Ce spune principiul produsului nul?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Principiul produsului nul

Principiul spune că un produs se anulează atunci și numai atunci când măcar unul dintre factorii lui este zero: din $A \cdot B = 0$ rezultă $A = 0$ sau $B = 0$ . Pe el se sprijină toată rezolvarea ecuațiilor de gradul al doilea la gimnaziu, fiindcă o ecuație scrisă ca produs se rupe în două ecuații simple. Din $(x - 3) (x + 5) = 0$ ies imediat $x = 3$ și $x = - 5$ , deci $S = {- 5, 3}$ .

O ecuație de gradul al II-lea arată așa: $a x^{2} + b x + c = 0$ , cu $a \neq = 0$ (dacă $a$ ar fi $0$ , dispare pătratul și rămâne o ecuație de gradul I). Coeficienții $b$ și $c$ pot fi zero — atunci ecuația e incompletă.

Ideea genială care rezolvă orice astfel de ecuație este principiul produsului nul: dacă un produs de doi factori este zero, atunci cel puțin unul dintre ei este zero: $A \cdot B = 0 ⟺ A = 0 sau B = 0.$

Așadar, când ecuația e scrisă ca produs, o „spargem" în două ecuații de gradul I ușoare. Exemplu: $(x - 3) (x + 5) = 0 \Rightarrow x - 3 = 0$ sau $x + 5 = 0 \Rightarrow x = 3$ sau $x = - 5$ , deci $S = {- 5, 3}$ .

Atenție: cuvântul „sau" înseamnă că măcar unul e zero, nu amândoi simultan. Și dacă un factor e chiar $x$ (ca în $x (x - 7) = 0$ ), nu-l „simplifica" — pierzi soluția $x = 0$ !

De reținut

$A \cdot B = 0 ⟺ A = 0$ sau $B = 0$
forma generală: $a x^{2} + b x + c = 0$ , cu $a \neq = 0$
produsul trebuie egalat cu zero, nu cu alt număr

Greșeala tipică

Din $(x - 3) (x + 5) = 0$ se citesc soluțiile $3$ și $5$ , cu semnele copiate din paranteze. Fiecare paranteză se egalează separat cu zero și se rezolvă, deci a doua soluție este $- 5$ .

Exerciții din această mini-lecție

Se dă ecuația $- 3 x^{2} + 5 x - 8 = 0$ . Care sunt coeficienții $a$ , $b$ , $c$ ?
- a) $a = 3, b = 5, c = 8$
- b) $a = - 3, b = 5, c = - 8$
- c) $a = - 3, b = - 5, c = 8$
- d) $a = 5, b = - 3, c = - 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a = - 3, b = 5, c = - 8$

Comparăm cu forma generală $a x^{2} + b x + c = 0$ și citim coeficienții cu tot cu semn: în fața lui $x^{2}$ este $- 3$ , în fața lui $x$ este $5$ , iar termenul liber este $- 8$ . Deci $a = - 3, b = 5, c = - 8$ .
Rezolvă ecuația $(x - 6) (x + 2) = 0$ folosind principiul produsului nul. Care este mulțimea soluțiilor $S$ ?
- a) $S = {6, - 2}$
- b) $S = {- 6, 2}$
- c) $S = {6, 2}$
- d) $S = {- 6, - 2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $S = {6, - 2}$

Produsul este zero, deci $x - 6 = 0$ sau $x + 2 = 0$ . Din prima obținem $x = 6$ , din a doua $x = - 2$ . Deci $S = {6, - 2}$ .
Se dă ecuația $- 5 x^{2} - 3 x + 10 = 0$ . Care sunt coeficienții $a$ , $b$ , $c$ ?
- a) $a = 5, b = 3, c = 10$
- b) $a = - 5, b = 3, c = - 10$
- c) $a = - 5, b = - 3, c = 10$
- d) $a = - 5, b = - 3, c = - 10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a = - 5, b = - 3, c = 10$

Comparăm cu $a x^{2} + b x + c = 0$ și citim coeficienții cu tot cu semn: $a = - 5$ , $b = - 3$ , $c = 10$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă produsul din ecuație este egal cu un număr, nu cu zero?

Nu poți aplica principiul direct. Desfaci parantezele, aduci totul într-un membru și abia apoi descompui din nou. Din $(x - 1) (x + 2) = 4$ obții $x^{2} + x - 6 = 0$ , adică $(x + 3) (x - 2) = 0$ , deci $x = - 3$ sau $x = 2$ .

Poate un produs să fie zero cu ambii factori zero în același timp?

Da, cuvântul sau nu exclude această situație. La $(x - 2) (x - 2) = 0$ amândoi factorii se anulează pentru $x = 2$ , iar ecuația are o singură valoare care o verifică, numită soluție dublă.

Principiul merge și când am trei factori în produs?

Da, la fel de bine. Din $x (x - 1) (x + 4) = 0$ egalezi pe rând fiecare factor cu zero și obții trei soluții: $0$ , $1$ și $- 4$ . Numărul de soluții nu poate depăși numărul de factori.

Cum recunosc că o ecuație este deja scrisă sub formă de produs?

Membrul stâng este format din paranteze sau litere lipite prin înmulțire, fără plus sau minus între ele, iar membrul drept este zero. În acel moment nu mai desfaci nimic, ci egalezi direct fiecare bucată cu zero.

De ce coeficientul lui x la pătrat nu are voie să fie zero?

Fiindcă atunci termenul cu pătrat dispare și rămâne o ecuație de gradul întâi, cu o singură soluție. Tocmai condiția $a \neq = 0$ îi dă ecuației gradul al doilea, deci fără ea discuția nici nu ar începe.

În ce ordine scriu soluțiile în mulțimea soluțiilor?

Se obișnuiește ordinea crescătoare, între acolade și despărțite prin virgulă: $S = {- 5, 3}$ . Ordinea nu schimbă răspunsul, dar forma îngrijită se cere la examen și te ajută să nu scapi vreo valoare.

Oamenii mai întreabă și: principiul produsului nul · produs egal cu zero · când un produs este zero · regula produsului nul la ecuații · a ori b egal zero