Numărul divizorilor și mulțimea divizorilor unui număr

Îți amintești că, la lecția anterioară despre descompunerea în produs de puteri de numere prime, ai învățat să „spargi" orice număr natural mai mare ca 1 în cărămizile lui de bază: numerele prime. Astăzi descoperim ceva spectaculos: din acea descompunere putem afla, fără să încercăm rând pe rând toate numerele, câți divizori are un număr și care sunt toți divizorii lui. Practic, o singură descompunere îți dezvăluie întreaga „familie" de divizori. Hai să vedem cum funcționează acest mic truc matematic care îți va economisi mult timp la teste și la Evaluarea Națională.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii mulțimea divizorilor unui număr pornind de la descompunerea lui în factori primi.
• Vei ști să determini câți divizori are un număr dat, fără să-i numeri unul câte unul.
• Vei ști să recunoști divizorii proprii și divizorii improprii ai unui număr.
• Vei ști să rezolvi probleme în care afli un număr cunoscând numărul divizorilor sau suma divizorilor lui.
• Vei înțelege de ce pătratele perfecte au un număr impar de divizori.

Hai să descoperim împreună

1. O reamintire scurtă: ce înseamnă „divizor"

Spunem că un număr natural $d$ este divizor al lui $n$ dacă $n$ se împarte exact la $d$, adică restul împărțirii este $0$. Scriem $d\mid n$ (se citește „$d$ divide pe $n$"). Despre toate acestea ai vorbit pe larg în lecția Relația de divizibilitate. Divizori și multipli.

De exemplu, divizorii lui $12$ sunt $1,2,3,4,6,12$, pentru că fiecare dintre aceste numere împarte exact pe $12$. Iar $5$ nu este divizor al lui $12$, fiindcă $12:5$ dă rest.

Până acum, ca să găsești toți divizorii unui număr, probabil încercai pe rând: împart la 1? da; la 2? da; la 3? da; la 4? da; la 5? nu; și tot așa. Pentru numere mici merge. Dar pentru $720$ sau $1000$? Ar dura mult și ai putea uita unul. Aici intervine descompunerea în factori primi, care ne dă o metodă rapidă și sigură.

2. Ideea de bază: orice divizor este „construit" din factorii primi

Să luăm un exemplu prietenos: $n=12$. Îl descompunem:

$$12=2^2\cdot 3$$

Gândește-te la factorii primi $2$ și $3$ ca la niște cărămizi. Un divizor al lui $12$ nu poate conține decât aceleași cărămizi, și nici mai multe decât are $12$. Cu alte cuvinte, orice divizor al lui $12$ se scrie sub forma:

$$2^a\cdot 3^b$$

unde exponentul lui $2$ poate fi $a\in \{0,1,2\}$ (pentru că $12$ are doi de $2$), iar exponentul lui $3$ poate fi $b\in \{0,1\}$ (pentru că $12$ are un singur $3$).

Hai să combinăm toate alegerile posibile, ca într-un mic joc de „alege și înmulțește":

Privește tabelul: au apărut exact $1,2,3,4,6,12$ — adică toți divizorii lui $12$, niciunul în plus, niciunul lipsă! Mulțimea divizorilor o notăm:

$$D_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}$$

3. De ce funcționează: numărarea prin combinare

Acum vine partea genială. Câte cartonașe aveam în prima cutie (puterile lui $2$)? Trei: $2^0,2^1,2^2$. Câte în a doua cutie (puterile lui $3$)? Două: $3^0,3^1$. Fiecare divizor înseamnă o alegere din prima cutie combinată cu o alegere din a doua cutie. După regula de numărare (pe care o vei reîntâlni la probabilități), numărul total de combinații este:

$$3\cdot 2=6$$

Și, într-adevăr, $12$ are $6$ divizori. Observă că numerele $3$ și $2$ nu au apărut din senin: $3=2+1$ (exponentul lui $2$ plus $1$) și $2=1+1$ (exponentul lui $3$ plus $1$). De ce „plus $1$"? Pentru că exponentul poate fi și $0$ (când nu folosim deloc cărămida aceea), deci numărul de valori posibile pentru un exponent $a$ este $a+1$: anume $0,1,2,\dots ,a$.

