Formule cu π/2: sin(π/2 − x) = cos x

Doi dulgheri se ceartă pe un șantier. Primul spune că acoperișul are panta de $35^{\circ }$, măsurată față de orizontală. Al doilea, care a lucrat mereu cu firul cu plumb, susține că panta este de $55^{\circ }$, măsurată față de verticală. Amândoi au dreptate — descriu același acoperiș, doar că își aleg altfel reperul. Iar când calculează, fiecare cu formula lui, înălțimea la coamă pentru o pantă de $6$ metri, obțin exact același număr: primul scrie $6\sin 35^{\circ }$, al doilea scrie $6\cos 55^{\circ }$, iar cele două produse sunt egale până la ultima zecimală.

Nu e o coincidență, ci una dintre cele mai vechi și mai elegante relații din trigonometrie: sinusul unui unghi este cosinusul complementului său. În scriere modernă, cu unghiuri măsurate în radiani, relația arată astfel: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, împreună cu perechea ei, $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. În lecția de azi le vom deduce de două ori — o dată geometric, în triunghiul dreptunghic, și o dată pe cercul trigonometric, unde vom descoperi că ele exprimă o simetrie foarte frumoasă: cea față de prima bisectoare.

Ce vei învăța

• Vei ști ce sunt unghiurile complementare și de ce sinusul unuia coincide cu cosinusul celuilalt.
• Vei ști să demonstrezi geometric relațiile $\sin (90^{\circ }-t)=\cos t$ și $\cos (90^{\circ }-t)=\sin t$ în triunghiul dreptunghic.
• Vei ști să deduci formulele $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ pe cercul trigonometric, pentru orice număr real $x$.
• Vei ști să transformi un sinus în cosinus și invers, ori de câte ori un exercițiu îți cere să lucrezi cu o singură funcție.
• Vei ști să recunoști perechile de valori egale de tipul $\sin 40^{\circ }=\cos 50^{\circ }$ și să le folosești pentru a simplifica expresii.
• Vei ști să citești formula pe graficele funcțiilor sinus și cosinus.

Hai să descoperim împreună

1. Unghiuri complementare: o veche cunoștință

Două unghiuri se numesc complementare dacă suma măsurilor lor este $90^{\circ }$, adică $\frac{\pi }{2}$ radiani. Complementul lui $30^{\circ }$ este $60^{\circ }$; complementul lui $25^{\circ }$ este $65^{\circ }$; complementul lui $45^{\circ }$ este el însuși.

Locul în care unghiurile complementare apar de la sine este triunghiul dreptunghic. Într-un triunghi, suma unghiurilor este $180^{\circ }$; dacă unul dintre ele are $90^{\circ }$, celelalte două trebuie să însumeze exact $90^{\circ }$. Cu alte cuvinte, cele două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt întotdeauna complementare.

Când lucrăm în radiani, complementul lui $x$ se scrie $\frac{\pi }{2}-x$, pentru că $\frac{\pi }{2}$ este scrierea în radiani a unghiului de $90^{\circ }$. Merită să exersezi câteva perechi în ambele limbaje: complementul lui $\frac{\pi }{6}$ este $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$ (adică $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$), complementul lui $\frac{\pi }{4}$ este tot $\frac{\pi }{4}$, iar complementul lui $\frac{\pi }{5}$ este $\frac{3\pi }{10}$. Regula de calcul e simplă, dar cere atenție la numitorul comun — e locul în care se pierd cele mai multe puncte din neglijență.

Aceasta este cheia întregii lecții. Într-un triunghi dreptunghic, o aceeași catetă este „opusă" pentru un unghi ascuțit și „alăturată" pentru celălalt. Cum sinusul se definește prin cateta opusă, iar cosinusul prin cea alăturată, e limpede că schimbând unghiul cu complementul lui schimbi între ele rolurile — și, odată cu ele, sinusul cu cosinusul.

2. Deducerea geometrică

Fie triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu catetele $b=AC$, $c=AB$ și ipotenuza $a=BC$. Notăm $m(\angle B)=t$; atunci $m(\angle C)=90^{\circ }-t$.

