Intersecția intervalelor de numere reale

Imaginează-ți că doi prieteni vor să se întâlnească la sală. Unul e liber între orele $16$ și $19$, iar celălalt între orele $18$ și $21$. Când se pot vedea? Doar în intervalul comun celor două programe, adică între $18$ și $19$. Această întrebare — „care sunt momentele comune?" — este exact ideea de intersecție a două intervale. În lecția de astăzi vei învăța să determini corect intersecția a două intervale de numere reale, folosind axa numerelor, și să scrii rezultatul fără greșeli la capete, așa cum se cere la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să înțelegi ce înseamnă intersecția a două mulțimi și ce spune simbolul $\cap$.
• Vei ști să determini intersecția a două intervale reprezentându-le pe aceeași axă a numerelor.
• Vei ști să scrii rezultatul intersecției ca interval, ca un singur punct sau ca mulțimea vidă, cu capetele corecte (închise sau deschise).
• Vei ști să recunoști rapid când intersecția a două intervale este vidă ($A\cap B=\varnothing$).
• Vei ști să tratezi corect cazurile speciale: suprapunere parțială, un interval inclus în celălalt și intersecție redusă la un singur punct.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă intersecția a două mulțimi

Din clasele anterioare știi că o mulțime este o colecție de obiecte, numite elemente. Când avem două mulțimi, ne putem întreba care sunt elementele care se află în ambele în același timp. Acele elemente formează o mulțime nouă, numită intersecția celor două mulțimi.

Definiție. Intersecția mulțimilor $A$ și $B$ este mulțimea formată din toate elementele care aparțin și lui $A$, și lui $B$. O notăm cu $A\cap B$.

Simbolul $\cap$ se citește „intersectat cu". Cuvântul-cheie de reținut este ȘI: un element intră în $A\cap B$ numai dacă este simultan în $A$ și în $B$. Dacă lipsește din măcar una dintre mulțimi, nu intră în intersecție.

Să vedem pe un exemplu simplu cu mulțimi de numere:

$$A=\{1,2,3,4,5\},B=\{4,5,6,7\}.$$

Care numere sunt în amândouă? Doar $4$ și $5$. Prin urmare:

$$A\cap B=\{4,5\}.$$

Numărul $3$ este în $A$, dar nu în $B$, așa că nu intră. Numărul $6$ este în $B$, dar nu în $A$, deci iese și el. Rămân doar cei „prinși de amândouă", $4$ și $5$.

2. De la mulțimi de puncte la intervale

La lecțiile anterioare ai învățat că un interval de numere reale este o mulțime de numere reale, dar una specială: conține toate numerele reale dintre două capete (nu doar întregi, ci și fracții, zecimale, numere iraționale). De aceea un interval nu se poate scrie ca listă — are o infinitate de elemente.

Reamintim notațiile de la intervalele mărginite:

• $[a,b]$ — interval închis: conține și $a$, și $b$. Pe axă, capetele se marchează cu bulină plină ($\bullet$).
• $(a,b)$ — interval deschis: nu conține nici $a$, nici $b$. Capetele se marchează cu bulină goală ($\circ$).
• $[a,b)$ și $(a,b]$ — intervale semideschise: unul dintre capete este inclus, celălalt nu.

Pentru intervalele nemărginite folosim simbolul $\infty$ (infinit), care se scrie întotdeauna cu paranteză rotundă, pentru că infinitul nu este un număr și nu poate fi „atins": de exemplu $(-\infty ,3]$, $(2,+\infty )$.

Dacă vrei să reîmprospătezi aceste notații, revezi lecția Intervale numerice mărginite: deschise, închise și semideschise și lecția Intervale nemărginite și reprezentarea lor pe axă.

Ideea centrală a lecției de azi este simplă și puternică:

Intersecția a două intervale = mulțimea numerelor reale care aparțin amândurora în același timp. Pe axă, este zona în care cele două intervale se suprapun.

