Funcții egale, restricția unei funcții și imaginea unei funcții

Două aparate de măsură pot afișa aceleași numere și totuși să nu fie același aparat: unul măsoară până la $100^{\circ }\text{C}$, celălalt până la $50^{\circ }\text{C}$. Pe intervalul comun dau rezultate identice, dar dincolo de $50$ de grade unul funcționează, iar celălalt nu. Aceeași distincție, aparent pedantă, este esențială în matematică: o funcție nu este doar o formulă, ci un ansamblu format din trei lucruri — de unde pleacă, unde ajunge și după ce regulă transformă. Schimbă unul dintre ele și ai altă funcție, chiar dacă formula rămâne aceeași literă cu literă.

În lecția aceasta punem ordine în trei noțiuni care decurg direct din această idee. Egalitatea funcțiilor ne spune când două funcții sunt cu adevărat una și aceeași. Restricția ne arată cum obținem o funcție nouă privind doar o parte din domeniu — instrumentul cu care „reparăm" mai târziu funcțiile care nu sunt injective. Imaginea $\mathrm{Im}f$ răspunde la întrebarea practică ce valori ia efectiv funcția, întrebare care apare la orice problemă de optimizare, de existență a soluțiilor sau de surjectivitate. Toate trei sunt cerute explicit de programa de mate-info și toate trei revin, ca unelte de lucru, în funcții injective, surjective, bijective.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți criteriul de egalitate a două funcții și să decizi, cu justificare, dacă două funcții date sunt egale.
• Vei ști să determini domeniul maxim de definiție al unei funcții date printr-o expresie.
• Vei ști ce este restricția $f{|}_C$ a unei funcții, cum arată graficul ei și ce înseamnă prelungirea unei funcții.
• Vei ști să definești imaginea $\mathrm{Im}f$ și să o citești de pe grafic ca proiecție pe axa $Oy$.
• Vei ști să determini $\mathrm{Im}f$ prin metoda ecuației $f(x)=y$ și să demonstrezi rezultatul prin dublă incluziune.
• Vei ști să calculezi imaginea unei funcții afine pe un interval și a unei funcții definite pe ramuri.

Hai să descoperim împreună

1. O funcție este un triplet, nu o formulă

Reluăm definiția cu care ai pornit în noțiunea de funcție. A da o funcție înseamnă a da trei obiecte:

• o mulțime $A$, numită domeniu (de unde pleacă);
• o mulțime $B$, numită codomeniu (unde ajunge);
• o lege de corespondență $f$ care asociază fiecărui $x\in A$ exact un element $f(x)\in B$.

Scriem $f:A\to B$. Faptul că funcția e tripletul $(A,B,f)$, nu doar litera $f$, are o consecință imediată: dacă schimbi $A$ sau $B$, obții altă funcție, oricât de identică ar arăta formula. Elevii care rețin doar formula pierd puncte exact aici, iar la mate-info distincția devine critică, pentru că surjectivitatea depinde de codomeniu, iar injectivitatea de domeniu.

2. Funcții egale: criteriul în trei puncte

Definiție. Funcțiile $f:A\to B$ și $g:C\to D$ sunt egale, și scriem $f=g$, dacă sunt îndeplinite simultan:

1. $A=C$ (au același domeniu);
2. $B=D$ (au același codomeniu);
3. $f(x)=g(x)$ pentru orice $x\in A$ (au aceeași lege pe tot domeniul).

Toate trei condițiile sunt necesare. Iată câte un exemplu pentru fiecare mod de a le încălca.

Formule diferite, funcții egale. Fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$ și $g(x)=\sqrt{x^2}$. Domeniile coincid, codomeniile coincid, iar $\sqrt{x^2}=|x|$ pentru orice $x$ real. Deci $f=g$: scrierea diferită nu contează, contează valorile.

Aceeași formulă, domenii diferite. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ și $g:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$. Pe domeniul lui $g$ avem $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$, deci legile coincid acolo unde ambele au sens. Dar $1\in \mathbb{R}$ și $1\notin \mathbb{R}\setminus \{1\}$: domeniile diferă, deci $f\ne g$. Simplificarea fracției nu „repară" domeniul — ea doar rescrie legea.

Aceeași formulă, codomenii diferite. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ și $g:\mathbb{R}\to [0,\infty )$, $g(x)=x^2$. Iau exact aceleași valori, dar codomeniile diferă, deci $f\ne g$. Diferența nu e formală: $g$ este surjectivă, iar $f$ nu este.

Aceeași formulă… doar pe jumătate. Fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$ și $g(x)=|x|$. Domeniile și codomeniile coincid, dar $f(-1)=-1\ne 1=g(-1)$. Un singur punct de dezacord distruge egalitatea. În schimb, restrânse la $[0,\infty )$, cele două funcții devin egale — vom vedea imediat de ce.