Scriem, pe rând, funcțiile trigonometrice ale celor două unghiuri ascuțite:

$$\sin B=\frac{\text{cateta opusa˘ lui }B}{\text{ipotenuza}}=\frac{b}{a},\cos B=\frac{\text{cateta ala˘turata˘ lui }B}{\text{ipotenuza}}=\frac{c}{a};$$

$$\sin C=\frac{\text{cateta opusa˘ lui }C}{\text{ipotenuza}}=\frac{c}{a},\cos C=\frac{\text{cateta ala˘turata˘ lui }C}{\text{ipotenuza}}=\frac{b}{a}.$$

Compară cele patru rapoarte. Sinusul lui $B$ și cosinusul lui $C$ sunt același număr, $\frac{b}{a}$; cosinusul lui $B$ și sinusul lui $C$ sunt același număr, $\frac{c}{a}$. Cum $C=90^{\circ }-B$, am obținut exact ce voiam:

$$\sin (90^{\circ }-t)=\cos t,\cos (90^{\circ }-t)=\sin t.$$

Demonstrația aceasta e simplă și convingătoare, dar are o limitare: funcționează doar pentru unghiuri ascuțite, fiindcă doar acelea încap într-un triunghi dreptunghic. Ca să extindem formula la orice număr real, trecem pe cerc.

3. Deducerea pe cercul trigonometric

Pe cercul trigonometric, punctul asociat unui număr real $x$ are coordonatele $M(x)=(\cos x,\sin x)$. Vrem să aflăm unde ajunge punctul asociat lui $\frac{\pi }{2}-x$.

Privește prima bisectoare, adică dreapta de ecuație $y=x$, cea care taie în două unghiul drept dintre semiaxele pozitive. Simetria față de această dreaptă are o proprietate remarcabilă: transformă punctul $(a,b)$ în punctul $(b,a)$ — pur și simplu schimbă între ele coordonatele. Ea duce originea în ea însăși, deci duce cercul trigonometric în el însuși, și duce punctul $A(1,0)$ în punctul $B(0,1)$.

Mai are o proprietate esențială: fiind o simetrie axială, inversează sensul de parcurgere. Așadar, dacă pornim din $A$ și parcurgem în sens trigonometric un arc de măsură $x$ — ajungând în $M(x)$ —, imaginea acestui drum prin simetrie este: pornim din $B$ și parcurgem un arc de aceeași măsură $x$, dar în sens invers, adică în sensul acelor de ceasornic.

Or, punctul $B$ corespunde numărului $\frac{\pi }{2}$, iar a merge înapoi cu $x$ înseamnă a ajunge la numărul $\frac{\pi }{2}-x$. Concluzia: simetricul lui $M(x)$ față de prima bisectoare este $M\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.

4. Cele două formule cu π/2 − x

Punem cap la cap cele două observații. Pe de o parte, prin simetrie, coordonatele se inversează:

$$M(x)=(\cos x,\sin x)⟹M\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=(\sin x,\cos x).$$

Pe de altă parte, prin definiția funcțiilor trigonometrice, coordonatele punctului $M\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ sunt $\left(\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right),\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right)$. Identificând abscisa cu abscisa și ordonata cu ordonata, obținem:

$$\boxed{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x,\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x}$$

Aceste egalități sunt adevărate pentru orice număr real $x$, nu doar pentru unghiuri ascuțite — exact extinderea pe care demonstrația geometrică nu ne-o putea da. Observă și cât de „curate" sunt: spre deosebire de formulele cu $\pi +x$ și $2\pi -x$ din lecția despre formulele cu π + x și 2π − x, aici nu apare niciun semn minus. În schimb, se întâmplă ceva ce nu s-a mai întâmplat până acum: funcțiile se schimbă între ele. Sinusul devine cosinus și cosinusul devine sinus.

Merită să reții deosebirea într-o singură propoziție: reducerile cu $\pi$ și $2\pi$ păstrează funcția și schimbă semnul; reducerea cu $\frac{\pi }{2}$ păstrează semnul și schimbă funcția.