3. Metoda sigură: reprezentăm ambele intervale pe aceeași axă

Pentru intervale, cea mai sigură metodă de a găsi intersecția este desenul pe aceeași axă. Nu ghicim din cap — desenăm și citim rezultatul. Iată pașii, pe care îi vei folosi de fiecare dată:

Pasul 1. Desenează o singură axă a numerelor și marchează pe ea capetele ambelor intervale.

Pasul 2. Reprezintă primul interval, $A$, printr-o hașură (sau o linie îngroșată) deasupra axei, cu bulină plină la capătul inclus și bulină goală la capătul exclus.

Pasul 3. Reprezintă al doilea interval, $B$, printr-o altă hașură, ceva mai jos, cu aceleași convenții pentru capete.

Pasul 4. Caută zona în care cele două hașuri se suprapun. Acea porțiune, „acoperită de amândouă", este intersecția.

Pasul 5. Scrie rezultatul ca interval, având grijă la capete: un capăt intră în intersecție doar dacă este inclus în ambele intervale.

Să aplicăm această metodă pe exemplul cu programul celor doi prieteni, transformat în intervale. Fie:

$$A=[16,19],B=[18,21].$$

Unde se suprapun cele două hașuri? De la $18$ până la $19$. Ambele capete ($18$ și $19$) aparțin ambelor intervale, deci le păstrăm închise:

$$A\cap B=[18,19].$$

Cei doi prieteni se pot întâlni între orele $18$ și $19$ — exact răspunsul intuitiv de la început.

4. Regula rapidă pentru capetele intersecției

Desenul rămâne metoda de bază, dar există și o regulă de calcul care te ajută să verifici. Fie două intervale cu capătul din stânga (marginea inferioară) și capătul din dreapta (marginea superioară):

• Capătul din stânga al intersecției este cel mai mare dintre cele două capete din stânga (cel mai „la dreapta", pentru că trebuie respectate ambele condiții inferioare).
• Capătul din dreapta al intersecției este cel mai mic dintre cele două capete din dreapta (cel mai „la stânga").

Cu alte cuvinte, intersecția este strânsă între cea mai severă limită de jos și cea mai severă limită de sus. Pentru exemplul de sus: capătul din stânga $=\max (16,18)=18$, capătul din dreapta $=\min (19,21)=19$, deci $[18,19]$. Se potrivește cu desenul.

Foarte important — regula capetelor: un capăt este inclus în intersecție numai dacă este inclus în ambele intervale. Dacă măcar unul dintre intervale îl exclude (paranteză rotundă), atunci capătul este exclus și în intersecție (paranteză rotundă). Regândește: pentru a fi în intersecție trebuie să fii în amândouă, deci e suficient să lipsești dintr-unul ca să fii dat afară.

5. Cele patru situații pe care le vei întâlni

Când intersectezi două intervale, rezultatul se încadrează mereu într-unul dintre următoarele patru cazuri. Le analizăm pe rând.

Cazul A — Suprapunere parțială. Intervalele se „încalecă" pe o porțiune, dar niciunul nu-l conține pe celălalt. Rezultatul este un interval nou, cuprins în zona comună. Este exact situația de la $A=[16,19]$, $B=[18,21]$.

Cazul B — Un interval inclus în celălalt. Când un interval este în întregime „înghițit" de celălalt, zona comună este chiar intervalul mai mic. Fie:

$$A=[-2,8],B=(1,5).$$

Cum $B$ este în întregime în interiorul lui $A$, zona comună este chiar $B$:

$$A\cap B=(1,5).$$

Reține regula generală: dacă $B\subseteq A$ (adică $B$ este inclus în $A$), atunci $A\cap B=B$. Intersecția este mereu intervalul mai „mic".

Cazul C — Intersecție redusă la un singur punct. Uneori intervalele se ating exact într-un capăt, fără să se suprapună pe nicio porțiune. Fie:

$$A=[-3,2],B=[2,6].$$

Singurul număr care aparține amândurora este $2$, pentru că $A$ îl include ($[-3,2]$ conține $2$) și $B$ îl include ($[2,6]$ conține $2$). Rezultatul este o mulțime cu un singur element:

$$A\cap B=\{2\}.$$

Atenție la notație: rezultatul se scrie $\{2\}$ (mulțime cu un element), nu $[2,2]$ și cu atât mai puțin $2$ simplu. Un singur punct comun nu mai este un interval, ci o mulțime formată dintr-un singur număr.

