Un chioșc vinde o sticlă de apă cu $$3$$ lei. Notăm cu $$x$$ numărul de sticle cumpărate și cu $$y$$ suma plătită. Este $$y$$ o funcție de $$x$$?

Da, pentru că fiecărui $$x$$ îi corespunde exact o valoare $$y = 3x$$

Nu, pentru că prețul unei sticle se poate schimba oricând

Nu, pentru că $$x$$ poate fi orice număr natural

Da, dar numai dacă numărul de sticle este par

Fie $$A = \{m, n, p\}$$ și $$B = \{1, 2, 3\}$$, cu săgețile: $$m \to 1$$, $$n \to 2$$, $$n \to 3$$, $$p \to 1$$. Este această corespondență funcție de la $$A$$ la $$B$$?

Nu, pentru că elementul $$n$$ are două corespondente ($$2$$ și $$3$$)

Da, pentru că fiecare element din $$B$$ are un corespondent în $$A$$

Nu, pentru că elementul $$p$$ rămâne fără corespondent

Da, pentru că $$m$$ și $$p$$ au același corespondent

Fie $$A = \{x, y, z\}$$ și corespondența: $$x \to 3$$, $$y \to 3$$, $$z \to 3$$. Este aceasta o funcție de la $$A$$ la $$B$$?

Da, pentru că fiecare element din $$A$$ are exact o valoare

Nu, pentru că toate elementele ajung în același loc

Nu, pentru că mulțimea $$B$$ ar trebui să aibă cel puțin $$3$$ elemente

Nu, o funcție nu poate fi constantă

Ce este o funcție și cum o recunosc?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Ce este o funcție?

O funcție leagă două mulțimi astfel încât fiecare element din prima primește un rezultat și numai unul din a doua. O recunoști după acest test: din fiecare punct de plecare trebuie să pornească exact o săgeată, nici zero, nici două. Pentru $A = {1, 2, 3}$ și regula dublului obții $2$ , $4$ și $6$ , deci este funcție. Faptul că unele elemente din mulțimea de sosire rămân neatinse nu strică nimic.

O funcție este o corespondență între două mulțimi — $A$ (mulțimea de plecare) și $B$ (mulțimea de sosire) — prin care fiecărui element din $A$ i se asociază un singur element din $B$ . Se scrie $f : A \to B$ și se citește „funcția $f$ definită pe $A$ cu valori în $B$ ”.

Testul vizual e simplu: din fiecare punct de plecare trebuie să plece exact o săgeată — nici zero (element „uitat”), nici două (răspuns dublu).

Exemplu minimal. Fie $A = {1, 2, 3}$ , $B = {2, 4, 6, 8}$ și regula „dublul numărului”: $f (x) = 2 x$ . Atunci $f (1) = 2$ , $f (2) = 4$ , $f (3) = 6$ — fiecare element din $A$ primește exact o valoare, deci este funcție (nu contează că $8$ rămâne neatins).

Atenție: două elemente diferite din $A$ pot avea aceeași valoare în $B$ — asta nu strică definiția!

De reținut

$f : A \to B$ — fiecărui element din $A$ îi corespunde exact unul din $B$
din fiecare element de plecare pleacă o singură săgeată
două elemente diferite pot avea același rezultat

Greșeala tipică

Se crede că toate elementele mulțimii de sosire trebuie folosite. Definiția cere doar ca fiecare element de plecare să aibă un rezultat, iar elementele neatinse din dreapta sunt permise.

