Ecuația de forma ax² + bx + c = 0. Principiul produsului nul

Până acum, toate ecuațiile pe care le-ai rezolvat aveau necunoscuta la puterea întâi: $2x+3=11$, $5x-7=x+1$ și așa mai departe. Erau ecuații de gradul I și le știi bine. Dar ce se întâmplă când necunoscuta apare la pătrat, ca în $x^2-5x+6=0$? Astfel de ecuații descriu situații foarte concrete: aria unui teren, traiectoria unei mingi aruncate în aer, momentul în care un obiect atinge din nou solul. Vestea bună este că nu ai nevoie de nicio formulă complicată pentru a le rezolva — ai nevoie doar de o idee simplă și genială, pe care o cunoști din clasele mici fără să-i știi numele: principiul produsului nul. În această lecție descoperim ce este o ecuație de gradul al II-lea, cum îi recunoaștem coeficienții și cum transformăm o problemă „grea" în două probleme ușoare.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o ecuație de forma $a{x}^2+bx+c=0$ și să-i identifici coeficienții $a$, $b$, $c$.
• Vei ști să deosebești o ecuație completă de una incompletă și să înțelegi de ce condiția $a\ne 0$ este obligatorie.
• Vei ști ce înseamnă o soluție (rădăcină) a ecuației și cum scrii mulțimea soluțiilor.
• Vei ști să aplici principiul produsului nul pentru a transforma o ecuație factorizată în ecuații de gradul I mai simple.
• Vei ști să verifici dacă un număr este soluție a unei ecuații de gradul al II-lea, exact cum se cere la Evaluarea Națională.

Hai să descoperim împreună

1. De la gradul I la gradul al II-lea

Îți amintești că o ecuație de gradul I cu o necunoscută are forma $ax+b=0$, cu $a\ne 0$. Termenul cel mai „puternic" din ea este $ax$, adică necunoscuta la puterea întâi.

Ce se întâmplă dacă îi adăugăm un termen cu $x^2$? Obținem o ecuație de gradul al II-lea (numită și ecuație de gradul doi sau ecuație pătratică):

$$a{x}^2+bx+c=0,\text{cu }a,b,c\in \mathbb{R}\text{ și }a\ne 0.$$

• $x$ este necunoscuta;
• $a$, $b$ și $c$ sunt numere reale fixe, numite coeficienți;
• termenul $a{x}^2$ se numește termenul de gradul al II-lea (sau termenul dominant);
• termenul $bx$ este termenul de gradul I;
• $c$ este termenul liber (nu conține necunoscuta).

2. De ce este obligatoriu ca $a\ne 0$?

Aceasta este cea mai importantă condiție și mulți elevi o uită. Gândește-te ce s-ar întâmpla dacă am accepta $a=0$. Atunci termenul $a{x}^2$ ar deveni $0\cdot x^2=0$ și ecuația ar arăta așa:

$$0\cdot x^2+bx+c=0⟹bx+c=0.$$

Dar $bx+c=0$ este o ecuație de gradul I, nu de gradul al II-lea! Cu alte cuvinte, tocmai coeficientul $a$ este cel care „face" ecuația să fie de gradul al II-lea. Dacă $a$ dispare, dispare și pătratul, iar ecuația coboară un grad. De aceea reținem ferm:

Condiția $a\ne 0$ este cea care garantează că ecuația este cu adevărat de gradul al II-lea.

În schimb, coeficienții $b$ și $c$ au voie să fie zero. Nimic nu ne obligă să avem un termen de gradul I sau un termen liber.

3. Identificarea coeficienților

Pentru a rezolva o ecuație, primul pas este să o aduci la forma generală $a{x}^2+bx+c=0$ (toți termenii într-o parte, ordonați descrescător după puterile lui $x$, iar în cealaltă parte doar $0$) și apoi să citești coeficienții. Fii atent mai ales la semne: coeficientul preia semnul din fața termenului.

