Mărimi invers proporționale

Ai observat vreodată că, dacă la o curățenie generală vin mai mulți prieteni să te ajute, treaba se termină mult mai repede? Sau că, dacă mergi cu bicicleta mai repede, ajungi mai devreme la teren? În toate aceste situații, când o mărime crește, cealaltă scade. Exact despre asta este lecția de azi: mărimile invers proporționale. După ce o parcurgi, vei recunoaște rapid acest tip de legătură și vei ști să împarți o cantitate în părți invers proporționale, o competență foarte utilă la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști când două mărimi sunt invers proporționale folosind regula produsului constant.
Vei ști să deosebești proporționalitatea inversă de cea directă, ca să nu le confunzi niciodată.
Vei ști să completezi un tabel de valori invers proporționale și să afli o valoare necunoscută.
Vei ști să rezolvi probleme reale cu muncitori și timp de lucru, sau cu viteză și timp pe o distanță fixă.
Vei ști să împarți o cantitate în părți invers proporționale cu mai multe numere date.

Hai să descoperim împreună

Pornim de la o întrebare simplă

Imaginează-ți că ai de aranjat 12 lăzi cu cărți la bibliotecă. Munca totală este aceeași — cele 12 lăzi trebuie cărate, indiferent câți sunteți. Hai să ne gândim împreună:

Dacă lucrezi singur, cari toate cele 12 lăzi: îți revin 12 lăzi.
Dacă sunteți 2 prieteni, vă împărțiți: fiecare cară 6 lăzi.
Dacă sunteți 3, fiecare cară 4 lăzi.
Dacă sunteți 4, fiecare cară 3 lăzi.
Dacă sunteți 6, fiecare cară 2 lăzi.

Observă tiparul: când numărul de copii crește, numărul de lăzi de fiecare scade. Asta e prima idee importantă. Dar atenție — nu orice „una crește, alta scade" înseamnă proporționalitate inversă. Avem nevoie de o regulă precisă.

Regula de aur: produsul rămâne constant

Hai să înmulțim, la fiecare situație, cele două numere:

1 copil × 12 lăzi = 12
2 copii × 6 lăzi = 12
3 copii × 4 lăzi = 12
4 copii × 3 lăzi = 12
6 copii × 2 lăzi = 12

Surpriză frumoasă: produsul este mereu același, 12! Acel 12 este, de fapt, numărul total de lăzi — munca totală care nu se schimbă.

Aceasta este cheia întregii lecții:

Două mărimi sunt invers proporționale dacă produsul valorilor lor corespunzătoare este constant (mereu același număr).

Dacă notăm cele două mărimi cu $x$ și $y$ , condiția se scrie scurt și elegant:

$x \cdot y = k,$

unde $k$ este un număr fix, numit constantă de proporționalitate inversă (în exemplul nostru, $k = 12$ ).

O comparație care te ajută să nu confunzi

În lecția anterioară, Mărimi direct proporționale, ai învățat că la mărimile direct proporționale raportul rămâne constant: $\frac{y}{x} = k$ . Acolo, când una crește, și cealaltă crește (de exemplu, cumperi mai multe caiete, plătești mai mult).

La mărimile invers proporționale e pe dos: rămâne constant produsul, $x \cdot y = k$ , iar când una crește, cealaltă scade. Ține minte tabelul-fulger:

Tip de proporționalitate	Ce rămâne constant	Cum se mișcă
Directă	raportul $\frac{y}{x}$	cresc împreună / scad împreună
Inversă	produsul $x \cdot y$	una crește, cealaltă scade

De ce produsul, și nu raportul?

Hai să gândim logic, ca un matematician adevărat. Dacă munca totală (lăzile de cărat) este fixă, atunci „număr de copii × lăzi de fiecare" trebuie să dea mereu totalul. E ca o tăietură de tort: tortul are o mărime fixă; dacă îl tai în mai multe felii, fiecare felie e mai mică, dar toate feliile adunate (sau, aici, produsul potrivit) dau tot tortul. Numărul de oameni și partea fiecăruia se „echilibrează" astfel încât produsul lor să rămână constant.