4. Formula numărului de divizori

Putem acum scrie regula generală, valabilă pentru orice număr natural $n>1$:

Dacă $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$ (descompunerea în factori primi), atunci numărul divizorilor lui $n$ este: $$N(n)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_k+1)$$

Cu alte cuvinte: mărești fiecare exponent cu 1 și înmulțești rezultatele. Atât! Nu trebuie să scrii toți divizorii ca să afli câți sunt.

Hai să verificăm pe câteva numere:

• $12=2^2\cdot 3^1\Rightarrow N=(2+1)(1+1)=3\cdot 2=6$. ✓
• $36=2^2\cdot 3^2\Rightarrow N=(2+1)(2+1)=3\cdot 3=9$. ✓
• $100=2^2\cdot 5^2\Rightarrow N=(2+1)(2+1)=9$. ✓

5. Cum scriem mulțimea divizorilor în mod ordonat

Pentru numere cu doi factori primi, tabelul de mai sus este cea mai sigură metodă: nu uiți niciun divizor. Pentru a fi siguri că nu sărim peste niciunul, scriem divizorii crescător. Iată o rețetă în trei pași:

1. Descompune numărul în factori primi.
2. Numără divizorii cu formula $(a_1+1)(a_2+1)\cdots$ — așa știi de la început câți trebuie să găsești.
3. Combină sistematic puterile (tabel pentru doi factori, sau metoda „dublării listei" pentru mai mulți factori) și ordonează crescător.

Vei vedea metoda dublării listei în exemplul rezolvat 3.

6. Divizori improprii și divizori proprii

Orice număr natural $n>1$ are doi divizori „speciali", pe care îi numim divizori improprii:

• numărul $1$ (care divide orice număr);
• numărul $n$ însuși (care se împarte exact la el însuși).

Toți ceilalți divizori, adică divizorii diferiți de $1$ și de $n$, se numesc divizori proprii.

De exemplu, pentru $n=12$:

• divizori improprii: $1$ și $12$;
• divizori proprii: $2,3,4,6$.

Atenție la numerele prime! Un număr prim, de exemplu $7$, are exact doi divizori: $1$ și $7$. Aceștia sunt amândoi improprii. Deci un număr prim nu are niciun divizor propriu — exact aceasta este definiția numărului prim, pe care ai studiat-o la Numere prime și numere compuse. Iar un număr compus are cel puțin un divizor propriu.

Cazul lui $1$: numărul $1$ are un singur divizor, pe el însuși. El nu este nici prim, nici compus.

7. O observație frumoasă: pătratele perfecte

Numără divizorii lui $36=2^2\cdot 3^2$: am găsit $9$, un număr impar. La fel, $100$ are $9$ divizori, $49=7^2$ are $3$ divizori, $16=2^4$ are $5$ divizori. Toate sunt pătrate perfecte și toate au un număr impar de divizori.

De ce? Pentru că un pătrat perfect are toți exponenții pari în descompunere (ex.: $2$ și $2$ la $36$). Atunci fiecare factor $(a+1)$ devine impar (par $+1=$ impar), iar produsul de numere impare este impar. Mai intuitiv: la orice număr, divizorii se grupează în perechi $d$ și $n:d$ care se înmulțesc dând $n$. La pătrate perfecte, una dintre perechi se „suprapune" cu ea însăși (rădăcina pătrată, de exemplu $6$ la $36$, pentru că $6\cdot 6=36$), așa că rămâne un divizor singur la mijloc — de aceea numărul total este impar.

