Mărimi direct proporționale

Ai observat vreodată că, dacă o sticlă de suc costă 4 lei, atunci 2 sticle costă 8 lei, iar 3 sticle costă 12 lei? Plătești mereu „de atâtea ori mai mult, de câte ori cumperi mai mult". Tocmai ai dat peste una dintre cele mai folositoare idei din matematică: mărimile direct proporționale. În această lecție vei învăța să recunoști două mărimi direct proporționale, să găsești coeficientul de proporționalitate și să împarți o cantitate în părți direct proporționale — exact genul de probleme care apar la cumpărături, în sport, la rețete și chiar în Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

Vei ști să definești corect ce înseamnă două mărimi direct proporționale.
Vei ști să recunoști proporționalitatea directă dintr-un tabel sau dintr-un grafic.
Vei ști să afli coeficientul de proporționalitate și să-l folosești pentru a completa un tabel.
Vei ști să împarți o cantitate în părți direct proporționale cu niște numere date.
Vei ști să modelezi situații reale (cantitate–preț, distanță–timp) folosind proporționalitatea directă.

Hai să descoperim împreună

Pasul 1. De la o situație reală la o idee matematică

Să pornim de la ceva foarte concret. La un magazin, un caiet costă 3 lei. Hai să ne întrebăm: cât plătim pentru mai multe caiete?

Număr de caiete	1	2	3	4	5
Preț (lei)	3	6	9	12	15

Privește cu atenție acest tabel de proporționalitate. Avem aici două mărimi: numărul de caiete și prețul plătit. Observă cum se mișcă ele împreună:

Dacă numărul de caiete se face de 2 ori mai mare (de la 1 la 2), prețul se face tot de 2 ori mai mare (de la 3 la 6).
Dacă numărul de caiete se face de 3 ori mai mare (de la 1 la 3), prețul se face tot de 3 ori mai mare (de la 3 la 9).
Dacă numărul de caiete se face de 5 ori mai mare, prețul se face tot de 5 ori mai mare.

Aceasta este ideea-cheie: când o mărime crește de un anumit număr de ori, cealaltă crește de același număr de ori. La fel se întâmplă și la scădere: dacă iei de 2 ori mai puține caiete, plătești de 2 ori mai puțin. Despre astfel de mărimi spunem că sunt direct proporționale.

Gândește-te la o fotocopie mărită: dacă mărești o poză de 3 ori, și lățimea, și înălțimea ei devin de 3 ori mai mari — cele două dimensiuni „merg împreună", în același ritm. Tot așa se comportă și mărimile direct proporționale: una nu poate crește fără ca cealaltă să crească în aceeași măsură. Atenție însă la o capcană pe care o vom lămuri mai jos: nu orice „cresc amândouă" înseamnă proporționalitate directă — contează ca raportul lor să rămână exact același.

Pasul 2. Marele secret: raportul rămâne constant

Hai să facem ceva isteț. Pentru fiecare pereche din tabel, să împărțim prețul la numărul de caiete:

$\frac{3}{1} = 3, \frac{6}{2} = 3, \frac{9}{3} = 3, \frac{12}{4} = 3, \frac{15}{5} = 3.$

Surpriză plăcută: toate rapoartele sunt egale cu 3! Indiferent câte caiete iei, raportul dintre preț și numărul de caiete rămâne mereu același: numărul 3. Iar 3 este chiar... prețul unui caiet (prețul unitar).

Acest număr constant are un nume oficial: se numește coeficient de proporționalitate (uneori îl notăm cu litera $k$ ). El este „rețeta ascunsă" care leagă cele două mărimi.

💡 Reține formularea pe care o vei folosi tot anul: două mărimi sunt direct proporționale dacă raportul valorilor lor corespunzătoare este constant.

Pasul 3. Definiția riguroasă

Acum putem scrie definiția ca un adevărat matematician.

