Noțiunea de funcție. Dependențe funcționale

Când urci într-un taxi, prețul afișat pe aparat depinde de numărul de kilometri parcurși: schimbi distanța, se schimbă și suma de plată. Când cumperi combustibil, banii pe care îi dai depind de câți litri alimentezi. Când te uiți la vreme, temperatura afișată depinde de ora din zi. În toate aceste situații, o mărime se schimbă „după” alta — spunem că avem o dependență funcțională. Exact această idee, folosită de matematicieni pentru a descrie ordonat felul în care o cantitate depinde de alta, se numește funcție. În această lecție descoperim ce este o funcție la clasa a 8-a, cum se scrie corect notația $f:A\to B$ și cum recunoaștem când o corespondență este sau nu este funcție — o noțiune fundamentală pentru Evaluarea Națională și pentru tot ce urmează în capitolul de funcții.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o dependență funcțională într-o situație dată din viața reală (bani, distanțe, timp, tehnologie).
• Vei ști să verifici dacă o corespondență între două mulțimi este sau nu este funcție, folosind condiția „un singur element de sosire”.
• Vei ști să scrii și să citești corect notația $f:A\to B$, recunoscând mulțimea de plecare și mulțimea de sosire.
• Vei ști să deosebești exemplele de contraexemple, motivând clar de ce o corespondență nu respectă definiția funcției.
• Vei ști să folosești limbajul specific (funcție, argument, corespondență, mulțime de plecare, mulțime de sosire) pentru a-ți exprima o opinie despre o dependență.

Hai să descoperim împreună

1. De la viața reală la idee: ce este o dependență funcțională

Gândește-te la o zi obișnuită. Deschizi robinetul și, cu cât ține apa mai mult timp, cu atât consumi mai mulți litri. Aici avem două mărimi: timpul (în minute) și cantitatea de apă (în litri). A doua depinde de prima. Când o mărime își schimbă valoarea în funcție de valoarea alteia, spunem că între ele există o dependență.

Iată câteva situații din viața de zi cu zi în care o mărime depinde de alta:

• Prețul la benzinărie depinde de numărul de litri alimentați. Dacă un litru costă $8$ lei, atunci pentru $10$ litri plătești $80$ de lei, pentru $20$ de litri plătești $160$ de lei ș.a.m.d.
• Distanța parcursă de un tren depinde de timpul cât merge (la viteză constantă).
• Suma de pe factura de curent depinde de câți kilowați-oră ai consumat într-o lună.
• Nota la un test depinde (printre altele) de numărul de puncte obținute la barem.
• Spațiul liber de pe telefon depinde de câte poze și aplicații ai instalat.

Observă un lucru important: în fiecare exemplu, dacă fixăm valoarea primei mărimi, a doua capătă o valoare bine determinată. La $10$ litri de benzină de $8$ lei/litru, prețul este exact $80$ de lei — nu poate fi în același timp și $80$, și $95$ de lei. Această „unicitate a răspunsului” este chiar sâmburele noțiunii de funcție.

2. De la dependență la corespondență între mulțimi

În matematică vrem să vorbim precis. De aceea așezăm valorile posibile ale primei mărimi într-o mulțime, iar valorile posibile ale celei de-a doua mărimi în altă mulțime. Apoi descriem regula prin care fiecărei valori din prima mulțime îi corespunde o valoare din a doua.

Să luăm un exemplu concret și mic, ușor de urmărit. Într-o clasă, patru elevi — Ana, Barbu, Carla și Dan — primesc fiecare o notă la un test:

• Ana → $9$
• Barbu → $7$
• Carla → $10$
• Dan → $7$

Avem aici două mulțimi:

• mulțimea elevilor: $A=\{\text{Ana},\text{Barbu},\text{Carla},\text{Dan}\}$;
• mulțimea notelor posibile: $B=\{7,8,9,10\}$.

Regula „fiecărui elev îi asociem nota lui” leagă un element din $A$ de un element din $B$. O astfel de legătură se numește corespondență (sau relație) de la $A$ la $B$.

Mulțimea din care „pornim” se numește mulțime de plecare (aici, mulțimea elevilor $A$), iar mulțimea în care „ajungem” se numește mulțime de sosire (aici, mulțimea notelor $B$).

3. Definiția funcției

Suntem gata pentru definiția pe care trebuie să o știi perfect la examen.

