iar $B C ⊥ (V A B) \Rightarrow B C ⊥ V B$ .

De reținut

Definiție. $d ⊥ α$ înseamnă că $d$ străpunge planul într-un punct $O$ (piciorul perpendicularei) și este perpendiculară pe orice dreaptă din $α$ prin $O$ . Consecință: $d$ e perpendiculară pe toate dreptele din $α$ .
Criteriul de perpendicularitate. Dacă $d ⊥ a$ , $d ⊥ b$ , cu $a, b \subset α$ și $a \cap b = {O}$ (concurente!), atunci $d ⊥ α$ . Acesta este instrumentul de bază pentru orice demonstrație.
Unicitate. Printr-un punct trece o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat.
Perpendiculare pe același plan $\Rightarrow$ paralele. Iar dreapta paralelă cu o perpendiculară pe plan este ea însăși perpendiculară pe plan.
Pe cub și paralelipiped dreptunghic, fiecare muchie verticală e perpendiculară pe planul bazei; de aici derivă majoritatea perpendicularităților din problemele de examen.

Greșeli frecvente

„Perpendiculară pe o dreaptă $\Rightarrow$ perpendiculară pe plan." Fals — îți trebuie două drepte, și obligatoriu concurente. Verifică mereu ambele condiții și scrie-le explicit.
Uiți condiția de concurență. Elevii scriu adesea „ $d ⊥ a$ și $d ⊥ b$ , deci $d ⊥ α$ " fără a preciza $a \cap b = {O}$ . La examen, lipsa mențiunii concurenței poate costa punctaj. Notează întotdeauna $a \cap b = {O}$ și $a, b \subset α$ .
Crezi că drepte perpendiculare trebuie să se atingă. În spațiu, două drepte pot fi perpendiculare fără punct comun (necoplanare). Nu confunda perpendicularitatea din plan cu cea din spațiu.
Presupui perpendicularitatea muchiei laterale pe bază la orice corp. La cub și paralelipiped dreptunghic e adevărat; la o prismă oblică sau la o piramidă oarecare, muchia laterală nu e neapărat perpendiculară pe bază. Justific-o prin criteriu sau folosește doar ce spune enunțul.

Aplică acasă

Firul cu plumb. Leagă o cheie de un fir de ață și ține-l suspendat deasupra unei mese. Firul devine „dreapta perpendiculară pe planul mesei". Marchează cu creionul piciorul (punctul de sub cheie) și trasează pe masă mai multe direcții prin acel punct: verifică cu un colț de foaie (echer improvizat) că firul face unghi drept cu toate. Ai verificat, practic, definiția.
Colțul camerei = criteriul în acțiune. Într-un colț unde se întâlnesc doi pereți și podeaua, muchia verticală (unde se ating cei doi pereți) este perpendiculară pe podea. Identifică cele două „drepte concurente" din podea (liniile unde fiecare perete atinge podeaua) și convinge-te că muchia verticală e perpendiculară pe amândouă — deci pe podea.
Cutie de carton. Ia o cutie (paralelipiped dreptunghic) și, cu un marker, alege o muchie. Scrie pe cele două fețe pe care este perpendiculară. Repetă pentru trei muchii diferite și verifică regula de recunoaștere din lecție.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este pilonul întregului capitol de perpendicularitate în spațiu și pregătește direct proiecțiile pe un plan, unghiul dintre o dreaptă și un plan și teorema celor trei perpendiculare — toate prezente frecvent la subiectul III de la Evaluarea Națională.

Ca să verificați înțelegerea, puneți întrebări scurte: „Câte drepte din plan îți trebuie ca să dovedești că o dreaptă e perpendiculară pe plan?" (răspuns: două, concurente); „Dacă $d ⊥ α$ , e $d$ perpendiculară și pe o dreaptă din plan care nu trece prin picior?" (da). Un semn sigur că elevul a înțeles este că, atunci când demonstrează, scrie complet lanțul: cele două perpendicularități, concurența, apartenența la plan, apoi concluzia. Dacă „sare" peste concurență, reamintiți-i că exact acolo se pierd puncte la examen. Insistați pe desen: la geometria în spațiu, o figură corectă (cub în perspectivă, muchii verticale paralele, pătrățele de unghi drept la picior) rezolvă jumătate din problemă.

Întrebări frecvente

Când sunt două drepte perpendiculare în spațiu? Când unghiul dintre ele este de $90°$ . Spre deosebire de plan, în spațiu ele nu trebuie să se intersecteze: pot fi și necoplanare (perpendiculare fără punct comun), unghiul măsurându-se cu metoda paralelelor.

Ce înseamnă că o dreaptă este perpendiculară pe un plan? Înseamnă că dreapta străpunge planul într-un punct (piciorul perpendicularei) și formează unghi drept cu orice dreaptă din plan care trece prin acel punct. Ca urmare, ea este perpendiculară pe absolut toate dreptele din acel plan.

Cum demonstrez că o dreaptă este perpendiculară pe un plan? Folosești criteriul de perpendicularitate: găsești în plan două drepte concurente și arăți că dreapta ta este perpendiculară pe fiecare dintre ele. Scrie explicit: $d ⊥ a$ , $d ⊥ b$ , $a \cap b = {O}$ , $a, b \subset α$ , deci $d ⊥ α$ .

De ce nu ajunge o singură dreaptă din plan? Pentru că o dreaptă poate fi perpendiculară pe o direcție din plan și totuși înclinată (oblică) față de plan. Doar două direcții diferite, date de două drepte concurente, „prind" tot planul și forțează perpendicularitatea pe orice direcție.

De ce trebuie ca cele două drepte să fie concurente și nu paralele? Două drepte paralele indică aceeași direcție, deci a fi perpendicular pe amândouă e ca și cum ai controla o singură direcție. Concurența garantează două direcții distincte, care determină planul.

Câte drepte perpendiculare pe un plan trec printr-un punct? Exact una. Aceasta este proprietatea de unicitate a perpendicularei și stă la baza definiției proiecției unui punct pe plan și a distanței de la punct la plan.

Sunt paralele două drepte perpendiculare pe același plan? Da. Dacă două drepte distincte sunt fiecare perpendiculare pe același plan, ele sunt paralele între ele — de aceea muchiile verticale ale unui cub sunt paralele.

Cum recunosc pe cub ce muchie e perpendiculară pe ce față? La cub și la paralelipipedul dreptunghic, fiecare muchie este perpendiculară pe cele două fețe pe care se sprijină (dar nu în planul lor). Muchiile verticale sunt perpendiculare pe bază și pe fața de sus, pentru că în fiecare colț se întâlnesc trei muchii, două câte două perpendiculare.