Câteva exemple de citire:

• $3x^2-5x+2=0\Rightarrow a=3,b=-5,c=2$;
• $-x^2+4x-7=0\Rightarrow a=-1,b=4,c=-7$;
• $x^2-9=0\Rightarrow a=1,b=0,c=-9$ (lipsește termenul de gradul I, deci $b=0$);
• $2x^2+x=0\Rightarrow a=2,b=1,c=0$ (lipsește termenul liber, deci $c=0$).

4. Ecuație completă și ecuație incompletă

În funcție de care coeficienți sunt nenuli, distingem:

• Ecuație completă: toți cei trei coeficienți sunt nenuli ($a\ne 0$, $b\ne 0$, $c\ne 0$). Exemplu: $x^2-5x+6=0$.
• Ecuație incompletă: lipsește $b$ sau $c$ (sau amândoi). Există trei tipuri:
  • $a{x}^2+bx=0$ (lipsește $c$), de exemplu $2x^2+6x=0$;
  • $a{x}^2+c=0$ (lipsește $b$), de exemplu $x^2-16=0$;
  • $a{x}^2=0$ (lipsesc $b$ și $c$), de exemplu $5x^2=0$.

Fiecare tip are o metodă preferată de rezolvare, pe care le vei studia în lecțiile următoare — ecuații de forma ax² + bx = 0, ecuații de forma ax² + c = 0 și ecuația completă. Toate au însă la bază aceeași idee, pe care o învățăm acum.

5. Ce înseamnă o soluție (rădăcină) a ecuației

O soluție (sau rădăcină) a ecuației $a{x}^2+bx+c=0$ este un număr real care, pus în locul lui $x$, transformă egalitatea într-una adevărată. Adică, dacă înlocuim necunoscuta cu acel număr și facem calculele, obținem chiar $0$.

Să verificăm dacă $x=2$ este soluție a ecuației $x^2-5x+6=0$. Înlocuim peste tot $x$ cu $2$:

$$2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0.✓$$

Am obținut $0$, deci egalitatea este adevărată: da, $x=2$ este soluție. Să încercăm și $x=3$:

$$3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0.✓$$

Și $x=3$ este soluție! O ecuație de gradul al II-lea poate avea până la două soluții reale distincte. Mulțimea tuturor soluțiilor se numește mulțimea soluțiilor și se notează cu $S$. Pentru exemplul de mai sus:

$$S=\{2,3\}.$$

O ecuație de gradul al II-lea poate avea două soluții (cazul general), o singură soluție (când cele două coincid) sau niciuna în mulțimea numerelor reale (de exemplu $x^2+1=0$ nu are soluții reale, pentru că $x^2+1\ge 1>0$ oricât ar fi $x$).

6. Ideea genială: principiul produsului nul

Acum ajungem la inima lecției. Îți pun o întrebare simplă, de clasa a V-a: dacă înmulțești două numere și rezultatul este zero, ce poți spune despre ele?

Gândește-te: $7\cdot 0=0$, $0\cdot (-3)=0$, $0\cdot 0=0$. De fiecare dată când un produs este zero, cel puțin unul dintre factori este zero. Și invers: dacă niciunul dintre factori nu este zero (de exemplu $4\cdot 5$), produsul nu poate fi zero. Aceasta este o proprietate fundamentală a numerelor reale, pe care o numim principiul produsului nul:

Principiul produsului nul. Fie $A$ și $B$ două numere reale (sau două expresii). Atunci: $$A\cdot B=0⟺A=0\text{ sau }B=0.$$

Semnul $⟺$ înseamnă „dacă și numai dacă", adică proprietatea funcționează în ambele sensuri. Cuvântul „sau" este esențial și trebuie înțeles corect: înseamnă că măcar unul dintre factori este zero — poate fi primul, poate fi al doilea, pot fi chiar amândoi. Nu înseamnă „amândoi în același timp".