8. Suma divizorilor

Uneori avem nevoie nu doar de câți divizori sunt, ci și de suma lor. Pentru numere mici, cel mai simplu este să scriem mulțimea divizorilor și să-i adunăm. De exemplu, pentru $12$:

$$1+2+3+4+6+12=28$$

Există și o legătură frumoasă: dacă aduni doar divizorii proprii și pe $1$ (adică toți divizorii în afară de numărul însuși) și obții chiar numărul, atunci numărul se cheamă perfect. Cel mai mic exemplu este $6$: divizorii lui sunt $1,2,3,6$, iar $1+2+3=6$. Următorul este $28$: $1+2+4+7+14=28$, apoi $496$. Sunt rare și foarte îndrăgite de matematicieni încă din Antichitate!

Pornind de la aceeași sumă (toți divizorii mai mici decât numărul însuși), matematicienii grupează numerele în trei familii. Hai să le privim, fiindcă sunt o aplicație directă a divizorilor pe care tocmai i-ai învățat să-i scrii:

• Numere deficitare — suma divizorilor lor mai mici decât numărul este mai mică decât numărul. De exemplu, $8$ are divizorii $1,2,4,8$; adunând doar $1+2+4=7<8$. Cele mai multe numere mici sunt deficitare.
• Numere perfecte — suma divizorilor mai mici dă exact numărul: $6$ și $28$, ca mai sus.
• Numere abundente — suma divizorilor mai mici depășește numărul. Cel mai mic exemplu este $12$: $1+2+3+4+6=16>12$. Următoarele sunt $18$ și $20$.

Nu trebuie să memorezi aceste denumiri pentru teză; le pomenim ca să vezi că o singură întrebare simplă — „care sunt divizorii?" — deschide o lume întreagă de probleme frumoase.

9. Probleme „de-a-ndoaselea": aflăm numărul după divizorii lui

Cel mai distractiv tip de problemă merge invers: ni se spune câți divizori are un număr (sau ce formă are) și trebuie să găsim numărul. Aici folosim formula pe dos.

De exemplu: care este cel mai mic număr natural cu exact $3$ divizori? Dacă numărul are $3$ divizori și $3$ este prim, singura posibilitate este ca formula $(a+1)=3$, deci $a=2$ și numărul are un singur factor prim: $n=p^2$. Cel mai mic se obține cu cel mai mic prim, $p=2$, deci $n=4$. Într-adevăr, $D_4=\{1,2,4\}$ — exact $3$ divizori.

Vom exersa mult acest tip de raționament în exemplele și exercițiile de mai jos.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Mulțimea divizorilor lui 18

Cerință: Scrie mulțimea divizorilor lui $18$ și precizează câți sunt.

Rezolvare. Descompunem: $18=2\cdot 3^2$. Exponenții sunt $1$ (la $2$) și $2$ (la $3$), deci numărul de divizori este:

$$N=(1+1)(2+1)=2\cdot 3=6$$

Construim tabelul de combinare (puterile lui $2$: $1,2$; puterile lui $3$: $1,3,9$):

Ordonăm crescător: $D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$. Sunt 6 divizori, exact cât prezisese formula. ✓

Exemplul 2 — Câți divizori are 360?

Cerință: Determină câți divizori are numărul $360$ (fără a-i scrie pe toți).

Rezolvare. Descompunem pas cu pas: $360=36\cdot 10=(2^2\cdot 3^2)\cdot (2\cdot 5)=2^3\cdot 3^2\cdot 5$. Exponenții sunt $3,2,1$. Aplicăm formula:

$$N=(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24$$

Așadar $360$ are 24 de divizori. Observă cât de repede am aflat asta — a încerca toate numerele de la $1$ la $360$ ar fi durat enorm!

Exemplul 3 — Toți divizorii lui 72 prin metoda dublării listei

Cerință: Scrie mulțimea divizorilor lui $72$.

Rezolvare. $72=2^3\cdot 3^2$, deci $N=(3+1)(2+1)=4\cdot 3=12$ divizori.

Folosim metoda dublării listei, foarte practică pentru mai mulți factori:

• Pornim doar cu puterile lui $2$: $1,2,4,8$.
• Înmulțim toată lista cu $3$ și o adăugăm: $1\cdot 3,2\cdot 3,4\cdot 3,8\cdot 3=3,6,12,24$.
• Înmulțim lista inițială cu $3^2=9$ și o adăugăm: $9,18,36,72$.