Dar dacă măcar unul dintre capete ar fi fost deschis? De exemplu $A=[-3,2)$ și $B=[2,6]$. Atunci $2\notin A$ (parenteza rotundă îl exclude), deci $2$ nu mai este comun. Nu mai există niciun punct comun și intersecția devine vidă:

$$[-3,2)\cap [2,6]=\varnothing .$$

Vezi cât de mult contează o singură paranteză? La examen, aici se pierd multe puncte.

Cazul D — Intersecție vidă. Dacă intervalele sunt „departe" unul de altul și nu au niciun punct comun, intersecția este mulțimea vidă, notată $\varnothing$. Fie:

$$A=[-4,-1],B=[3,7].$$

Între $-1$ și $3$ nu se atinge nicio hașură cu cealaltă, deci nu există niciun număr comun:

$$A\cap B=\varnothing .$$

Notează vidul corect: simbolul este $\varnothing$ (sau $\{\}$). Nu se scrie $\{\varnothing \}$ — asta ar însemna o mulțime care conține elementul „mulțimea vidă", ceea ce este cu totul altceva și greșit în acest context.

6. Cum recunoști rapid o intersecție vidă

Nu e nevoie mereu de desen complet pentru a bănui vidul. Un semnal rapid: dacă cel mai mare capăt din stânga depășește cel mai mic capăt din dreapta, adică $\max (\text{staˆngile})>\min (\text{dreptele})$, atunci intervalele nu au cum să se suprapună și intersecția e vidă.

La $A=[-4,-1]$, $B=[3,7]$: $\max (-4,3)=3$ și $\min (-1,7)=-1$. Cum $3>-1$, „limita de jos" cade la dreapta „limitei de sus" — imposibil, deci $\varnothing$. Când cele două limite sunt exact egale, ești în cazul C (un punct sau vid, în funcție de paranteze), iar când limita de jos este mai mică decât cea de sus, ai un interval propriu-zis.

7. Intersecția cu intervale nemărginite

Aceeași metodă funcționează și cu intervale nemărginite. Săgeata spre $-\infty$ merge nelimitat spre stânga, iar cea spre $+\infty$ merge nelimitat spre dreapta. Fie:

$$A=(-\infty ,4],B=(0,+\infty ).$$

Zona comună este cuprinsă între $0$ (exclus, pentru că $B$ îl exclude) și $4$ (inclus, pentru că $A$ îl include):

$$A\cap B=(0,4].$$

Observă cum simbolul $\cap$ „taie" ambele săgeți și ne lasă doar bucata mărginită dintre ele. Vei folosi mult acest tip de intersecție când vei rezolva sisteme de inecuații, unde condițiile trebuie satisfăcute simultan — vezi mai târziu Mulțimea soluțiilor unei inecuații.

8. Atenție: intersecție ≠ reuniune

Nu confunda intersecția ($\cap$) cu reuniunea ($\cup$), pe care o vei studia în lecția următoare, Reuniunea intervalelor de numere reale.

• Intersecția $A\cap B$ = numerele din $A$ ȘI din $B$ (partea comună, cea suprapusă). E „mai mică" sau egală cu fiecare interval.
• Reuniunea $A\cup B$ = numerele din $A$ SAU din $B$ (tot ce acoperă împreună). E „mai mare" sau egală cu fiecare interval.

Un truc de memorare: simbolul $\cap$ seamănă cu un „acoperiș" care închide și strânge (intersecție = puțin, comun), iar $\cup$ seamănă cu un „vas" care adună tot (reuniune = mult, tot). Cuvintele-cheie: ȘI pentru $\cap$, SAU pentru $\cup$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — suprapunere parțială

Determină $A\cap B$, unde $A=[-3,5]$ și $B=[1,9]$.

Rezolvare. Reprezentăm pe aceeași axă. Capetele din stânga sunt $-3$ și $1$; cel mai mare este $1$. Capetele din dreapta sunt $5$ și $9$; cel mai mic este $5$.