5. Cofuncții: de unde vine numele „cosinus"

Numele „cosinus" nu e o invenție întâmplătoare. În latina medievală, expresia complementi sinus însemna „sinusul complementului". Cu timpul s-a scurtat la cosinus, iar prefixul „co-" a rămas până azi cu exact acest înțeles: cofuncția unei funcții trigonometrice este funcția aplicată complementului unghiului.

Așadar, formula $\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ nu este o teoremă surprinzătoare, ci chiar definiția istorică a cosinusului, redescoperită pe cercul trigonometric. Perechile de cofuncții sunt: sinus și cosinus; tangentă și cotangentă (pe aceasta din urmă o vei studia în lecția despre funcția cotangentă și periodicitatea ei); secantă și cosecantă, care nu fac obiectul programei de clasa a IX-a.

Un mic exercițiu de cultură matematică: în tabelele trigonometrice tipărite, folosite înainte de calculatoare, valorile erau date doar de la $0^{\circ }$ la $45^{\circ }$. Pentru unghiurile de la $45^{\circ }$ la $90^{\circ }$ se citea aceeași coloană, de jos în sus, schimbând sinusul cu cosinusul — economisind astfel jumătate din tipar. Tocmai relația de azi făcea acest lucru posibil.

6. Verificarea pe valorile remarcabile

Nimic nu convinge mai bine decât o verificare directă. Perechile de unghiuri complementare din primul cadran sunt $(0^{\circ },90^{\circ })$, $(30^{\circ },60^{\circ })$ și $(45^{\circ },45^{\circ })$:

Ultima coloană reproduce fidel a doua. Observă și cazul special $t=45^{\circ }$: fiind propriul complement, el este singurul unghi ascuțit pentru care sinusul și cosinusul sunt egale. Pe cerc, punctul lui $45^{\circ }$ se află chiar pe prima bisectoare, deci coincide cu propriul simetric — o confirmare geometrică a aceleiași observații.

7. Cum le folosim: trei tipuri de utilizare

a) Aducerea la o singură funcție. Multe exerciții devin banale dacă transformi toate cosinusurile în sinusuri (sau invers). De exemplu, expresia ${\cos }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}70^{\circ }$ pare că cere valori pe care nu le cunoaștem; dar $\cos 70^{\circ }=\cos (90^{\circ }-20^{\circ })=\sin 20^{\circ }$, deci expresia devine ${\cos }^{2}20^{\circ }+{\sin }^{2}20^{\circ }=1$, prin formula fundamentală a trigonometriei.

b) Recunoașterea valorilor egale. Ori de câte ori vezi două unghiuri care însumează $90^{\circ }$, ai o pereche gata făcută: $\sin 40^{\circ }=\cos 50^{\circ }$, $\sin 12^{\circ }=\cos 78^{\circ }$, $\cos 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }$. Diferențe de forma $\sin 40^{\circ }-\cos 50^{\circ }$ sunt, deci, nule — un tipar foarte des întâlnit la examen.

c) Simplificarea expresiilor cu literă. În expresii de tipul $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ înlocuiești fiecare paranteză cu ce trebuie și obții imediat $\cos x+\sin x$. Aici se vede cel mai bine avantajul deducerii pe cerc: formula funcționează fără nicio ipoteză despre $x$.

d) Compararea a două valori fără calculator. Care număr e mai mare, $\sin 50^{\circ }$ sau $\cos 50^{\circ }$? Nu putem compara direct, pentru că e vorba de funcții diferite. Dar formula ne aduce ambele valori la aceeași funcție: $\sin 50^{\circ }=\cos (90^{\circ }-50^{\circ })=\cos 40^{\circ }$. Acum întrebarea devine „ce e mai mare, $\cos 40^{\circ }$ sau $\cos 50^{\circ }$?", iar răspunsul e imediat, pentru că pe primul cadran cosinusul descrește — cu cât unghiul e mai mare, cu atât abscisa punctului de pe cerc e mai mică. Prin urmare $\cos 40^{\circ }>\cos 50^{\circ }$, deci $\sin 50^{\circ }>\cos 50^{\circ }$.