Adunăm tot și ordonăm crescător:

$$D_{72}=\{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72\}$$

Numărăm: sunt exact $12$ divizori. ✓ Divizorii improprii sunt $1$ și $72$; restul de $10$ sunt proprii.

Exemplul 4 — Suma divizorilor lui 45

Cerință: Află suma divizorilor lui $45$.

Rezolvare. $45=3^2\cdot 5$, deci $N=(2+1)(1+1)=6$ divizori. Îi scriem: combinăm puterile lui $3$ ($1,3,9$) cu puterile lui $5$ ($1,5$):

$$D_{45}=\{1,3,9,5,15,45\}=\{1,3,5,9,15,45\}$$

Suma lor:

$$1+3+5+9+15+45=78$$

Răspuns: suma divizorilor lui $45$ este $78$.

Exemplul 5 — Cel mai mic număr cu exact 4 divizori

Cerință: Care este cel mai mic număr natural care are exact $4$ divizori?

Rezolvare. Vrem $(a_1+1)(a_2+1)\cdots =4$. Avem două variante de „spargere" a lui $4$:

• $4=4$, adică un singur factor prim cu exponent $3$: $n=p^3$. Cel mai mic: $2^3=8$.
• $4=2\cdot 2$, adică doi factori primi diferiți, fiecare la puterea $1$: $n=p\cdot q$. Cel mai mic: $2\cdot 3=6$.

Comparăm: $8$ și $6$. Cel mai mic este $\boxed{6}$. Verificare: $D_6=\{1,2,3,6\}$ — exact $4$ divizori. ✓

Exemplul 6 — Aflarea exponentului necunoscut

Cerință: Numărul $n=2^3\cdot 3^x$ are $16$ divizori. Află $x$ și apoi numărul $n$.

Rezolvare. Aplicăm formula numărului de divizori:

$$N=(3+1)(x+1)=16$$

Adică $4\cdot (x+1)=16$, de unde $x+1=16:4=4$, deci $x=3$.

Atunci $n=2^3\cdot 3^3=8\cdot 27=216$. Verificare: $216=2^3\cdot 3^3\Rightarrow N=4\cdot 4=16$ divizori. ✓

Exemplul 7 — Toți divizorii lui 60 (trei factori primi)

Cerință: Scrie mulțimea divizorilor lui $60$ folosind metoda dublării listei pentru trei factori primi.

Rezolvare. $60=2^2\cdot 3\cdot 5$, deci $N=(2+1)(1+1)(1+1)=3\cdot 2\cdot 2=12$ divizori. La Exemplul 3 am folosit metoda dublării cu doi factori; acum o extindem cu un pas în plus, câte un pas pentru fiecare factor prim nou:

• Pas 1 — puterile lui $2$: $1,2,4$.
• Pas 2 — înmulțim toată lista cu $3$ și o adăugăm: $1\cdot 3,2\cdot 3,4\cdot 3=3,6,12$. Lista devine $1,2,4,3,6,12$.
• Pas 3 — înmulțim toată lista de până acum cu $5$ și o adăugăm: $5,10,20,15,30,60$.

Adunăm tot și ordonăm crescător:

$$D_{60}=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$$

Numărăm: exact $12$ divizori, cât prezisese formula. ✓ Reține regula metodei: la fiecare factor prim nou, înmulțești întreaga listă obținută până atunci cu fiecare putere a acelui factor. Așa nu pierzi și nu repeți niciun divizor, oricât de mulți factori ai avea.

Exemplul 8 — Exponent necunoscut într-un produs de trei factori

Cerință: Numărul $n=2^2\cdot 3\cdot 5^x$ are $24$ de divizori. Află $x$ și apoi numărul $n$.