Capătul $1$ este inclus în ambele ($B$ îl include prin paranteza dreaptă, iar în $A$ este punct interior), deci rămâne închis. Capătul $5$ este inclus în ambele, deci rămâne închis:

$$A\cap B=[1,5].$$

Exemplul 2 — un interval inclus în celălalt

Determină $M\cap N$, unde $M=(-6,10)$ și $N=[-2,3]$.

Rezolvare. Observăm că $N$ începe la $-2$ (mai la dreapta decât $-6$) și se termină la $3$ (mai la stânga decât $10$). Deci $N$ este complet cuprins în $M$: $N\subseteq M$.

Zona comună este exact $N$. Capetele $-2$ și $3$ aparțin lui $N$ (închise) și sunt în interiorul lui $M$, deci rămân închise:

$$M\cap N=[-2,3].$$

Exemplul 3 — intersecție redusă la un punct

Determină $A\cap B$, unde $A=\left[-1,\frac{7}{2}\right]$ și $B=\left[\frac{7}{2},6\right]$.

Rezolvare. Avem $\frac{7}{2}=3,5$. Intervalul $A$ merge până la $3,5$ inclusiv, iar $B$ pornește de la $3,5$ inclusiv. Se ating exact în $3,5$.

Singurul număr comun este $\frac{7}{2}$, prezent în ambele (ambele îl includ). Rezultatul este o mulțime cu un element:

$$A\cap B=\left\{\frac{7}{2}\right\}.$$

Dacă $B$ ar fi fost $\left(\frac{7}{2},6\right]$ (deschis la stânga), atunci $\frac{7}{2}\notin B$ și am fi avut $A\cap B=\varnothing$.

Exemplul 4 — intersecție vidă

Determină $P\cap Q$, unde $P=(-\infty ,-2)$ și $Q=[1,+\infty )$.

Rezolvare. $P$ conține toate numerele strict mai mici decât $-2$, iar $Q$ toate numerele mai mari sau egale cu $1$. Un număr nu poate fi în același timp $<-2$ și $\ge 1$.

Nu există niciun punct comun, deci:

$$P\cap Q=\varnothing .$$

Exemplul 5 — intersecție cu interval nemărginit

Determină $A\cap B$, unde $A=[-4,+\infty )$ și $B=(-\infty ,2)$.

Rezolvare. $A$ conține numerele $\ge -4$, iar $B$ numerele $<2$. Numerele comune trebuie să fie și $\ge -4$, și $<2$, adică între $-4$ (inclus) și $2$ (exclus).

Capătul $-4$: inclus în $A$ și în $B$ (fiind $-4<2$, e în $B$), deci închis. Capătul $2$: exclus în $B$ (paranteză rotundă), deci exclus în intersecție.

$$A\cap B=[-4,2).$$

Exemplul 6 — item tip Evaluare Națională

Se dau mulțimile $A=\{x\in \mathbb{R}\mid -3\le x<4\}$ și $B=\{x\in \mathbb{R}\mid 0<x\le 6\}$. Scrie $A$ și $B$ ca intervale, apoi determină $A\cap B$ și numărul de numere întregi din intersecție.

Rezolvare. Traducem descrierile cu proprietăți în intervale (revezi Mulțimi definite printr-o proprietate):

$$A=[-3,4),B=(0,6].$$

Capătul din stânga al intersecției: $\max (-3,0)=0$, exclus, pentru că $B$ îl exclude. Capătul din dreapta: $\min (4,6)=4$, exclus, pentru că $A$ îl exclude.

$$A\cap B=(0,4).$$

Numerele întregi strict între $0$ și $4$ sunt $1,2,3$, deci trei numere întregi. (Atenție: $0$ și $4$ nu se numără, fiind excluse.)

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, desenând de fiecare dată intervalele pe aceeași axă. La final, verifică-te cu secțiunea de răspunsuri.