Definiție. Fie $A$ și $B$ două mulțimi nevide. O funcție definită pe $A$ cu valori în $B$ este o corespondență prin care fiecărui element din mulțimea $A$ i se asociază un singur element din mulțimea $B$.

Cuvintele „fiecărui” și „un singur” sunt esențiale. Le desfacem pe rând:

• „fiecărui element din $A$” — nu are voie să existe niciun element din mulțimea de plecare care să rămână fără corespondent. Absolut toate elementele din $A$ trebuie „servite”.
• „un singur element din $B$” — un element din $A$ nu poate avea doi (sau mai mulți) corespondenți în $B$. Fiecare element de plecare are exact un răspuns, nici mai mult, nici mai puțin.

Deci, ca să avem funcție, din fiecare punct al mulțimii de plecare trebuie să plece exact o singură săgeată. Ține minte imaginea aceasta — este cel mai simplu test vizual.

Revenind la exemplul cu notele: din Ana pleacă o săgeată (spre $9$), din Barbu o săgeată (spre $7$), din Carla una (spre $10$), din Dan una (spre $7$). Fiecare elev are exact o notă, deci corespondența este funcție.

Poate te întrebi: „Dar Barbu și Dan au amândoi $7$ — nu e o problemă?” Nu este! Definiția cere ca fiecare element din plecare să aibă un singur corespondent în sosire. Nu spune nimic despre faptul că două elemente diferite din $A$ n-ar putea ajunge în același element din $B$. Doi elevi diferiți pot avea foarte bine aceeași notă. La fel, într-o zi, ora $9$ și ora $17$ pot avea aceeași temperatură — tot funcție avem.

De asemenea, observă că nota $8$ din mulțimea $B$ nu este atinsă de nimeni. Și asta este perfect în regulă: definiția nu cere ca fiecare element din mulțimea de sosire să fie folosit. Cere doar ca fiecare element din plecare să aibă corespondent.

4. Cuvinte noi pe care trebuie să le stăpânești

Ca să vorbești „matematică” despre funcții, ai nevoie de câțiva termeni. Îi întâlnești tot capitolul:

• Argument (sau variabilă) — un element din mulțimea de plecare, „intrarea” funcției. În exemplu, Ana este un argument.
• Valoarea funcției — elementul din mulțimea de sosire care îi corespunde argumentului, „ieșirea”. Valoarea funcției pentru Ana este $9$.
• Corespondența (sau legea funcției) — regula care spune cui asociem ce. În lecțiile următoare vei vedea trei feluri de a o descrie: prin diagramă, prin tabel și prin formulă (vezi lecția Moduri de a descrie o funcție: diagrame, tabele și formule).

Termenii tehnici — domeniu (mulțimea de plecare), codomeniu (mulțimea de sosire) și lege de corespondență — îi vom studia amănunțit în lecția Domeniul, codomeniul și legea de corespondență a unei funcții. Deocamdată e suficient să reții ideea de „mulțime de plecare” și „mulțime de sosire”.

5. Notația unei funcții: $f:A\to B$

Matematica are un mod scurt și clar de a scrie toate acestea. O funcție se notează, de obicei, cu o literă mică: $f$, $g$, $h$. Scrierea completă este:

$$f:A\to B$$

și se citește: „funcția $f$ definită pe $A$ cu valori în $B$” (sau, mai relaxat, „$f$ de la $A$ la $B$”).

Descifrăm fiecare simbol:

• $f$ este numele funcției (o etichetă; puteam la fel de bine să o numim $g$ sau $t$);
• $A$ (scris înaintea săgeții) este mulțimea de plecare;
• săgeata $\to$ arată sensul corespondenței, de la plecare spre sosire;
• $B$ (scris după săgeată) este mulțimea de sosire.

Pentru a arăta ce valoare capătă un anumit argument $x$, scriem $f(x)$ (se citește „f de x”). De pildă, în exemplul cu notele, dacă numim funcția $f$, atunci $f(\text{Ana})=9$, $f(\text{Barbu})=7$, $f(\text{Carla})=10$, $f(\text{Dan})=7$.

Un exemplu cu numere, ca să te obișnuiești: fie $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{2,4,6,8\}$, iar regula „fiecărui număr din $A$ îi asociem dublul lui”. Atunci putem scrie funcția

$$f:A\to B,f(x)=2x.$$

Verificăm: $f(1)=2$, $f(2)=4$, $f(3)=6$. Fiecare element din $A$ a primit exact o valoare din $B$ — este funcție. (Faptul că $8\in B$ nu este atins de nimeni nu deranjează, cum am spus.)