Rezolvare. Aplicăm formula numărului de divizori, exponentul lui $3$ fiind $1$:

$$N=(2+1)(1+1)(x+1)=24$$

Adică $3\cdot 2\cdot (x+1)=24$, deci $6(x+1)=24$, de unde $x+1=24:6=4$ și $x=3$.

Atunci $n=2^2\cdot 3\cdot 5^3=4\cdot 3\cdot 125=1500$. Verificare: $1500=2^2\cdot 3\cdot 5^3\Rightarrow N=3\cdot 2\cdot 4=24$ divizori. ✓ Observă cum, cu factori primi mari precum $5^3$, numărul crește repede, dar numărul de divizori rămâne ușor de calculat din exponenți.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Răspunsurile și explicațiile sunt mai jos — verifică-te abia după ce încerci singur.

1. Descompune în factori primi și scrie numărul de divizori pentru: a) $20$; b) $50$; c) $63$.

2. Scrie mulțimea divizorilor lui $28$ folosind descompunerea în factori primi.

3. Completează: $40=2^{\square }\cdot 5$, iar numărul divizorilor lui $40$ este $\square$.

4. Câți divizori are $200$? (Folosește formula, nu-i scrie pe toți.)

5. Scrie toți divizorii lui $48$ și precizează care sunt divizorii proprii.

6. Adevărat sau fals? a) Numărul $17$ are exact doi divizori. b) Numărul $1$ are doi divizori. c) Orice pătrat perfect are un număr impar de divizori. d) $9$ este divizor propriu al lui $9$.

7. Încercuiește numerele care au exact $3$ divizori: $4,6,9,15,25,49$.

8. Potrivește fiecare număr cu numărul lui de divizori:

   • A) $16$ · B) $30$ · C) $36$ · D) $7$
   • I) $2$ · II) $5$ · III) $8$ · IV) $9$

9. Află suma divizorilor lui $24$.

10. Care este cel mai mic număr natural cu exact $5$ divizori?

11. Numărul $n=2^a\cdot 5$ are $8$ divizori. Află $a$ și apoi $n$.

12. Un număr are descompunerea $n=3^2\cdot 7^2$. a) Câți divizori are? b) Este pătrat perfect? Justifică.

13. Găsește toate numerele naturale care au exact $2$ divizori și sunt mai mici decât $20$.

14. Problemă. La un atelier de robotică sunt $36$ de piese identice. Profesorul vrea să le împartă în grupe egale, fiecare grupă cu același număr de piese, fără să rămână piese. În câte moduri diferite poate forma grupele (numărând și varianta cu o singură grupă de $36$, și varianta cu $36$ de grupe de câte una)?

15. Problemă. Un număr natural are exact $6$ divizori, iar cel mai mic divizor propriu al lui este $3$. Găsește cel mai mic astfel de număr.

16. Scrie mulțimea divizorilor lui $90$ și verifică prin formulă că numărul lor coincide.

17. Adevărat sau fals? Dacă un număr are un număr par de divizori, atunci el nu este pătrat perfect. Justifică pe un exemplu.

18. Provocare. Găsește cel mai mic număr natural care are exact $12$ divizori.

19. Pentru fiecare dintre numerele $8$, $12$ și $28$, adună divizorii mai mici decât numărul și spune dacă numărul este deficitar, perfect sau abundent.

20. Numărul $n=2\cdot 3^a\cdot 7$ are $12$ divizori. Află $a$ și apoi numărul $n$.

Răspunsuri și explicații

1. a) $20=2^2\cdot 5\Rightarrow N=(2+1)(1+1)=6$. b) $50=2\cdot 5^2\Rightarrow N=(1+1)(2+1)=6$. c) $63=3^2\cdot 7\Rightarrow N=(2+1)(1+1)=6$. (Toate au $6$ divizori — coincidență drăguță!)

