Într-un tabel, valorile lui $$a$$ sunt $$6,\ 9,\ 15$$, iar valorile corespunzătoare ale lui $$b$$ sunt $$18,\ 27,\ 45$$. Ce poți spune despre mărimile $$a$$ și $$b$$?

Sunt direct proporționale, cu $$k=3$$

Sunt direct proporționale, cu $$k=2$$

Sunt direct proporționale, dar coeficientul nu poate fi determinat

Într-un tabel, valorile lui $$a$$ sunt $$3,\ 7,\ 11$$, iar valorile corespunzătoare ale lui $$b$$ sunt $$12,\ 28,\ 44$$. Ce poți spune despre mărimile $$a$$ și $$b$$?

Sunt direct proporționale, cu $$k=4$$

Sunt direct proporționale, cu $$k=3$$

Sunt direct proporționale, dar coeficientul nu poate fi determinat

Ce înseamnă direct proporțional?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Mărimi direct proporționale

Două mărimi sunt direct proporționale când raportul dintre valorile care se corespund iese mereu același număr, notat $k$ . De aici formula $b = k \cdot a$ : dacă una se dublează, se dublează și cealaltă. La un preț de $4$ lei kilogramul, $2$ kg costă $8$ lei și $5$ kg costă $20$ de lei, iar raportul rămâne $4$ . Pe grafic, punctele se așază pe o dreaptă care pornește din origine.

Două mărimi sunt direct proporționale dacă valorile lor corespunzătoare formează un raport constant: dacă $a_{1}, a_{2}, \dots$ și $b_{1}, b_{2}, \dots$ sunt valorile celor două mărimi, atunci $\frac{b _{1}}{a _{1}} = \frac{b _{2}}{a _{2}} = \dots = k,$ unde $k$ se numește coeficient de proporționalitate. De aici rezultă formula practică $b = k \cdot a$ . Pe grafic, proporționalitatea directă apare ca o dreaptă care trece prin origine.

O altă abilitate importantă este împărțirea unei cantități în părți direct proporționale cu niște numere date. De exemplu, împărțim 40 în părți direct proporționale cu 3 și 5: adunăm $3 + 5 = 8$ , aflăm o parte $k = 40 : 8 = 5$ , apoi înmulțim: $3 \cdot 5 = 15$ și $5 \cdot 5 = 25$ . Verificare: $15 + 25 = 40$ ✓.

De reținut

$\frac{b _{1}}{a _{1}} = \frac{b _{2}}{a _{2}} = k$ , deci $b = k \cdot a$
graficul este o dreaptă care trece prin origine
împărțirea în părți direct proporționale: afli întâi valoarea unei părți

Greșeala tipică

Se numește direct proporțional orice pereche de mărimi care cresc împreună, deși raportul lor se schimbă de la o pereche la alta; proporționalitatea se confirmă doar când toate rapoartele dau exact același număr.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un tabel, valorile lui $a$ sunt $6, 9, 15$ , iar valorile corespunzătoare ale lui $b$ sunt $18, 27, 45$ . Ce poți spune despre mărimile $a$ și $b$ ?
- a) Sunt direct proporționale, cu $k = 2$
- b) Sunt direct proporționale, cu $k = 3$
- c) Nu sunt direct proporționale
- d) Sunt direct proporționale, dar coeficientul nu poate fi determinat
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Sunt direct proporționale, cu $k = 3$

Calculăm rapoartele $\frac{b}{a}$ : $\frac{18}{6} = 3$ , $\frac{27}{9} = 3$ , $\frac{45}{15} = 3$ . Toate rapoartele sunt egale cu 3, deci mărimile sunt direct proporționale, cu coeficientul $k = 3$ .
Într-un tabel, valorile lui $a$ sunt $3, 7, 11$ , iar valorile corespunzătoare ale lui $b$ sunt $12, 28, 44$ . Ce poți spune despre mărimile $a$ și $b$ ?
- a) Sunt direct proporționale, cu $k = 3$
- b) Sunt direct proporționale, cu $k = 4$
- c) Nu sunt direct proporționale
- d) Sunt direct proporționale, dar coeficientul nu poate fi determinat
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Sunt direct proporționale, cu $k = 4$

Verific rapoartele $\frac{b}{a}$ : $\frac{12}{3} = 4$ , $\frac{28}{7} = 4$ , $\frac{44}{11} = 4$ — toate egale, deci mărimile sunt direct proporționale, cu $k = 4$ .
Împarte numărul 96 în trei părți direct proporționale cu numerele 5, 7 și 12. Care este partea corespunzătoare numărului 12?
- a) $28$
- b) $48$
- c) $68$
- d) $40$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $48$

Suma numerelor este $5 + 7 + 12 = 24$ . O parte este $k = 96 : 24 = 4$ . Partea corespunzătoare lui $12$ este $12 \cdot 4 = 48$ .

Întrebări conexe

Cum aflu o valoare lipsă într-un tabel de mărimi direct proporționale?

Calculezi mai întâi coeficientul dintr-o pereche completă, împărțind valoarea celei de-a doua mărimi la prima. Apoi înmulțești coeficientul cu valoarea cunoscută de pe coloana incompletă. Dacă $3$ caiete costă $15$ lei, coeficientul este $5$ , deci $7$ caiete costă $35$ de lei.

Ce înseamnă că raportul a două mărimi rămâne constant?

Înseamnă că, oricare pereche de valori ai alege din tabel, împărțirea dă același rezultat. Constanta arată cât revine unei singure unități din prima mărime. Dacă vreo pereche dă alt cât, legătura dintre mărimi nu este de proporționalitate directă.

Cum recunosc din enunț că problema cere proporționalitate directă?

Cauți formularea care leagă o creștere de alta în același ritm: „de două ori mai multe caiete costă de două ori mai mult”. Cuvintele „cu cât… cu atât mai mult” arată tot proporționalitate directă. Dacă însă mărirea unei mărimi o micșorează pe cealaltă, enunțul cere proporționalitate inversă.

Sunt distanța și timpul direct proporționale la viteză constantă?

Da, atât timp cât viteza nu se schimbă. Raportul dintre distanță și timp este chiar viteza, deci rămâne același: în două ore parcurgi de două ori mai mult decât într-o oră. Dacă viteza variază, legătura se strică și proporționalitatea nu se mai aplică.

Ce legătură are proporționalitatea directă cu procentele?

Un procent este un raport constant față de întreg, deci valoarea calculată crește odată cu întregul. La o taxă de $19%$ , suma plătită este direct proporțională cu prețul, iar coeficientul este $0, 19$ . De aceea problemele cu procente se rezolvă tot cu regula de trei simplă.

Cum împart un premiu în părți direct proporționale cu punctele obținute?

Aduni punctele, împarți premiul la sumă și afli cât valorează un punct. Apoi înmulțești valoarea unui punct cu punctele fiecărui participant. Pentru $40$ de lei împărțiți după $3$ și $5$ puncte, un punct valorează $5$ lei, deci părțile sunt $15$ și $25$ de lei.

Oamenii mai întreabă și: ce înseamnă direct proporțional · mărimi direct proporționale · raport constant între două mărimi · coeficient de proporționalitate