6. Când o corespondență NU este funcție: contraexemple

La fel de important ca a recunoaște o funcție este să recunoști când nu ai funcție. Definiția poate „cădea” în două feluri. Le analizăm pe amândouă, pentru că exact pe ele se dau capcanele la Evaluarea Națională.

Situația 1: un element din plecare rămâne fără corespondent.

Fie $A=\{a,b,c\}$ și $B=\{1,2\}$, cu săgețile: $a\to 1$, $b\to 2$, iar $c$ fără nicio săgeată. Nu este funcție, pentru că elementul $c$ din mulțimea de plecare nu are corespondent. Definiția cere ca fiecare element din $A$ să fie asociat cu ceva; $c$ a fost „uitat”.

Situația 2: un element din plecare are două (sau mai multe) corespondente.

Fie $A=\{a,b\}$ și $B=\{1,2,3\}$, cu săgețile: $a\to 1$, $a\to 2$, $b\to 3$. Nu este funcție, pentru că din $a$ pleacă două săgeți: lui $a$ i se asociază și $1$, și $2$. Definiția cere un singur corespondent, iar aici $a$ are răspuns dublu.

Așadar, ca să fie funcție, din fiecare punct de plecare trebuie să plece cel puțin o săgeată (nimeni fără corespondent) și cel mult o săgeată (nimeni cu răspuns dublu) — pe scurt, exact o săgeată.

Un contraexemplu din viața reală. Corespondența „fiecărei persoane îi asociem un număr de telefon” nu este funcție dacă unele persoane au două numere (răspuns dublu) sau dacă unele persoane nu au telefon deloc (fără corespondent). În schimb, „fiecărei persoane îi asociem anul nașterii” este funcție: fiecare om s-a născut într-un an și numai unul.

7. Un tabel-rezumat: funcție sau nu?

Pentru fixare, iată patru corespondențe de la $A=\{1,2,3\}$ la $B=\{5,6,7\}$ și verdictul lor:

Ține minte aceste patru situații: ele acoperă practic toate întrebările tip „este/nu este funcție?” de la examen.

8. Cum verifici, pas cu pas, dacă ai funcție

Când primești o corespondență și trebuie să decizi dacă e funcție, urmează algoritmul:

1. Identifică mulțimea de plecare $A$ și mulțimea de sosire $B$.
2. Ia pe rând fiecare element din $A$ și numără câte corespondente are în $B$.
3. Dacă există un element din $A$ fără niciun corespondent → nu este funcție.
4. Dacă există un element din $A$ cu două sau mai multe corespondente → nu este funcție.
5. Dacă fiecare element din $A$ are exact un corespondent → este funcție.

Nu te uita niciodată doar la mulțimea de sosire ca să decizi! Faptul că un element din $B$ rămâne neatins sau este atins de mai multe ori nu strică definiția. Contează exclusiv ce se întâmplă cu elementele din plecare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Recunoașterea unei dependențe funcționale în viața reală.

Un abonament la o sală de sport costă $120$ de lei pe lună. Notează cu $x$ numărul de luni și cu $y$ suma totală plătită. Este $y$ o funcție de $x$?

Rezolvare. Pentru fiecare număr de luni $x$, suma se calculează prin regula $y=120\cdot x$. La $x=1$ obținem $y=120$; la $x=3$ obținem $y=360$; la $x=12$ obținem $y=1440$. Pentru fiecare valoare a lui $x$ (număr de luni) există o singură valoare $y$ bine determinată. Prin urmare, $y$ depinde funcțional de $x$: avem o funcție. O putem scrie $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=120x$.

Exemplul 2. Verificarea unei corespondențe date prin diagramă.

Fie $A=\{\text{lun},\text{mar},\text{mie}\}$ (trei zile) și $B=\{\text{soare},\text{ploaie}\}$. Corespondența: lun → soare, mar → ploaie, mie → soare. Este funcție?

Rezolvare. Verificăm fiecare element din $A$:

• lun are un singur corespondent (soare) ✔
• mar are un singur corespondent (ploaie) ✔
• mie are un singur corespondent (soare) ✔

Toate cele trei elemente din mulțimea de plecare au exact un corespondent. Faptul că „soare” apare de două ori nu contează, deoarece condiția privește elementele de plecare. Concluzie: este funcție.