Definiție. Două mărimi se numesc direct proporționale dacă valorile lor corespunzătoare formează un raport constant. Dacă notăm valorile primei mărimi cu $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ și valorile corespunzătoare ale celei de-a doua mărimi cu $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots$ , atunci mărimile sunt direct proporționale dacă $\frac{b _{1}}{a _{1}} = \frac{b _{2}}{a _{2}} = \frac{b _{3}}{a _{3}} = \dots = k,$ unde numărul constant $k$ se numește coeficient de proporționalitate.

Această egalitate de mai multe rapoarte se numește șir de rapoarte egale — ai întâlnit-o deja în lecția despre șirul de rapoarte egale. Vezi cât de frumos se leagă lucrurile?

Din relația $\frac{b}{a} = k$ scoatem o formulă foarte practică: $b = k \cdot a .$

Adică: a doua mărime = coeficientul × prima mărime. La caietele noastre: $pre ț = 3 \cdot num \overset{a}{˘} r de caiete$ . Pentru 7 caiete: $b = 3 \cdot 7 = 21$ lei. Gata, fără să mai numărăm pe degete!

Pasul 4. Cum recunoști proporționalitatea directă într-un tabel

Ca să verifici dacă un tabel arată două mărimi direct proporționale, ai o rețetă în 2 pași:

Împarte fiecare valoare de jos la valoarea corespunzătoare de sus (calculezi rapoartele).
Dacă toate rapoartele sunt egale, mărimile sunt direct proporționale, iar valoarea comună este coeficientul $k$ . Dacă măcar un raport diferă, mărimile NU sunt direct proporționale.

Hai să comparăm două tabele:

Tabelul A

$a$	2	4	5	10
$b$	6	12	15	30

Rapoartele: $\frac{6}{2} = 3$ , $\frac{12}{4} = 3$ , $\frac{15}{5} = 3$ , $\frac{30}{10} = 3$ . Toate dau 3 → direct proporționale, cu $k = 3$ .

Tabelul B

$a$	2	4	5	10
$b$	6	12	15	31

Rapoartele: $\frac{6}{2} = 3$ , $\frac{12}{4} = 3$ , $\frac{15}{5} = 3$ , dar $\frac{31}{10} = 3, 1$ . Ultimul raport e diferit → NU sunt direct proporționale. Vezi cât de atent trebuie să fii? Un singur număr „stricat" schimbă tot.

Pasul 5. Cum arată proporționalitatea directă pe un grafic

Să reprezentăm tabelul caietelor pe o axă cu două direcții: pe orizontală punem numărul de caiete, pe verticală punem prețul. Obținem niște puncte: $(1, 3)$ , $(2, 6)$ , $(3, 9)$ , $(4, 12)$ , $(5, 15)$ .

Vei observa două lucruri foarte importante:

Toate punctele stau pe aceeași linie dreaptă (sunt „aliniate").
Linia pleacă din origine, adică din punctul $(0, 0)$ — pentru că 0 caiete înseamnă 0 lei.

Acesta este „portretul" oricărei proporționalități directe pe grafic: o linie dreaptă care trece prin origine. Dacă punctele nu sunt aliniate sau dreapta nu pleacă din colțul $(0, 0)$ , atunci mărimile nu sunt direct proporționale.

Pasul 6. Alte exemple din viața de zi cu zi

Proporționalitatea directă e peste tot. Iată trei situații în care o întâlnești:

a) Distanță–timp la viteză constantă. Un biciclist merge cu viteză constantă de 15 km/h. În 1 oră face 15 km, în 2 ore face 30 km, în 3 ore face 45 km. Raportul $\frac{distan ț a ˘}{timp}$ este mereu 15 (chiar viteza!). Distanța și timpul sunt direct proporționale, cu $k = 15$ .

b) Cantitate–preț la preț unitar fix. Dacă 1 kg de mere costă 5 lei, atunci 2 kg costă 10 lei, 3 kg costă 15 lei. Coeficientul este prețul unui kilogram: $k = 5$ .

c) Rețete de bucătărie. Pentru o porție de clătite folosești 2 ouă. Pentru 2 porții folosești 4 ouă, pentru 3 porții 6 ouă. Numărul de ouă este direct proporțional cu numărul de porții, cu $k = 2$ .