3. Domeniul maxim de definiție

Când o funcție e dată doar printr-o expresie, se subînțelege că domeniul este cel mai mare set de numere reale pentru care expresia are sens. Îl numim domeniu maxim de definiție. Regulile de bază:

• numitorul trebuie să fie nenul;
• expresia de sub un radical de ordin par trebuie să fie mai mare sau egală cu zero;
• condițiile se intersectează dacă apar simultan.

Exemple. Pentru $E(x)=\frac{2x+1}{x-3}$, domeniul maxim este $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Pentru $E(x)=\sqrt{x-5}$, este $[5,\infty )$. Pentru $E(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x}}$ avem simultan $4-x\ge 0$ și $\sqrt{4-x}\ne 0$, deci $4-x>0$, adică domeniul este $(-\infty ,4)$.

Fără această disciplină, discuția despre egalitatea funcțiilor devine imposibilă: cele mai multe „demonstrații" greșite pornesc de la ignorarea domeniului.

4. Restricția unei funcții

Definiție. Fie $f:A\to B$ și $C\subseteq A$ o submulțime nevidă. Se numește restricția lui $f$ la $C$ funcția

$$f{|}_C:C\to B,f{|}_C(x)=f(x)\text{ pentru orice }x\in C.$$

Cu alte cuvinte, păstrezi legea și codomeniul, dar te uiți doar la o parte din domeniu. Restricția este altă funcție decât $f$ (au domenii diferite), chiar dacă „face același lucru" pe zona comună.

Graficul. Deoarece $G_{f{|}_C}=\{(x,f(x))\mid x\in C\}$, graficul restricției este partea din graficul lui $f$ situată deasupra lui $C$. Nimic nu se deformează; doar se taie.

La ce folosește. Restricția e instrumentul standard prin care o funcție „stricată" devine bună. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ nu este injectivă, pentru că $f(-3)=f(3)=9$. Restricția ei $f{|}_{[0,\infty )}$ este însă injectivă: dacă $x_1,x_2\ge 0$ și $x_1^2=x_2^2$, atunci $|x_1|=|x_2|$, iar numerele fiind nenegative rezultă $x_1=x_2$. Aceeași lege, alt domeniu, altă concluzie.

Prelungirea. Operația inversă se numește prelungire: spunem că $F:A\to B$ este o prelungire a lui $f:C\to B$ dacă $C\subseteq A$ și $F{|}_C=f$. O funcție are o singură restricție la o mulțime dată, dar poate avea o infinitate de prelungiri — pe porțiunea nouă poți defini practic orice. De exemplu, $f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$ se prelungește la $\mathbb{R}$ atât prin $F_1(x)=x$, cât și prin $F_2(x)=|x|$ sau prin $F_3(x)=2x$ pentru $x<0$ și $x$ pentru $x\ge 0$.

5. Imaginea unei funcții

Definiție. Fie $f:A\to B$. Imaginea lui $f$ este mulțimea valorilor efectiv atinse:

$$\mathrm{Im}f=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\in B\mid \exists x\in A\text{ cu }f(x)=y\}.$$

Din definiție rezultă imediat $\mathrm{Im}f\subseteq B$. Egalitatea $\mathrm{Im}f=B$ are un nume: înseamnă exact că $f$ este surjectivă.

Citirea grafică. Un număr $y$ aparține imaginii dacă orizontala de ecuație $y=y_0$ taie graficul cel puțin o dată. Prin urmare, $\mathrm{Im}f$ este proiecția graficului pe axa $Oy$ — la fel cum domeniul este proiecția graficului pe axa $Ox$. Este cea mai rapidă metodă când ai desenul în față, iar programa o cere explicit ca lectură grafică; procedeul e același cu cel folosit la lectura graficului unei funcții.

Metoda algebrică. Când nu ai desen, procedezi așa: iei $y$ oarecare, rezolvi ecuația $f(x)=y$ cu necunoscuta $x$ și afli pentru ce valori ale lui $y$ ecuația are cel puțin o soluție în domeniu. Mulțimea acelor $y$ este exact $\mathrm{Im}f$.

Exemplu. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$. Ecuația $2x+1=y$ are soluția $x=\frac{y-1}{2}$, număr real pentru orice $y$. Deci $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$.

Exemplu. $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$. Ecuația $\frac{1}{x}=y$ cere $y\ne 0$ și dă $x=\frac{1}{y}$, care aparține domeniului. Deci $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

6. Imaginea unei funcții afine pe un interval

Cel mai frecvent caz de la clasă merită enunțat ca teoremă și demonstrat riguros.