2. $28=2^2\cdot 7$. Combinăm $\{1,2,4\}$ cu $\{1,7\}$: $D_{28}=\{1,2,4,7,14,28\}$. Sunt $6$ divizori, cât dă $(2+1)(1+1)=6$. ✓

3. $40=2^3\cdot 5$, deci pătratul gol este $3$. Numărul divizorilor: $(3+1)(1+1)=8$. Deci: $40=2^3\cdot 5$, iar numărul de divizori este $8$.

4. $200=2^3\cdot 5^2\Rightarrow N=(3+1)(2+1)=4\cdot 3=12$ divizori.

5. $48=2^4\cdot 3\Rightarrow N=(4+1)(1+1)=10$. $D_{48}=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,48\}$. Divizorii proprii (fără $1$ și $48$): $2,3,4,6,8,12,16,24$.

6. a) Adevărat — $17$ este prim, divizorii $1$ și $17$. b) Fals — $1$ are un singur divizor (pe el însuși). c) Adevărat — pătratele perfecte au exponenți pari, deci produs de numere impare = impar. d) Fals — $9$ este divizor impropriu al lui $9$ (numărul însuși), nu propriu.

7. Au exact $3$ divizori numerele de forma $p^2$: $4(=2^2),9(=3^2),25(=5^2),49(=7^2)$. Nu se încercuiesc $6=2\cdot 3$ (are $4$ divizori) și $15=3\cdot 5$ (are $4$ divizori).

8. $16=2^4\Rightarrow 5$ divizori; $30=2\cdot 3\cdot 5\Rightarrow (1+1{)}^3=8$; $36=2^2\cdot 3^2\Rightarrow 9$; $7$ prim $\Rightarrow 2$. Deci: A–II, B–III, C–IV, D–I.

9. $24=2^3\cdot 3$, $D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$. Suma: $1+2+3+4+6+8+12+24=60$.

10. $5$ este prim, deci $(a+1)=5\Rightarrow a=4$ și $n=p^4$. Cel mai mic: $2^4=16$. (Verificare: $D_{16}=\{1,2,4,8,16\}$, $5$ divizori.)

11. $(a+1)(1+1)=8\Rightarrow (a+1)\cdot 2=8\Rightarrow a+1=4\Rightarrow a=3$. Deci $n=2^3\cdot 5=40$.

12. a) $N=(2+1)(2+1)=9$ divizori. b) Da, este pătrat perfect: $3^2\cdot 7^2=(3\cdot 7{)}^2=21^2=441$; toți exponenții sunt pari, deci numărul de divizori e impar ($9$), semn caracteristic al pătratelor perfecte.

13. Numerele cu exact $2$ divizori sunt exact numerele prime. Cele mai mici de $20$: $2,3,5,7,11,13,17,19$.

14. Numărul de moduri = numărul de divizori ai lui $36$, fiindcă fiecare divizor $d$ dă o variantă: $d$ grupe a câte $36:d$ piese. $36=2^2\cdot 3^2\Rightarrow N=9$. Deci în 9 moduri.

15. „Cel mai mic divizor propriu este $3$" înseamnă că numărul nu se divide cu $2$ (altfel $2$ ar fi cel mai mic divizor propriu), iar cel mai mic factor prim este $3$. Cu $6$ divizori, formele posibile sunt $p^5$ sau $p^2\cdot q$. Cea mai mică folosind primele prime impare $3$ și $5$: $3^2\cdot 5=45$ (divizori $1,3,5,9,15,45$; cel mai mic propriu este $3$ ✓). Varianta $3^5=243$ este mai mare. Deci răspuns: $45$.

16. $90=2\cdot 3^2\cdot 5$. $D_{90}=\{1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90\}$ — $12$ divizori. Formula: $(1+1)(2+1)(1+1)=2\cdot 3\cdot 2=12$. ✓

17. Adevărat. Pătratele perfecte au întotdeauna un număr impar de divizori; deci dacă numărul de divizori e par, numărul nu poate fi pătrat perfect. Exemplu: $12$ are $6$ divizori (par) și, într-adevăr, $12$ nu este pătrat perfect ($3^2=9<12<16=4^2$).