În toate aceste cazuri, „povestea" este aceeași: de câte ori crește una, de atâtea ori crește și cealaltă, iar raportul lor rămâne constant.

Pasul 7. Împărțirea unei mărimi în părți direct proporționale

Acum trecem la a doua superputere a lecției. Multe probleme reale sună așa:

„Trei prieteni au cumpărat împreună un cadou și au contribuit cu sume diferite. Cum împart corect ce a mai rămas / un premiu, ca să fie drept?"

Ideea este să împărțim o cantitate (un total) în părți care să fie direct proporționale cu niște numere date. Hai cu un exemplu lucrat încet.

Problemă. Vrem să împărțim suma de 60 de lei în părți direct proporționale cu numerele 2, 3 și 5.

Ce înseamnă asta? Vrem trei numere — să le zicem $x$ , $y$ , $z$ — astfel încât:

suma lor să fie totalul: $x + y + z = 60$ ;
ele să fie direct proporționale cu $2, 3, 5$ : $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ .

Avem un șir de rapoarte egale. Notăm valoarea comună a acestor rapoarte cu $k$ (coeficientul de proporționalitate): $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k .$

De aici, $x = 2 k$ , $y = 3 k$ , $z = 5 k$ . Acum folosim faptul că suma e 60: $2 k + 3 k + 5 k = 60 \Rightarrow 10 k = 60 \Rightarrow k = 6.$

Gata! Înlocuim: $x = 2 \cdot 6 = 12, y = 3 \cdot 6 = 18, z = 5 \cdot 6 = 30.$

Verificare (mereu verifică!): $12 + 18 + 30 = 60$ ✓, iar $\frac{12}{2} = \frac{18}{3} = \frac{30}{5} = 6$ ✓.

Observă „trucul" general: aduni numerele date ( $2 + 3 + 5 = 10$ ), afli cât valorează o parte ( $60 : 10 = 6$ , acesta e $k$ ), apoi înmulțești fiecare număr cu $k$ . Simplu și sigur.

📌 Rețetă pentru împărțirea în părți direct proporționale:

Adună numerele de proporționalitate (afli „numărul de părți").

Împarte totalul la această sumă → obții valoarea unei părți (coeficientul $k$ ).

Înmulțește fiecare număr dat cu $k$ .

Verifică: suma rezultatelor trebuie să dea totalul.

Pasul 8. De ce funcționează „trucul"? (proprietatea șirului de rapoarte egale)

Poate te întrebi: de ce am voie să adun numerele 2, 3 și 5 și apoi să împart totalul la suma lor? Răspunsul stă într-o proprietate foarte elegantă a șirului de rapoarte egale, pe care merită s-o înțelegi, nu doar s-o aplici.

Pornim de la egalitatea $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k$ . Proprietatea spune așa: dacă mai multe rapoarte sunt egale, atunci raportul dintre suma numărătorilor și suma numitorilor este egal cu fiecare dintre ele. Cu numerele noastre:

$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = \frac{x + y + z}{2 + 3 + 5} = \frac{x + y + z}{10} .$

Dar $x + y + z$ este chiar totalul, adică 60! Așadar fracția din dreapta devine $\frac{60}{10} = 6$ , care este exact coeficientul $k$ . De aici vine, „ca prin magie", regula: aduni numerele de jos ( $2 + 3 + 5 = 10$ ), împarți totalul la ele ( $60 : 10 = 6$ ) și ai găsit valoarea unei părți. Trucul nu e un truc, ci o consecință logică — și de aceea funcționează de fiecare dată.

💡 Reține proprietatea cu o vorbă scurtă: la rapoarte egale, „sus cu sus, jos cu jos" păstrează același raport. O vei folosi la fiecare problemă de împărțire în părți proporționale.

Această metodă se sprijină pe proprietatea șirului de rapoarte egale, pe care o vei folosi mereu de acum: într-un șir de rapoarte egale, suma de sus împărțită la suma de jos dă același raport $k$ . În lecțiile următoare, regula de trei simplă îți va arăta o altă cale rapidă de a rezolva problemele cu mărimi proporționale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificăm un tabel

Spune dacă mărimile din tabel sunt direct proporționale. Dacă da, găsește coeficientul.