Exemple din viața de zi cu zi

Hai să vedem și alte perechi de mărimi invers proporționale, ca să ți se fixeze ideea prin repetare în contexte diferite:

1) Muncitori și timp de lucru. O lucrare are de făcut o cantitate fixă de muncă. Cu cât sunt mai mulți muncitori (care lucrează la fel de repede), cu atât se termină mai repede.

2 muncitori → 18 zile, pentru că $2 \cdot 18 = 36$ .
3 muncitori → 12 zile, pentru că $3 \cdot 12 = 36$ .
6 muncitori → 6 zile, pentru că $6 \cdot 6 = 36$ .

Produsul constant $k = 36$ reprezintă „munca totală", măsurată în muncitori·zile (numite uneori „om-zile").

2) Viteză și timp, pe o distanță fixă. Drumul de acasă la bunici este același, să zicem 120 km. Cu cât mergi mai repede, cu atât ajungi mai devreme.

cu 40 km/h → 3 ore, pentru că $40 \cdot 3 = 120$ .
cu 60 km/h → 2 ore, pentru că $60 \cdot 2 = 120$ .
cu 120 km/h → 1 oră, pentru că $120 \cdot 1 = 120$ .

Aici produsul constant este chiar distanța, $k = 120$ km. Reține: viteza și timpul sunt invers proporționale doar dacă distanța rămâne fixă.

3) Numărul de cutii și câte bomboane intră în fiecare, dacă ai un total fix de bomboane. Cu 60 de bomboane: 5 cutii înseamnă 12 bomboane/cutie ( $5 \cdot 12 = 60$ ), iar 6 cutii înseamnă 10 bomboane/cutie ( $6 \cdot 10 = 60$ ).

4) Debitul unui robinet și timpul de umplere al unui bazin de capacitate fixă. Un robinet mai puternic (debit mare) umple bazinul în mai puțin timp; debit × timp = capacitatea bazinului.

5) Numărul de zile de vacanță și banii de cheltuit pe zi, dacă ai un buget fix. Cu 240 de lei buget: dacă vacanța ține 4 zile, poți cheltui 60 lei/zi ( $4 \cdot 60 = 240$ ); dacă ține 6 zile, doar 40 lei/zi ( $6 \cdot 40 = 240$ ); dacă ține 8 zile, 30 lei/zi ( $8 \cdot 30 = 240$ ). Mai multe zile → mai puțini bani pe zi. Produsul constant este chiar bugetul, $k = 240$ lei.

Ai observat ceva frumos în toate aceste cinci exemple? În fiecare, constanta $k$ are o semnificație concretă: e munca totală, distanța, capacitatea sau bugetul. Asta te ajută enorm: când vrei să afli $k$ , te întrebi „care e cantitatea totală care nu se schimbă în problemă?". De cele mai multe ori, ea e chiar constanta căutată.

Cum verifici dacă două mărimi sunt invers proporționale

Ai un tabel cu valori? Procedează în 3 pași simpli:

Înmulțește fiecare pereche de valori corespunzătoare ( $x$ cu $y$ -ul lui).
Compară produsele obținute.
Decide: dacă toate produsele sunt egale, mărimile sunt invers proporționale, iar acel produs comun este constanta $k$ . Dacă măcar un produs diferă, NU sunt invers proporționale.

Hai să exersăm verificarea pe un tabel:

$x$	2	4	5	10
$y$	30	15	12	6

Calculăm: $2 \cdot 30 = 60$ , $4 \cdot 15 = 60$ , $5 \cdot 12 = 60$ , $10 \cdot 6 = 60$ . Toate dau 60, deci da, sunt invers proporționale, cu $k = 60$ .

Cum afli o valoare lipsă

Dacă știi că două mărimi sunt invers proporționale și îți lipsește un număr din tabel, folosești faptul că produsul e constant. Mai întâi afli constanta $k$ dintr-o pereche completă, apoi împarți $k$ la valoarea cunoscută din perechea incompletă.

De exemplu: $x$ și $y$ sunt invers proporționale; știi că pentru $x = 8$ avem $y = 9$ , și cauți $y$ când $x = 6$ .

Afli constanta: $k = 8 \cdot 9 = 72$ .
Pentru $x = 6$ : $6 \cdot y = 72$ , deci $y = 72 : 6 = 12$ .