Exemplul 3. Un contraexemplu — răspuns dublu.

Fie $A=\{-2,2\}$ și $B=\{4\}$, cu corespondența „fiecărui număr din $B$ îi asociem numerele din $A$ al căror pătrat este egal cu el”. Este funcție de la $B$ la $A$?

Rezolvare. Aici mulțimea de plecare este $B=\{4\}$. Verificăm ce numere din $A$ au pătratul egal cu $4$: $(-2{)}^2=4$ și $2^2=4$. Deci lui $4$ i s-ar asocia și $-2$, și $2$ — două corespondente. Din elementul $4$ pleacă două săgeți. Concluzie: nu este funcție (răspuns dublu pentru $4$).

Observație utilă pentru mai târziu: „a ridica la pătrat” este funcție (fiecare număr are un singur pătrat), dar corespondența „a găsi numerele cu un pătrat dat” nu mai este funcție dacă permitem și valori negative — tocmai pentru că apar două răspunsuri.

Exemplul 4. Un contraexemplu — element fără corespondent.

Fie $A=\{1,2,3,4\}$ și $B=\{0,1\}$, cu regula „îi asociem lui $x$ restul împărțirii lui $x$ la $2$, dar numai pentru numerele mai mari ca $1$”. Este funcție $f:A\to B$?

Rezolvare. Aplicăm regula:

• $x=2\Rightarrow$ rest $0$;
• $x=3\Rightarrow$ rest $1$;
• $x=4\Rightarrow$ rest $0$;
• $x=1\Rightarrow$ regula spune „numai pentru numere mai mari ca $1$”, deci lui $1$ nu i se asociază nimic.

Elementul $1$ din mulțimea de plecare $A$ rămâne fără corespondent. Concluzie: nu este funcție pe mulțimea $A$. (Ar deveni funcție dacă am lua ca mulțime de plecare $A^{\prime }=\{2,3,4\}$.)

Exemplul 5. Scrierea și citirea notației.

Se dă funcția $g:\{0,1,2,3\}\to \mathbb{R}$, $g(x)=3x-1$. Precizează mulțimea de plecare, mulțimea de sosire și calculează $g(0)$, $g(2)$, $g(3)$.

Rezolvare. Din scrierea $g:\{0,1,2,3\}\to \mathbb{R}$ citim:

• mulțimea de plecare este $\{0,1,2,3\}$;
• mulțimea de sosire este $\mathbb{R}$ (mulțimea numerelor reale).

Calculăm valorile: $$g(0)=3\cdot 0-1=-1;$$ $$g(2)=3\cdot 2-1=6-1=5;$$ $$g(3)=3\cdot 3-1=9-1=8.$$

Fiecare argument primește exact o valoare, deci $g$ este funcție, corect definită.

Exemplul 6. Item tip Evaluare Națională (adevărat/fals cu motivare).

Stabilește dacă afirmația este adevărată sau falsă și motivează: „Dacă într-o corespondență de la $A$ la $B$ două elemente diferite din $A$ au același corespondent în $B$, atunci corespondența nu este funcție.”

Rezolvare. Afirmația este falsă. Definiția funcției cere ca fiecare element din plecare să aibă un singur corespondent; nu interzice ca două elemente diferite din $A$ să ajungă în același element din $B$. De exemplu, $f:\{1,2\}\to \{5\}$ cu $f(1)=5$ și $f(2)=5$ este funcție perfect corectă. Deci faptul că doi „porniți” diferiți nimeresc aceeași „sosire” nu strică nimic.

Să exersăm

1. Într-un magazin, un caiet costă $4$ lei. Notează cu $x$ numărul de caiete și cu $y$ prețul total. Este $y$ o funcție de $x$? Scrie regula.

2. Fie $A=\{a,b,c\}$ și $B=\{1,2,3,4\}$ cu săgețile $a\to 2$, $b\to 4$, $c\to 2$. Este funcție? Motivează.

3. Fie $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{x,y\}$ cu săgețile $1\to x$, $2\to y$ (elementul $3$ nu are săgeată). Este funcție? Motivează.