$a$	3	6	9	12
$b$	21	42	63	84

Rezolvare. Calculăm rapoartele $\frac{b}{a}$ : $\frac{21}{3} = 7, \frac{42}{6} = 7, \frac{63}{9} = 7, \frac{84}{12} = 7.$ Toate rapoartele sunt egale cu 7. Da, mărimile sunt direct proporționale, cu coeficientul de proporționalitate $k = 7$ . (Cu alte cuvinte, $b = 7 \cdot a$ .)

Exemplul 2 — Completăm tabelul de proporționalitate

Știind că $a$ și $b$ sunt direct proporționale, completează valorile lipsă.

$a$	4	7	?	10
$b$	20	?	45	?

Rezolvare. Mai întâi aflăm coeficientul dintr-o pereche completă: $k = \frac{20}{4} = 5$ . Deci $b = 5 \cdot a$ și $a = \frac{b}{5}$ .

Pentru $a = 7$ : $b = 5 \cdot 7 = 35$ .
Pentru $b = 45$ : $a = 45 : 5 = 9$ .
Pentru $a = 10$ : $b = 5 \cdot 10 = 50$ .

Tabelul completat:

$a$	4	7	9	10
$b$	20	35	45	50

Exemplul 3 — Cantitate și preț

La piață, 4 kg de cartofi costă 12 lei. Câți lei costă 7 kg de cartofi, dacă prețul pe kilogram rămâne același?

Rezolvare. Cantitatea și prețul sunt direct proporționale (preț unitar fix). Coeficientul este prețul unui kilogram: $k = \frac{12}{4} = 3 lei/kg .$ Pentru 7 kg: $pre ț = 3 \cdot 7 = 21$ lei.

Răspuns: 7 kg de cartofi costă 21 de lei.

Exemplul 4 — Distanță și timp

Un autocar merge cu viteză constantă. În 3 ore parcurge 240 km. Ce distanță parcurge în 5 ore?

Rezolvare. Distanța și timpul sunt direct proporționale (viteza e constantă). Coeficientul este chiar viteza: $k = \frac{240}{3} = 80 km/h .$ În 5 ore: $distan ț \overset{a}{˘} = 80 \cdot 5 = 400$ km.

Răspuns: autocarul parcurge 400 km în 5 ore.

Exemplul 5 — Împărțire în două părți direct proporționale

Doi frați împart 84 de lei (premiu de la un concurs) în părți direct proporționale cu numerele 3 și 4, după efortul depus. Cât primește fiecare?

Rezolvare. Notăm părțile cu $x$ și $y$ . Avem: $x + y = 84, \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = k .$ De aici $x = 3 k$ , $y = 4 k$ . Atunci: $3 k + 4 k = 84 \Rightarrow 7 k = 84 \Rightarrow k = 12.$ Deci $x = 3 \cdot 12 = 36$ lei și $y = 4 \cdot 12 = 48$ lei.

Verificare: $36 + 48 = 84$ ✓ și $\frac{36}{3} = \frac{48}{4} = 12$ ✓.

Răspuns: primul frate primește 36 de lei, al doilea 48 de lei.

Exemplul 6 — Împărțire în trei părți direct proporționale

Un fermier are 90 de saci de furaje și vrea să-i împartă la trei grajduri, în părți direct proporționale cu numărul de animale din fiecare: 4, 5 și 6 animale. Câți saci primește fiecare grajd?

Rezolvare. Notăm cantitățile cu $x$ , $y$ , $z$ : $x + y + z = 90, \frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6} = k .$ Atunci $x = 4 k$ , $y = 5 k$ , $z = 6 k$ , deci: $4 k + 5 k + 6 k = 90 \Rightarrow 15 k = 90 \Rightarrow k = 6.$ Rezultă: $x = 4 \cdot 6 = 24$ , $y = 5 \cdot 6 = 30$ , $z = 6 \cdot 6 = 36$ .

Verificare: $24 + 30 + 36 = 90$ ✓.

Răspuns: grajdurile primesc 24, 30 și, respectiv, 36 de saci.