Gata! Când $x = 6$ , $y = 12$ . Verificare rapidă: $6 \cdot 12 = 72$ . Corect.

Marea provocare: împărțirea în părți invers proporționale

Acum trecem la cea mai importantă aplicație a lecției. Ce înseamnă să împarți o cantitate în părți invers proporționale cu niște numere date?

Imaginează-ți o recompensă de 110 lei care trebuie împărțită la 3 colegi, invers proporțional cu numărul de greșeli pe care le-au făcut la un test (cine a greșit mai puțin primește mai mult — corect și motivant!). Numerele de greșeli sunt 2, 3 și 6.

„Invers proporțional cu 2, 3 și 6" înseamnă: părțile sunt direct proporționale cu inversele acestor numere, adică cu $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{6}$ . Iată ideea-cheie pe care trebuie să o ții minte:

A împărți invers proporțional cu numerele $a, b, c$ înseamnă a împărți direct proporțional cu inversele lor $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ .

E logic: cine are numărul mai mic (mai puține greșeli) trebuie să primească partea mai mare. Inversul unui număr mic este mare, deci primește mai mult. Perfect.

Metoda pas cu pas (cu inverse aduse la același numitor):

Scrie inversele: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$ .
Adu-le la același numitor ca să le poți compara ușor. Numitorul comun al lui 2, 3 și 6 este 6: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \frac{1}{3} = \frac{2}{6}, \frac{1}{6} = \frac{1}{6} .$
Acum, fiindcă au același numitor, contează doar numărătorii: 3, 2 și 1. A împărți invers proporțional cu 2, 3, 6 este același lucru cu a împărți direct proporțional cu 3, 2, 1. (Vezi cum numărul cel mai mic, 2, a primit cel mai mare „cântar", 3? Exact ce voiam.)
Folosește metoda de la Mărimi direct proporționale și Șir de rapoarte egale. Suma cântarelor: $3 + 2 + 1 = 6$ . O parte (valoarea unei „unități") este $110 : 6$ ... atenție, nu iese întreg, deci hai să alegem numere care ies frumos — vom face asta în exemple. Ideea metodei rămâne identică.

Nu-ți face griji dacă pare mult — în secțiunea Exemple rezolvate vei vedea totul lucrat pas cu pas, cu numere alese frumos. Citește-le pe rând, cu creionul în mână.

O scurtă poveste ca să fixezi ideea

Trei prieteni — Andrei, Bianca și Carol — au câștigat împreună la un concurs de robotică un premiu în bani. Profesoara a hotărât să împartă premiul invers proporțional cu numărul de greșeli de programare ale fiecăruia, ca să-i răsplătească pe cei mai atenți. Andrei a făcut 1 greșeală, Bianca 2, iar Carol 4. „Stai puțin," a zis Carol, „eu am făcut cele mai multe greșeli, deci eu primesc cel mai puțin?" Exact! La proporționalitatea inversă, cine are numărul mai mare primește partea mai mică. Andrei, cu o singură greșeală, are cel mai mare invers ( $\frac{1}{1} = 1$ , față de $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$ ), așa că ia partea cea mai consistentă. Vei calcula chiar tu, în exerciții, cât primește fiecare dacă premiul ar fi, de pildă, de 70 de lei.

Cum „arată" proporționalitatea inversă

La mărimile direct proporționale, dacă pui punctele pe o hârtie cu pătrățele, ele stau pe o linie dreaptă care urcă. La cele invers proporționale, punctele coboară, dar nu pe o dreaptă — coboară lin, apropiindu-se tot mai mult de axe fără să le atingă (o curbă numită hiperbolă, pe care o vei studia mai târziu). Important pentru tine acum: la invers proporțional graficul coboară, iar produsul $x \cdot y$ rămâne mereu același.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificăm dacă sunt invers proporționale

Mărimile din tabel sunt invers proporționale? Justifică.

$x$	3	4	6	9
$y$	24	18	12	8

Gândim împreună. Regula spune: invers proporționale ⇔ produsul $x \cdot y$ este constant. Calculăm fiecare produs:

$3 \cdot 24 = 72$
$4 \cdot 18 = 72$
$6 \cdot 12 = 72$
$9 \cdot 8 = 72$

Toate produsele sunt egale cu 72. Prin urmare, da, mărimile sunt invers proporționale, cu constanta $k = 72$ .