Teoremă. Fie $\alpha <\beta$ numere reale, $a>0$ și $f:[\alpha ,\beta ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$. Atunci

$$\mathrm{Im}f=[f(\alpha ),f(\beta )].$$

Demonstrație (dublă incluziune).

„$\subseteq$": fie $x\in [\alpha ,\beta ]$, deci $\alpha \le x\le \beta$. Înmulțind cu $a>0$ (sensul inegalităților se păstrează) și adunând $b$, obținem $a\alpha +b\le ax+b\le a\beta +b$, adică $f(\alpha )\le f(x)\le f(\beta )$. Deci orice valoare a funcției se află în intervalul $[f(\alpha ),f(\beta )]$.

„$\supseteq$": fie $y\in [f(\alpha ),f(\beta )]$. Punem $x=\frac{y-b}{a}$, singura soluție a ecuației $ax+b=y$. Rămâne de arătat că $x$ este în domeniu. Din $a\alpha +b\le y\le a\beta +b$ scădem $b$ și împărțim la $a>0$: $\alpha \le \frac{y-b}{a}\le \beta$, deci $x\in [\alpha ,\beta ]$ și $f(x)=y$. Prin urmare, orice $y$ din interval este atins. $■$

Pentru $a<0$ demonstrația este identică, cu observația că înmulțirea cu $a$ schimbă sensul inegalităților; se obține $\mathrm{Im}f=[f(\beta ),f(\alpha )]$.

Regula practică. La o funcție afină pe un interval, imaginea este intervalul determinat de valorile în capete, luate în ordine crescătoare; capetele deschise ale domeniului dau capete deschise ale imaginii. Astfel, pentru $f:(-1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x+2$, valorile în capete sunt $f(-1)=5$ (exclus, pentru că $-1$ nu e în domeniu) și $f(4)=-10$ (inclus). Funcția fiind descrescătoare, $\mathrm{Im}f=[-10,5)$.

7. Imaginea funcțiilor definite pe ramuri

Dacă domeniul se scrie ca reuniune de bucăți, $A=A_1\cup A_2$, atunci

$$\mathrm{Im}f=f(A_1)\cup f(A_2),$$

adică imaginea totală este reuniunea imaginilor pe ramuri. Justificarea e directă din definiție: o valoare e atinsă dacă e atinsă pe cel puțin una dintre bucăți.

Exemplu. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 0\\ 2x,& x>0.\end{array}$$

Pe ramura $x\le 0$: funcția e crescătoare și $x+1\le 1$, deci imaginea ramurii este $(-\infty ,1]$. Pe ramura $x>0$: $2x>0$, deci imaginea ramurii este $(0,\infty )$. Reuniunea lor este $(-\infty ,1]\cup (0,\infty )=\mathbb{R}$, deci $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$ și funcția este surjectivă.

Atenție la faptul că ramurile se pot suprapune: intervalul $(0,1]$ apare în ambele imagini, ceea ce nu strică nimic la calculul reuniunii, dar arată că funcția nu poate fi injectivă — valori din $(0,1]$ sunt atinse și de o ramură, și de cealaltă. Reuniunea de mulțimi nu numără de câte ori e atinsă o valoare, ci doar dacă e atinsă.

8. Imagine, domeniu, codomeniu: harta finală

Merită fixat, într-un tabel, ce se schimbă și ce nu.

Ultima linie conține ideea cea mai des ratată: imaginea nu depinde de codomeniu. $\mathrm{Im}f$ se calculează exclusiv din domeniu și lege. Codomeniul spune doar unde au voie să cadă valorile; imaginea spune unde cad efectiv. De aceea putem întotdeauna „repara" surjectivitatea, înlocuind codomeniul cu $\mathrm{Im}f$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Decizi egalitatea, cu justificare completă

Stabiliți dacă funcțiile sunt egale: a) $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+1{)}^2$ și $g(x)=x^2+2x+1$; b) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=|x|$; c) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ și $g:\mathbb{R}\to [0,\infty )$, $g(x)=x^2$.

Rezolvare. a) Domeniile și codomeniile coincid, iar $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$ pentru orice $x$ real, prin dezvoltarea pătratului. Deci $f=g$.

b) Domeniile și codomeniile coincid, dar legile nu: $f(-1)=-1$, în timp ce $g(-1)=1$. Un singur contraexemplu este suficient, deci $f\ne g$.

c) Legile coincid și domeniile coincid, dar codomeniile sunt diferite: $\mathbb{R}\ne [0,\infty )$. Deci $f\ne g$. Diferența e reală, nu formală: $g$ este surjectivă (orice $y\ge 0$ e atins de $x=\sqrt{y}$), iar $f$ nu este (valoarea $-1$ nu e atinsă). $■$

Exemplul 2 — Simplificarea care schimbă domeniul

Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+2$. Sunt egale? Dar $f$ și $g{|}_{\mathbb{R}\setminus \{2\}}$?

