Pot segmentele de 6 cm, 9 cm și 17 cm să formeze un triunghi?

Nu se poate preciza fără raportor

În triunghiul $$ABC$$ avem $$AB=11\text{ cm}$$, $$BC=6\text{ cm}$$, $$CA=8\text{ cm}$$. Care este cel mai mare unghi al triunghiului?

Nu se poate determina fără raportor

Pot segmentele de 8 cm, 10 cm și 5 cm să formeze un triunghi?

Nu se poate preciza fără raportor

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Inegalități laturi și unghiuri triunghi

Ce este inegalitatea triunghiului?

Este condiția ca fiecare latură să fie mai scurtă decât cele două puse cap la cap: $a < b + c$ , $b < a + c$ și $c < a + b$ . Practic verifici doar latura cea mare. Lungimile $5$ cm, $7$ cm și $13$ cm nu închid nicio figură, fiindcă $5 + 7 = 12$ , mai puțin decât $13$ . Explicația este că drumul drept dintre două vârfuri rămâne mai scurt decât ocolul prin al treilea vârf.

Într-un triunghi cu laturile $a$ , $b$ , $c$ , inegalitatea triunghiului spune că fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două: $a < b + c$ , $b < a + c$ , $c < a + b$ . Practic, e suficient să verifici doar latura cea mai mare: dacă ea este strict mai mică decât suma celorlalte două, triunghiul există.

Exemplu. Pot 5 cm, 7 cm, 13 cm forma un triunghi? Cea mai mare este 13, iar $5 + 7 = 12$ . Cum $13 > 12$ , triunghiul nu există.

A treia latură $x$ , când cunoști două laturi $m$ și $n$ ( $m > n$ ), verifică $m - n < x < m + n$ .

A doua idee: laturii mai mari i se opune unghiul mai mare (și invers). Ordinea laturilor de la mică la mare coincide cu ordinea unghiurilor opuse. În triunghiul dreptunghic, ipotenuza (opusă unghiului de $90°$ ) este mereu cea mai lungă latură.

De reținut

$a < b + c$ , $b < a + c$ , $c < a + b$ — se verifică latura cea mai mare
a treia latură: $m - n < x < m + n$
unghiul mai mare stă întotdeauna în fața laturii mai lungi

Greșeala tipică

Se acceptă trei lungimi la care suma a două este chiar egală cu a treia, de exemplu $3$ , $4$ și $7$ ; în acest caz punctele ajung coliniare, iar triunghiul nu se formează, fiindcă inegalitatea trebuie să fie strictă.

Exerciții din această mini-lecție

Pot segmentele de 6 cm, 9 cm și 17 cm să formeze un triunghi?
- a) Da, pentru că $17 < 6 + 9$
- b) Nu, pentru că $17 > 6 + 9$
- c) Da, pentru că $6 < 9 + 17$
- d) Nu se poate preciza fără raportor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că $17 > 6 + 9$

Comparăm cea mai mare latură cu suma celorlalte două: cea mai mare este 17, iar $6 + 9 = 15$ . Cum $17 > 15$ , latura mare nu este strict mai mică decât suma celorlalte, deci triunghiul nu se poate forma (este „turtit" sau chiar deschis).
În triunghiul $A B C$ avem $A B = 11 cm$ , $B C = 6 cm$ , $C A = 8 cm$ . Care este cel mai mare unghi al triunghiului?
- a) Unghiul $A$
- b) Unghiul $B$
- c) Unghiul $C$
- d) Nu se poate determina fără raportor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Unghiul $C$

Cea mai lungă latură este $A B = 11 cm$ . Latura $A B$ nu trece prin vârful $C$ , deci ei i se opune unghiul $C$ . Cum laturii mai mari i se opune unghiul mai mare, unghiul $C$ este cel mai mare.
Pot segmentele de 8 cm, 10 cm și 5 cm să formeze un triunghi?
- a) Da, pentru că $10 < 8 + 5$
- b) Nu, pentru că $10 > 8 + 5$
- c) Nu, pentru că $5 < 8 + 10$
- d) Nu se poate preciza fără raportor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, pentru că $10 < 8 + 5$

Comparăm cea mai mare latură cu suma celorlalte două: cea mai mare este $10$ , iar $8 + 5 = 13$ . Cum $10 < 13$ , condiția este îndeplinită, deci triunghiul există.

