Care dintre tabelele de mai jos reprezintă mărimi invers proporționale?

$$x$$: 1, 2, 4 și $$y$$: 20, 10, 5

$$x$$: 1, 2, 4 și $$y$$: 5, 10, 20

$$x$$: 2, 4, 8 și $$y$$: 10, 6, 3

$$x$$: 3, 6, 9 și $$y$$: 12, 9, 6

Care dintre tabelele de valori de mai jos arată mărimi invers proporționale?

$$x$$: 3, 4, 12 și $$y$$: 8, 6, 2

$$x$$: 3, 4, 12 și $$y$$: 2, 6, 8

$$x$$: 3, 6, 12 și $$y$$: 8, 5, 3

$$x$$: 4, 8, 10 și $$y$$: 20, 11, 9

Ce înseamnă invers proporțional?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Mărimi invers proporționale — produs constant

Două mărimi sunt invers proporționale când produsul valorilor care se corespund rămâne mereu același număr $k$ , deci $x \cdot y = k$ . Când una crește de câteva ori, cealaltă scade de tot atâtea ori. Pentru $x = 9$ și $y = 8$ produsul este $72$ ; când $x$ ajunge la $6$ , cealaltă mărime urcă la $12$ . Nu ajunge ca una să scadă în timp ce cealaltă crește, ci trebuie ca toate produsele să iasă egale.

Două mărimi $x$ și $y$ sunt invers proporționale dacă produsul valorilor lor corespunzătoare este constant: $x \cdot y = k$ . Când una crește, cealaltă scade, dar atenție: tendința singură nu e suficientă, trebuie verificat produsul!

Verificare: înmulțești fiecare pereche; dacă toate produsele sunt egale, mărimile sunt invers proporționale.

Valoare lipsă: afli $k$ dintr-o pereche completă, apoi împarți $k$ la valoarea cunoscută.

Exemplu: pentru $x = 9$ , $y = 8$ , avem $k = 9 \cdot 8 = 72$ . Când $x = 6$ : $6 \cdot y = 72 \Rightarrow y = 12$ .

Împărțire invers proporțională cu $a, b, c$ = împărțire direct proporțională cu inversele $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ , aduse la același numitor. Numărul cel mai mic primește partea cea mai mare.

De reținut

$x \cdot y = k$ , produsul valorilor corespunzătoare rămâne constant
valoarea lipsă se află împărțind $k$ la valoarea cunoscută
împărțirea invers proporțională = împărțire direct proporțională cu inversele

Greșeala tipică

Se declară invers proporționale două mărimi doar pentru că una scade când cealaltă crește; concluzia se trage numai după ce toate produsele perechilor ies egale, altfel legătura poate fi de cu totul alt fel.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre tabelele de mai jos reprezintă mărimi invers proporționale?
- a) $x$ : 1, 2, 4 și $y$ : 20, 10, 5
- b) $x$ : 1, 2, 4 și $y$ : 5, 10, 20
- c) $x$ : 2, 4, 8 și $y$ : 10, 6, 3
- d) $x$ : 3, 6, 9 și $y$ : 12, 9, 6
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x$ : 1, 2, 4 și $y$ : 20, 10, 5

Verificăm produsele. a) $1 \cdot 20 = 20$ , $2 \cdot 10 = 20$ , $4 \cdot 5 = 20$ — toate egale, deci invers proporționale, $k = 20$ . b) raportul $y : x = 5$ e constant, deci e proporționalitate directă, nu inversă. c) $2 \cdot 10 = 20$ dar $4 \cdot 6 = 24$ — produsele diferă. d) $3 \cdot 12 = 36$ dar $6 \cdot 9 = 54$ — produsele diferă. Corect: a.
O sumă de 100 de lei se împarte invers proporțional cu numerele 4 și 6. Care este partea mai mare?
- a) 40 lei
- b) 60 lei
- c) 50 lei
- d) 44 lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 60 lei

Invers proporțional cu 4 și 6 = direct proporțional cu inversele $\frac{1}{4}, \frac{1}{6}$ . Aducem la numitor comun 12: $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ , $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$ . Numărătorii sunt 3 și 2, deci împărțim direct proporțional cu 3 și 2. Suma cântarelor: $3 + 2 = 5$ , unitatea: $100 : 5 = 20$ . Părțile: $3 \cdot 20 = 60$ lei și $2 \cdot 20 = 40$ lei. Numărul cel mai mic (4) primește partea mai mare (60 lei). Corect: b.
Care dintre tabelele de valori de mai jos arată mărimi invers proporționale?
- a) $x$ : 3, 4, 12 și $y$ : 8, 6, 2
- b) $x$ : 3, 4, 12 și $y$ : 2, 6, 8
- c) $x$ : 3, 6, 12 și $y$ : 8, 5, 3
- d) $x$ : 4, 8, 10 și $y$ : 20, 11, 9
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x$ : 3, 4, 12 și $y$ : 8, 6, 2

Verific produsele $x \cdot y$ pentru fiecare tabel. La (a): $3 \cdot 8 = 24$ , $4 \cdot 6 = 24$ , $12 \cdot 2 = 24$ — toate egale, deci mărimile sunt invers proporționale. La celelalte tabele produsele nu sunt constante.

Întrebări conexe

Cum aflu constanta unei proporționalități inverse?

Iei o pereche de valori care se corespund și le înmulțești. Rezultatul este constanta, valabilă pentru toate celelalte perechi. Dacă $4$ muncitori termină lucrarea în $15$ zile, constanta este $60$ , adică volumul de muncă exprimat în zile de lucru ale unei singure persoane.

Ce formă are graficul a două mărimi invers proporționale?

Punctele se așază pe o curbă care coboară, apropiindu-se de axe fără să le atingă niciodată. Cu cât o valoare crește, cu atât cealaltă se micșorează, dar rămâne pozitivă. Curba nu trece prin origine, spre deosebire de dreapta proporționalității directe.

Cum rezolv o problemă cu robinete folosind proporționalitatea inversă?

Afli întâi cantitatea totală de lucru, înmulțind numărul de robinete cu timpul. Apoi împarți acest produs la noul număr de robinete. Dacă $3$ robinete umplu bazinul în $8$ ore, produsul este $24$ , deci $6$ robinete îl umplu în $4$ ore.

De ce numărul mai mic primește partea mai mare la împărțirea invers proporțională?

Pentru că împărțirea se face de fapt direct proporțional cu inversele numerelor date, iar inversul unui număr mic este mare. La împărțirea invers proporțională cu $2$ și cu $3$ lucrezi cu $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{3}$ , deci primul primește mai mult.

Ce legătură au mărimile invers proporționale cu inversul unui număr?

Legătura $x \cdot y = k$ se poate scrie $y = k \cdot \frac{1}{x}$ , ceea ce arată că a doua mărime este direct proporțională cu inversul primeia. Din acest motiv orice problemă de proporționalitate inversă se poate rescrie ca una directă, folosind inversele valorilor.

Cum arată un tabel de valori invers proporționale?

Pe primul rând valorile cresc, pe al doilea scad, iar coloana cu coloană produsele ies identice. Verificarea se face înmulțind fiecare pereche: dacă apare un produs diferit, tabelul nu descrie o proporționalitate inversă, chiar dacă tendințele par potrivite.

Oamenii mai întreabă și: mărimi invers proporționale · ce înseamnă invers proporțional · produs constant între două mărimi · proporționalitate inversă