Atenție la o capcană: proprietatea este adevărată doar când rezultatul este $0$. Dacă un produs este egal cu $6$, nu putem trage nicio concluzie rapidă despre factori — de exemplu $6=2\cdot 3$, dar și $6=1\cdot 6$ sau $6=12\cdot \frac{1}{2}$. Numărul $0$ este special tocmai pentru că are această putere de „a se transmite".

7. Cum ne ajută acest principiu la ecuații

Iată legătura strălucită. O ecuație de gradul al II-lea pare grea pentru că are $x^2$. Dar dacă reușim să scriem partea stângă ca un produs de doi factori egalat cu zero, principiul produsului nul ne permite să o spargem în două ecuații de gradul I, pe care le rezolvăm imediat.

Strategia generală arată așa. Pornim de la o ecuație adusă la forma:

$$E_1\cdot E_2=0,$$

unde $E_1$ și $E_2$ sunt expresii (de obicei paranteze de gradul I). Aplicăm principiul produsului nul și obținem două ecuații simple:

$$E_1=0\text{sau}{E}_2=0.$$

Rezolvăm fiecare ecuație separat, iar soluțiile găsite le adunăm în mulțimea $S$.

Să vedem cea mai curată situație posibilă, în care ecuația este deja scrisă ca produs. Rezolvăm:

$$(x-3)(x+5)=0.$$

Avem un produs de doi factori egal cu zero. Conform principiului, cel puțin unul este zero:

$$x-3=0\text{sau}x+5=0.$$

Rezolvăm fiecare ecuație de gradul I:

• din $x-3=0$ obținem $x=3$;
• din $x+5=0$ obținem $x=-5$.

Deci mulțimea soluțiilor este $S=\{-5,3\}$. Simplu, nu? Nicio formulă complicată, doar două ecuații ușoare.

Verificarea (mereu recomandată la examen). Punem $x=3$: $(3-3)(3+5)=0\cdot 8=0$. ✓ Punem $x=-5$: $(-5-3)(-5+5)=(-8)\cdot 0=0$. ✓ Ambele confirmă.

8. Când unul dintre factori este chiar $x$

Uneori un factor este direct necunoscuta. Fii atent să nu-l „pierzi", pentru că soluția $x=0$ este la fel de valabilă ca oricare alta. Rezolvăm:

$$x(x-7)=0.$$

Produs nul, deci:

$$x=0\text{sau}x-7=0,$$

de unde $x=0$ sau $x=7$. Mulțimea soluțiilor este $S=\{0,7\}$. Multe greșeli apar aici pentru că elevul „împarte cu $x$" și pierde soluția $x=0$ — nu face niciodată asta, pentru că nu ai voie să împarți cu ceva ce ar putea fi zero.

9. Când factorii au și un coeficient în față

Dacă un factor este de forma $2x-3$, îl tratezi ca pe orice ecuație de gradul I. Rezolvăm:

$$(2x-3)(x+4)=0.$$

Aplicăm principiul:

$$2x-3=0\text{sau}x+4=0.$$

• din $2x-3=0$ obținem $2x=3$, deci $x=\frac{3}{2}$;
• din $x+4=0$ obținem $x=-4$.

Mulțimea soluțiilor este $S=\left\{-4,\frac{3}{2}\right\}$. Observă că soluțiile nu trebuie să fie neapărat numere întregi — pot fi fracții.

10. Când cei doi factori sunt egali (soluție dublă)

Ce se întâmplă cu o ecuație de forma $(x-5{)}^2=0$? Un pătrat înseamnă un produs cu sine însuși: $(x-5)(x-5)=0$. Ambii factori sunt identici, deci ambele „ecuații" ne dau același răspuns:

$$x-5=0⟹x=5.$$

Aici ecuația are o singură soluție, $S=\{5\}$, pe care o numim soluție dublă (apare de două ori, dar valoarea este una singură). Reține deci că mulțimea $S$ nu conține niciodată același număr scris de două ori.