18. Vrem $(a_1+1)(a_2+1)\cdots =12$. Variante de spargere și cel mai mic număr pentru fiecare (punem exponenții mari la primele cele mai mici):

    • $12=12\Rightarrow 2^{11}=2048$;
    • $12=6\cdot 2\Rightarrow 2^5\cdot 3=96$;
    • $12=4\cdot 3\Rightarrow 2^3\cdot 3^2=72$;
    • $12=3\cdot 2\cdot 2\Rightarrow 2^2\cdot 3\cdot 5=60$;
    • $12=2\cdot 2\cdot 3$ (același caz, ordonat) $\Rightarrow 60$. Cel mai mic dintre $2048,96,72,60$ este $60$. Verificare: $60=2^2\cdot 3\cdot 5\Rightarrow N=3\cdot 2\cdot 2=12$. ✓

19. Adunăm de fiecare dată divizorii mai mici decât numărul: pentru $8$ avem $1+2+4=7<8$, deci $8$ este deficitar; pentru $12$ avem $1+2+3+4+6=16>12$, deci $12$ este abundent; pentru $28$ avem $1+2+4+7+14=28$, deci $28$ este perfect.

20. $(1+1)(a+1)(1+1)=12\Rightarrow 4(a+1)=12\Rightarrow a+1=3\Rightarrow a=2$. Deci $n=2\cdot 3^2\cdot 7=2\cdot 9\cdot 7=126$. Verificare: $126=2\cdot 3^2\cdot 7\Rightarrow N=2\cdot 3\cdot 2=12$ divizori. ✓

De reținut

• Dacă $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$, atunci numărul divizorilor este $N(n)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_k+1)$: măresc fiecare exponent cu $1$ și înmulțesc.
• Mulțimea divizorilor se obține combinând în toate felurile puterile factorilor primi (tabel sau metoda dublării listei), apoi ordonând crescător.
• Divizorii improprii sunt $1$ și numărul însuși; divizorii proprii sunt toți ceilalți. Numerele prime nu au divizori proprii.
• Pătratele perfecte — și numai ele — au un număr impar de divizori.
• În problemele „de-a-ndoaselea", spargi numărul de divizori în produse de factori și alegi varianta potrivită (de obicei cu primele cele mai mici pentru numărul minim).

Greșeli frecvente

• Uiți să adaugi $1$ la exponent. Pentru $2^3$ sunt $4$ alegeri de exponent ($0,1,2,3$), nu $3$. Numărul de divizori folosește $a+1$, nu $a$.
• Înmulțești factorii primi în loc de exponenți. Greșit: „$12=2^2\cdot 3$ are $2\cdot 3=6$ pentru că $2$ și $3$ sunt factorii". Coincide aici, dar e raționament greșit; corect este $(2+1)(1+1)=6$, cu exponenți + 1. La $360$ se vede clar diferența.
• Confunzi divizorii proprii cu cei improprii. Reține: improprii = $1$ și $n$; restul sunt proprii. Numărul $n$ NU este divizor propriu al lui însuși.
• Crezi că $1$ este prim. $1$ are un singur divizor și nu este nici prim, nici compus.

Joc acasă

1. Detectivul divizorilor. Scrie pe un bilețel numerele $24,36,48,60$. Pentru fiecare, descompune-l în factori primi și prezice câți divizori are folosind formula. Apoi verifică scriind efectiv lista. Bifează unde predicția a fost corectă — vei vedea că nimerești de fiecare dată.

2. Cutia cu cărămizi. Ia două cutii goale (sau două grămezi). În prima pune cartonașe cu $1,2,4$ (puterile lui $2$ până la $2^2$), în a doua cu $1,3$ (puterile lui $3$). Trage câte un cartonaș din fiecare cutie, înmulțește-le și notează rezultatul. Continuă până ai toate combinațiile. Vei obține, ca prin magie, exact divizorii lui $12$. Repetă cu alte numere și convinge-te că metoda nu dă greș.