Exemplul 7 — Când cunoaștem o singură parte

Două numere sunt direct proporționale cu 4 și 9. Se știe că primul număr este 20. Află al doilea număr și suma lor.

Rezolvare. Notăm numerele cu $x$ și $y$ . Avem $\frac{x}{4} = \frac{y}{9} = k$ . Cunoaștem $x = 20$ , deci putem afla coeficientul direct: $k = \frac{x}{4} = \frac{20}{4} = 5.$ Acum aflăm al doilea număr: $y = 9 \cdot k = 9 \cdot 5 = 45$ . Suma lor este $20 + 45 = 65$ .

Verificare: $\frac{20}{4} = 5$ și $\frac{45}{9} = 5$ ✓ — rapoartele sunt egale, deci numerele sunt într-adevăr direct proporționale cu 4 și 9.

Răspuns: al doilea număr este 45, iar suma celor două numere este 65. Observă ideea: dacă afli $k$ dintr-o singură pereche cunoscută, poți reconstrui toate celelalte valori.

Să exersăm

1. Completează: două mărimi sunt direct proporționale dacă raportul valorilor lor corespunzătoare este ________.

2. Un stilou costă 8 lei. Completează tabelul cantitate–preț:

Număr de stilouri	1	2	3	4	5
Preț (lei)	?	?	?	?	?

3. Verifică dacă mărimile din tabel sunt direct proporționale și, dacă da, scrie coeficientul:

$a$	2	5	8
$b$	14	35	56

4. Adevărat sau fals? Pe graficul a două mărimi direct proporționale, punctele sunt aliniate pe o dreaptă care trece prin origine.

5. Mărimile $a$ și $b$ sunt direct proporționale, cu coeficientul $k = 9$ . Cât este $b$ când $a = 6$ ? Dar când $a = 11$ ?

6. Încercuiește tabelul care NU reprezintă mărimi direct proporționale:

(A) $a$ : 1, 2, 3 | $b$ : 4, 8, 12
(B) $a$ : 1, 2, 3 | $b$ : 4, 8, 13

7. Știind că $x$ și $y$ sunt direct proporționale, completează:

$x$	6	10	?
$y$	15	?	45

8. Un robinet umple 7 litri în fiecare minut (debit constant). Câți litri curg în 9 minute? Câte minute trebuie pentru 84 de litri?

9. Împarte suma de 48 de lei în părți direct proporționale cu numerele 1 și 3.

10. Împarte numărul 70 în părți direct proporționale cu 2, 3 și 5.

11. Potrivește fiecare situație cu coeficientul de proporționalitate:

Situație	Coeficient
(a) 1 kg de roșii costă 6 lei	(I) 6
(b) un tren face 120 km în 2 ore	(II) 60
(c) 5 caiete costă 30 lei	(III) 6 lei/caiet

12. Pentru 3 porții de prăjitură ai nevoie de 6 ouă. Câte ouă îți trebuie pentru 8 porții, dacă rețeta se respectă întocmai?

13. O echipă de fotbal a marcat 24 de goluri în 8 meciuri, în medie același număr la fiecare meci. Presupunând același ritm, câte goluri ar marca în 14 meciuri?

14. Trei colegi au strâns deșeuri reciclabile și au primit în total 120 de puncte, împărțite direct proporțional cu kilogramele strânse: 5, 7 și 8 kg. Câte puncte primește fiecare?

15. Adevărat sau fals? Dacă pentru 0 produse plătim 0 lei, atunci sigur cantitatea și prețul sunt direct proporționale. Justifică pe scurt.

16. Suma a două numere este 100. Ele sunt direct proporționale cu 9 și 11. Află numerele.

17. Pe un grafic, două mărimi direct proporționale trec prin punctul $(4, 10)$ . Care este coeficientul de proporționalitate? Prin ce alt punct mai trece dreapta, dacă $a = 6$ ?

18. Un atelier produce, în ritm constant, 45 de tricouri în 3 zile. Comanda este de 165 de tricouri. În câte zile termină comanda? (Indiciu: află mai întâi câte tricouri pe zi.)