1. Fie $A=\{2,3,4,5,6\}$ și $B=\{4,6,8,10\}$. Determină $A\cap B$.

2. Determină $[1,6]\cap [4,9]$.

3. Determină $[-5,2]\cap [-1,7]$.

4. Determină $(-3,5)\cap [0,8]$.

5. Determină $[-2,10]\cap [3,5]$ (un interval inclus în celălalt).

6. Determină $[-4,1]\cap [1,6]$.

7. Determină $[-7,-2]\cap [3,9]$.

8. Determină $(-\infty ,5]\cap [-1,+\infty )$.

9. Determină $(-\infty ,0)\cap (0,+\infty )$.

10. Determină $[-2,4)\cap (4,9]$.

11. Determină $\left[-\frac{5}{2},3\right]\cap \left[1,\frac{9}{2}\right]$.

12. Adevărat sau fals, cu justificare: „$[2,7]\cap [7,12]=\varnothing$."

13. Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă $B\subseteq A$, atunci $A\cap B=A$."

14. Fie $A=\{x\in \mathbb{R}\mid -1\le x\le 5\}$ și $B=\{x\in \mathbb{R}\mid 2<x<8\}$. Scrie ca intervale și determină $A\cap B$.

15. Determină toate numerele întregi din mulțimea $[-3,4]\cap (0,6]$.

16. (Aplicație) Un magazin online oferă reducere la produsele care costă între $80$ și $200$ de lei (inclusiv capetele), iar un cupon suplimentar se aplică produselor de la $150$ la $300$ de lei (inclusiv). Scrie ca intervale cele două condiții și determină intervalul de prețuri care beneficiază de ambele avantaje.

17. (Item tip EN) Se consideră $A=(-\infty ,3]$ și $B=(-2,+\infty )$. Determină $A\cap B$ și precizează câte numere întregi conține.

18. (Raționament) Găsește un număr real $m$ astfel încât $[-4,m]\cap [1,5]=[1,3]$. Justifică alegerea.

Răspunsuri și explicații

1. $A\cap B=\{4,6\}$. Doar $4$ și $6$ apar în ambele liste; $2,3,5$ lipsesc din $B$, iar $8,10$ lipsesc din $A$.

2. $[1,6]\cap [4,9]=[4,6]$. Capătul stâng $=\max (1,4)=4$ (inclus în ambele), capătul drept $=\min (6,9)=6$ (inclus în ambele).

3. $[-5,2]\cap [-1,7]=[-1,2]$. Suprapunerea merge de la $-1$ la $2$, ambele închise.

4. $(-3,5)\cap [0,8]=[0,5)$. Capătul $0$: inclus în $[0,8]$ și interior lui $(-3,5)$, deci închis. Capătul $5$: exclus în $(-3,5)$, deci exclus.

5. $[-2,10]\cap [3,5]=[3,5]$. Intervalul $[3,5]$ este complet cuprins în $[-2,10]$, deci intersecția este chiar cel mai mic.

6. $[-4,1]\cap [1,6]=\{1\}$. Se ating doar în $1$, inclus în ambele; rezultat = mulțime cu un element.

7. $[-7,-2]\cap [3,9]=\varnothing$. Între $-2$ și $3$ nu există suprapunere; $\max (-7,3)=3>\min (-2,9)=-2$.

8. $(-\infty ,5]\cap [-1,+\infty )=[-1,5]$. Numerele comune sunt cele $\ge -1$ și $\le 5$; ambele capete închise.

9. $(-\infty ,0)\cap (0,+\infty )=\varnothing$. Niciun număr nu e simultan $<0$ și $>0$; $0$ este exclus din amândouă.

10. $[-2,4)\cap (4,9]=\varnothing$. Capătul $4$ este exclus din ambele, deci nu există punct comun; intervalele se „ratează" în $4$.

11. $\left[-\frac{5}{2},3\right]\cap \left[1,\frac{9}{2}\right]=[1,3]$. Cu $-\frac{5}{2}=-2,5$ și $\frac{9}{2}=4,5$: capăt stâng $=\max (-2,5;1)=1$, capăt drept $=\min (3;4,5)=3$, ambele închise.

12. Fals. Cele două intervale se ating în $7$, care este inclus în ambele ($[2,7]$ și $[7,12]$ conțin $7$). Deci $[2,7]\cap [7,12]=\{7\}\ne \varnothing$.