Exemplul 2 — Capcana: arată că NU sunt invers proporționale

Sunt invers proporționale mărimile din tabel?

$x$	2	5	10
$y$	20	8	5

Gândim. Calculăm produsele: $2 \cdot 20 = 40$ , $5 \cdot 8 = 40$ , dar $10 \cdot 5 = 50$ .

Primele două dau 40, dar al treilea dă 50. Fiindcă nu toate produsele sunt egale, NU sunt invers proporționale. (Atenție: e suficient ca un singur produs să fie diferit ca răspunsul să fie „nu".)

Exemplul 3 — Aflăm o valoare lipsă

Mărimile $x$ și $y$ sunt invers proporționale. Completează tabelul:

$x$	5	15	$a$
$y$	18	$b$	10

Pas 1 — aflăm constanta dintr-o pereche completă. Avem $x = 5$ , $y = 18$ , deci $k = 5 \cdot 18 = 90$ .

Pas 2 — aflăm $b$ (perechea $x = 15$ ): $15 \cdot b = 90 \Rightarrow b = 90 : 15 = 6$ .

Pas 3 — aflăm $a$ (perechea $y = 10$ ): $a \cdot 10 = 90 \Rightarrow a = 90 : 10 = 9$ .

Răspuns: $a = 9$ , $b = 6$ . Verificare: $15 \cdot 6 = 90$ și $9 \cdot 10 = 90$ . Corect.

Exemplul 4 — Muncitori și timp de lucru

8 muncitori termină de zugrăvit o sală în 15 zile. În câte zile ar termina aceeași sală 10 muncitori, lucrând la fel de repede?

Gândim. Munca totală e fixă, iar numărul de muncitori și timpul sunt invers proporționale (mai mulți muncitori → mai puține zile). Deci produsul „muncitori × zile" rămâne constant.

Pas 1 — munca totală: $k = 8 \cdot 15 = 120$ (om-zile).

Pas 2 — pentru 10 muncitori: $10 \cdot t = 120 \Rightarrow t = 120 : 10 = 12$ zile.

Răspuns: 10 muncitori termină în 12 zile. Are sens: mai mulți oameni, mai puține zile — de la 15 la 12.

Exemplul 5 — Viteză și timp pe distanță fixă

Un biciclist parcurge traseul dintre două sate în 2 ore, mergând cu viteza medie de 18 km/h. Dacă ar merge cu 12 km/h, în cât timp ar parcurge același traseu?

Gândim. Distanța e aceeași, deci viteza și timpul sunt invers proporționale: viteză × timp = distanță = constant.

Pas 1 — distanța: $k = 18 \cdot 2 = 36$ km.

Pas 2 — la 12 km/h: $12 \cdot t = 36 \Rightarrow t = 36 : 12 = 3$ ore.

Răspuns: ar parcurge traseul în 3 ore. Logic: viteză mai mică → timp mai mare (de la 2 la 3 ore).

Exemplul 6 — Împărțire în părți invers proporționale

Un premiu de 78 de lei se împarte la trei elevi invers proporțional cu numărul de absențe ale fiecăruia: 2, 3 și respectiv 4 absențe (cine a lipsit mai puțin primește mai mult). Cât primește fiecare?

Pas 1 — trecem la inverse. Invers proporțional cu 2, 3, 4 înseamnă direct proporțional cu $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ .

Pas 2 — același numitor. Numitorul comun al lui 2, 3, 4 este 12: $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}, \frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \frac{1}{4} = \frac{3}{12} .$ Numărătorii sunt 6, 4, 3. Deci împărțim direct proporțional cu 6, 4 și 3.

Pas 3 — folosim șirul de rapoarte egale. Notăm părțile $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ . Atunci: $\frac{p _{1}}{6} = \frac{p _{2}}{4} = \frac{p _{3}}{3} = \frac{p _{1} + p _{2} + p _{3}}{6 + 4 + 3} = \frac{78}{13} = 6.$

Valoarea unei unități este $78 : 13 = 6$ lei. De aici aflăm fiecare parte înmulțind cântarul cu unitatea:

$p_{1} = 6 \cdot 6 = 36$ lei (elevul cu 2 absențe),
$p_{2} = 4 \cdot 6 = 24$ lei (elevul cu 3 absențe),
$p_{3} = 3 \cdot 6 = 18$ lei (elevul cu 4 absențe).