Generalizarea e utilă la examen: pentru un unghi ascuțit $t$, dacă $t>45^{\circ }$ atunci $\sin t>\cos t$, iar dacă $t<45^{\circ }$ atunci $\sin t<\cos t$; la $45^{\circ }$ cele două sunt egale. Motivul, în limbajul lecției: $\sin t$ și $\cos t$ sunt valorile aceleiași funcții în $t$ și în complementul lui, iar dintre două unghiuri complementare unul e mai mare decât $45^{\circ }$ exact când celălalt e mai mic.

8. Cum se vede formula pe grafice

Relația are și o citire grafică foarte sugestivă, pe care merită să o ai în minte când te uiți la graficele funcțiilor sinus și cosinus.

Graficul funcției $x\mapsto \sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ se obține din sinusoida obișnuită în doi pași: mai întâi o oglindești față de axa $Oy$ (asta face înlocuirea lui $x$ cu $-x$), apoi o translatezi spre dreapta cu $\frac{\pi }{2}$. Rezultatul suprapune, punct cu punct, graficul cosinusului.

Este exact ce spune și forma vizuală a celor două curbe: sinusoida și cosinusoida au aceeași formă, doar că sunt decalate una față de alta cu un sfert de perioadă. Cosinusul „pornește" din valoarea maximă $1$, în timp ce sinusul pornește din $0$ și abia după un sfert de perioadă ajunge la $1$. Formula cu $\frac{\pi }{2}$ este traducerea algebrică a acestui decalaj.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trecerea la unghiul complementar

Scrieți fiecare dintre valorile $\sin 25^{\circ }$, $\cos 80^{\circ }$ și $\sin 63^{\circ }$ folosind cealaltă funcție trigonometrică.

Rezolvare. Calculăm de fiecare dată complementul, adică $90^{\circ }$ minus unghiul dat:

$$\sin 25^{\circ }=\cos (90^{\circ }-25^{\circ })=\cos 65^{\circ };$$

$$\cos 80^{\circ }=\sin (90^{\circ }-80^{\circ })=\sin 10^{\circ };$$

$$\sin 63^{\circ }=\cos (90^{\circ }-63^{\circ })=\cos 27^{\circ }.$$

Regula practică: schimbi numele funcției și înlocuiești unghiul cu complementul lui. $■$

Exemplul 2 — O diferență care se anulează

Calculați $E=\sin 40^{\circ }-\cos 50^{\circ }$.

Rezolvare. Unghiurile $40^{\circ }$ și $50^{\circ }$ sunt complementare, pentru că $40^{\circ }+50^{\circ }=90^{\circ }$. Prin urmare $\cos 50^{\circ }=\cos (90^{\circ }-40^{\circ })=\sin 40^{\circ }$, iar

$$E=\sin 40^{\circ }-\sin 40^{\circ }=0.$$

Nu a fost nevoie să cunoaștem niciuna dintre cele două valori. $■$

Exemplul 3 — Verificare pe un unghi remarcabil

Calculați $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)$ în două feluri: cu formula și direct.

Rezolvare. Cu formula: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Direct: efectuăm mai întâi scăderea din paranteză, aducând la numitor comun,

$$\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi -\pi }{6}=\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3},$$

iar $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Cele două căi dau același rezultat, ceea ce confirmă formula. $■$

Exemplul 4 — Simplificarea unei expresii

Simplificați $E(x)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)-\sin x-\cos x$.

Rezolvare. Înlocuim primii doi termeni cu formulele lecției:

$$E(x)=\cos x+\sin x-\sin x-\cos x=0.$$

Expresia este identic nulă: se anulează pentru orice valoare a lui $x$. $■$

Exemplul 5 — În triunghiul dreptunghic

În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, se știe că $\sin B=\frac{3}{5}$. Calculați $\cos C$ și $\sin C$.

Rezolvare. Unghiurile $B$ și $C$ sunt complementare, deci $C=90^{\circ }-B$. Aplicăm formulele:

$$\cos C=\cos (90^{\circ }-B)=\sin B=\frac{3}{5}.$$

Pentru $\sin C$ folosim că $\sin C=\sin (90^{\circ }-B)=\cos B$, iar $\cos B$ îl aflăm din formula fundamentală: ${\cos }^{2}B=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\cos B=\frac{4}{5}$ (pozitiv, fiind unghi ascuțit). Așadar $\sin C=\frac{4}{5}$.