Rezolvare. Pentru $x\ne 2$: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, deci legile coincid pe domeniul lui $f$. Însă domeniul lui $g$ este $\mathbb{R}$, care conține $2$, iar domeniul lui $f$ nu. Prin urmare $f\ne g$.

În schimb, restricția $g{|}_{\mathbb{R}\setminus \{2\}}:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$ are exact același domeniu, același codomeniu și aceeași lege ca $f$. Deci $f=g{|}_{\mathbb{R}\setminus \{2\}}$. $■$

Verificare numerică: $f(3)=\frac{9-4}{1}=5$ și $g(3)=5$ ✓; în $x=2$, $g(2)=4$, iar $f(2)$ pur și simplu nu există.

Exemplul 3 — Imaginea unei funcții afine pe interval

Determinați $\mathrm{Im}f$ pentru: a) $f:[-2,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$; b) $g:(-1,4]\to \mathbb{R}$, $g(x)=-3x+2$.

Rezolvare. a) Panta $2>0$, deci funcția e strict crescătoare. Valorile în capete: $f(-2)=-3$ și $f(3)=7$, ambele capete fiind incluse în domeniu. Conform teoremei, $\mathrm{Im}f=[-3,7]$.

b) Panta $-3<0$, deci funcția e strict descrescătoare: capătului din stânga îi corespunde valoarea cea mai mare. Avem $g(-1)=5$ (dar $-1\notin$ domeniu, deci valoarea nu se atinge) și $g(4)=-10$ (atins). Așadar $\mathrm{Im}g=[-10,5)$.

Control cu un martor: $g(0)=2\in [-10,5)$ ✓, iar valoarea $5$ ar cere $-3x+2=5$, deci $x=-1$, care nu e în domeniu ✓. $■$

Exemplul 4 — Imaginea pe mulțime finită și pe ramuri

a) Determinați $\mathrm{Im}f$ pentru $f:\{-2,-1,0,1,2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-1$. b) Determinați $\mathrm{Im}h$ pentru $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=x+1$ dacă $x\le 0$ și $h(x)=2x$ dacă $x>0$.

Rezolvare. a) Calculăm toate valorile: $f(-2)=3$, $f(-1)=0$, $f(0)=-1$, $f(1)=0$, $f(2)=3$. Mulțimea valorilor, scrisă fără repetiții, este $\mathrm{Im}f=\{-1,0,3\}$. Observă că imaginea are $3$ elemente, deși domeniul are $5$ — semn sigur că funcția nu e injectivă.

b) Pe $(-\infty ,0]$: funcția $x+1$ e crescătoare, cu valoarea maximă $h(0)=1$; imaginea ramurii este $(-\infty ,1]$. Pe $(0,\infty )$: $2x$ ia toate valorile strict pozitive, deci imaginea ramurii este $(0,\infty )$. Reuniunea: $\mathrm{Im}h=(-\infty ,1]\cup (0,\infty )=\mathbb{R}$. $■$

Exemplul 5 — Restricția care repară o proprietate

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. a) Determinați $\mathrm{Im}f$. b) Arătați că $f$ nu este injectivă, dar $f{|}_{[0,\infty )}$ este. c) Determinați $\mathrm{Im}\left(f{|}_{[1,2]}\right)$.

Rezolvare. a) Ecuația $x^2=y$ are soluții reale exact când $y\ge 0$ (și anume $x=\pm \sqrt{y}$). Deci $\mathrm{Im}f=[0,\infty )$.

b) $f(-3)=f(3)=9$ cu $-3\ne 3$, deci $f$ nu e injectivă. Pentru restricție: fie $x_1,x_2\ge 0$ cu $x_1^2=x_2^2$; atunci $|x_1|=|x_2|$, iar cum ambele sunt nenegative, $x_1=x_2$. Deci $f{|}_{[0,\infty )}$ este injectivă.

c) Pe $[1,2]$ funcția e strict crescătoare (pentru $0\le x_1<x_2$ avem $x_1^2<x_2^2$), deci valorile parcurg intervalul dintre $f(1)=1$ și $f(2)=4$: $\mathrm{Im}\left(f{|}_{[1,2]}\right)=[1,4]$. $■$

Reține tiparul: restricția nu schimbă legea, dar poate schimba radical proprietățile — injectivitate, monotonie, imagine.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+7$. a) Arătați că $f(x)=(x-2{)}^2+3$ pentru orice $x$ real. b) Determinați $\mathrm{Im}f$. c) Determinați $\mathrm{Im}\left(f{|}_{[0,3]}\right)$.