Verificare: $36 + 24 + 18 = 78$ ✓. Și cine a lipsit cel mai puțin (2 absențe) primește cel mai mult (36 lei).

Sfat de examen: când împarți invers proporțional, întâi treci la inverse aduse la același numitor, apoi tratezi problema ca o împărțire directă cu numărătorii obținuți. Așa nu te încurci niciodată.

O metodă alternativă (scurtătură) pentru împărțirea inversă

Există și o cale rapidă, fără fracții, care îți place dacă ești bun la calcul mintal. Reține pașii pe exemplul „împarte 78 invers proporțional cu 2, 3, 4":

Calculează produsul tuturor numerelor: $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ . (Acesta e un numitor comun garantat.)
Împarte produsul la fiecare număr ca să obții „cântarele": $24 : 2 = 12$ , $24 : 3 = 8$ , $24 : 4 = 6$ .
Acum împarte 78 direct proporțional cu 12, 8, 6. Suma: $12 + 8 + 6 = 26$ ; unitatea $78 : 26 = 3$ .
Părțile: $12 \cdot 3 = 36$ , $8 \cdot 3 = 24$ , $6 \cdot 3 = 18$ — exact ca înainte!

Vezi? Indiferent de metodă (numitor comun sau produsul tuturor numerelor), rezultatul e același. Alege metoda cu care te simți mai sigur.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Scrie de fiecare dată justificarea, nu doar răspunsul.

1. Calculează produsul fiecărei perechi și spune dacă mărimile sunt invers proporționale:

$x$	2	4	8
$y$	12	6	3

2. Adevărat sau fals? „Dacă o mărime crește și cealaltă scade, atunci ele sunt sigur invers proporționale." Justifică pe scurt.

3. Completează spațiile: la mărimi invers proporționale rămâne constant ______, iar la mărimi direct proporționale rămâne constant ______.

4. Mărimile $x$ și $y$ sunt invers proporționale, cu $k = 48$ . Completează tabelul:

$x$	4	6	8	12
$y$	?	?	?	?

5. $x$ și $y$ sunt invers proporționale. Știind că pentru $x = 7$ avem $y = 6$ , află $y$ când $x = 3$ .

6. Încercuiește tabelul care reprezintă mărimi invers proporționale:

a) $x$ : 1, 2, 3 și $y$ : 12, 6, 4
b) $x$ : 1, 2, 3 și $y$ : 5, 10, 15

7. 6 muncitori sapă un șanț în 10 ore. În câte ore ar termina același șanț 12 muncitori, lucrând la fel?

8. O mașină parcurge un drum în 4 ore cu viteza de 75 km/h. Care e lungimea drumului? Cu ce viteză ar trebui să meargă pentru a-l parcurge în 5 ore?

9. Un robinet umple un bazin în 8 ore. Câte robinete identice umplu același bazin în 2 ore?

10. Potrivește fiecare situație cu tipul de proporționalitate (direct / invers): a) numărul de caiete cumpărate și banii plătiți; b) numărul de muncitori și timpul de terminare a unei lucrări; c) viteza și timpul pe o distanță fixă; d) numărul de kilograme de mere și prețul total.

11. Suma 60 se împarte invers proporțional cu numerele 2 și 3. Află cele două părți.

12. Suma 100 se împarte invers proporțional cu numerele 2, 4 și 5. Află cele trei părți.

13. Adevărat sau fals? „La împărțirea invers proporțională, numărul cel mai mic primește partea cea mai mare." Justifică.

14. Pentru a transporta niște marfă, 9 camioane fac câte 8 drumuri fiecare. Câte drumuri ar face fiecare dacă ar fi 12 camioane (aceeași marfă, camioane identice)?

15. $x$ și $y$ sunt invers proporționale. Completează:

$x$	5	$a$	20
$y$	24	15	$b$

16. O lucrare este terminată de 4 muncitori în 9 zile. Patronul vrea să o termine în 6 zile. Câți muncitori sunt necesari?