13. Fals. Dacă $B\subseteq A$, intersecția este intervalul mai mic, adică $B$, nu $A$. Corect: $A\cap B=B$. (Ar fi adevărat pentru reuniune: $A\cup B=A$.)

14. $A=[-1,5]$, $B=(2,8)$; $A\cap B=(2,5]$. Capătul $2$ exclus (din $B$), capătul $5$ inclus (din $A$, și $5<8$ deci e în $B$).

15. $[-3,4]\cap (0,6]=(0,4]$. Numerele întregi din $(0,4]$ sunt $1,2,3,4$ (patru numere; $0$ este exclus, $4$ este inclus).

16. Condiția 1: $[80,200]$; condiția 2: $[150,300]$. Intersecția: $[150,200]$. Produsele între $150$ și $200$ de lei (inclusiv) beneficiază de ambele avantaje.

17. $A\cap B=(-2,3]$. Numerele întregi sunt $-1,0,1,2,3$, adică cinci numere ($-2$ este exclus, $3$ este inclus).

18. $m=3$. Pentru ca $[-4,m]\cap [1,5]=[1,3]$, capătul drept al intersecției trebuie să fie $3$, iar el este $\min (m,5)$. Deci $\min (m,5)=3$, ceea ce dă $m=3$. (Verificare: $[-4,3]\cap [1,5]=[1,3]$. ✓) Capătul stâng iese automat $\max (-4,1)=1$, corect.

De reținut

• Intersecția $A\cap B$ = mulțimea numerelor care aparțin și lui $A$, și lui $B$; cuvântul-cheie este ȘI. Pe axă = zona de suprapunere.
• Metoda sigură: reprezintă ambele intervale pe aceeași axă și citește porțiunea comună. Capăt stâng $=\max$ al capetelor din stânga; capăt drept $=\min$ al capetelor din dreapta.
• Regula capetelor: un capăt intră în intersecție doar dacă este inclus în ambele intervale; dacă e exclus măcar dintr-unul, este exclus și din intersecție.
• Rezultatul poate fi: un interval, un singur punct (scris $\{a\}$) sau mulțimea vidă $\varnothing$.
• $A\cap B=\varnothing$ atunci când intervalele nu au niciun punct comun (inclusiv când se „ating" într-un capăt exclus).

Greșeli frecvente

• Confuzia $\cap$ cu $\cup$. Mulți elevi „adună" cele două intervale în loc să ia partea comună. Ține minte: $\cap$ = ȘI (comun, mai puțin), $\cup$ = SAU (tot, mai mult). Desenează și ia doar zona acoperită de amândouă.
• Greșeala la capete. A scrie capăt închis când unul dintre intervale îl excludea. Verifică fiecare capăt separat: intră în intersecție doar dacă e inclus în ambele. O singură paranteză rotundă „câștigă" și face capătul exclus.
• Un punct comun scris greșit. Când intersecția e un singur număr, se scrie $\{a\}$, nu $[a,a]$ și nici doar $a$. Un punct nu mai este interval.
• Vidul notat greșit sau ratat. Când intervalele se ating într-un capăt exclus (de exemplu $[-2,4)\cap (4,9]$), rezultatul e $\varnothing$, nu $\{4\}$. Iar vidul se notează $\varnothing$, nu $\{\varnothing \}$.

Aplică acasă

1. Programul comun. Notează intervalul orar în care ești liber azi după-amiază (de exemplu $[15,20]$) și cere-i unui prieten sau unui membru al familiei intervalul lui. Determină prin intersecție fereastra comună în care v-ați putea vedea. Verifică desenând pe o axă a orelor.

2. Reduceri suprapuse. Caută în două magazine online câte o promoție de tipul „reducere la produse între X și Y lei". Scrie fiecare condiție ca interval și găsește intervalul de prețuri care s-ar califica la ambele promoții simultan (intersecția). Dacă intersecția e vidă, explică de ce nu există niciun produs comun.