Rezolvare. a) $(x-2{)}^2+3=x^2-4x+4+3=x^2-4x+7=f(x)$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$. ✓

b) Din $(x-2{)}^2\ge 0$ rezultă $f(x)\ge 3$, deci $\mathrm{Im}f\subseteq [3,\infty )$. Reciproc, fie $y\ge 3$: ecuația $(x-2{)}^2+3=y$ dă $(x-2{)}^2=y-3\ge 0$, deci $x=2+\sqrt{y-3}\in \mathbb{R}$ este o soluție. Prin dublă incluziune, $\mathrm{Im}f=[3,\infty )$.

c) Pe $[0,3]$ funcția scade până în $x=2$ și apoi crește. Calculăm valorile relevante: $f(0)=7$, $f(2)=3$ (valoarea minimă), $f(3)=4$. Cea mai mică valoare atinsă este $3$, cea mai mare este $7$, iar funcția fiind continuă pe fiecare bucată de monotonie, ia toate valorile intermediare. Deci $\mathrm{Im}\left(f{|}_{[0,3]}\right)=[3,7]$. $■$

Observă diferența de metodă între b) și c): pe tot $\mathbb{R}$ folosim forma canonică, pe un interval mărginit comparăm valorile din capete cu valoarea de extrem.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La egalitate, verifică toate trei condițiile; la imagine, indică metoda folosită (grafic, capete de interval sau ecuația $f(x)=y$).

1. Stabilește dacă $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$ și $g(x)=x+x$, sunt egale.

2. Stabilește dacă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ și $g:[0,\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2$, sunt egale.

3. Stabilește dacă $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$ și $g(x)=\sqrt{x^2}$, sunt egale. Justifică pe cazuri, după semnul lui $x$.

4. Determină domeniul maxim de definiție pentru: a) $E(x)=\frac{2x+1}{x-3}$; b) $E(x)=\sqrt{x-5}$; c) $E(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x}}$.

5. Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x-1$. Sunt egale? Ce restricție a lui $g$ este egală cu $f$?

6. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$. Scrie restricția lui $f$ la $[0,4]$ și determină imaginea acesteia.

7. Determină $\mathrm{Im}f$ pentru $f:[-2,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$.

8. Determină $\mathrm{Im}f$ pentru $f:(-1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x+2$. Explică de ce un capăt este deschis și celălalt închis.

9. Determină $\mathrm{Im}f$ pentru $f:\{1,2,3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$.

10. Determină $\mathrm{Im}f$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2$, folosind metoda ecuației $f(x)=y$.

11. Determină $\mathrm{Im}f$ pentru $f:[1,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-3{)}^2$. (Atenție: minimul se atinge în interiorul intervalului.)

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două funcții au aceeași lege de corespondență, atunci ele sunt egale."

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Imaginea unei funcții nu se schimbă dacă îi mărim codomeniul."

14. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definită prin $f(x)=-x$ pentru $x<0$ și $f(x)=x^2$ pentru $x\ge 0$. Determină $\mathrm{Im}f$, calculând separat imaginea fiecărei ramuri.

15. (Problemă aplicată.) Costul unei curse este $T(x)=5+2,5x$ lei, unde $x$ este numărul de kilometri, iar cursele acestei firme au între $2$ și $20$ de kilometri. Scrie funcția cu domeniul realist și determină $\mathrm{Im}T$. Ce înseamnă, în cuvinte, capetele imaginii?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+11$. a) Arătați că $f(x)=(x-3{)}^2+2$. b) Determinați $\mathrm{Im}f$. c) Determinați $\mathrm{Im}\left(f{|}_{[0,2]}\right)$.

17. (Raționament.) Demonstrează, prin dublă incluziune, că pentru $a<0$ și $f:[\alpha ,\beta ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, avem $\mathrm{Im}f=[f(\beta ),f(\alpha )]$.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$. a) Determină $\mathrm{Im}f$. b) Determină $\mathrm{Im}\left(f{|}_{[1,4]}\right)$. c) Găsește o submulțime $C$ a domeniului pentru care $\mathrm{Im}\left(f{|}_C\right)=\left[\frac{1}{2},1\right]$.

Răspunsuri și explicații

1. Da, sunt egale. Domeniile coincid ($\mathbb{R}$), codomeniile coincid ($\mathbb{R}$), iar $x+x=2x$ pentru orice $x$ real. Formulele diferite descriu aceeași lege.

2. Nu. Legile coincid, codomeniile coincid, dar domeniile diferă: $\mathbb{R}\ne [0,\infty )$, de exemplu $-1$ aparține primului domeniu și nu celui de-al doilea. Cea de-a doua funcție este chiar restricția primei la $[0,\infty )$.