Verificare: ${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1$ ✓ — și pentru $B$, și pentru $C$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Arătați că ${\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+{\sin }^{2}x=1$ pentru orice număr real $x$. b) Calculați $\cos 15^{\circ }-\sin 75^{\circ }$.

Rezolvare. a) Aplicăm formula în primul termen: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, deci ${\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)={\cos }^{2}x$. Expresia devine

$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1,$$

adevărat pentru orice $x$ real, conform formulei fundamentale. ✓

b) Unghiurile $15^{\circ }$ și $75^{\circ }$ sunt complementare, deci $\sin 75^{\circ }=\sin (90^{\circ }-15^{\circ })=\cos 15^{\circ }$. Diferența este $\cos 15^{\circ }-\cos 15^{\circ }=0$. Din nou, nu am avut nevoie de valoarea lui $\cos 15^{\circ }$, care nici măcar nu e un unghi remarcabil. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu în care apar două unghiuri, verifică întâi dacă suma lor este $90^{\circ }$ — dacă da, formulele lecției se aplică imediat și scurtează mult calculul.

1. Scrie folosind cealaltă funcție trigonometrică: $\sin 25^{\circ }$, $\cos 80^{\circ }$, $\sin 63^{\circ }$, $\cos 12^{\circ }$.

2. Calculează $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)$, verificând rezultatul și prin efectuarea scăderii din paranteză.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) a) „$\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ pentru orice $x$ real." b) „$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ pentru orice $x$ real."

4. Calculează $E=\sin 40^{\circ }-\cos 50^{\circ }$.

5. Calculează $F=\cos 15^{\circ }-\sin 75^{\circ }+\sin 30^{\circ }$.

6. Simplifică expresia $E(x)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)-\cos x$.

7. Simplifică expresia $F(x)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.

8. Arată că ${\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=1$ pentru orice $x$ real.

9. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, exprimă $\sin C$ și $\cos C$ în funcție de unghiul $B$. Verifică apoi rezultatul pentru $m(\angle B)=30^{\circ }$.

10. (Problemă aplicată.) Un acoperiș are panta de $6$ metri și face un unghi de $35^{\circ }$ cu orizontala. Un dulgher calculează înălțimea la coamă cu formula $h=6\sin 35^{\circ }$, altul măsoară unghiul față de verticală ($55^{\circ }$) și scrie $h=6\cos 55^{\circ }$. Explică de ce cei doi obțin același rezultat.

11. Se știe că $\cos x=\frac{3}{5}$ și $\sin x=\frac{4}{5}$. Calculează $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.

12. Se știe că $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\frac{1}{4}$. Cât este $\cos x$?

13. Calculează $E={\cos }^{2}20^{\circ }+{\cos }^{2}70^{\circ }$.

14. Determină unghiul ascuțit $t$ pentru care $\sin t=\cos 2t$, știind că și $2t$ este unghi ascuțit.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Arătați că ${\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+{\sin }^{2}x=1$ pentru orice număr real $x$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Arătați că $\cos 210^{\circ }=\sin 240^{\circ }$.

17. Simplifică expresia $G(x)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\sin (\pi +x)+\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\cos (\pi +x)$.

18. (Provocare.) Arată că expresia $H(x)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\sin (\pi +x)+\cos (\pi +x)$ este identic nulă și explică geometric de ce se întâmplă acest lucru.

Răspunsuri și explicații

1. $\sin 25^{\circ }=\cos 65^{\circ }$; $\cos 80^{\circ }=\sin 10^{\circ }$; $\sin 63^{\circ }=\cos 27^{\circ }$; $\cos 12^{\circ }=\sin 78^{\circ }$. De fiecare dată se schimbă numele funcției și se ia complementul unghiului.

2. $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$; prin efectuarea scăderii, $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$, iar $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ ✓. Analog, $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, iar direct $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$ și $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.

