Inegalități între laturile și unghiurile triunghiului

Ai învățat deja că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este mereu de 180° și ce înseamnă unghiul exterior. Acum facem un pas mai departe și descoperim o regulă surprinzător de utilă: nu orice trei bețe pot forma un triunghi, iar într-un triunghi laturile și unghiurile „se țin de mână" după o lege precisă. Vei vedea că, doar privind ce latură este mai lungă, poți spune imediat care unghi este mai mare. E o lecție în care geometria devine aproape un joc de logică.

Ce vei învăța

Vei ști să verifici dacă trei segmente pot forma un triunghi, folosind inegalitatea triunghiului.
Vei ști să scrii corect condiția de existență a unui triunghi și să o aplici rapid.
Vei ști să compari laturile și unghiurile unui triunghi: laturii mai mari i se opune unghiul mai mare.
Vei ști să ordonezi unghiurile când cunoști laturile (și invers).
Vei ști să rezolvi probleme cu inegalități în triunghi, inclusiv să găsești între ce valori se poate afla o latură.

Hai să descoperim împreună

1. O experiență cu trei bețe

Imaginează-ți că ai trei bețișoare de chibrit, dar tăiate la lungimi diferite. Vrei să formezi din ele un triunghi, lipind capetele cap la cap. Surpriză: uneori reușești, alteori nu, oricât te-ai chinui.

Să zicem că ai un băț de 2 cm, unul de 3 cm și unul de 10 cm. Încerci să le așezi în triunghi. Pui bățul lung de 10 cm pe masă. La un capăt lipești bățul de 3 cm, la celălalt capăt bățul de 2 cm. Acum trebuie ca celelalte două capete ale lor să se întâlnească într-un vârf. Dar 3 cm plus 2 cm înseamnă doar 5 cm întinse complet — nici pe departe cât 10 cm. Cele două bețe scurte nu ajung să se atingă. Triunghiul nu se închide.

Ce a mers prost? Latura cea mai lungă (10 cm) era mai mare decât suma celorlalte două (3 + 2 = 5 cm). De aici se naște regula principală a lecției.

2. Inegalitatea triunghiului

Teoremă (inegalitatea triunghiului). În orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două laturi.

Dacă notăm laturile unui triunghi cu a, b, c, atunci toate trei inegalitățile de mai jos trebuie să fie adevărate:

a < b + c
b < a + c
c < a + b

De ce este așa? Gândește-te la „drumul cel mai scurt". Între două puncte, cel mai scurt drum este pe linie dreaptă. Dacă vrei să mergi din vârful B în vârful C, drumul direct este latura BC. Dacă în loc de drumul direct treci pe la vârful A, faci un ocol: mai întâi BA, apoi AC. Un ocol este întotdeauna mai lung decât drumul drept. Așadar latura BC (drumul drept) este mai scurtă decât BA + AC (ocolul). Exact asta spune inegalitatea triunghiului.

Această idee se numește, mai elegant, proprietatea drumului cel mai scurt: linia dreaptă bate orice ocol.

3. Cum verifici rapid dacă trei lungimi formează un triunghi

La prima vedere ar trebui să verifici toate cele trei inegalități. Dar există un truc care îți economisește timp.

Regula scurtă. Trei segmente pot forma un triunghi dacă și numai dacă latura cea mai mare este mai mică decât suma celorlalte două.

De ce e suficient să verifici doar latura cea mai mare? Pentru că, dacă cea mai lungă latură este deja mai mică decât suma celorlalte două, atunci o latură mai scurtă este cu atât mai sigur mai mică decât suma celorlalte (care o conțin pe cea lungă). Celelalte două inegalități se verifică automat.

Atenție: verifică latura potrivită. Dacă alegi din neatenție o latură scurtă, te poți păcăli. Ia lungimile 2 cm, 5 cm și 9 cm. Dacă verifici „la întâmplare" latura de 2 cm, vezi că 2 < 5 + 9 = 14, deci ai putea crede grăbit că triunghiul există. Dar adevărata verificare se face pe latura cea mai mare, 9 cm: este 9 < 2 + 5 = 7? Nu, fiindcă 9 > 7. Deci triunghiul nu există. Morala: inegalitatea pentru o latură scurtă este aproape mereu adevărată și nu îți spune nimic; doar latura cea mai mare hotărăște.

