Ce înseamnă intersecția a două intervale?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Intersecția a două intervale

Înseamnă mulțimea numerelor care se află în amândouă intervalele deodată, deci zona în care ele se suprapun pe axă. Capătul stâng al rezultatului îl alegi pe cel mai mare dintre începuturi, iar capătul drept pe cel mai mic dintre sfârșituri. Un capăt rămâne inclus doar dacă apare în ambele intervale. Astfel $[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$ , iar dacă intervalele nu se ating rezultatul este mulțimea vidă.

Intersecția a două intervale, notată $A \cap B$ , este mulțimea numerelor reale care aparțin și lui $A$ , și lui $B$ în același timp — cuvântul-cheie este ȘI. Cel mai sigur mod de a o găsi: desenezi ambele intervale pe aceeași axă și cauți zona unde se suprapun.

Regulă rapidă: capătul din stânga al intersecției este cel mai mare dintre capetele din stânga, iar capătul din dreapta este cel mai mic dintre capetele din dreapta. Un capăt rămâne închis doar dacă este inclus în ambele intervale; dacă lipsește dintr-unul singur, devine exclus.

Exemplu: pentru $A = [1, 5]$ și $B = [3, 8]$ , capătul stâng e $max (1, 3) = 3$ , iar cel drept $min (5, 8) = 5$ , deci $A \cap B = [3, 5]$ .

Rezultatul poate fi un interval, un singur punct (scris ${a}$ ) sau mulțimea vidă $\emptyset$ , când intervalele nu au niciun punct comun.

De reținut

$A \cap B$ = numerele aflate în ambele intervale
capăt stâng = cel mai mare dintre capetele stângi; capăt drept = cel mai mic dintre cele drepte
un capăt rămâne inclus doar dacă apare în ambele intervale

Greșeala tipică

Se lasă un capăt închis, deși unul dintre intervale îl exclude. Ca să rămână inclus în rezultat, numărul trebuie să aparțină amândurora, altfel paranteza devine rotundă.

Exerciții din această mini-lecție

Determină $A \cap B$ , unde $A = [2, 7]$ și $B = [5, 10]$ .
- a) $[5, 7]$
- b) $[2, 10]$
- c) $\emptyset$
- d) ${5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[5, 7]$

Capătul stâng $= max (2, 5) = 5$ (inclus în ambele), capătul drept $= min (7, 10) = 7$ (inclus în ambele), deci $A \cap B = [5, 7]$ .
Determină $A \cap B$ , unde $A = [- 3, 2)$ și $B = [2, 6]$ .
- a) ${2}$
- b) $[- 3, 6]$
- c) $\emptyset$
- d) $(2, 6]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\emptyset$

Intervalele se ating în $2$ , dar $A$ îl exclude (paranteză rotundă), deci $2 \in / A$ . Nu mai există niciun punct comun, așa că $A \cap B = \emptyset$ .
Determină $A \cap B$ , unde $A = [- 5, 3]$ și $B = [- 1, 9]$ .
- a) $[- 1, 3]$
- b) $[- 5, 9]$
- c) $\emptyset$
- d) ${- 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[- 1, 3]$

Capătul stâng $= max (- 5, - 1) = - 1$ (inclus în ambele), capătul drept $= min (3, 9) = 3$ (inclus în ambele), deci $A \cap B = [- 1, 3]$ .

Întrebări conexe

Cum scriu intersecția a trei intervale?

Iei cel mai mare dintre capetele din stânga și cel mai mic dintre cele din dreapta, oricâte intervale ai. Dacă primul iese mai mare decât al doilea, intersecția este mulțimea vidă. Un capăt rămâne închis numai dacă apare închis în toate intervalele.

Ce obțin intersectând un interval cu capete cu unul care merge la infinit?

De obicei o bucată din cel mărginit, tăiată acolo unde începe celălalt. Astfel $[2, 9] \cap [5, + \infty)$ dă $[5, 9]$ . Dacă intervalul nemărginit pornește dincolo de capătul drept, rezultatul devine mulțimea vidă.

Ce legătură are intersecția intervalelor cu un sistem de inecuații?

Fiecare inecuație dă un interval, iar soluția sistemului este chiar intersecția lor, fiindcă numărul căutat trebuie să le verifice pe toate. Din $x \geq 2$ și $x < 7$ obții $[2, 7)$ . Desenul pe aceeași axă arată imediat zona bună.

Ce se întâmplă dacă un interval îl cuprinde complet pe celălalt?

Rezultatul este chiar intervalul mai mic, fiindcă toate numerele lui se află și în cel mare. De pildă $[0, 10] \cap [3, 4] = [3, 4]$ . Regula cu cel mai mare capăt stâng și cel mai mic capăt drept dă același răspuns.

De ce capătul din stânga al rezultatului este cel mai mare dintre capetele stângi?

Pentru că un număr trebuie să depășească amândouă pragurile de început, iar pragul mai sever este cel mai mare dintre ele. Sub el, cel puțin unul dintre intervale nu îl acceptă. Aceeași logică, întoarsă, funcționează la capătul drept.

Cum arată rezultatul dacă cele două intervale se ating într-un singur punct?

Rezultatul are un singur element și se scrie între acolade, ca mulțime, nu ca interval. Din $[1, 4] \cap [4, 9]$ obții ${4}$ . Dacă însă unul dintre intervale îl exclude pe $4$ , rămâne mulțimea vidă.

Oamenii mai întreabă și: intersecția a două intervale · ce înseamnă intersecție la intervale · cum aflu intersecția intervalelor · simbolul de intersecție · intervale care se suprapun