3. Da. Pentru $x\ge 0$: $\sqrt{x^2}=x=|x|$. Pentru $x<0$: $\sqrt{x^2}=-x=|x|$, pentru că radicalul de ordin par este nenegativ. Domeniile și codomeniile fiind identice, funcțiile sunt egale.

4. a) Numitorul nenul: $x\ne 3$, deci $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. b) $x-5\ge 0$, deci $[5,\infty )$. c) Radicalul cere $4-x\ge 0$, iar numitorul cere $\sqrt{4-x}\ne 0$; împreună: $4-x>0$, deci $(-\infty ,4)$.

5. Pentru $x\ne -1$: $\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1$, deci legile coincid pe domeniul lui $f$. Dar $-1$ aparține domeniului lui $g$ și nu celui al lui $f$, deci $f\ne g$. În schimb $f=g{|}_{\mathbb{R}\setminus \{-1\}}$.

6. $f{|}_{[0,4]}:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f{|}_{[0,4]}(x)=3x-2$. Panta e pozitivă, deci imaginea este intervalul dintre valorile în capete: $f(0)=-2$ și $f(4)=10$, adică $\mathrm{Im}\left(f{|}_{[0,4]}\right)=[-2,10]$.

7. Funcția e strict crescătoare ($a=2>0$), capetele sunt incluse, $f(-2)=-3$ și $f(3)=7$. Deci $\mathrm{Im}f=[-3,7]$.

8. Funcția e strict descrescătoare ($a=-3<0$), deci valoarea maximă ar fi în capătul din stânga: $f(-1)=5$. Cum $-1\notin (-1,4]$, valoarea $5$ nu se atinge, deci capătul este deschis. Valoarea minimă, $f(4)=-10$, se atinge, deci capătul este închis. Așadar $\mathrm{Im}f=[-10,5)$.

9. Calculăm punct cu punct: $f(1)=1$, $f(2)=3$, $f(3)=5$. Deci $\mathrm{Im}f=\{1,3,5\}$ — o mulțime finită, nu un interval, pentru că domeniul este finit.

10. Ecuația $x^2+2=y$ dă $x^2=y-2$, care are soluții reale exact când $y-2\ge 0$, adică $y\ge 2$ (și atunci $x=\pm \sqrt{y-2}$). Deci $\mathrm{Im}f=[2,\infty )$.

11. Vârful este în $x=3\in [1,5]$, cu $f(3)=0$ — valoarea minimă. Valorile în capete: $f(1)=4$ și $f(5)=4$. Funcția scade pe $[1,3]$ și crește pe $[3,5]$, deci ia toate valorile de la $0$ la $4$: $\mathrm{Im}f=[0,4]$.

12. Fals. Egalitatea cere și domenii, și codomenii identice. Contraexemplu: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ și $g:[0,\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2$ au aceeași lege, dar domenii diferite, deci nu sunt egale.

13. Adevărat. $\mathrm{Im}f$ se calculează exclusiv din domeniu și din lege: este mulțimea valorilor $f(x)$ cu $x$ în domeniu. Mărirea codomeniului adaugă doar valori „permise", nu și valori atinse. (Ce se schimbă e surjectivitatea: mărind codomeniul, funcția poate înceta să fie surjectivă.)

14. Pe $(-\infty ,0)$: $f(x)=-x>0$, iar $-x$ ia toate valorile strict pozitive, deci imaginea ramurii este $(0,\infty )$. Pe $[0,\infty )$: $f(x)=x^2$ ia toate valorile nenegative, deci imaginea ramurii este $[0,\infty )$. Reuniunea: $\mathrm{Im}f=(0,\infty )\cup [0,\infty )=[0,\infty )$.

15. $T:[2,20]\to \mathbb{R}$, $T(x)=5+2,5x$. Funcția e crescătoare, deci $\mathrm{Im}T=[T(2),T(20)]=[10,55]$, pentru că $T(2)=5+5=10$ și $T(20)=5+50=55$. În cuvinte: nicio cursă nu costă mai puțin de $10$ lei și niciuna mai mult de $55$ de lei, iar orice sumă intermediară este posibilă (pentru distanțe potrivite).

16. a) $(x-3{)}^2+2=x^2-6x+9+2=x^2-6x+11$ ✓. b) Din $(x-3{)}^2\ge 0$ rezultă $f(x)\ge 2$; reciproc, pentru $y\ge 2$, $x=3+\sqrt{y-2}$ verifică $f(x)=y$. Deci $\mathrm{Im}f=[2,\infty )$. c) Pe $[0,2]$ funcția e strict descrescătoare (vârful, $x=3$, se află la dreapta intervalului), deci imaginea e intervalul dintre valorile în capete: $f(2)=1+2=3$ și $f(0)=9+2=11$, adică $\mathrm{Im}\left(f{|}_{[0,2]}\right)=[3,11]$.