Pașii de lucru:

Identifici cea mai mare dintre cele trei lungimi.
Aduni celelalte două.
Compari: dacă cea mai mare este strict mai mică decât suma, atunci triunghiul există. Dacă este egală sau mai mare, triunghiul nu există.

Atenție la cuvântul strict. Dacă latura mare este chiar egală cu suma celorlalte două, bețele se întind perfect în linie dreaptă și triunghiul este „turtit" — de fapt nu mai e triunghi, ci un segment. De aceea folosim semnul „<" și nu „≤".

Exemplu rapid. Pot forma 4 cm, 6 cm și 9 cm un triunghi? Cea mai mare este 9. Suma celorlalte: 4 + 6 = 10. Comparăm: 9 < 10. Da, formează triunghi.

Alt exemplu. Dar 4 cm, 6 cm și 11 cm? Cea mai mare este 11, iar 4 + 6 = 10. Avem 11 > 10, deci nu, nu pot forma triunghi.

4. Între ce valori se poate afla o latură

O întrebare des întâlnită la examen: cunoști două laturi, de exemplu 5 cm și 8 cm, și te întrebi ce valori poate lua a treia latură, x.

Folosim cele trei inegalități:

x < 5 + 8, adică x < 13
5 < x + 8 → mereu adevărat dacă x > 0 (pentru că 5 < 8 deja), nu ne dă o limită utilă
8 < x + 5 → x > 3

Le combinăm pe cele care contează: x > 3 și x < 13. Deci a treia latură se află între 3 și 13, scris pe scurt:

3 < x < 13.

Regula generală, ușor de ținut minte: a treia latură este mai mare decât diferența celor două laturi date și mai mică decât suma lor.

diferența laturilor < latura a treia < suma laturilor

Pentru 5 și 8: diferența este 8 − 5 = 3, suma este 8 + 5 = 13, deci 3 < x < 13. Exact ce am obținut.

5. A doua mare idee: laturi și unghiuri

Până acum am vorbit doar de laturi. Acum legăm laturile de unghiuri. Imaginează-ți că deschizi treptat un compas sau un foarfece: cu cât deschizi mai mult unghiul de la vârf, cu atât capetele se depărtează mai mult, deci latura din fața vârfului (latura opusă) devine mai lungă.

Teoremă (relația dintre laturi și unghiuri). Într-un triunghi, laturii mai mari i se opune unghiul mai mare, iar unghiului mai mare i se opune latura mai mare.

Cu alte cuvinte, ordinea laturilor de la mică la mare este aceeași cu ordinea unghiurilor opuse de la mic la mare. Cele două „liste" merg în paralel.

Ca să folosești teorema, trebuie să știi exact ce înseamnă latură opusă unui unghi. În triunghiul ABC:

Laturii BC i se opune unghiul A (unghiul din vârful care nu se află pe BC).
Laturii AC i se opune unghiul B.
Laturii AB i se opune unghiul C.

Exemplu. Într-un triunghi ABC avem AB = 7 cm, BC = 9 cm, CA = 5 cm. Care este cel mai mare unghi? Cea mai lungă latură este BC = 9 cm. Ei i se opune unghiul A. Deci cel mai mare unghi este unghiul A. La fel, cea mai scurtă latură este CA = 5 cm, căreia i se opune unghiul B, deci B este cel mai mic unghi.

6. Cum funcționează în triunghiurile speciale

Regula laturi–unghiuri se potrivește perfect cu ce știi deja despre triunghiuri:

Triunghiul echilateral are toate laturile egale, deci toate unghiurile egale (fiecare de 60°). Liste egale, ordine egală.
Triunghiul isoscel are două laturi egale, deci cele două unghiuri opuse lor (unghiurile de la bază) sunt egale. Aceasta este chiar baza proprietății triunghiului isoscel pe care o vei studia mai târziu.
Triunghiul dreptunghic are unghiul drept (90°) cel mai mare unghi, fiindcă celelalte două sunt ascuțite. Latura opusă unghiului drept — ipotenuza — este deci cea mai lungă latură.