19. Numerele $a$ și $b$ sunt direct proporționale cu 5 și 8. Se știe că $a = 35$ . Află $b$ și suma $a + b$ .

20. Folosind proprietatea „suma de sus împărțită la suma de jos", arată că, dacă $\frac{x}{3} = \frac{y}{7} = 4$ , atunci $\frac{x + y}{3 + 7}$ este tot egal cu 4. Verifică numeric.

Răspunsuri și explicații

1. constant (același număr, numit coeficient de proporționalitate). Acesta este chiar miezul definiției.

2. Coeficientul este $k = 8$ (prețul unui stilou), deci $pre ț = 8 \cdot num \overset{a}{˘} r$ :

Număr de stilouri	1	2	3	4	5
Preț (lei)	8	16	24	32	40

3. Rapoartele: $\frac{14}{2} = 7$ , $\frac{35}{5} = 7$ , $\frac{56}{8} = 7$ . Toate egale → direct proporționale, cu $k = 7$ .

4. Adevărat. Aceasta este „semnătura" grafică a proporționalității directe: dreaptă prin origine.

5. $b = k \cdot a = 9 \cdot a$ . Pentru $a = 6$ : $b = 54$ . Pentru $a = 11$ : $b = 99$ .

6. (B). La (B): $\frac{4}{1} = 4$ , $\frac{8}{2} = 4$ , dar $\frac{13}{3} \neq = 4$ → nu sunt direct proporționale. La (A) toate rapoartele dau 4.

7. Coeficient: $k = \frac{15}{6} = 2, 5$ , deci $y = 2, 5 \cdot x$ și $x = y : 2, 5$ . Pentru $x = 10$ : $y = 25$ . Pentru $y = 45$ : $x = 45 : 2, 5 = 18$ .

$x$	6	10	18
$y$	15	25	45

8. Debit constant → direct proporționale, $k = 7$ litri/minut. În 9 minute: $7 \cdot 9 = 63$ litri. Pentru 84 de litri: $84 : 7 = 12$ minute.

9. Suma numerelor: $1 + 3 = 4$ . O parte: $k = 48 : 4 = 12$ . Părțile: $1 \cdot 12 = 12$ lei și $3 \cdot 12 = 36$ lei. Verificare: $12 + 36 = 48$ ✓.

10. Suma: $2 + 3 + 5 = 10$ . O parte: $k = 70 : 10 = 7$ . Părțile: $2 \cdot 7 = 14$ , $3 \cdot 7 = 21$ , $5 \cdot 7 = 35$ . Verificare: $14 + 21 + 35 = 70$ ✓.

11. (a) → (I) 6 (lei/kg); (b) → (II) 60 (km/h, fiindcă $120 : 2 = 60$ ); (c) → (III) 6 lei/caiet (fiindcă $30 : 5 = 6$ ).

12. Ouăle sunt direct proporționale cu porțiile, $k = 6 : 3 = 2$ ouă/porție. Pentru 8 porții: $2 \cdot 8 = 16$ ouă.

13. Ritm constant, $k = 24 : 8 = 3$ goluri/meci. În 14 meciuri: $3 \cdot 14 = 42$ goluri.

14. Suma kilogramelor: $5 + 7 + 8 = 20$ . O parte: $k = 120 : 20 = 6$ puncte/kg. Punctele: $5 \cdot 6 = 30$ , $7 \cdot 6 = 42$ , $8 \cdot 6 = 48$ . Verificare: $30 + 42 + 48 = 120$ ✓.

15. Fals. Faptul că „0 produse → 0 lei" este necesar, dar nu suficient. Trebuie ca raportul preț/cantitate să fie constant pentru toate valorile. De exemplu, dacă primul kilogram costă 5 lei, iar al doilea 7 lei, „pornim din 0", dar rapoartele diferă, deci nu sunt direct proporționale.

16. $x + y = 100$ , $\frac{x}{9} = \frac{y}{11} = k$ . Suma numerelor: $9 + 11 = 20$ , deci $k = 100 : 20 = 5$ . Numerele: $9 \cdot 5 = 45$ și $11 \cdot 5 = 55$ . Verificare: $45 + 55 = 100$ ✓.

