Ce simetrie a cercului trigonometric explică formulele cu $$\dfrac{\pi}{2}-x$$?

Simetria față de prima bisectoare

Cât este cosinus de pi pe 2?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Formulele cu π/2: cofuncții sin-cos

Este $0$ . Punctul asociat se află chiar în vârful cercului, pe axa verticală, deci abscisa lui se anulează, iar cosinusul este tocmai abscisa. Sinusul aceluiași număr este $1$ . De aici vine și faptul că tangenta acolo nu există, fiindcă numitorul ar fi zero. În grade, este vorba de unghiul de $9 0^{\circ}$ .

Două unghiuri sunt complementare dacă suma lor este $9 0^{\circ}$ , adică $\frac{π}{2}$ radiani — exact cazul celor două unghiuri ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic. Într-un asemenea triunghi, aceeași catetă este opusă unui unghi și alăturată celuilalt, de unde rezultă geometric $sin (9 0^{\circ} - t) = cos t$ și $cos (9 0^{\circ} - t) = sin t$ . Pe cercul trigonometric, aceeași relație se extinde la orice număr real: punctele $M (x)$ și $M (\frac{π}{2} - x)$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y = x$ , o simetrie care schimbă între ele coordonatele. Astfel se obțin formulele $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ și $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ , valabile pentru orice $x$ real. Spre deosebire de formulele cu $π$ și $2 π$ , aici nu apare niciun minus — se schimbă funcția, nu semnul. De aici și numele „cosinus", provenit din latinescul complementi sinus, „sinusul complementului". Utilitatea practică: orice pereche de unghiuri care însumează $9 0^{\circ}$ dă imediat o egalitate de tipul $sin 4 0^{\circ} = cos 5 0^{\circ}$ , folositoare la simplificarea expresiilor și la compararea valorilor fără calculator. La $x = 4 5^{\circ}$ , fiind propriul complement, sinusul și cosinusul sunt egale, iar punctul de pe cerc se află chiar pe prima bisectoare.

De reținut

$sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$
$cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$
aici se schimbă funcția, nu semnul

Greșeala tipică

Se pune un minus, ca la formulele cu $π$ , deși la complement semnul nu se schimbă deloc; ce se schimbă este funcția, sinusul devenind cosinus și invers.

Exerciții din această mini-lecție

Care este formula corectă pentru $sin (\frac{π}{2} - x)$ ?
- a) $sin x$
- b) $- sin x$
- c) $cos x$
- d) $- cos x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $cos x$

Punctele $M (x)$ și $M (\frac{π}{2} - x)$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y = x$ , simetrie care schimbă între ele coordonatele: $M (\frac{π}{2} - x) = (sin x, cos x)$ . Deci $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ , fără niciun semn minus.
Care este formula corectă pentru $cos (\frac{π}{2} - x)$ ?
- a) $cos x$
- b) $- cos x$
- c) $sin x$
- d) $- sin x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $sin x$

Din $M (\frac{π}{2} - x) = (sin x, cos x)$ , abscisa este $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ . Spre deosebire de formulele cu $π$ , aici funcția se schimbă (cosinus devine sinus), nu semnul.
Ce simetrie a cercului trigonometric explică formulele cu $\frac{π}{2} - x$ ?
- a) Simetria față de origine
- b) Simetria față de axa $O x$
- c) Simetria față de axa $O y$
- d) Simetria față de prima bisectoare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) Simetria față de prima bisectoare

Prima bisectoare este dreapta $y = x$ . Simetria față de ea transformă punctul $(a, b)$ în $(b, a)$ , adică schimbă între ele coordonatele — exact ce se întâmplă cu $cos x$ și $sin x$ la trecerea de la $x$ la $\frac{π}{2} - x$ .

Întrebări conexe

Cum calculez sinusul lui pi supra 2 minus x?

Iese cosinusul lui $x$ , fără schimbare de semn. Punctele corespunzătoare sunt oglindite față de prima bisectoare, iar această oglindire schimbă între ele cele două coordonate. De aceea se spune că funcția se schimbă, dar semnul rămâne.

Cum calculez cosinusul lui pi supra 2 plus x?

Iese sinusul lui $x$ luat cu minus. Poți ajunge la rezultat scriind argumentul ca $π$ minus paranteza cu $\frac{π}{2} - x$ și aplicând pe rând formulele deja știute. Semnul minus apare fiindcă punctul trece în stânga axei verticale.

Cât este sinus de pi pe 2?

Este $1$ , valoarea cea mai mare pe care o poate lua sinusul. Punctul asociat se află în vârful cercului, deci ordonata lui este egală cu raza. Este singurul loc de pe prima tură unde sinusul atinge această valoare.

Ce înseamnă cofuncții în trigonometrie?

Sunt perechile sinus și cosinus, respectiv tangentă și cotangentă, legate prin unghiuri care se completează până la $9 0^{\circ}$ . Valoarea uneia pentru un unghi este egală cu valoarea celeilalte pentru complementul lui. De aici vine chiar numele cosinusului.

Cum transform tangenta unui unghi în cotangenta complementului?

Le scrii pe amândouă ca rapoarte și folosești schimbarea dintre sinus și cosinus la trecerea la complement. Rezultă că tangenta unui unghi este egală cu cotangenta unghiului care îl completează până la $9 0^{\circ}$ . De exemplu, tangenta de $2 0^{\circ}$ este cotangenta de $7 0^{\circ}$ .

Oamenii mai întreabă și: cât face cos pi pe 2 · cosinus de 90 de grade · cos pi supra 2 · valoarea cosinusului în pi pe 2