17. „$\subseteq$": fie $x\in [\alpha ,\beta ]$, deci $\alpha \le x\le \beta$. Înmulțind cu $a<0$, sensul inegalităților se inversează: $a\alpha \ge ax\ge a\beta$. Adunând $b$: $f(\beta )\le f(x)\le f(\alpha )$, deci $f(x)\in [f(\beta ),f(\alpha )]$. „$\supseteq$": fie $y\in [f(\beta ),f(\alpha )]$, adică $a\beta +b\le y\le a\alpha +b$. Scădem $b$ și împărțim la $a<0$, inversând din nou sensul: $\alpha \le \frac{y-b}{a}\le \beta$. Deci $x=\frac{y-b}{a}$ aparține domeniului și $f(x)=y$. Prin dublă incluziune, $\mathrm{Im}f=[f(\beta ),f(\alpha )]$. $■$

18. a) Ecuația $\frac{1}{x}=y$ nu are soluție pentru $y=0$ (ar cere $1=0$), iar pentru $y\ne 0$ dă $x=\frac{1}{y}$, care aparține domeniului. Deci $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. b) Pe $[1,4]$ funcția e strict descrescătoare (dacă $0<x_1<x_2$, atunci $\frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}$), deci imaginea este intervalul dintre $f(4)=\frac{1}{4}$ și $f(1)=1$: $\mathrm{Im}\left(f{|}_{[1,4]}\right)=\left[\frac{1}{4},1\right]$. c) Căutăm $C$ cu $\frac{1}{x}\in \left[\frac{1}{2},1\right]$, adică $1\le x\le 2$. Alegerea $C=[1,2]$ funcționează: $f(1)=1$, $f(2)=\frac{1}{2}$ și, prin descreștere strictă, se ating toate valorile intermediare. (O a doua soluție, pe ramura negativă, nu există: acolo valorile sunt negative.)

De reținut

• O funcție este tripletul (domeniu, codomeniu, lege). Două funcții sunt egale doar dacă toate trei coincid — formula identică nu ajunge.
• Domeniul maxim de definiție se obține impunând numitor nenul și cantitate nenegativă sub radicalii de ordin par; simplificarea unei fracții nu schimbă domeniul.
• Restricția $f{|}_C:C\to B$ păstrează legea și codomeniul, dar micșorează domeniul; graficul ei este partea de grafic de deasupra lui $C$. Prelungirea e operația inversă și nu este unică.
• Imaginea $\mathrm{Im}f=\{f(x)\mid x\in A\}$ este mulțimea valorilor atinse; grafic, este proiecția graficului pe axa $Oy$. Egalitatea $\mathrm{Im}f=B$ înseamnă surjectivitate.
• La o funcție afină pe interval, imaginea este intervalul determinat de valorile în capete (ordonate crescător), iar capetele deschise ale domeniului dau capete deschise ale imaginii.

Greșeli frecvente

• Confunzi codomeniul cu imaginea. Codomeniul e ales prin definiție, imaginea se calculează. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, codomeniul e $\mathbb{R}$, dar imaginea e doar $[0,\infty )$.
• Simplifici fracția și „uiți" valoarea exclusă. $\frac{x^2-4}{x-2}$ se simplifică la $x+2$, dar numai pentru $x\ne 2$. Domeniul rămâne $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, oricât de simplă ar arăta forma finală.
• La imaginea unei funcții afine pe interval, scrii capetele în ordinea din enunț. Când funcția e descrescătoare, valoarea din capătul stâng e cea mare. Scrie mereu intervalul cu capătul mic primul.
• Ignori dacă un capăt al domeniului e inclus. La $(-1,4]$, valoarea corespunzătoare lui $-1$ nu se atinge, deci capătul imaginii este deschis. Paranteza din domeniu se transmite în imagine.
• Declari egale două funcții pentru că „graficele arată la fel". Dacă domeniile diferă, graficele diferă printr-un punct (uneori invizibil la desen), iar funcțiile nu sunt egale. Verifică întotdeauna cele trei condiții, în scris.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de domenii. Scrie cinci expresii cu fracții și radicali (de exemplu, $\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$) și determină pentru fiecare domeniul maxim de definiție. Verifică-le apoi în GeoGebra sau Desmos: aplicația refuză să deseneze exact în afara domeniului tău — dacă graficul apare unde tu ai spus „nu se poate", ai greșit undeva.