17. Coeficient: $k = \frac{10}{4} = 2, 5$ . Pentru $a = 6$ : $b = 2, 5 \cdot 6 = 15$ , deci dreapta mai trece prin punctul $(6, 15)$ .

18. Ritm constant: $45 : 3 = 15$ tricouri/zi (acesta e $k$ ). Pentru 165 tricouri: $165 : 15 = 11$ zile.

19. Coeficientul îl aflăm din perechea cunoscută: $k = \frac{a}{5} = \frac{35}{5} = 7$ . Atunci $b = 8 \cdot 7 = 56$ , iar suma $a + b = 35 + 56 = 91$ . Verificare: $\frac{35}{5} = \frac{56}{8} = 7$ ✓.

20. Din $\frac{x}{3} = 4$ rezultă $x = 12$ , iar din $\frac{y}{7} = 4$ rezultă $y = 28$ . Atunci $\frac{x + y}{3 + 7} = \frac{12 + 28}{10} = \frac{40}{10} = 4$ — exact valoarea comună a rapoartelor. Tocmai aceasta este proprietatea pe care se sprijină împărțirea în părți proporționale.

De reținut

Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește (sau scade) de un număr de ori, cealaltă crește (sau scade) de același număr de ori.
Semnul sigur: raportul valorilor corespunzătoare este constant, iar acel număr constant este coeficientul de proporționalitate $k$ . Avem $\frac{b}{a} = k$ , adică $b = k \cdot a$ .
Într-un grafic, proporționalitatea directă apare ca o dreaptă care trece prin origine $(0, 0)$ .
Ca să împarți o cantitate în părți direct proporționale, adună numerele date, împarte totalul la suma lor (afli $k$ ), apoi înmulțește fiecare număr cu $k$ . La final, verifică suma.
Exemple tipice: cantitate–preț (preț unitar fix), distanță–timp (viteză constantă), rețete (ingrediente–porții).

Greșeli frecvente

Confuzia „cresc amândouă" = „direct proporționale". Nu orice creștere comună înseamnă proporționalitate directă! Trebuie ca raportul să fie constant. Verifică mereu rapoartele, nu te baza doar pe „cresc împreună".
Calculul greșit al coeficientului. Coeficientul este $k = \frac{b}{a}$ (a doua mărime împărțită la prima), nu invers. Dacă inversezi raportul, obții alt număr și greșești toate completările.
La împărțirea în părți, uiți să afli „o parte". Mulți elevi împart totalul direct la unul dintre numere. Corect: împarte totalul la suma tuturor numerelor de proporționalitate, apoi înmulțește. Și verifică mereu că părțile adunate dau totalul.
Graficul care nu trece prin origine. Dacă punctele sunt aliniate, dar dreapta NU pornește din $(0, 0)$ , mărimile nu sunt direct proporționale. Nu uita de punctul de plecare.

Joc acasă

1. Detectivul din bucătărie. Ia o rețetă simplă (de exemplu, clătite: 2 ouă pentru 4 clătite). Scrie un tabel: pentru 8, 12, 16 clătite, câte ouă îți trebuie? Calculează coeficientul (ouă/clătite) și verifică dacă raportul rămâne mereu același. Apoi întreabă-te: câte ouă pentru 30 de clătite?

2. Magazinul de acasă. Pune pe masă mai multe obiecte identice (de exemplu, monede sau bomboane) și „dă-le un preț" (1 monedă = 3 lei). Construiește tabelul cantitate–preț pentru 1, 2, 3, 4, 5 obiecte și desenează punctele pe o foaie cu pătrățele. Unește-le: vezi dacă obții o linie dreaptă care pleacă din colț!

3. Împărțirea dreaptă a gustării. Ai 20 de biscuiți și vrei să-i împarți între tine și un frate/prieten în părți direct proporționale cu 2 și 3 (de exemplu, după cât ați ajutat la treabă). Câți biscuiți primește fiecare? Rezolvă pe hârtie, apoi împarte chiar biscuiții ca să verifici „experimental".