17. Suma 130 se împarte invers proporțional cu numerele 2, 3 și 6. Află cele trei părți. (Indiciu: numitor comun 6.)

18. Problemă de gândire: două mărimi au produsul valorilor mereu egal cu 100. Dacă una dintre valori se dublează, ce se întâmplă cu cealaltă? Explică folosind regula produsului constant.

19. Suma 90 se împarte invers proporțional cu numerele 3, 4 și 6. Află cele trei părți. (Indiciu: numitor comun 12 — vei obține numere întregi frumoase.)

20. 15 muncitori construiesc un zid în 8 zile. Câți muncitori ar fi necesari pentru a construi același zid în 6 zile, lucrând la fel de repede?

Răspunsuri și explicații

1. $2 \cdot 12 = 24$ , $4 \cdot 6 = 24$ , $8 \cdot 3 = 24$ . Toate egale cu 24 → da, invers proporționale, $k = 24$ .

2. Fals. „Una crește, cealaltă scade" e necesar, dar nu suficient. Trebuie ca produsul să fie constant. De exemplu, $x$ : 1, 2 și $y$ : 10, 8 — aici $y$ scade, dar $1 \cdot 10 = 10 \neq = 2 \cdot 8 = 16$ , deci nu sunt invers proporționale.

3. Invers proporționale → constant produsul ( $x \cdot y$ ); direct proporționale → constant raportul ( $y : x$ ).

4. $k = 48$ , deci $y = 48 : x$ . Obținem: $48 : 4 = 12$ ; $48 : 6 = 8$ ; $48 : 8 = 6$ ; $48 : 12 = 4$ . Tabelul: 12, 8, 6, 4. Verificare: fiecare produs e 48.

5. $k = 7 \cdot 6 = 42$ . Pentru $x = 3$ : $y = 42 : 3 = 14$ .

6. a) $1 \cdot 12 = 12$ , $2 \cdot 6 = 12$ , $3 \cdot 4 = 12$ → invers proporționale. b) este direct proporțional ( $y : x = 5$ constant). Răspuns: a).

7. Muncitori × ore = constant: $k = 6 \cdot 10 = 60$ . Pentru 12 muncitori: $t = 60 : 12 = 5$ ore.

8. Lungimea: $75 \cdot 4 = 300$ km. Pentru 5 ore: $v = 300 : 5 = 60$ km/h.

9. Un robinet × 8 ore = 8 „robinet-ore" de muncă; pentru 2 ore: $n \cdot 2 = 8 \Rightarrow n = 4$ robinete.

10. a) direct; b) invers; c) invers; d) direct.

11. Invers proporțional cu 2 și 3 = direct proporțional cu $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} = \frac{3}{6}, \frac{2}{6}$ , deci cu 3 și 2. Unitatea: $60 : (3 + 2) = 12$ . Părțile: $3 \cdot 12 = 36$ și $2 \cdot 12 = 24$ . Verificare: $36 + 24 = 60$ ✓.

12. Inversele lui 2, 4, 5 la numitor comun 20: $\frac{10}{20}, \frac{5}{20}, \frac{4}{20}$ → numărătorii 10, 5, 4. Unitatea: $100 : (10 + 5 + 4) = 100 : 19$ ... nu iese întreg. Lucrăm exact: unitatea $= \frac{100}{19}$ . Părțile: $\frac{1000}{19} \approx 52, 6$ ; $\frac{500}{19} \approx 26, 3$ ; $\frac{400}{19} \approx 21, 1$ . Valori exacte: $\frac{1000}{19}, \frac{500}{19}, \frac{400}{19}$ (suma $= \frac{1900}{19} = 100$ ✓). Observație: la examen numerele sunt de obicei alese ca să iasă întregi; aici am vrut să exersezi și cazul cu fracții.

13. Adevărat. Invers proporțional cu numerele înseamnă direct proporțional cu inversele lor; inversul numărului mic este cel mai mare, deci primește partea cea mai mare.

14. Camioane × drumuri = constant: $k = 9 \cdot 8 = 72$ . Pentru 12 camioane: $72 : 12 = 6$ drumuri fiecare.

15. $k = 5 \cdot 24 = 120$ . Pentru $y = 15$ : $a = 120 : 15 = 8$ . Pentru $x = 20$ : $b = 120 : 20 = 6$ .