11. De ce funcționează pentru orice ecuație de gradul al II-lea

Poate te întrebi: „E frumos, dar ce fac dacă ecuația nu vine deja scrisă ca produs, ci ca $x^2-5x+6=0$?" Aici intervine tot ce ai învățat la descompunerea în factori. Ideea este să transformi expresia $a{x}^2+bx+c$ într-un produs de factori, folosind factorul comun, formulele de calcul prescurtat sau gruparea. De exemplu, se poate arăta că:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$

iar de aici, prin produsul nul, obținem imediat $x=2$ sau $x=3$. Tehnicile concrete de descompunere pentru fiecare tip de ecuație le vei aprofunda în lecțiile 32, 33 și 34. În lecția de acum reține principiul și strategia — sunt cheia care deschide toate ușile: o ecuație grea de gradul al II-lea se rezolvă transformând-o într-un produs egal cu zero și aplicând principiul produsului nul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificarea coeficienților

Enunț. Se dă ecuația $-2x^2+7x-3=0$. Precizează coeficienții $a$, $b$, $c$ și spune dacă ecuația este completă sau incompletă.

Rezolvare. Comparăm cu forma generală $a{x}^2+bx+c=0$ și citim, cu tot cu semne: $$a=-2,b=7,c=-3.$$ Deoarece $a\ne 0$, ecuația este de gradul al II-lea. Toți coeficienții sunt nenuli, deci ecuația este completă.

Exemplul 2 — Verificarea unei soluții

Enunț. Arată dacă $x=-1$ este soluție a ecuației $x^2+4x+3=0$.

Rezolvare. Înlocuim $x$ cu $-1$ în partea stângă: $$(-1{)}^2+4\cdot (-1)+3=1-4+3=0.$$ Am obținut $0$, deci egalitatea este adevărată. Da, $x=-1$ este soluție a ecuației.

Exemplul 3 — Ecuație factorizată simplă

Enunț. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $(x-4)(x+2)=0$.

Rezolvare. Avem un produs de doi factori egal cu zero. Aplicăm principiul produsului nul: $$x-4=0\text{sau}x+2=0.$$ Rezolvăm fiecare ecuație: $$x=4\text{sau}x=-2.$$ Mulțimea soluțiilor este $S=\{-2,4\}$.

Verificare. Pentru $x=4$: $(4-4)(4+2)=0\cdot 6=0$. ✓ Pentru $x=-2$: $(-2-4)(-2+2)=(-6)\cdot 0=0$. ✓

Exemplul 4 — Factor cu coeficient și factor comun

Enunț. Rezolvă ecuația $(3x+9)(x-2)=0$.

Rezolvare. Produs nul, deci: $$3x+9=0\text{sau}x-2=0.$$ Din prima ecuație: $3x=-9$, adică $x=-3$. Din a doua: $x=2$. Prin urmare: $$S=\{-3,2\}.$$

Observație. Puteam mai întâi da factor comun în prima paranteză: $3x+9=3(x+3)$, iar cum $3\ne 0$, ecuația $3(x+3)=0$ este echivalentă cu $x+3=0$, deci $x=-3$. Un factor numeric nenul nu produce niciodată o soluție.

Exemplul 5 — Nu pierde soluția $x=0$

Enunț. Rezolvă ecuația $5x(2x-8)=0$.

Rezolvare. Avem de fapt trei factori: $5$, $x$ și $2x-8$. Factorul numeric $5$ nu poate fi zero, deci principiul se aplică factorilor cu necunoscută: $$x=0\text{sau}2x-8=0.$$ Din a doua ecuație: $2x=8$, deci $x=4$. Așadar: $$S=\{0,4\}.$$ Dacă am fi „simplificat" cu $x$ de la început, am fi pierdut soluția $x=0$ — greșeală foarte frecventă la examen.

Exemplul 6 — Problemă aplicată (traiectoria unei mingi)

Enunț. O minge este aruncată în sus. Modelul simplificat spune că mingea se află la sol în momentele $t$ (măsurate în secunde) pentru care $t(6-t)=0$. După câte secunde se află mingea la sol?