3. Temperaturi confortabile. O plantă crește bine la temperaturi între $18°\text{C}$ și $26°\text{C}$, iar o alta între $22°\text{C}$ și $30°\text{C}$. Scrie intervalele și determină intervalul de temperatură în care ambele plante se simt bine. Este un exemplu concret de intersecție utilă în viața reală.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează operația de intersecție, esențială la Evaluarea Națională, unde apare atât ca item de sine stătător (Subiectul I sau II), cât și ascunsă în rezolvarea sistemelor de inecuații, unde soluția finală este intersecția mulțimilor de soluții.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i să deseneze mereu ambele intervale pe aceeași axă înainte de a scrie răspunsul. Metoda vizuală previne majoritatea greșelilor.
• Verificați înțelegerea cu întrebări scurte: „Care este cuvântul-cheie al intersecției?" (răspuns: ȘI). „Când intră un capăt în intersecție?" (când e inclus în ambele). „Cum se scrie rezultatul dacă intervalele au un singur punct comun?" (ca $\{a\}$).
• Testați cazurile-capcană: un interval inclus în altul, atingere într-un capăt exclus (vid) și atingere într-un capăt inclus (un punct). Dacă le tratează corect, a înțeles fondul, nu doar rețeta.

Semn că elevul stăpânește subiectul: poate justifica de ce un capăt rămâne închis sau devine deschis și recunoaște intersecția vidă fără să deseneze, folosind comparația $\max (\text{staˆngi})$ cu $\min (\text{drepte})$.

Întrebări frecvente

Ce este intersecția a două intervale la clasa a 8-a? Este mulțimea numerelor reale care aparțin ambelor intervale în același timp, adică porțiunea în care cele două intervale se suprapun pe axa numerelor. Se notează cu simbolul $\cap$ și se citește „intersectat cu".

Cum calculez intersecția a două intervale pe axă? Reprezinți ambele intervale pe aceeași axă a numerelor, cu buline pline pentru capete incluse și buline goale pentru capete excluse, apoi citești zona în care hașurile se suprapun. Capătul din stânga al intersecției este cel mai mare dintre capetele stângi, iar cel din dreapta este cel mai mic dintre capetele drepte.

Când este intersecția a două intervale vidă? Când intervalele nu au niciun punct comun, adică nu se suprapun deloc pe axă. Acest lucru se întâmplă și atunci când se „ating" într-un capăt care este exclus din cel puțin unul dintre intervale, de exemplu $[-2,4)\cap (4,9]=\varnothing$.

Ce simbol se folosește pentru intersecție? Simbolul intersecției este $\cap$, care seamănă cu un acoperiș. Nu îl confunda cu $\cup$ (reuniunea), care seamănă cu un vas. Regula rapidă: $\cap$ înseamnă ȘI (parte comună), $\cup$ înseamnă SAU (tot ce acoperă împreună).

Cum scriu rezultatul dacă intervalele au un singur punct comun? Îl scrii ca mulțime cu un element, de exemplu $\{3\}$. Nu se scrie $[3,3]$ și nici doar $3$, pentru că un singur punct nu mai este un interval, ci o mulțime formată dintr-un singur număr.

Care este diferența dintre intersecție și reuniune la intervale? Intersecția $A\cap B$ ia doar numerele comune ambelor intervale (partea suprapusă, „mai puțin"), în timp ce reuniunea $A\cup B$ ia toate numerele din $A$ sau din $B$ (tot ce acoperă împreună, „mai mult"). Reuniunea se studiază în lecția următoare, Reuniunea intervalelor de numere reale.

Când rămâne un capăt inclus în intersecție și când devine exclus? Un capăt rămâne inclus (paranteză dreaptă, bulină plină) numai dacă este inclus în ambele intervale. Dacă măcar unul dintre intervale îl exclude (paranteză rotundă), capătul devine exclus și în intersecție.

De ce trebuie să desenez intervalele pe aceeași axă? Pentru că intersecția este exact zona de suprapunere, iar aceasta se vede clar doar când ambele intervale sunt pe aceeași axă. Desenul te ferește de greșeli la capete și te ajută să recunoști imediat cazurile speciale: suprapunere parțială, includere, un singur punct comun sau intersecție vidă.