Reține mai ales ultima idee: în orice triunghi dreptunghic, ipotenuza este latura cea mai lungă. O vei folosi des.

7. Combinăm cele două idei

Deseori, o problemă cere și inegalitatea triunghiului, și relația laturi–unghiuri. De exemplu, dacă afli mai întâi măsurile unghiurilor (folosind suma de 180°), poți ordona unghiurile, iar apoi, prin teoremă, ordonezi laturile fără să le măsori. Geometria îți dă astfel un fel de „radar" care îți spune ce este mai lung, doar din câteva cifre.

Reține și sensul invers, foarte util la examen: dacă în enunț apar lungimile laturilor, le ordonezi pe acelea și „traduci" imediat ordinea în unghiuri. Practic ai două traduceri rapide, în ambele direcții:

din unghiuri → laturi: ordonezi unghiurile, apoi pui laturile opuse în aceeași ordine;
din laturi → unghiuri: ordonezi laturile, apoi pui unghiurile opuse în aceeași ordine.

Un singur lucru nu poți afla doar din inegalități: valoarea exactă a unei laturi sau a unui unghi. Inegalitatea triunghiului și relația laturi–unghiuri îți spun ce este mai mare și ce este mai mic (ordinea), nu cât anume. Pentru valori exacte ai nevoie de alte instrumente, pe care le vei învăța mai târziu. Hai să vedem totul la lucru în exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Pot forma un triunghi?

Enunț. Verifică dacă segmentele de 6 cm, 8 cm și 13 cm pot fi laturile unui triunghi.

Rezolvare. Aplicăm regula scurtă: comparăm cea mai mare latură cu suma celorlalte două.

Cea mai mare: 13 cm.
Suma celorlalte: 6 + 8 = 14 cm.
Comparăm: 13 < 14. Adevărat.

Latura cea mai mare este mai mică decât suma celorlalte două, deci da, segmentele formează un triunghi.

(Verificare completă, ca să fim siguri: 6 < 8 + 13 ✓; 8 < 6 + 13 ✓; 13 < 6 + 8 ✓. Toate trei sunt adevărate.)

Exemplul 2 — Când triunghiul nu există

Enunț. Pot fi 3 cm, 5 cm și 8 cm laturile unui triunghi?

Rezolvare. Cea mai mare latură este 8 cm. Suma celorlalte: 3 + 5 = 8 cm. Comparăm: 8 < 8? Nu, pentru că 8 nu este strict mai mic decât 8, ci egal.

Când latura mare este egală cu suma celorlalte două, cele trei puncte stau pe aceeași dreaptă: triunghiul este „turtit". Deci nu, aceste segmente nu formează un triunghi.

Exemplul 3 — Între ce valori se află a treia latură

Enunț. Două laturi ale unui triunghi au 10 cm și 7 cm. Între ce valori întregi se poate afla a treia latură?

Rezolvare. Folosim regula „diferența < latura a treia < suma":

Diferența: 10 − 7 = 3.
Suma: 10 + 7 = 17.

Deci a treia latură x satisface 3 < x < 17.

Dacă vrem valori întregi, x poate fi: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 sau 16. Numărăm: de la 4 la 16 sunt 13 valori întregi posibile.

(Atenție: 3 și 17 sunt excluse, pentru că inegalitățile sunt stricte.)

Exemplul 4 — Cel mai mare și cel mai mic unghi

Enunț. În triunghiul MNP avem MN = 4 cm, NP = 6 cm, PM = 9 cm. Ordonează unghiurile triunghiului de la cel mai mic la cel mai mare.

Rezolvare. Folosim teorema: unghiului mai mare i se opune latura mai mare. Identificăm latura opusă fiecărui unghi.

Unghiul M se opune laturii NP = 6 cm.
Unghiul N se opune laturii PM = 9 cm.
Unghiul P se opune laturii MN = 4 cm.