3. a) Fals — formula corectă este $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$; reducerea cu $\frac{\pi }{2}$ schimbă funcția, nu o păstrează. Contraexemplu: pentru $x=0$, membrul stâng este $\cos \frac{\pi }{2}=0$, iar membrul drept este $\cos 0=1$. b) Adevărat — este chiar formula demonstrată în lecție, valabilă pentru orice $x$ real, nu doar pentru unghiuri ascuțite.

4. Cum $40^{\circ }+50^{\circ }=90^{\circ }$, avem $\cos 50^{\circ }=\sin 40^{\circ }$, deci $E=0$.

5. $15^{\circ }$ și $75^{\circ }$ sunt complementare, deci $\sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }$ și primii doi termeni se reduc. Rămâne $F=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$.

6. $E(x)=\cos x-\cos x=0$ pentru orice $x$ real.

7. $F(x)=\sin x+\cos x$. Atenție la ordine: primul termen, care conține cosinusul, devine sinus, iar al doilea devine cosinus.

8. Notăm $y=\frac{\pi }{2}-x$. Expresia devine ${\sin }^{2}y+{\cos }^{2}y=1$, adevărat pentru orice $y$ real, deci și pentru $y=\frac{\pi }{2}-x$. (Se putea și direct: ${\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.)

9. Unghiurile $B$ și $C$ sunt complementare, deci $C=90^{\circ }-B$, de unde $\sin C=\cos B$ și $\cos C=\sin B$. Pentru $m(\angle B)=30^{\circ }$ rezultă $m(\angle C)=60^{\circ }$, iar verificarea dă $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos 30^{\circ }$ ✓ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ }$ ✓.

10. Unghiul cu orizontala și unghiul cu verticala sunt complementare: $35^{\circ }+55^{\circ }=90^{\circ }$. Prin formula lecției, $\cos 55^{\circ }=\cos (90^{\circ }-35^{\circ })=\sin 35^{\circ }$, deci cele două expresii, $6\sin 35^{\circ }$ și $6\cos 55^{\circ }$, sunt egale. Dulgherii măsoară același acoperiș din repere diferite, iar matematica are grijă ca rezultatul să nu depindă de reper.

11. $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=\frac{3}{5}$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x=\frac{4}{5}$.

12. Din formulă, $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, deci $\cos x=\frac{1}{4}$.

13. $\cos 70^{\circ }=\cos (90^{\circ }-20^{\circ })=\sin 20^{\circ }$, deci $E={\cos }^{2}20^{\circ }+{\sin }^{2}20^{\circ }=1$.

14. Scriem membrul drept ca sinus: $\cos 2t=\sin (90^{\circ }-2t)$. Ecuația devine $\sin t=\sin (90^{\circ }-2t)$. Ambele unghiuri fiind ascuțite, iar sinusul fiind strict crescător pe $(0^{\circ },90^{\circ })$, egalitatea sinusurilor obligă egalitatea unghiurilor: $t=90^{\circ }-2t$, deci $3t=90^{\circ }$ și $t=30^{\circ }$. Verificare: $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ ✓.

15. $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, deci suma devine ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$, egală cu $1$ prin formula fundamentală, pentru orice $x$ real. $■$

16. Reducem fiecare membru la primul cadran: $\cos 210^{\circ }=\cos (180^{\circ }+30^{\circ })=-\cos 30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $\sin 240^{\circ }=\sin (180^{\circ }+60^{\circ })=-\sin 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Cele două sunt egale. Explicația de fond: $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$ sunt complementare, deci $\cos 30^{\circ }=\sin 60^{\circ }$, iar ambele unghiuri date se află în cadranul III, unde ambele funcții primesc același semn minus.

17. Înlocuim fiecare factor: $G(x)=\cos x\cdot (-\sin x)+\sin x\cdot (-\cos x)=-\sin x\cos x-\sin x\cos x=-2\sin x\cos x$.