16. Munca: $k = 4 \cdot 9 = 36$ om-zile. Pentru 6 zile: $n = 36 : 6 = 6$ muncitori.

17. Inversele lui 2, 3, 6 la numitor comun 6: $\frac{3}{6}, \frac{2}{6}, \frac{1}{6}$ → numărătorii 3, 2, 1. Unitatea: $130 : (3 + 2 + 1) = 130 : 6$ ... nu iese întreg, deci părțile sunt $\frac{390}{6} = 65$ , $\frac{260}{6} \approx 43, 3$ , $\frac{130}{6} \approx 21, 7$ . Valori exacte: $65, \frac{130}{3}, \frac{65}{3}$ (suma $= 130$ ✓). La un total „prietenos" precum 120, ar ieși 60, 40, 20 — încearcă și varianta asta!

18. Dacă produsul e mereu 100 și o valoare se dublează, cealaltă trebuie să se înjumătățească, ca produsul să rămână 100. Exemplu: de la $10 \cdot 10 = 100$ la $20 \cdot 5 = 100$ . Asta arată comportamentul tipic invers proporțional.

19. Inversele lui 3, 4, 6 la numitor comun 12: $\frac{4}{12}, \frac{3}{12}, \frac{2}{12}$ → numărătorii 4, 3, 2. Unitatea: $90 : (4 + 3 + 2) = 90 : 9 = 10$ . Părțile: $4 \cdot 10 = 40$ , $3 \cdot 10 = 30$ , $2 \cdot 10 = 20$ . Verificare: $40 + 30 + 20 = 90$ ✓ (numărul cel mai mic, 3, a primit partea cea mai mare, 40).

20. Muncitori × zile = constant: $k = 15 \cdot 8 = 120$ om-zile. Pentru 6 zile: $n = 120 : 6 = 20$ muncitori. Are sens: mai puține zile → mai mulți muncitori (de la 15 la 20).

De reținut

Două mărimi sunt invers proporționale dacă produsul valorilor corespunzătoare este constant: $x \cdot y = k$ .
La mărimi invers proporționale, când una crește, cealaltă scade (dar verifică mereu produsul, nu doar tendința!).
Diferența-cheie: direct = raport constant; invers = produs constant.
Pentru o valoare lipsă: află $k$ dintr-o pereche completă, apoi $y = k : x$ (sau $x = k : y$ ).
A împărți invers proporțional cu $a, b, c$ = a împărți direct proporțional cu inversele $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ (adu-le la același numitor și folosește numărătorii).

Greșeli frecvente

Confunzi inversul cu directul. Crezi că „una crește, cealaltă scade" e de ajuns. Nu este! Calculează produsele — doar dacă sunt toate egale, mărimile sunt invers proporționale.
Împarți direct proporțional în loc de invers. La împărțirea invers proporțională, NU folosi numerele date direct ca „cântare"; treci mai întâi la inversele lor. Altfel cel cu numărul mare primește, greșit, partea mare.
Uiți condiția „distanță fixă" / „muncă fixă". Viteza și timpul sunt invers proporționale doar pe aceeași distanță; muncitorii și timpul doar pentru aceeași lucrare. Dacă se schimbă totalul, regula nu se mai aplică direct.
Greșești numitorul comun la inverse. Când aduci $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ la același numitor, fii atent să folosești un numitor comun corect; o eroare aici strică toate părțile.

Joc acasă

1) Experimentul cu mărgelele (produsul constant). Ia 24 de mărgele (sau boabe de fasole). Așază-le în rânduri egale: 2 rânduri a câte 12, apoi 3 rânduri a câte 8, apoi 4 rânduri a câte 6, apoi 6 rânduri a câte 4. De fiecare dată înmulțește numărul de rânduri cu numărul din fiecare rând — vei obține mereu 24! Ai descoperit chiar regula produsului constant.

2) Cronometrul curățeniei. Cu ajutorul familiei, cronometrați (estimativ) cât durează să strângeți jucăriile/cărțile dacă lucrează 1 persoană, apoi 2, apoi 3. Notați într-un tabel. Discutați: timpul scade pe măsură ce sunt mai mulți? Înmulțiți „persoane × timp" și vedeți cât de aproape e produsul de constant.

