Fie $$f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$$ și $$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$g(x)=x+2$$. De ce $$f\neq g$$?

pentru că domeniile diferă: $$2$$ aparține domeniului lui $$g$$, dar nu al lui $$f$$

pentru că legile de corespondență diferă pentru unele valori ale lui $$x$$

pentru că au codomenii diferite

pentru că $$g$$ nu este o funcție

Când sunt două funcții egale?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcții egale, restricție și imagine

Două funcții sunt egale doar dacă au același domeniu, același codomeniu și dau aceeași valoare în fiecare punct, toate trei condițiile deodată. De exemplu $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ și $x + 2$ dau același rezultat oriunde au sens, dar prima nu este definită în $2$ , așa că funcțiile rămân diferite. Simplificarea unei fracții schimbă scrierea, nu mulțimea pe care lucrezi.

O funcție nu e doar o formulă, ci un triplet $(A, B, f)$ : domeniu, codomeniu și lege de corespondență. Funcțiile $f : A \to B$ și $g : C \to D$ sunt egale ( $f = g$ ) doar dacă $A = C$ , $B = D$ și $f (x) = g (x)$ pentru orice $x \in A$ — toate trei condițiile deodată; o simplă simplificare de fracție, de exemplu $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2$ , nu schimbă domeniul $R ∖ {2}$ .

Restricția $f ∣_{C} : C \to B$ , cu $C \subseteq A$ , păstrează legea și codomeniul, dar micșorează domeniul la $C$ ; graficul ei este partea din graficul lui $f$ situată deasupra lui $C$ . Operația inversă, prelungirea, nu este unică.

Imaginea unei funcții este $Im f = f (A) = {f (x) ∣ x \in A}$ , mulțimea valorilor efectiv atinse; grafic, este proiecția graficului pe axa $O y$ . Se determină fie citind graficul, fie rezolvând ecuația $f (x) = y$ și găsind pentru ce $y$ există soluție $x \in A$ — demonstrația riguroasă folosind dublă incluziune. Pentru o funcție afină $f (x) = a x + b$ pe un interval $[α, β]$ , imaginea este intervalul dintre valorile din capete, ordonate crescător. Important: $Im f$ depinde doar de domeniu și lege, niciodată de codomeniu.

De reținut

egalitate = același domeniu, același codomeniu, aceleași valori
$Im f$ nu depinde de codomeniu
restricția păstrează legea și micșorează domeniul

Greșeala tipică

Se simplifică fracția și funcțiile sunt declarate egale, deși valoarea scoasă din numitor lipsește în continuare din domeniu; domeniul se scrie înainte de orice simplificare.

Exerciții din această mini-lecție

Domeniul maxim de definiție al expresiei $E (x) = \frac{x + 5}{x - 4}$ este:
- a) $R$
- b) $R ∖ {4}$
- c) $R ∖ {- 5}$
- d) $(4, \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $R ∖ {4}$

Numitorul trebuie să fie nenul: $x - 4 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 4$ . Nu există altă restricție (numărătorul e definit pentru orice $x$ ), deci domeniul maxim este $R ∖ {4}$ .
Fie $f : R ∖ {2} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ și $g : R \to R$ , $g (x) = x + 2$ . De ce $f \neq = g$ ?
- a) pentru că legile de corespondență diferă pentru unele valori ale lui $x$
- b) pentru că domeniile diferă: $2$ aparține domeniului lui $g$ , dar nu al lui $f$
- c) pentru că au codomenii diferite
- d) pentru că $g$ nu este o funcție
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) pentru că domeniile diferă: $2$ aparține domeniului lui $g$ , dar nu al lui $f$

Pentru $x \neq = 2$ , $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2$ , deci legile coincid pe domeniul lui $f$ . Dar $2 \in R$ (domeniul lui $g$ ), iar $2 \in / R ∖ {2}$ (domeniul lui $f$ ), deci domeniile diferă, iar $f \neq = g$ .
Pentru $f : [- 3, 2] \to R$ , $f (x) = - 2 x + 1$ , determinați $Im f$ .
- a) $[- 3, 7]$
- b) $[7, - 3]$
- c) $[- 7, 3]$
- d) $(- 3, 7)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[- 3, 7]$

Panta $- 2 < 0$ , deci funcția e strict descrescătoare: capătul din stânga dă valoarea maximă. $f (- 3) = 6 + 1 = 7$ și $f (2) = - 4 + 1 = - 3$ , ambele capete fiind incluse. Ordonând crescător, $Im f = [- 3, 7]$ .

Întrebări conexe

Cum arăt că două funcții nu sunt egale?

Îți ajunge o singură diferență. Dacă domeniile nu coincid, arăți un număr care aparține unuia și nu celuilalt. Dacă domeniile sunt aceleași, cauți o valoare în care rezultatele diferă și o pui în calcul. Un contraexemplu numeric încheie discuția, fără demonstrație generală.

De ce restricția unei funcții injective rămâne injectivă?

Injectivitatea cere ca valori diferite ale variabilei să dea rezultate diferite. Dacă proprietatea are loc pe tot domeniul, ea are loc și pe orice parte a lui, fiindcă perechile de pe porțiunea mai mică sunt printre cele verificate deja. Reciproca nu ține: o restricție poate fi injectivă fără ca funcția întreagă să fie.

Ce se întâmplă cu graficul când restrâng domeniul unei funcții?

Rămâne exact bucata de grafic aflată deasupra noii mulțimi, restul se șterge. Forma nu se modifică, doar se taie capetele. De aceea o parabolă restrânsă la un interval poate arăta ca o curbă crescătoare, deși pe tot domeniul ea coboară și apoi urcă.

Care este imaginea funcției de ridicare la pătrat pe intervalul de la minus 1 la 2?

Pe $[- 1, 2]$ pătratul coboară de la $1$ la $0$ , apoi urcă până la $4$ . Cea mai mică valoare atinsă este $0$ , în $x = 0$ , iar cea mai mare este $4$ , în $x = 2$ . Toate valorile intermediare apar, deci imaginea este $[0, 4]$ .

De ce două formule diferite pot defini aceeași funcție?

Pentru că funcția înseamnă corespondența dintre numere, nu șirul de semne cu care o scrii. Dacă $2 (x + 3)$ și $2 x + 6$ dau același rezultat pentru fiecare $x$ din același domeniu, ele descriu aceeași corespondență. Contează valorile produse, nu forma expresiei.

Cum verific egalitatea a două funcții definite pe ramuri?

Compari întâi domeniile. Apoi împarți domeniul comun după punctele în care se schimbă ramurile amândurora și verifici, pe fiecare bucată, dacă expresiile active dau aceleași valori. Ajunge o singură bucată pe care rezultatele diferă pentru ca funcțiile să nu fie egale.

Oamenii mai întreabă și: egalitatea a două funcții · când coincid două funcții · condiții pentru funcții egale · două funcții cu aceeași formulă