Exerciții din această mini-lecție

Un chioșc vinde o sticlă de apă cu $3$ lei. Notăm cu $x$ numărul de sticle cumpărate și cu $y$ suma plătită. Este $y$ o funcție de $x$ ?
- a) Da, pentru că fiecărui $x$ îi corespunde exact o valoare $y = 3 x$
- b) Nu, pentru că prețul unei sticle se poate schimba oricând
- c) Nu, pentru că $x$ poate fi orice număr natural
- d) Da, dar numai dacă numărul de sticle este par
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, pentru că fiecărui $x$ îi corespunde exact o valoare $y = 3 x$

Pentru fiecare număr de sticle $x$ există o singură sumă bine determinată $y = 3 x$ (la $2$ sticle, $y = 6$ ; la $5$ sticle, $y = 15$ etc.). Fiindcă fiecare „intrare” are exact o „ieșire”, avem o dependență funcțională.
Fie $A = {m, n, p}$ și $B = {1, 2, 3}$ , cu săgețile: $m \to 1$ , $n \to 2$ , $n \to 3$ , $p \to 1$ . Este această corespondență funcție de la $A$ la $B$ ?
- a) Da, pentru că fiecare element din $B$ are un corespondent în $A$
- b) Nu, pentru că elementul $n$ are două corespondente ( $2$ și $3$ )
- c) Nu, pentru că elementul $p$ rămâne fără corespondent
- d) Da, pentru că $m$ și $p$ au același corespondent
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că elementul $n$ are două corespondente ( $2$ și $3$ )

Din elementul $n$ pleacă două săgeți (spre $2$ și spre $3$ ), deci $n$ are doi corespondenți. Definiția cere ca fiecare element din mulțimea de plecare să aibă exact un corespondent, așa că această corespondență nu este funcție.
Fie $A = {x, y, z}$ și corespondența: $x \to 3$ , $y \to 3$ , $z \to 3$ . Este aceasta o funcție de la $A$ la $B$ ?
- a) Da, pentru că fiecare element din $A$ are exact o valoare
- b) Nu, pentru că toate elementele ajung în același loc
- c) Nu, pentru că mulțimea $B$ ar trebui să aibă cel puțin $3$ elemente
- d) Nu, o funcție nu poate fi constantă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, pentru că fiecare element din $A$ are exact o valoare

Fiecare element al lui $A$ ( $x$ , $y$ și $z$ ) are exact un corespondent, aici toate egale cu $3$ . Este permis ca mai multe elemente din $A$ să aibă aceeași imagine, deci este funcție (o funcție constantă).

Întrebări conexe

Ce se întâmplă dacă un element din mulțimea de plecare nu are nicio săgeată?

Corespondența nu mai este funcție, fiindcă acel element rămâne fără rezultat. Regula cere ca absolut toate elementele de plecare să fie servite. O singură omisiune este de ajuns pentru a strica definiția.

Cum se citește scrierea f de x?

Se citește f de x și înseamnă rezultatul pe care funcția îl dă pentru numărul $x$ . Nu este o înmulțire între $f$ și $x$ , deși parantezele pot induce în eroare. La $f (x) = 5 x$ , scrierea $f (2)$ înseamnă $10$ .

Ce exemple de funcții întâlnesc în afara matematicii?

Prețul plătit pentru un număr de bilete, distanța parcursă într-un timp dat sau temperatura măsurată la o anumită oră. În fiecare caz, unei valori de intrare îi corespunde un singur rezultat, ceea ce este chiar definiția.

Poate o funcție să lege două mulțimi de cuvinte?

Da, mulțimile nu trebuie neapărat să fie formate din numere. Poți lega fiecare elev de prenumele lui: fiecare are exact unul, deci corespondența este funcție. Aceeași legătură întoarsă poate să nu mai fie funcție, dacă doi elevi au același prenume.

Cum arăt printr-un contraexemplu că o corespondență nu este funcție?

Arăți un singur element de plecare care are două rezultate sau niciunul. Este de ajuns un caz, nu trebuie verificate toate. Contraexemplul se scrie explicit, numind elementul și motivul.

Cum notez rezultatul unei funcții pentru un element dat?

Scrii numele funcției, apoi elementul între paranteze rotunde, urmate de semnul egal și de valoarea obținută. Pentru regula dublului și elementul $3$ scrii că rezultatul este $6$ . Notația se folosește la fel în tabele și în diagrame.

Oamenii mai întreabă și: ce este o funcție · cum recunosc o funcție · definiția funcției · corespondență care este funcție · dependență funcțională