18. Înlocuim termen cu termen: $H(x)=\cos x+\sin x+(-\sin x)+(-\cos x)=0$. Geometric: punctul lui $\frac{\pi }{2}-x$ are coordonatele $(\sin x,\cos x)$, iar punctul lui $\pi +x$ are coordonatele $(-\cos x,-\sin x)$. Suma tuturor celor patru coordonate — două de la un punct, două de la celălalt — este $\sin x+\cos x-\cos x-\sin x=0$: cele două puncte au coordonate care se compensează exact, două câte două.

De reținut

• Formulele cu $\frac{\pi }{2}$: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$, valabile pentru orice număr real $x$.
• Spre deosebire de reducerile cu $\pi$ și $2\pi$, aici nu apare niciun minus: se schimbă funcția, nu semnul.
• Explicația geometrică: cele două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare, iar aceeași catetă e opusă pentru unul și alăturată pentru celălalt.
• Pe cercul trigonometric, punctele lui $x$ și $\frac{\pi }{2}-x$ sunt simetrice față de prima bisectoare $y=x$, iar această simetrie schimbă între ele coordonatele.
• Utilizarea practică: două unghiuri care însumează $90^{\circ }$ dau imediat $\sin \alpha =\cos \beta$ — de aici, diferențe care se anulează și expresii care se aduc la o singură funcție.

Greșeli frecvente

• Păstrarea funcției în loc de schimbarea ei. Se scrie $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, prin analogie cu formulele cu $\pi$. La reducerea cu $\frac{\pi }{2}$, funcția se schimbă obligatoriu: cosinusul devine sinus și invers.
• Adăugarea unui semn minus care nu există. Se scrie $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\cos x$. Pentru $x$ din primul cadran ambii membri ar trebui să fie pozitivi, deci minusul e imposibil; verifică mereu pe un caz simplu, de exemplu $x=0$.
• Confundarea complementului cu suplementul. Complementul lui $t$ este $90^{\circ }-t$, suplementul este $180^{\circ }-t$. Prima duce la schimbarea funcției, a doua la păstrarea ei cu eventuală schimbare de semn — sunt formule complet diferite.
• Limitarea formulei la unghiuri ascuțite. Demonstrația din triunghiul dreptunghic acoperă doar unghiurile ascuțite, dar cea de pe cerc arată că formula e valabilă pentru orice $x$ real, inclusiv negativ sau mai mare de $90^{\circ }$.
• Neefectuarea corectă a scăderii cu fracții. Din grabă, $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}$ devine $\frac{\pi }{1}$ sau $\frac{\pi }{6}$ prin scăderea numitorilor. Corect: se aduce la numitor comun, $\frac{3\pi -2\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$.

Aplică acasă

1. Umbra de la prânz. Într-o zi însorită, înfige un băț drept în pământ și măsoară-i înălțimea și lungimea umbrei. Unghiul de înălțare a Soarelui deasupra orizontului și unghiul dintre razele solare și verticala bățului sunt complementare. Calculează raportul dintre umbră și băț și verifică, folosind formulele lecției, că el se poate scrie și cu sinus, și cu cosinus, după cum alegi reperul.

2. Rampa de skateboard. Dacă ai acces la o rampă sau la o scândură sprijinită, măsoară cu un raportor unghiul pe care îl face cu solul și apoi unghiul pe care îl face cu peretele vertical de sprijin. Verifică pe teren că suma lor este $90^{\circ }$ și scrie apoi patru egalități de tipul $\sin \alpha =\cos \beta$ folosind cele două unghiuri măsurate.