Ordonăm laturile crescător: 4 < 6 < 9, adică MN < NP < PM.

Trecem la unghiurile opuse, în aceeași ordine:

celei mai mici laturi (MN = 4) i se opune unghiul P → cel mai mic unghi;
apoi NP = 6 → unghiul M;
celei mai mari laturi (PM = 9) i se opune unghiul N → cel mai mare unghi.

Deci ordinea crescătoare a unghiurilor este: P < M < N.

Exemplul 5 — De la unghiuri la laturi

Enunț. În triunghiul ABC se cunosc măsurile a două unghiuri: unghiul A = 80° și unghiul B = 60°. Care este cea mai scurtă latură a triunghiului?

Rezolvare. Mai întâi aflăm al treilea unghi, folosind suma unghiurilor unui triunghi: unghiul C = 180° − 80° − 60° = 40°.

Acum ordonăm unghiurile crescător: C (40°) < B (60°) < A (80°).

Celui mai mic unghi i se opune cea mai scurtă latură. Cel mai mic unghi este C = 40°, iar lui i se opune latura AB. Deci cea mai scurtă latură este AB.

(Bonus: cea mai mare latură este BC, opusă celui mai mare unghi, A = 80°.)

Exemplul 6 — Problemă combinată

Enunț. Un triunghi isoscel are două laturi de 5 cm și o latură de 8 cm. Verifică dacă triunghiul există și spune care este cel mai mare unghi.

Rezolvare. Mai întâi existența. Laturile sunt 5, 5 și 8. Cea mai mare este 8, iar suma celorlalte două este 5 + 5 = 10. Comparăm: 8 < 10. Adevărat, deci triunghiul există.

Acum cel mai mare unghi. Cea mai lungă latură este cea de 8 cm (baza isoscelului). Ei i se opune unghiul din vârful opus bazei. Deci cel mai mare unghi este unghiul de la vârf, opus laturii de 8 cm. Cele două unghiuri de la bază (opuse laturilor egale de 5 cm) sunt egale între ele și mai mici.

Exemplul 7 — Perimetru și ordonarea unghiurilor

Enunț. Laturile unui triunghi sunt trei numere naturale consecutive, iar perimetrul triunghiului este 12 cm. Află lungimile laturilor, verifică dacă triunghiul există și ordonează unghiurile de la cel mai mic la cel mai mare.

Rezolvare. Trei numere naturale consecutive se pot scrie ca n, n + 1, n + 2. Perimetrul este suma lor:

n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 12.

De aici 3n = 9, deci n = 3. Laturile sunt 3 cm, 4 cm și 5 cm.

Verificăm existența cu regula scurtă: cea mai mare latură este 5, iar suma celorlalte două este 3 + 4 = 7. Cum 5 < 7, triunghiul există.

Ordonăm unghiurile. Laturile crescător sunt 3 < 4 < 5. Celei mai scurte laturi (3 cm) i se opune cel mai mic unghi, iar celei mai lungi (5 cm) cel mai mare unghi. Așadar, dacă notăm triunghiul cu ABC astfel încât BC = 3, CA = 4, AB = 5, atunci ordinea crescătoare a unghiurilor este A < B < C. (Observăm și că laturile 3, 4, 5 vor da, peste câteva lecții, un triunghi dreptunghic — cel mai mare unghi, opus laturii de 5, va fi chiar de 90°.)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Fă desene unde te ajută.