4. Fie $A=\{p,q\}$ și $B=\{5,6,7\}$ cu săgețile $p\to 5$, $p\to 7$, $q\to 6$. Este funcție? Motivează.

5. Citește corect notația $h:\{-1,0,1\}\to \mathbb{N}$. Care este mulțimea de plecare și care mulțimea de sosire?

6. Pentru funcția $f:\{0,1,2,3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x$, calculează $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$.

7. Pentru funcția $g:\{-2,-1,0,1\}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x+3$, calculează $g(-2)$, $g(0)$ și $g(1)$.

8. Adevărat sau fals, cu motivare: „O corespondență în care mulțimea de sosire are un element ce nu este atins de nicio săgeată nu poate fi funcție.”

9. Adevărat sau fals, cu motivare: „Dacă din fiecare element al mulțimii de plecare pleacă exact o săgeată, atunci corespondența este funcție.”

10. Dă un exemplu din viața reală de dependență funcțională și scrie regula ei cu litere (folosind $x$ și $y$).

11. Dă un exemplu din viața reală de corespondență care nu este funcție și explică de ce.

12. Fie mulțimea zilelor săptămânii ca plecare și mulțimea $\{$ zi lucrătoare, weekend $\}$ ca sosire, cu regula „fiecărei zile îi asociem tipul ei”. Este funcție? Motivează.

13. Se consideră corespondența „fiecărui elev din clasă îi asociem colegul de bancă”. În ce situație această corespondență nu este funcție? Dă un caz concret.

14. Completează astfel încât să obții o funcție $f:\{1,2,3\}\to \{7,8\}$: scrie două funcții diferite prin diagrame (câte trei săgeți fiecare).

15. Fie $f:\{1,2,3,4\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-1$. Calculează valorile funcției pentru toate cele patru argumente și scrie mulțimea valorilor obținute.

16. Item tip Evaluare Națională. Se dă corespondența de la $A=\{-3,-1,1,3\}$ la $B=\{1,9\}$ prin regula „fiecărui număr îi asociem pătratul lui”. (a) Verifică dacă este funcție. (b) Dacă da, scrie valorile ei pentru fiecare element din $A$.

17. Un robinet umple $3$ litri pe minut. Notând cu $t$ timpul (în minute) și cu $V$ volumul de apă (în litri), scrie regula dependenței și calculează volumul după $5$ minute și după $8$ minute.

18. Explică, în două-trei propoziții, folosind limbaj matematic corect, de ce corespondența „fiecărui număr real îi asociem numerele reale mai mici decât el” nu este funcție.

Răspunsuri și explicații

1. Da, este funcție. Regula: $y=4x$. Fiecărui număr de caiete îi corespunde un singur preț bine determinat.

2. Da, este funcție. Fiecare element din $A$ ($a$, $b$, $c$) are exact un corespondent. Faptul că $a$ și $c$ merg amândoi în $2$ nu strică definiția.

3. Nu este funcție. Elementul $3$ din mulțimea de plecare rămâne fără corespondent, iar definiția cere ca fiecare element din plecare să aibă un corespondent.

4. Nu este funcție. Din $p$ pleacă două săgeți (spre $5$ și spre $7$), deci $p$ are două corespondente; definiția cere un singur corespondent.

5. Se citește „funcția $h$ definită pe $\{-1,0,1\}$ cu valori în $\mathbb{N}$”. Mulțimea de plecare este $\{-1,0,1\}$, mulțimea de sosire este $\mathbb{N}$ (numerele naturale).

6. $f(0)=0$; $f(1)=5$; $f(2)=10$; $f(3)=15$.

7. $g(-2)=2\cdot (-2)+3=-4+3=-1$; $g(0)=3$; $g(1)=2\cdot 1+3=5$.

8. Fals. Definiția nu cere ca fiecare element din mulțimea de sosire să fie atins. Contează doar ca fiecare element din plecare să aibă exact un corespondent. Un element neatins din sosire este perfect admis.

9. Adevărat. „Exact o săgeată din fiecare element de plecare” înseamnă că fiecare element din $A$ are un singur corespondent, adică chiar definiția funcției. (Presupunând că săgețile ajung în mulțimea de sosire.)

10. Exemplu posibil: prețul benzinei depinde de numărul de litri. Dacă un litru costă $8$ lei, regula este $y=8x$, unde $x$ = numărul de litri, $y$ = suma de plată. (Orice exemplu corect, cu o singură valoare $y$ pentru fiecare $x$, este acceptat.)