2. Imaginea din viața reală. Alege o dependență din casă (temperatura frigiderului pe zi, consumul de apă pe zi, numărul de pași pe zi). Notează valorile o săptămână, apoi scrie domeniul (zilele) și imaginea (valorile efectiv întâlnite). Compară imaginea cu „codomeniul" pe care l-ai fi ales din start și observă cât de mult loc rămâne neatins.

3. Restricția care repară. Desenează pe hârtie graficul funcției $f(x)=x^2$ și taie cu foarfeca (sau acoperă) partea din stânga axei $Oy$. Ce proprietate a câștigat funcția rămasă? Repetă experimentul pe $f(x)=x^2-4x+7$, tăind la stânga vârfului, și scrie explicit restricția obținută, cu domeniul ei.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează bazele riguroase ale capitolului de funcții din programa de matematică-informatică: egalitatea funcțiilor, restricția și imaginea. Este momentul în care elevul trebuie să treacă de la „funcția = formula" la „funcția = tripletul domeniu–codomeniu–lege". Fără acest pas, noțiunile ulterioare — injectivitate, surjectivitate, inversabilitate — rămân niște reguli de calcul memorate, fără sens.

Întrebări bune de control: „De ce $\frac{x^2-4}{x-2}$ și $x+2$ nu definesc aceeași funcție pe $\mathbb{R}$?"; „Ce se schimbă și ce rămâne la trecerea de la $f$ la $f{|}_C$?"; „Poate imaginea să fie mai mică decât codomeniul? Dar mai mare?" (răspuns: mai mică, da; mai mare, niciodată). Semne că a înțeles: verifică toate cele trei condiții de egalitate în scris, determină domeniul maxim înainte de orice calcul, scrie corect capetele închise/deschise ale imaginii și folosește dubla incluziune la demonstrațiile despre $\mathrm{Im}f$.

La Bacalaureatul M1, imaginea apare frecvent camuflată: „determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are soluții" este exact întrebarea „ce este $\mathrm{Im}f$?", iar „arătați că $f(x)\ge 3$ pentru orice $x$ real" este jumătatea „$\subseteq$" a unei determinări de imagine. Restricția, la rândul ei, este pasul standard prin care se construiește inversa unei funcții care nu e bijectivă pe tot domeniul.

Întrebări frecvente

Când sunt două funcții egale? Când au același domeniu, același codomeniu și aceeași valoare în fiecare punct al domeniului. Toate trei condițiile trebuie verificate: două funcții cu formule identice, dar domenii diferite, nu sunt egale.

De ce contează domeniul dacă formula e aceeași? Pentru că funcția este definită de triplet, nu de scriere. Domeniul decide ce întrebări au sens: pe $\mathbb{R}$ funcția $x^2$ nu e injectivă, dar restrânsă la $[0,\infty )$ devine injectivă. Aceeași formulă, comportamente diferite.

Ce este restricția unei funcții? Este funcția obținută păstrând legea și codomeniul, dar micșorând domeniul la o submulțime $C$. Se notează $f{|}_C$, iar graficul ei este porțiunea din graficul lui $f$ situată deasupra mulțimii $C$.

Ce este imaginea unei funcții? Este mulțimea tuturor valorilor pe care funcția le ia efectiv: $\mathrm{Im}f=\{f(x)\mid x\in A\}$. Este întotdeauna o submulțime a codomeniului și se citește pe grafic ca proiecție pe axa $Oy$.

Cum determin imaginea unei funcții fără grafic? Iei $y$ oarecare, rezolvi ecuația $f(x)=y$ și afli pentru ce valori ale lui $y$ ecuația are cel puțin o soluție în domeniu. Mulțimea acelor $y$ este imaginea. Demonstrația riguroasă se scrie prin dublă incluziune.

Care e diferența dintre codomeniu și imagine? Codomeniul este mulțimea în care ai declarat, prin definiție, că ajung valorile; imaginea este mulțimea valorilor chiar atinse. Imaginea este mereu inclusă în codomeniu, iar egalitatea lor înseamnă că funcția este surjectivă.

Cum aflu imaginea unei funcții afine definite pe un interval? Calculezi valorile în capetele intervalului și le ordonezi crescător: acesta e intervalul-imagine. Dacă un capăt al domeniului este exclus, capătul corespunzător al imaginii este și el exclus. Demonstrația riguroasă folosește operațiile cu inegalități.

Se poate schimba imaginea dacă schimb codomeniul? Nu. Imaginea depinde doar de domeniu și de lege. Schimbarea codomeniului afectează doar surjectivitatea — de aceea, înlocuind codomeniul chiar cu $\mathrm{Im}f$, orice funcție devine surjectivă.