Verifică dacă segmentele de 5 cm, 7 cm și 9 cm pot forma un triunghi.
Verifică dacă segmentele de 2 cm, 3 cm și 6 cm pot forma un triunghi.
Pot fi 4 cm, 4 cm și 8 cm laturile unui triunghi? Justifică.
Adevărat sau fals: „Dacă o latură este mai mică decât suma celorlalte două, atunci triunghiul există sigur." Explică.
Completează: Într-un triunghi, fiecare latură este mai ........ decât suma celorlalte două laturi.
Două laturi ale unui triunghi măsoară 6 cm și 9 cm. Între ce valori se poate afla a treia latură?
Două laturi măsoară 12 cm și 12 cm. Între ce valori se poate afla a treia latură?
Două laturi măsoară 10 cm și 4 cm. Câte valori întregi poate lua a treia latură?
Încercuiește mulțimile de lungimi care formează un triunghi: a) 3, 4, 5 b) 1, 2, 4 c) 7, 8, 10 d) 6, 6, 12 e) 5, 12, 13
În triunghiul ABC, AB = 8 cm, BC = 5 cm, CA = 6 cm. Care este cel mai mare unghi? Dar cel mai mic?
Ordonează crescător unghiurile triunghiului DEF, dacă DE = 10 cm, EF = 7 cm, FD = 12 cm.
Într-un triunghi, unghiurile au măsurile 90°, 55° și 35°. Care este cea mai lungă latură (numește unghiul căruia i se opune)?
Potrivește fiecărei laturi unghiul opus ei în triunghiul ABC: laturile: AB, BC, CA — unghiurile: A, B, C.
Adevărat sau fals: „Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este cea mai scurtă latură." Corectează dacă e fals.
Într-un triunghi ABC, unghiul A = 100°. Poate fi latura BC cea mai scurtă latură? Explică.
Un triunghi are laturile 7 cm, 7 cm și 7 cm. Ce poți spune despre unghiurile lui și de ce?
Mică problemă. Andrei vrea să facă un triunghi din trei tije de 9 cm, 5 cm și x cm, unde x este un număr natural. Care este cea mai mare valoare posibilă pentru x și care este cea mai mică?
Mică problemă. Într-un triunghi, cel mai mare unghi are 70°. Este posibil așa ceva? Ce poți deduce despre celelalte două unghiuri și despre laturi?
Perimetru. Laturile unui triunghi sunt trei numere naturale consecutive, iar perimetrul este 15 cm. Află laturile, verifică existența și spune care este cel mai mare unghi (numește latura căreia i se opune).
Raționament. Într-un triunghi ABC se știe că AB < BC < CA. Ordonează crescător unghiurile triunghiului și spune care unghi este cel mai mare.