3. Tabelul înjumătățit. Fă un tabel cu valorile sinusului pentru unghiurile din $5^{\circ }$ în $5^{\circ }$, de la $0^{\circ }$ la $45^{\circ }$ (le poți lua cu calculatorul, rotunjite la trei zecimale). Apoi completează, fără calculator, valorile cosinusului pentru unghiurile de la $45^{\circ }$ la $90^{\circ }$, folosind doar formulele lecției. Verifică la final trei dintre ele cu calculatorul. Așa arătau tabelele trigonometrice tipărite acum o sută de ani.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a patra reducere fundamentală de pe cercul trigonometric — cea cu $\frac{\pi }{2}$ — și este singura dintre ele care schimbă funcția în loc să schimbe semnul. Programa cere explicit deducerea acestei identități și interpretarea ei grafică, de aceea lecția o argumentează de două ori: geometric, în triunghiul dreptunghic (unde se vede de ce sinusul unui unghi este cosinusul complementului), și pe cerc, prin simetria față de prima bisectoare (unde se obține valabilitatea pentru orice număr real). Ambele demonstrații sunt utile: prima explică de ce, a doua extinde unde.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că două unghiuri sunt complementare?" (au suma $90^{\circ }$); „De ce $\sin 40^{\circ }=\cos 50^{\circ }$?" (cele două unghiuri sunt complementare); „Ce se schimbă la reducerea cu $\frac{\pi }{2}$ — semnul sau funcția?" (funcția); „De unde vine numele cosinus?" (din complementi sinus, sinusul complementului); „De ce formula e valabilă și pentru unghiuri obtuze, deși demonstrația din triunghi nu le acoperă?" (pentru că deducerea de pe cerc nu folosește nicio ipoteză despre $x$). Semne că elevul a înțeles: recunoaște instantaneu perechile de unghiuri complementare dintr-o expresie și nu adaugă semne minus inutile.

La teze și la subiectul de trigonometrie de la Bacalaureat, formulele apar mai ales sub forma unor expresii care trebuie simplificate sau a unor egalități care trebuie demonstrate — tipul „arătați că ${\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+{\sin }^{2}x=1$" este un clasic. De asemenea, ele intervin discret în multe probleme de geometrie, ori de câte ori apar cele două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic.

Întrebări frecvente

Cât este sin(π/2 − x)? $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, pentru orice număr real $x$. Sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său — de aici și numele „cosinus", prescurtare din latinescul complementi sinus.

Cât este cos(π/2 − x)? $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. Este perechea formulei precedente: la reducerea cu $\frac{\pi }{2}$, cosinusul devine sinus, fără schimbare de semn.

De ce sin 40° este egal cu cos 50°? Pentru că $40^{\circ }+50^{\circ }=90^{\circ }$, adică unghiurile sunt complementare. Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $40^{\circ }$, celălalt unghi ascuțit are $50^{\circ }$, iar aceeași catetă este opusă primului și alăturată celui de-al doilea; raportul ei față de ipotenuză se citește o dată ca sinus și o dată ca cosinus.

Ce sunt unghiurile complementare? Sunt două unghiuri a căror sumă este $90^{\circ }$ (adică $\frac{\pi }{2}$ radiani). Cele două unghiuri ascuțite ale oricărui triunghi dreptunghic sunt întotdeauna complementare, pentru că suma unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ }$.

Care este diferența dintre formulele cu π/2 și cele cu π? Formulele cu $\pi$ și $2\pi$ păstrează funcția și schimbă (eventual) semnul: $\sin (\pi +x)=-\sin x$. Formulele cu $\frac{\pi }{2}$ fac exact invers: schimbă funcția și păstrează semnul. Este singura reducere din programă în care sinusul se transformă în cosinus.

Cum calculez sin(π/2 + x), dacă formula din lecție e pentru π/2 − x? Se reduce la ce știi deja, în doi pași: scrii $\frac{\pi }{2}+x=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, apoi aplici formula pentru $\pi -t$ din lecția anterioară și pe cea de azi. Ideea generală e că orice argument nou se rescrie folosind formulele deja demonstrate — nu trebuie memorată o formulă în plus.

Formula este valabilă și pentru unghiuri obtuze sau negative? Da. Demonstrația din triunghiul dreptunghic acoperă doar unghiurile ascuțite, dar cea de pe cercul trigonometric, bazată pe simetria față de prima bisectoare, nu folosește nicio ipoteză despre $x$; egalitățile sunt adevărate pentru orice număr real.

De ce sinusul și cosinusul sunt egale la 45°? Pentru că $45^{\circ }$ este propriul său complement: $90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$. Pe cerc, punctul corespunzător se află chiar pe prima bisectoare $y=x$, deci abscisa și ordonata lui coincid, iar amândouă valorează $\frac{\sqrt{2}}{2}$.