Rezolvare. Aplicăm principiul produsului nul: $$t=0\text{sau}6-t=0,$$ de unde $t=0$ sau $t=6$. Interpretare: $t=0$ este momentul aruncării (mingea pornește de la sol), iar $t=6$ este momentul în care mingea revine la sol. Deci mingea atinge din nou solul după 6 secunde.

Să exersăm

1. Pentru fiecare ecuație, scrie coeficienții $a$, $b$, $c$: a) $4x^2-3x+5=0$; b) $x^2+8x=0$; c) $-3x^2+12=0$; d) $x^2-25=0$; e) $7x^2=0$.

2. Care dintre următoarele sunt ecuații de gradul al II-lea (cu $a\ne 0$)? Justifică. a) $2x^2-3x+1=0$; b) $5x-4=0$; c) $0\cdot x^2+3x-1=0$; d) $x^2=0$; e) $7-x^2=0$.

3. Pentru fiecare ecuație de la exercițiul 1, precizează dacă este completă sau incompletă.

4. Rezolvă în $\mathbb{R}$, folosind principiul produsului nul: a) $(x-4)(x+2)=0$; b) $x(x-9)=0$; c) $(x+6)(x+1)=0$; d) $(2x-3)(x-5)=0$.

5. Rezolvă și scrie mulțimea soluțiilor: a) $(3x+9)(x-2)=0$; b) $(5x-10)(2x+8)=0$; c) $(x-7)(4x+1)=0$.

6. Rezolvă ecuațiile cu pătrat perfect (soluție dublă): a) $(x-5{)}^2=0$; b) $(x+3{)}^2=0$; c) $(2x-1{)}^2=0$.

7. Verifică prin calcul dacă numărul indicat este soluție a ecuației date: a) $x=2$ pentru $x^2-3x+2=0$; b) $x=3$ pentru $x^2-2x-2=0$; c) $x=-2$ pentru $2x^2+x-6=0$.

8. Adevărat sau fals? Justifică fiecare răspuns: a) Numărul $x=1$ este soluție a ecuației $x^2+1=0$. b) Dacă $(x-2)(x-3)=0$, atunci $x=2$ și $x=3$ în același timp. c) Ecuația $3x-6=0$ este de gradul al II-lea. d) Egalitatea $0\cdot 5=0$ ilustrează principiul produsului nul.

9. Rezolvă și precizează câte soluții distincte are fiecare ecuație: a) $(x-1)(x-1)=0$; b) $(x-8)(x+8)=0$; c) $2x(x-3)=0$.

10. Scrie o ecuație de gradul al II-lea (sub forma unui produs, apoi desfăcut) care are soluțiile: a) $2$ și $7$; b) $-1$ și $4$; c) $0$ și $5$.

11. Rezolvă: a) $(4x-2)(x+7)=0$; b) $(x+9)(3x-12)=0$; c) $5x(2x+6)=0$.

12. (găsește greșeala) Un elev rezolvă astfel: „$(x-2)(x-5)=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2$, deci $S=\{2\}$." Ce a uitat elevul? Scrie rezolvarea corectă.

13. (item tip Evaluarea Națională) Se consideră ecuația $(2x-6)(x+4)=0$. a) Arată că $x=3$ este soluție a ecuației. b) Determină cealaltă soluție. c) Scrie mulțimea soluțiilor.

14. (problemă aplicată) Un obiect aruncat vertical revine la sol în momentele $t$ (în secunde) pentru care $t(8-t)=0$. După câte secunde revine obiectul la sol și cum interpretezi cealaltă valoare?

15. (provocare) Rezolvă ecuația $(x-1)(x-2)(x-3)=0$. Câte soluții are? Extinde principiul produsului nul la trei factori.