3) Tortul felii. Tăiați (sau desenați) un „tort" și împărțiți-l invers proporțional cu vârsta a doi membri ai familiei — cine e mai mic primește felia mai mare. Calculați părțile dintr-un total ales de voi (de exemplu 30 de „bucățele") și verificați că suma dă totalul.

Pentru părinți și învățători

Ideea centrală pe care trebuie să o stăpânească elevul este regula produsului constant ( $x \cdot y = k$ ) și contrastul cu proporționalitatea directă (raport constant). Mulți elevi rețin doar „una crește, cealaltă scade" — insistați să verifice mereu prin produs, pentru că tendința singură nu garantează proporționalitatea inversă (vezi Exercițiul 2).

Întrebări de pus elevului:

„Ce rămâne constant aici — produsul sau raportul? Cum verifici?"
„Dacă numărul de muncitori se dublează, ce se întâmplă cu timpul? De ce?"
„De ce, la împărțirea invers proporțională, întâi trecem la inverse?"

Cum sprijiniți: Folosiți contexte concrete (muncitori, viteză/timp, robinete) și cereți-i să povestească logica înainte de a calcula. La împărțirea invers proporțională, ajutați-l să scrie clar pasul „trec la inverse aduse la același numitor", apoi tratează problema ca o împărțire directă (subiect deja exersat la Șir de rapoarte egale).

Cum verificați înțelegerea: Dați-i o pereche de tabele (unul direct, unul invers) și cereți-i să le clasifice cu justificare. Dacă explică de ce produsul/raportul e constant — nu doar că este — a înțeles cu adevărat. Lecția pregătește direct Regula de trei simplă, unde se aplică ambele tipuri de proporționalitate.

Întrebări frecvente

Ce sunt mărimile invers proporționale la clasa a 6-a? Sunt două mărimi a căror legătură face ca, atunci când una crește, cealaltă să scadă, astfel încât produsul valorilor lor corespunzătoare să rămână constant: $x \cdot y = k$ . Exemplu clasic: numărul de muncitori și timpul de lucru pentru aceeași lucrare.

Cum recunosc dacă două mărimi sunt invers proporționale? Înmulțește fiecare pereche de valori corespunzătoare. Dacă toate produsele sunt egale, mărimile sunt invers proporționale, iar produsul comun este constanta $k$ . Dacă măcar un produs diferă, nu sunt invers proporționale.

Care e diferența dintre mărimi direct și invers proporționale? La cele direct proporționale rămâne constant raportul ( $y : x$ ) și mărimile cresc sau scad împreună. La cele invers proporționale rămâne constant produsul ( $x \cdot y$ ), iar când una crește, cealaltă scade.

De ce viteza și timpul sunt invers proporționale? Pentru că, pe o distanță fixă, viteză × timp = distanță = constant. Dacă mergi mai repede (viteză mai mare), ai nevoie de mai puțin timp ca să parcurgi același drum, deci produsul rămâne egal cu lungimea drumului.

Cum împart o cantitate în părți invers proporționale? Treci de la numerele date la inversele lor, adu inversele la același numitor și folosește numărătorii obținuți ca într-o împărțire direct proporțională (cu șir de rapoarte egale). Numărul cel mai mic va primi partea cea mai mare.

Ce înseamnă „produsul valorilor este constant"? Înseamnă că, oricare pereche de valori corespunzătoare ai înmulți, obții mereu același număr. Acel număr fix se numește constantă de proporționalitate inversă și reprezintă, de obicei, o cantitate totală fixă (distanță, muncă, capacitate).

Mai mulți muncitori înseamnă întotdeauna mai puțin timp? Dacă muncitorii lucrează la fel de repede și lucrarea este aceeași, da: numărul de muncitori și timpul sunt invers proporționale, iar produsul „muncitori × timp" (om-zile) rămâne constant. Astfel, dublarea muncitorilor înjumătățește timpul.

Unde folosesc proporționalitatea inversă mai departe? O vei aplica imediat la Regula de trei simplă și în probleme recapitulative cu rapoarte, proporții și procente, precum și la Evaluarea Națională, unde apar des contexte cu muncitori, viteză sau debit.