Răspunsuri și explicații

Da. Cea mai mare latură 9; suma celorlalte 5 + 7 = 12; 9 < 12. ✓
Nu. Cea mai mare 6; suma celorlalte 2 + 3 = 5; 6 > 5, deci nu se închide triunghiul.
Nu. Cea mai mare 8; suma celorlalte 4 + 4 = 8; 8 nu este strict mai mic decât 8 (egalitate → triunghi turtit).
Fals (sau incomplet). Nu e suficient ca o latură să fie mai mică decât suma celorlalte; condiția trebuie să fie îndeplinită de cea mai mare latură (atunci se verifică automat și pentru celelalte). Dacă verifici doar o latură oarecare, poți greși. Practic, verificăm cea mai mare latură.
mică. Fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două.
Diferența 9 − 6 = 3; suma 9 + 6 = 15. Deci 3 < x < 15.
Diferența 12 − 12 = 0; suma 12 + 12 = 24. Deci 0 < x < 24 (a treia latură este pozitivă și mai mică de 24).
Diferența 10 − 4 = 6; suma 10 + 4 = 14. Deci 6 < x < 14; valorile întregi sunt 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 → 7 valori.
Formează triunghi: a) 3,4,5 (5 < 7 ✓); c) 7,8,10 (10 < 15 ✓); e) 5,12,13 (13 < 17 ✓). NU formează: b) 1,2,4 (4 > 3); d) 6,6,12 (12 = 12, turtit).
Cea mai mare latură AB = 8 → i se opune unghiul C (cel mai mare). Cea mai mică latură BC = 5 → i se opune unghiul A (cel mai mic).
Laturi crescător: EF = 7 < DE = 10 < FD = 12. Unghiurile opuse: laturii EF i se opune D; lui DE i se opune F; lui FD i se opune E. Ordine crescătoare a unghiurilor: D < F < E.
Cel mai mare unghi este 90°. Cea mai lungă latură este cea opusă lui, adică ipotenuza (latura din fața unghiului de 90°).
AB ↔ unghiul C; BC ↔ unghiul A; CA ↔ unghiul B.
Fals. Corect: ipotenuza este cea mai lungă latură, fiindcă se opune celui mai mare unghi (90°).
Nu. Unghiul A = 100° este cel mai mare unghi (celelalte două adună 80°, deci fiecare e sub 100°). Latura opusă lui este BC, deci BC este cea mai lungă latură, nu cea mai scurtă.
Toate laturile egale → triunghi echilateral → toate unghiurile egale, fiecare de 60° (pentru că la laturi egale se opun unghiuri egale, iar suma lor e 180°).
Cu laturile 9 și 5: diferența 9 − 5 = 4, suma 9 + 5 = 14, deci 4 < x < 14. Valori naturale: de la 5 la 13. Cea mai mică valoare = 5, cea mai mare = 13.
Da, este posibil. Verificăm cu suma de 180°: dacă cel mai mare unghi are 70°, celelalte două sunt fiecare ≤ 70°, iar suma celor trei trebuie să fie 180°. Un exemplu valabil este 70°, 70°, 40° (suma 180°). În acest caz, unghiului de 70° i se opune cea mai lungă latură, iar unghiului de 40° cea mai scurtă. (Capcana: nu confunda „cel mai mare unghi = 70°" cu imposibilul; verifică mereu prin suma de 180°.)
Trei numere naturale consecutive: n, n + 1, n + 2; suma 3n + 3 = 15, deci 3n = 12, n = 4. Laturile sunt 4, 5 și 6 cm. Există? Cea mai mare latură 6 < 4 + 5 = 9 ✓. Cel mai mare unghi se opune celei mai lungi laturi, 6 cm.
Laturile opuse: AB se opune unghiului C, BC se opune unghiului A, CA se opune unghiului B. Cum AB < BC < CA, unghiurile opuse păstrează aceeași ordine: C < A < B. Cel mai mare unghi este B (opus celei mai lungi laturi, CA).

De reținut

Inegalitatea triunghiului: în orice triunghi, fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două. Practic, verifici cea mai mare latură < suma celorlalte două.
Dacă latura mare este egală cu suma celorlalte (sau mai mare), triunghiul nu există (e turtit).
A treia latură se află între diferența și suma celorlalte două: diferența < x < suma.
Laturii mai mari i se opune unghiul mai mare și invers; ordinea laturilor coincide cu ordinea unghiurilor opuse.
În triunghiul dreptunghic, ipotenuza (opusă unghiului de 90°) este cea mai lungă latură.

Greșeli frecvente

Folosirea semnului „≤" în loc de „<". Dacă latura mare este chiar egală cu suma celorlalte două, NU avem triunghi, ci trei puncte pe o dreaptă. Inegalitatea este strictă.
Confundarea laturii cu unghiul opus. Mulți compară laturi cu unghiuri „lipite" de ele. Corect: unghiul A se opune laturii BC (latura care NU trece prin A). Colorează la fel unghiul și latura opusă ca să nu greșești.
Verificarea unei laturi oarecare în loc de cea mai mare. Ca să fii sigur, compară mereu cea mai mare latură cu suma celorlalte două; aceea este verificarea decisivă.
Uitarea pasului cu suma de 180°. Când primești doar două unghiuri, calculează întâi al treilea, abia apoi ordonează unghiurile și laturile.

Joc acasă

1. Trei creioane. Ia trei creioane (sau bețișoare) de lungimi diferite, de exemplu 6 cm, 8 cm și 15 cm. Încearcă să formezi un triunghi pe masă. Notează când reușești și când nu, apoi verifică cu inegalitatea triunghiului dacă predicția se potrivește cu experiența. Schimbă lungimile și repetă de 5 ori.

2. Detectiv de unghiuri. Desenează pe o foaie un triunghi oarecare (nu echilateral). Măsoară cu rigla cele trei laturi și scrie lungimile. Fără să folosești raportorul, ghicește care unghi e cel mai mare și care cel mai mic, doar din lungimea laturilor. Apoi verifică cu raportorul. Ai nimerit?