16. Adevărat sau fals, cu justificare: „Numărul $0$ este întotdeauna soluție a oricărei ecuații de forma $a{x}^2+bx=0$."

Răspunsuri și explicații

1. a) $a=4,b=-3,c=5$; b) $a=1,b=8,c=0$; c) $a=-3,b=0,c=12$; d) $a=1,b=0,c=-25$; e) $a=7,b=0,c=0$.

2. Sunt de gradul al II-lea: a) (are $x^2$, $a=2\ne 0$), d) (incompletă, dar $a=1\ne 0$) și e) (aici $a=-1\ne 0$). NU sunt: b) (gradul I, nu are $x^2$); c) (aici $a=0$, deci se reduce la $3x-1=0$, gradul I).

3. a) completă; b) incompletă ($c=0$); c) incompletă ($b=0$); d) incompletă ($b=0$); e) incompletă ($b=0$ și $c=0$).

4. a) $x-4=0$ sau $x+2=0\Rightarrow S=\{-2,4\}$; b) $x=0$ sau $x-9=0\Rightarrow S=\{0,9\}$; c) $x+6=0$ sau $x+1=0\Rightarrow S=\{-6,-1\}$; d) $2x-3=0$ sau $x-5=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$ sau $x=5$, deci $S=\left\{\frac{3}{2},5\right\}$.

5. a) $3x+9=0\Rightarrow x=-3$; $x-2=0\Rightarrow x=2$; $S=\{-3,2\}$. b) $5x-10=0\Rightarrow x=2$; $2x+8=0\Rightarrow x=-4$; $S=\{-4,2\}$. c) $x-7=0\Rightarrow x=7$; $4x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{4}$; $S=\left\{-\frac{1}{4},7\right\}$.

6. a) $x-5=0\Rightarrow S=\{5\}$ (soluție dublă); b) $x+3=0\Rightarrow S=\{-3\}$; c) $2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$, deci $S=\left\{\frac{1}{2}\right\}$.

7. a) $2^2-3\cdot 2+2=4-6+2=0$ ✓ → da, este soluție. b) $3^2-2\cdot 3-2=9-6-2=1\ne 0$ → nu este soluție. c) $2\cdot (-2{)}^2+(-2)-6=2\cdot 4-2-6=8-8=0$ ✓ → da, este soluție.

8. a) Fals: $1^2+1=2\ne 0$ (de fapt ecuația nu are nicio soluție reală, căci $x^2+1\ge 1$). b) Fals: „sau" înseamnă că $x=2$ sau $x=3$, nu simultan; sunt două soluții diferite, nu o valoare care e în același timp $2$ și $3$. c) Fals: $3x-6=0$ nu are termen cu $x^2$, deci este de gradul I ($a=0$). d) Adevărat: produsul $0\cdot 5$ este zero pentru că unul dintre factori (primul) este zero — exact ce afirmă principiul.

9. a) $x-1=0\Rightarrow S=\{1\}$, o singură soluție (dublă); b) $x=8$ sau $x=-8\Rightarrow S=\{-8,8\}$, două soluții; c) $2x=0\Rightarrow x=0$ sau $x-3=0\Rightarrow x=3$; $S=\{0,3\}$, două soluții.

10. a) $(x-2)(x-7)=0$, adică $x^2-9x+14=0$; b) $(x+1)(x-4)=0$, adică $x^2-3x-4=0$; c) $x(x-5)=0$, adică $x^2-5x=0$. (Verificare rapidă la a): $(x-2)(x-7)=x^2-7x-2x+14=x^2-9x+14$.)

11. a) $4x-2=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$; $x+7=0\Rightarrow x=-7$; $S=\left\{-7,\frac{1}{2}\right\}$. b) $x+9=0\Rightarrow x=-9$; $3x-12=0\Rightarrow x=4$; $S=\{-9,4\}$. c) factorul $5\ne 0$, deci $x=0$ sau $2x+6=0\Rightarrow x=-3$; $S=\{-3,0\}$.

