Câți divizori are un număr?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Numărul și mulțimea divizorilor

Îl descompui în factori primi, adaugi $1$ la fiecare exponent și înmulțești rezultatele. Pentru $18 = 2 \cdot 3^{2}$ obții $(1 + 1) (2 + 1) = 6$ divizori, adică $1, 2, 3, 6, 9$ și $18$ . Formula funcționează fiindcă orice divizor se construiește alegând pentru fiecare bază un exponent de la zero până la cel din descompunere. Numerele $1$ și numărul însuși se numără mereu printre ei.

Dacă $n = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \dots p_{k}^{a_{k}}$ este descompunerea în factori primi a lui $n$ , atunci numărul divizorilor lui $n$ este $N (n) = (a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \dots (a_{k} + 1)$ : mărim fiecare exponent cu $1$ și înmulțim rezultatele. Ideea din spate: orice divizor se obține alegând, pentru fiecare factor prim, un exponent între $0$ și exponentul lui maxim din descompunere.

Mulțimea divizorilor se scrie combinând toate puterile posibile ale factorilor primi (tabel pentru doi factori, metoda dublării listei pentru mai mulți), apoi ordonând crescător.

Orice $n > 1$ are doi divizori improprii: $1$ și $n$ ; ceilalți sunt proprii. Numerele prime nu au divizori proprii. Pătratele perfecte au întotdeauna un număr impar de divizori.

Exemplu: $18 = 2 \cdot 3^{2} \Rightarrow N = (1 + 1) (2 + 1) = 6$ , deci $D_{18} = {1, 2, 3, 6, 9, 18}$ .

De reținut

$N (n) = (a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \dots (a_{k} + 1)$ , din exponenții descompunerii
$1$ și numărul însuși sunt divizori improprii
pătratele au un număr impar de divizori

Greșeala tipică

Se înmulțesc direct exponenții din descompunere, fără să se adauge $1$ la fiecare; adunarea aceea ține locul exponentului zero, care dă divizorul $1$ , deci fără ea rezultatul iese prea mic.

Exerciții din această mini-lecție

Câți divizori are numărul $98 = 2 \cdot 7^{2}$ ?
- a) $4$
- b) $5$
- c) $6$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6$

Exponenții sunt $1$ (la $2$ ) și $2$ (la $7$ ), deci $N = (1 + 1) (2 + 1) = 2 \cdot 3 = 6$ . Verificare: $D_{98} = {1, 2, 7, 14, 49, 98}$ , exact $6$ divizori.
Numărul $44 = 2^{2} \cdot 11$ are câți divizori proprii?
- a) $3$
- b) $4$
- c) $5$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4$

Numărul total de divizori este $N = (2 + 1) (1 + 1) = 6$ : $D_{44} = {1, 2, 4, 11, 22, 44}$ . Divizorii improprii sunt $1$ și $44$ , deci rămân $6 - 2 = 4$ divizori proprii: $2, 4, 11, 22$ .
Câți divizori are numărul $75 = 3 \cdot 5^{2}$ ?
- a) 16
- b) 9
- c) 26
- d) 6
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 6

Exponenții sunt $1$ (la $3$ ) și $2$ (la $5$ ), deci $N = (1 + 1) (2 + 1) = 2 \cdot 3 = 6$ . Verificare: $D_{75} = {1, 3, 5, 15, 25, 75}$ , exact $6$ divizori.

Întrebări conexe

Care sunt divizorii numărului 18?

Sunt $1, 2, 3, 6, 9$ și $18$ . Îi găsești încercând pe rând numerele de la $1$ în sus și verificând dacă împărțirea se face fără rest. Mai rapid este să pornești de la descompunerea $2 \cdot 3^{2}$ și să combini puterile lui $2$ cu cele ale lui $3$ .

Cum ordonez crescător mulțimea divizorilor unui număr?

Îi scrii în perechi, pornind de la capete: primul cu ultimul, al doilea cu penultimul. Pentru $18$ perechile sunt $1$ cu $18$ , $2$ cu $9$ și $3$ cu $6$ . Așezând apoi valorile mici la stânga și pe cele mari la dreapta, lista iese ordonată fără să mai compari nimic.

De ce divizorii unui număr se pot grupa în perechi?

Pentru că fiecărui divizor mic îi corespunde unul mare, obținut prin împărțirea numărului la el. La $18$ , lui $2$ îi corespunde $9$ , fiindcă produsul lor dă chiar numărul. Perechea se rupe numai atunci când cei doi factori coincid, adică la un pătrat.

Ce numere au exact trei divizori?

Pătratele numerelor prime, cum sunt $4$ , $9$ , $25$ sau $49$ . La $9$ divizorii sunt $1$ , $3$ și $9$ . Explicația vine din formulă: un exponent mărit cu $1$ dă $3$ numai când exponentul este $2$ , iar baza trebuie să fie un singur număr prim.

La ce folosește mulțimea divizorilor când simplific o fracție?

Îți arată cu ce numere poți împărți deodată numărătorul și numitorul. Divizorii comuni ai celor doi termeni sunt candidații, iar cel mai mare dintre ei duce fracția direct la forma ireductibilă, fără simplificări repetate.

Cum aflu divizorii comuni a două numere din descompunerile lor?

Iei numai bazele care apar la amândouă și le combini cu exponenți până la valoarea cea mai mică întâlnită. Pentru $24 = 2^{3} \cdot 3$ și $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ , bazele comune sunt $2$ și $3$ , deci divizorii comuni sunt $1, 2, 3, 4, 6$ și $12$ .

Oamenii mai întreabă și: numărul divizorilor unui număr · mulțimea divizorilor · câți divizori are un număr natural · formula numărului de divizori