3. Provocarea celei de-a treia laturi. Alege două lungimi, de exemplu 7 cm și 4 cm. Scrie pe o foaie toate valorile întregi posibile pentru a treia latură (folosind diferența și suma). Apoi taie din hârtie/ață câteva tije de acele lungimi și verifică, construind triunghiuri reale, că funcționează doar valorile prezise.

Pentru părinți și învățători

Această lecție unește două idei care la prima vedere par fără legătură: condiția de existență a triunghiului și relația laturi–unghiuri. Sprijiniți elevul mai întâi cu experiența concretă (bețișoare/creioane) — atingerea fizică a problemei „triunghiul nu se închide" rămâne mult mai bine întipărită decât o regulă memorată.

Întrebări utile de pus:

„De ce drumul drept este mai scurt decât ocolul?" (intuiția din spatele inegalității triunghiului).
„Dacă o latură crește, ce se întâmplă cu unghiul din fața ei?" (deschiderea compasului).
„Cum verifici cel mai rapid dacă trei lungimi formează un triunghi?" (compari cea mai mare cu suma celorlalte).
„De ce ipotenuza e cea mai lungă latură într-un triunghi dreptunghic?" (leagă de unghiul de 90°).

Verificați înțelegerea cerând elevului să explice cu cuvintele lui, nu doar să dea răspunsul. Un semn bun de stăpânire este când poate, din trei lungimi, să spună imediat dacă formează triunghi și să justifice cu inegalitatea cea mai mare. Atenție la confuzia latură–unghi opus: insistați pe colorarea corespondentă. Această lecție pregătește direct construcția triunghiurilor (lecția următoare) și mai târziu triunghiul isoscel și teorema lui Pitagora.

Întrebări frecvente

Cum verific dacă trei segmente formează un triunghi la clasa a VI-a? Compari cea mai mare dintre cele trei lungimi cu suma celorlalte două. Dacă cea mai mare este strict mai mică decât suma celorlalte două, segmentele formează un triunghi; altfel, nu. Aceasta este forma practică a inegalității triunghiului.

Ce spune inegalitatea triunghiului? Spune că în orice triunghi fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două laturi. Practic, e suficient să verifici această condiție pentru latura cea mai lungă, deoarece pentru celelalte se respectă automat.

De ce laturii mai mari i se opune unghiul mai mare? Pentru că, dacă deschizi mai mult un unghi (ca pe un compas), capetele se depărtează, deci latura din fața acelui unghi devine mai lungă. Astfel ordinea laturilor de la mică la mare coincide cu ordinea unghiurilor opuse.

Cum aflu între ce valori se poate afla a treia latură a unui triunghi? A treia latură este mai mare decât diferența celorlalte două și mai mică decât suma lor: diferența < x < suma. De exemplu, pentru laturi de 6 și 9 obții 3 < x < 15.

Trei segmente egale cu suma — formează triunghi? Nu. Dacă latura cea mai mare este exact egală cu suma celorlalte două, cele trei puncte ajung pe aceeași dreaptă și triunghiul este „turtit", adică nu există. Inegalitatea trebuie să fie strictă.

Care este cea mai lungă latură într-un triunghi dreptunghic? Ipotenuza, adică latura opusă unghiului drept de 90°. Fiindcă unghiul de 90° este cel mai mare unghi al triunghiului, latura din fața lui este cea mai lungă.

Cum ordonez unghiurile dacă știu laturile? Ordonezi laturile de la mică la mare, apoi pui în aceeași ordine unghiurile opuse fiecărei laturi. Celei mai mici laturi i se opune cel mai mic unghi, iar celei mai mari laturi cel mai mare unghi.

Poate un triunghi să aibă două unghiuri obtuze? Nu. Două unghiuri obtuze ar însuma peste 180°, dar suma celor trei unghiuri ale unui triunghi este fix 180°. Deci un triunghi poate avea cel mult un singur unghi obtuz (sau drept).