3. Cine găsește campionul? Provocare în familie: căutați împreună un număr mai mic decât $100$ care are cei mai mulți divizori. (Indiciu: combinați factori primi mici și diferiți.) Comparați rezultatele și verificați cu formula cine a câștigat.

Pentru părinți și învățători

Această lecție leagă două idei pe care elevul le are deja: descompunerea în factori primi și noțiunea de divizor. Cheia înțelegerii este ideea de combinare: orice divizor se obține alegând, pentru fiecare factor prim, un exponent între $0$ și exponentul maxim. Dacă elevul „vede" această alegere, formula numărului de divizori devine evidentă, nu un truc de memorat.

Cum să sprijiniți:

• Începeți cu tabelul cu doi factori (ca la $12$ sau $18$). Vizualizarea pe tabel face ca formula $(a+1)(b+1)$ să fie pur și simplu „lungimea ori lățimea" tabelului.
• Insistați pe „+1". Cea mai frecventă eroare este uitarea lui $+1$. Întrebați: „Câte valori poate lua exponentul lui $2$ la $2^3$?" Răspunsul corect $0,1,2,3$ (patru valori) fixează regula.
• Întrebări bune de pus: „De ce $5$ nu este divizor al lui $12$, dacă mă uit la factorii primi?" (pentru că $5$ nu apare în descompunere); „Cum afli numărul de divizori fără să-i scrii?"; „De ce $36$ are un număr impar de divizori?".
• Verificarea înțelegerii: dați un număr nou (de ex. $84=2^2\cdot 3\cdot 7$) și cereți întâi predicția numărului de divizori, apoi lista. Dacă cele două coincid, conceptul este stăpânit.

Lecția pregătește direct capitolele următoare: c.m.m.d.c. prin descompunere și c.m.m.m.c. prin descompunere, unde aceeași descompunere se folosește din nou.

Întrebări frecvente

Cum aflu câți divizori are un număr fără să-i scriu pe toți? Descompui numărul în factori primi, mărești fiecare exponent cu $1$ și înmulțești rezultatele. De exemplu, $200=2^3\cdot 5^2$ are $(3+1)(2+1)=12$ divizori. Este metoda rapidă cerută frecvent la teste.

Ce sunt divizorii proprii și cei improprii? Divizorii improprii ai unui număr $n$ sunt $1$ și $n$ (numărul însuși). Divizorii proprii sunt toți ceilalți, adică cei diferiți de $1$ și de $n$. De exemplu, divizorii proprii ai lui $12$ sunt $2,3,4,6$.

De ce adunăm $1$ la exponent în formula numărului de divizori? Pentru că exponentul unui factor prim, într-un divizor, poate fi orice valoare de la $0$ până la exponentul maxim. Pentru $2^3$, exponentul poate fi $0,1,2$ sau $3$ — adică $3+1=4$ posibilități. De aici „$+1$".

Câți divizori are un număr prim? Exact doi: numărul $1$ și el însuși. Ambii sunt improprii, deci un număr prim nu are niciun divizor propriu — aceasta este chiar definiția lui.

De ce pătratele perfecte au un număr impar de divizori? Pentru că ele au toți exponenții pari în descompunere, iar fiecare factor $(a+1)$ devine impar; produsul de numere impare este impar. Intuitiv, rădăcina pătrată este divizorul „de la mijloc" care nu are pereche.

Cum scriu mulțimea divizorilor unui număr? Descompui în factori primi, apoi combini toate puterile factorilor (tabel pentru doi factori, sau metoda dublării listei pentru mai mulți) și ordonezi crescător. De exemplu, $D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}$.

Care este cel mai mic număr cu un anumit număr de divizori? Spargi numărul de divizori în produse de factori și pui exponenții cei mai mari la cele mai mici numere prime. De exemplu, pentru $12$ divizori, cel mai mic număr este $2^2\cdot 3\cdot 5=60$.

Numărul $1$ are divizori proprii? Nu. Numărul $1$ are un singur divizor, pe el însuși, și nu este nici prim, nici compus. Nu are divizori proprii.