Întrebări conexe

Ce unghi se opune celei mai scurte laturi a unui triunghi?

Cel mai mic unghi al triunghiului. Ordinea laturilor și ordinea unghiurilor opuse merg împreună: latura mai lungă are în față unghiul mai mare. Într-un triunghi cu laturile $4$ cm, $6$ cm și $9$ cm, unghiul cel mai mic stă în fața laturii de $4$ cm.

Ce valori poate lua a treia latură dacă două laturi au 5 cm și 9 cm?

Trebuie să fie mai mare decât diferența și mai mică decât suma celorlalte două, deci între $4$ cm și $14$ cm, capetele neincluse. Dacă se cer valori întregi, rămân numerele de la $5$ până la $13$ . Regula scurtă este $m - n < x < m + n$ .

Ce se întâmplă cu unghiurile dacă alungesc o latură?

Dacă celelalte două laturi rămân la fel, unghiul din fața ei crește, iar suma celorlalte două unghiuri scade, fiindcă suma celor trei rămâne $180°$ ; unul dintre ele poate chiar să crească. Regula merge și invers: mărind un unghi, cu laturile care îl formează neschimbate, latura opusă lui se lungește. Așa se pot compara unghiurile fără să le măsori, doar privind laturile.

Cum se aplică inegalitatea triunghiului la o problemă cu drumuri?

Arată că drumul direct între două localități nu poate fi mai lung decât suma celor două drumuri care trec printr-o a treia. Dacă două trasee măsoară $30$ km și $40$ km, legătura directă este mai scurtă de $70$ km, iar mai mare de $10$ km.

Ce latură se opune unghiului obtuz într-un triunghi?

Latura cea mai lungă, fiindcă unghiul obtuz este și cel mai mare dintre cele trei. Un triunghi are cel mult un unghi obtuz, așa că această latură se recunoaște fără calcule. Aceeași idee dă ipotenuza ca latură mare în triunghiul dreptunghic.

Cum folosesc inegalitatea triunghiului la un triunghi isoscel?

Când cele două laturi egale măsoară $a$ și baza măsoară $b$ , condiția care contează este $b < 2 a$ , fiindcă celelalte două se verifică de la sine. Astfel, cu laturi egale de $5$ cm, baza se poate apropia oricât de $10$ cm, fără să atingă vreodată această valoare.

Oamenii mai întreabă și: inegalitatea triunghiului · când formează trei segmente un triunghi · condiția de existență a unui triunghi · suma a două laturi față de a treia

Întrebări frecvente

Pot segmentele de 3 cm, 4 cm și 5 cm să formeze un triunghi?

Da. Cea mai lungă latură este 5 cm, iar suma celorlalte două este $3 + 4 = 7$ cm; cum $5 < 7$ , inegalitatea triunghiului este îndeplinită și triunghiul există. Cu aceste trei segmente poți construi triunghiul cu rigla și compasul.

Poate o latură a unui triunghi să fie mai lungă decât jumătate din perimetru?

Nu. Din $a < b + c$ , adunând $a$ în ambii membri, obținem $2 a < a + b + c$ , deci fiecare latură este mai mică decât jumătate din perimetru. De exemplu, într-un triunghi cu perimetrul de 20 cm, nicio latură nu poate avea 10 cm sau mai mult.

De ce este suficient să verific doar latura cea mai mare?

Pentru că celelalte două inegalități sunt adevărate de la sine. Dacă $c$ este cea mai lungă latură, atunci $c + a > b$ și $c + b > a$ , fiindcă $c$ nu e mai mică decât celelalte două laturi, iar lungimile sunt pozitive. Rămâne de verificat doar dacă $c < a + b$ .