12. Elevul a uitat al doilea factor: din produsul nul rezultă $x-2=0$ sau $x-5=0$. A doua ecuație dă $x=5$. Rezolvarea corectă: $S=\{2,5\}$.

13. a) $(2\cdot 3-6)(3+4)=(6-6)(7)=0\cdot 7=0$ ✓, deci $x=3$ este soluție. b) Din $x+4=0$ obținem $x=-4$ (sau din $2x-6=0\Rightarrow x=3$, soluția deja cunoscută). c) $S=\{-4,3\}$.

14. $t=0$ sau $8-t=0\Rightarrow t=8$. Obiectul revine la sol după 8 secunde; valoarea $t=0$ reprezintă momentul aruncării, când obiectul se afla deja la sol.

15. Principiul se extinde: dacă un produs de mai mulți factori este zero, atunci cel puțin unul este zero. Deci $x-1=0$ sau $x-2=0$ sau $x-3=0$, de unde $S=\{1,2,3\}$ — trei soluții.

16. Adevărat. Pentru $x=0$: $a\cdot 0^2+b\cdot 0=0+0=0$, egalitate adevărată. (De altfel, $a{x}^2+bx=x(ax+b)$, iar factorul $x$ dă mereu soluția $x=0$.)

De reținut

• O ecuație de gradul al II-lea are forma $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a,b,c\in \mathbb{R}$ și obligatoriu $a\ne 0$; $b$ și $c$ pot fi zero.
• Principiul produsului nul: $A\cdot B=0⟺A=0$ sau $B=0$ (cel puțin un factor este zero).
• Strategia de rezolvare: aducem ecuația la forma factorizată $E_1\cdot E_2=0$, apoi rezolvăm $E_1=0$ și $E_2=0$ ca ecuații de gradul I.
• O soluție (rădăcină) face egalitatea adevărată; mulțimea tuturor soluțiilor se notează $S$ și poate avea 0, 1 sau 2 elemente reale.
• Un factor numeric nenul (ca $3$ sau $5$) nu produce soluții; nu împărți niciodată cu un factor ce ar putea fi zero, ca să nu pierzi $x=0$.

Greșeli frecvente

• „Împart cu $x$" și pierd o soluție. În $x(x-7)=0$, dacă tai $x$, pierzi soluția $x=0$. Corect: aplică produsul nul și păstrează ambele ecuații.
• Confuzia „sau" cu „și". Din $(x-2)(x-3)=0$ nu rezultă „$x=2$ și $x=3$ simultan", ci „$x=2$ sau $x=3$" — sunt două soluții separate.
• Aplicarea principiului când produsul nu e zero. Din $(x-1)(x-4)=6$ nu poți scrie $x-1=6$ sau $x-4=6$! Principiul funcționează numai când membrul drept este $0$. Adu întâi totul într-o parte și abia apoi factorizează.
• Uitarea semnului la coeficienți. În $-2x^2+7x-3=0$, coeficientul este $a=-2$ (cu minus), nu $2$; $c=-3$, nu $3$.

Aplică acasă

• Grădina de zero. Alege în minte două numere, de exemplu $-4$ și $5$. Scrie ecuația $(x+4)(x-5)=0$, desfă parantezele și obține forma $a{x}^2+bx+c=0$. Provoacă un coleg să găsească soluțiile — verifică dacă redescoperă numerele tale. E un exercițiu excelent pentru a înțelege legătura dintre factori și soluții.
• Detectivul de coeficienți. Caută pe internet sau într-o culegere cinci ecuații de gradul al II-lea și, pentru fiecare, notează rapid $a$, $b$, $c$ și dacă e completă sau incompletă. Cronometrează-te: la Evaluarea Națională, viteza corectă de citire a coeficienților contează.
• Mingea și timpul. Aruncă o minge ușoară drept în sus și roagă pe cineva să măsoare aproximativ cât stă în aer. Discută de ce modelul $t(T-t)=0$ dă mereu două momente — plecarea ($t=0$) și revenirea ($t=T$) — și cum se leagă asta de principiul produsului nul.

