Din grafic se citește că funcția $$f(x) = \sqrt{x}$$ este:

crescătoare pe $$[0,\, +\infty)$$

descrescătoare pe $$[0,\, +\infty)$$

crescătoare, apoi descrescătoare

Care este domeniul funcției radical?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcția radical f(x) = √x

Domeniul maxim este $[0, + \infty)$ , fiindcă radicalul de ordin doi cere un număr nenegativ sub el. Valorile sunt și ele nenegative, deci graficul pornește din origine și rămâne deasupra axei orizontale. Funcția urcă pe tot domeniul, dar din ce în ce mai încet: trece prin $(1, 1)$ , $(4, 2)$ , $(9, 3)$ și $(16, 4)$ , deci pentru fiecare unitate câștigată pe verticală ai nevoie de salturi tot mai mari pe orizontală.

Funcția radical de ordin $2$ este $f (x) = x$ . Radicalul cere un număr nenegativ, deci domeniul ei maxim de definiție este $[0, + \infty)$ : graficul începe din origine și merge numai spre dreapta, nu există nimic în stânga axei $O y$ .

Toate valorile radicalului sunt nenegative, deci graficul stă numai deasupra axei $O x$ (sau chiar pe ea, în origine). Mulțimea valorilor este tot $[0, + \infty)$ .

Funcția este crescătoare pe tot domeniul, dar crește din ce în ce mai încet — curba se „culcă" spre dreapta. Se vede pe reperele ei: $(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(4, 2)$ , $(9, 3)$ , $(16, 4)$ . Ca să urci de la $3$ la $4$ pe verticală, ai nevoie de un salt de la $9$ la $16$ pe orizontală.

Punctele astea sunt și cheia lecturii grafice: ordonatele cresc din unu în unu exact deasupra pătratelor perfecte, așa că poți citi aproximativ orice radical — pentru $7$ te uiți între $2$ și $3$ , mai aproape de $3$ .

Drumul invers e la fel de simplu: dacă un punct de pe grafic are ordonata $y$ , atunci abscisa lui este $y^{2}$ .

De reținut

domeniul și mulțimea valorilor sunt amândouă $[0, + \infty)$
$x \geq 0$ mereu, deci $9 = 3$
funcția este strict crescătoare pe tot domeniul

Greșeala tipică

Se scrie $9 = \pm 3$ , deși un radical dă un singur rezultat, care nu este niciodată negativ. Semnul dublu apare abia la rezolvarea ecuației $t^{2} = 9$ , care este cu totul altceva.

Exerciții din această mini-lecție

Care este domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = x$ ?
- a) $R$
- b) $[0, + \infty)$
- c) $(0, + \infty)$
- d) $(- \infty, 0]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[0, + \infty)$

Sub radical de ordin par nu poate sta un număr negativ, deci $x \geq 0$ . Valoarea $0$ este permisă ( $0 = 0$ ), de aceea intervalul e închis la stânga: $[0, + \infty)$ , nu $(0, + \infty)$ .
Prin care dintre puncte trece graficul funcției $f (x) = x$ ?
- a) $(2, 4)$
- b) $(4, 2)$
- c) $(- 4, 2)$
- d) $(2, - 4)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(4, 2)$

Verifici $y = x$ : pentru $x = 4$ iese $4 = 2$ , deci punctul $(4, 2)$ e pe grafic. Punctul $(2, 4)$ are coordonatele inversate (ar fi de pe graficul lui $x^{2}$ ), iar $(- 4, 2)$ are abscisă negativă, în afara domeniului.
Din grafic se citește că funcția $f (x) = x$ este:
- a) descrescătoare pe $[0, + \infty)$
- b) crescătoare pe $[0, + \infty)$
- c) constantă
- d) crescătoare, apoi descrescătoare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) crescătoare pe $[0, + \infty)$

Curba urcă mereu de la stânga la dreapta, chiar dacă tot mai lent: din $x$ mai mare iese radical mai mare. Deci funcția e crescătoare pe tot domeniul, fără să se întoarcă vreodată — spre deosebire de o parabolă.

Întrebări conexe

Cum aproximez radical din 7 folosind graficul?

Cauți pe axa orizontală numărul $7$ , care stă între $4$ și $9$ . Ordonatele corespunzătoare sunt $2$ și $3$ , iar cum $7$ este mai aproape de $9$ , rezultatul este puțin sub $3$ . Valoarea reală este aproximativ $2, 65$ .

Ce abscisă are punctul de pe grafic cu ordonata 6?

Abscisa este $36$ , fiindcă drumul invers cere ridicarea la pătrat. Dacă un punct al graficului are ordonata $y$ , atunci abscisa lui este $y^{2}$ . Regula aceasta rezolvă rapid orice ecuație în care radicalul este egal cu un număr.

Cum compar radical din 10 cu radical din 11 fără calculator?

Te folosești de faptul că funcția urcă mereu: din $10 < 11$ rezultă imediat că primul radical este mai mic. Nu ai nevoie de nicio valoare aproximativă. Aceeași idee compară orice două radicale de ordinul doi.

Ce domeniu are funcția radical din x minus 3?

Se pune condiția ca expresia de sub radical să fie nenegativă: din $x - 3 \geq 0$ rezultă $x \geq 3$ , deci domeniul este $[3, \infty)$ . Graficul are aceeași formă, dar pornește din punctul $(3, 0)$ , mutat cu trei unități spre dreapta.

De ce curba radicalului se aplatizează spre dreapta?

Pentru că distanțele dintre pătratele perfecte cresc: de la $1$ la $4$ sunt trei unități, de la $4$ la $9$ cinci, de la $9$ la $16$ șapte. Ordonata urcă din unu în unu, dar abscisa are nevoie de pași tot mai lungi.

Unde are funcția radical valoarea cea mai mică?

În origine, unde ia valoarea $0$ . Este singurul punct în care graficul atinge axa orizontală, iar în rest valorile sunt strict pozitive. Fiind o funcție care urcă mereu, ea nu are o valoare cea mai mare.

Oamenii mai întreabă și: domeniul funcției radical · graficul lui radical din x · de ce nu există radical din numere negative · funcția radical de ordin 2 · mulțimea valorilor la radical