Pentru părinți și învățători

Această lecție așază proporționalitatea directă pe înțelegere, nu pe memorare. Iată cum o puteți sprijini:

Porniți de la concret. Înainte de definiție, faceți împreună 2-3 tabele cantitate–preț cu obiecte reale. Lăsați copilul să descopere singur că „raportul iese mereu același" — momentul acela de „aha!" fixează ideea mai bine decât orice formulă dată de-a gata.
Întrebări bune de pus: „De câte ori crește una când cealaltă crește de 3 ori?", „Care e raportul preț/cantitate aici?", „Dreapta de pe grafic pleacă din colț? De ce trebuie să plece din $(0, 0)$ ?", „Dacă schimb un singur număr din tabel, mai sunt direct proporționale?".
Verificați înțelegerea, nu doar răspunsul: cereți-i copilului să explice cu cuvintele lui ce înseamnă coeficientul de proporționalitate și să verifice singur rezultatul (suma părților = totalul). Capacitatea de a verifica este un semn solid că a înțeles.
Capcana de evitat: dacă greșește, întrebați „ce raport ai calculat?" în loc să dați direct soluția. Cele mai dese erori sunt inversarea raportului și împărțirea totalului la un singur număr la problemele cu părți proporționale.
Legături utile: lecția se sprijină pe șirul de rapoarte egale și pe proporții și pregătește mărimile invers proporționale și regula de trei simplă. O scurtă recapitulare a acestora ajută mult.

Întrebări frecvente

Ce sunt mărimile direct proporționale la clasa a 6-a? Sunt două mărimi care se modifică „la fel": când una crește (sau scade) de un anumit număr de ori, cealaltă crește (sau scade) de același număr de ori. Semnul matematic sigur este că raportul valorilor lor corespunzătoare rămâne constant.

Ce este coeficientul de proporționalitate? Este numărul constant $k$ pe care îl obții împărțind a doua mărime la prima: $k = \frac{b}{a}$ . El leagă cele două mărimi prin formula $b = k \cdot a$ . La cantitate–preț, coeficientul este chiar prețul unitar; la distanță–timp, este viteza.

Cum recunosc dintr-un tabel dacă două mărimi sunt direct proporționale? Calculează rapoartele dintre valorile de jos și cele de sus corespunzătoare. Dacă toate rapoartele sunt egale, mărimile sunt direct proporționale, iar valoarea comună este coeficientul. Dacă măcar un raport diferă, nu sunt direct proporționale.

Cum se vede proporționalitatea directă pe un grafic? Punctele sunt aliniate pe o singură dreaptă, iar acea dreaptă trece prin origine, adică prin punctul $(0, 0)$ . Dacă punctele nu sunt aliniate sau dreapta nu pleacă din $(0, 0)$ , mărimile nu sunt direct proporționale.

Cum împart o sumă în părți direct proporționale cu niște numere? Adună numerele date ca să afli „câte părți" ai în total, împarte suma de împărțit la acest total (obții valoarea unei părți, adică $k$ ), apoi înmulțește fiecare număr dat cu $k$ . La final, verifică dacă părțile adunate dau totalul.

Care e diferența dintre mărimi direct proporționale și invers proporționale? La cele direct proporționale, când una crește, cealaltă crește în aceeași măsură (raportul e constant). La cele invers proporționale, când una crește, cealaltă scade, iar produsul lor rămâne constant. Vei studia asta în lecția mărimi invers proporționale.

Prețul și cantitatea sunt mereu direct proporționale? Doar dacă prețul pe unitate este fix (același pentru orice cantitate). Dacă apar reduceri la cantitate mai mare sau prețuri diferite pe unitate, raportul nu mai e constant și mărimile nu mai sunt direct proporționale.

La ce îmi folosește proporționalitatea directă în viața de zi cu zi? La cumpărături (cât plătesc pentru mai multe produse), la rețete (cât ingredient pentru mai multe porții), la călătorii (ce distanță fac într-un timp dat la viteză constantă) și la împărțiri corecte (premii, costuri, contribuții) între mai multe persoane.