11. Exemplu posibil: „fiecărui elev îi asociem un sport pe care îl practică” nu este funcție dacă un elev practică două sporturi (răspuns dublu) sau dacă un elev nu practică niciunul (fără corespondent). (Orice contraexemplu corect motivat este acceptat.)

12. Da, este funcție. Fiecare zi a săptămânii are exact un tip: luni–vineri → zi lucrătoare, sâmbătă și duminică → weekend. Fiecare element din plecare are un singur corespondent.

13. Nu este funcție dacă un elev nu are coleg de bancă (stă singur în bancă) — atunci acel element de plecare rămâne fără corespondent. (Sau, dacă un elev ar sta între doi colegi și i-am asocia „colegul de bancă”, ar apărea două corespondente.)

14. Exemple posibile (oricare două diferite sunt corecte):

• $f_1$: $1\to 7$, $2\to 7$, $3\to 8$;
• $f_2$: $1\to 8$, $2\to 7$, $3\to 7$. Fiecare are exact o săgeată din fiecare element al plecării.

15. $f(1)=1^2-1=0$; $f(2)=4-1=3$; $f(3)=9-1=8$; $f(4)=16-1=15$. Mulțimea valorilor este $\{0,3,8,15\}$.

16. (a) Da, este funcție: fiecare număr are un singur pătrat. (b) Valorile: $(-3{)}^2=9$, $(-1{)}^2=1$, $1^2=1$, $3^2=9$. Deci: $-3\to 9$, $-1\to 1$, $1\to 1$, $3\to 9$. (Observă că $9$ și $1$ sunt fiecare atinse de câte două elemente — corect, nu strică definiția.)

17. Regula: $V=3t$. După $5$ minute: $V=3\cdot 5=15$ litri. După $8$ minute: $V=3\cdot 8=24$ litri.

18. Nu este funcție deoarece unui număr real $x$ i s-ar asocia o infinitate de numere (toate cele mai mici decât $x$), adică mai mult de un corespondent. Definiția cere ca fiecărui element din mulțimea de plecare să-i corespundă un singur element în mulțimea de sosire, condiție încălcată aici.

De reținut

• Definiția funcției: o funcție $f:A\to B$ asociază fiecărui element din mulțimea de plecare $A$ un singur element din mulțimea de sosire $B$.
• Test vizual: din fiecare element de plecare trebuie să plece exact o săgeată — nici zero (fără corespondent), nici două sau mai multe (răspuns dublu).
• Notația $f:A\to B$ se citește „funcția $f$ definită pe $A$ cu valori în $B$”; $A$ = plecare, $B$ = sosire, iar $f(x)$ = valoarea funcției în argumentul $x$.
• Nu strică definiția: faptul că două elemente diferite din $A$ au același corespondent, sau că unele elemente din $B$ rămân neatinse.
• O dependență funcțională apare oriunde o mărime primește o valoare unică și bine determinată în funcție de valoarea alteia (bani, timp, distanță, consum).

Greșeli frecvente

• Confuzia „plecare” cu „sosire”. Elevii verifică din greșeală mulțimea de sosire. Reține: condiția se pune pe elementele din plecare (fiecare cu un singur corespondent), nu pe cele din sosire.
• A crede că valorile trebuie să fie distincte. „Doi elevi cu aceeași notă” sau „două argumente cu aceeași valoare” par o problemă — nu sunt. Funcția permite valori repetate; interzice doar ca un argument să aibă două valori.
• A ignora elementele „uitate”. Dacă fie și un singur element din mulțimea de plecare rămâne fără corespondent, nu mai ai funcție. Verifică-le pe toate, nu doar câteva.
• Citirea greșită a notației. În $f:A\to B$, mulțimea dinaintea săgeții ($A$) este plecarea, iar cea de după ($B$) sosirea — nu invers. Săgeata arată mereu sensul de la plecare spre sosire.

Aplică acasă

• Chitanța de la magazin. Ia un bon de cumpărături pentru un singur produs (de exemplu apă la $0,5$ litri). Notează prețul unei bucăți, apoi construiește regula „prețul total în funcție de numărul de bucăți”, $y=p\cdot x$. Verifică pe bon: câte bucăți, ce sumă — se potrivește cu regula ta? Ai descoperit o dependență funcțională reală.
• Vânătoarea de dependențe. Timp de o zi, notează trei situații în care o mărime depinde clar de alta (de exemplu: bateria telefonului în funcție de timpul de folosire, distanța până la școală în funcție de viteza de mers, temperatura apei în funcție de timpul de fiert). Pentru fiecare, scrie ce este mulțimea de plecare și ce este mulțimea de sosire.
• Detectivul de contraexemple. Găsește în viața ta o corespondență care nu este funcție (de exemplu „fiecărui coleg îi asociez prietenii lui”) și explică în scris, cu limbaj matematic, de ce nu respectă definiția (răspuns dublu sau element fără corespondent).