Pentru părinți și profesori

Această lecție pune temelia întregii unități despre ecuații de gradul al II-lea. Elevul nu învață încă să descompună expresii complicate (asta vine în lecțiile următoare), ci trebuie să stăpânească perfect principiul produsului nul și vocabularul: coeficienți, ecuație completă/incompletă, soluție, mulțimea soluțiilor.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Ce condiție trebuie neapărat îndeplinită de coeficientul $a$ și de ce?" (răspuns așteptat: $a\ne 0$, altfel ecuația coboară la gradul I).
• „Dacă un produs de doi factori este zero, ce știi despre ei?" (cel puțin unul este zero).
• „Rezolvă $(x-2)(x+6)=0$ și explică fiecare pas." Dacă elevul scrie corect ambele ecuații și nu confundă „sau" cu „și", a înțeles esența.

Semnalul că elevul a înțeles cu adevărat este că verifică soluțiile din proprie inițiativă și că nu pierde soluția $x=0$ în ecuațiile de tip $x(\dots )=0$. La Evaluarea Națională, aceste ecuații apar frecvent: fie direct (subiectul II, itemi de rezolvat pas cu pas, cu punctaj pe redactare), fie ascunse în probleme de geometrie sau de aritmetică unde o mărime necunoscută conduce la o ecuație de gradul al II-lea. Redactarea îngrijită — scrierea explicită a celor două ecuații și a mulțimii $S$ — aduce punctaj complet chiar și când calculul e simplu.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație de gradul al II-lea la clasa a 8-a? Este o ecuație de forma $a{x}^2+bx+c=0$, în care necunoscuta $x$ apare la pătrat, iar $a$, $b$, $c$ sunt numere reale cu condiția $a\ne 0$. Dacă $a$ ar fi $0$, ecuația ar deveni de gradul I.

Ce este principiul produsului nul? Este regula care spune că un produs de doi (sau mai mulți) factori este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero. Pe scurt: $A\cdot B=0\iff A=0$ sau $B=0$. Este instrumentul de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul al II-lea la gimnaziu.

Câte soluții poate avea o ecuație de gradul al II-lea? În mulțimea numerelor reale poate avea cel mult două soluții: două soluții distincte, o singură soluție (numită soluție dublă, când factorii coincid) sau niciuna (de exemplu $x^2+1=0$ nu are soluții reale).

Cum verific dacă un număr este soluție a ecuației? Înlocuiești necunoscuta $x$ cu acel număr în partea stângă a ecuației și faci calculele. Dacă rezultatul este exact $0$, numărul este soluție; dacă obții altceva, nu este.

De ce nu am voie să împart ecuația cu $x$? Pentru că $x$ ar putea fi zero, iar împărțirea cu zero nu este permisă. Dacă „tai" $x$, pierzi soluția $x=0$. De aceea folosești mereu principiul produsului nul, care păstrează toate soluțiile.

Ce este o ecuație incompletă de gradul al II-lea? Este o ecuație în care lipsește termenul de gradul I ($b=0$), termenul liber ($c=0$) sau amândoi. Exemple: $x^2-16=0$, $2x^2+6x=0$, $5x^2=0$. Coeficientul $a$ rămâne mereu nenul.

Se rezolvă ecuația de gradul II cu formula discriminantului la clasa a 8-a? Nu. La gimnaziu ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă numai prin descompunere în factori și principiul produsului nul. Formula cu discriminantul $\Delta =b^2-4ac$ și relațiile lui Viète se studiază în clasa a IX-a, la liceu.

Ce înseamnă mulțimea soluțiilor unei ecuații? Este mulțimea, notată $S$, care conține toate valorile necunoscutei ce verifică ecuația. De exemplu, pentru $(x-3)(x+5)=0$ avem $S=\{-5,3\}$. Fiecare valoare apare o singură dată în $S$.