Pentru părinți și profesori

Această lecție deschide capitolul de funcții, unul dintre pilonii algebrei de gimnaziu și o temă prezentă la fiecare Evaluare Națională (frecvent la Subiectul I sau al II-lea, prin itemi de tip „este/nu este funcție”, „calculează $f(a)$”, sau prin funcția liniară din subiectele mai grele). Ideea-cheie pe care copilul trebuie să o interiorizeze este simplă și vizuală: din fiecare element de plecare pleacă exact o săgeată.

Pentru a verifica înțelegerea, puneți întrebări scurte:

• „Poți să-mi dai un exemplu de dependență din viața reală și să scrii regula cu litere?”
• „De ce corespondența aceasta (arătați o diagramă) nu este funcție — ce element o strică?”
• „Dacă doi oameni s-au născut în același an, corespondența «persoană → anul nașterii» mai este funcție?” (răspunsul corect: da).
• „Citește-mi notația $f:A\to B$ și spune-mi care e plecarea și care e sosirea.”

Semnul că a înțeles cu adevărat este că poate motiva verdictul, nu doar să ghicească „da/nu”: să spună explicit care element are răspuns dublu sau care a rămas fără corespondent. Greșeala tipică de urmărit este verificarea mulțimii de sosire în loc de cea de plecare — reformulați împreună definiția până devine reflex.

Întrebări frecvente

Ce este o funcție, pe scurt, la clasa a 8-a? O funcție este o corespondență între două mulțimi prin care fiecărui element din mulțimea de plecare i se asociază un singur element din mulțimea de sosire. Se notează $f:A\to B$. Pe scurt: fiecare „intrare” are exact o „ieșire”.

Cum știu dacă o corespondență este funcție? Verifică fiecare element din mulțimea de plecare: dacă toate au exact un corespondent în mulțimea de sosire, este funcție. Dacă vreun element are zero corespondente (e „uitat”) sau două ori mai multe (răspuns dublu), nu este funcție.

Ce înseamnă notația $f:A\to B$? Se citește „funcția $f$ definită pe $A$ cu valori în $B$”. $A$ este mulțimea de plecare (intrările), $B$ este mulțimea de sosire (ieșirile posibile), iar săgeata arată sensul corespondenței. $f(x)$ este valoarea funcției pentru argumentul $x$.

Două elemente diferite pot avea aceeași valoare într-o funcție? Da. Definiția interzice doar ca un singur element de plecare să aibă două valori. Este perfect corect ca două argumente diferite să conducă la aceeași valoare — de exemplu doi elevi cu aceeași notă.

Trebuie ca toate elementele din mulțimea de sosire să fie folosite? Nu. Un element din mulțimea de sosire poate rămâne neatins de nicio săgeată, iar corespondența să fie în continuare funcție. Condiția se referă strict la elementele din mulțimea de plecare.

Care este diferența dintre o dependență și o funcție? O dependență este ideea generală că o mărime se schimbă odată cu alta. Funcția este forma matematică riguroasă a acestei idei, cu cerința suplimentară ca fiecărei valori de intrare să-i corespundă o singură valoare de ieșire, bine determinată.

De ce „ridicarea la pătrat” e funcție, dar „găsirea numerelor cu un pătrat dat” nu? Fiecare număr are un singur pătrat, deci $x\to x^2$ este funcție. În schimb, dacă întrebăm „ce numere au pătratul $4$?”, primim două răspunsuri ($-2$ și $2$), adică răspuns dublu pentru $4$ — de aceea acea corespondență nu este funcție.

Unde apare noțiunea de funcție la Evaluarea Națională? Apare atât direct (itemi „este/nu este funcție”, „calculează $f(a)$”, citirea notației), cât și indirect, ca bază pentru funcția liniară $f(x)=ax+b$ și graficul ei, care sunt subiecte constante la examen. Stăpânirea definiției de aici îți ușurează toate lecțiile următoare din capitol.