Ce înseamnă numere prime între ele?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Numere prime între ele și relația c.m.m.d.c.–c.m.m.m.c.

Înseamnă că cele două numere nu au niciun divizor comun în afară de $1$ , deci divizorul lor comun cel mai mare rămâne $1$ . Nu se cere ca fiecare să fie prim: $28 = 2^{2} \cdot 7$ și $45 = 3^{2} \cdot 5$ nu împart niciun factor, deci sunt prime între ele, deși amândouă sunt compuse. În acest caz cel mai mic multiplu comun este chiar produsul lor.

Două numere naturale $a$ și $b$ sunt prime între ele (sau relativ prime) dacă $(a, b) = 1$ , adică nu au niciun factor prim comun. Atenție: nu înseamnă că fiecare este un număr prim — de exemplu $28 = 2^{2} \cdot 7$ și $45 = 3^{2} \cdot 5$ nu au factori comuni, deci sunt prime între ele, deși niciunul nu e prim.

Între c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. există o relație fundamentală, valabilă pentru orice $a, b$ nenule: $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b .$

De aici rezultă $[a, b] = \frac{a \cdot b}{( a , b )}$ și $(a, b) = \frac{a \cdot b}{[ a , b ]}$ : dacă știi trei mărimi, o afli imediat pe a patra.

Caz special important: dacă $a$ și $b$ sunt prime între ele, $(a, b) = 1$ , deci $[a, b] = a \cdot b$ . Exemplu: $33$ și $50$ sunt prime între ele ( $33 = 3 \cdot 11$ , $50 = 2 \cdot 5^{2}$ ), deci $[33, 50] = 33 \cdot 50 = 1650$ .

De reținut

prime între ele înseamnă că divizorul comun cel mai mare este $1$
$(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$
dacă $(a, b) = 1$ , atunci $[a, b] = a \cdot b$

Greșeala tipică

Se cere ca fiecare dintre cele două numere să fie el însuși prim; condiția privește doar factorii pe care îi împart, așa că perechi de numere compuse, precum $8$ și $9$ , sunt tot prime între ele.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele perechi de numere este formată din numere prime între ele?
- a) $33$ și $55$
- b) $28$ și $45$
- c) $36$ și $48$
- d) $50$ și $75$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $28$ și $45$

Descompunem: $33 = 3 \cdot 11$ , $55 = 5 \cdot 11$ (comun $11$ ); $28 = 2^{2} \cdot 7$ , $45 = 3^{2} \cdot 5$ (niciun factor comun); $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ , $48 = 2^{4} \cdot 3$ (comun $2^{2} \cdot 3$ ); $50 = 2 \cdot 5^{2}$ , $75 = 3 \cdot 5^{2}$ (comun $5^{2}$ ). Singura pereche fără factor prim comun este $28$ și $45$ , deci $(28, 45) = 1$ .
Care dintre perechile de numere de mai jos este formată din numere prime între ele?
- a) $14$ și $21$
- b) $15$ și $20$
- c) $16$ și $24$
- d) $14$ și $25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $14$ și $25$

Descompunem: $14 = 2 \cdot 7$ , $21 = 3 \cdot 7$ (comun $7$ ); $15 = 3 \cdot 5$ , $20 = 2^{2} \cdot 5$ (comun $5$ ); $16 = 2^{4}$ , $24 = 2^{3} \cdot 3$ (comun $2^{3}$ ); $14 = 2 \cdot 7$ , $25 = 5^{2}$ (niciun factor comun). Singura pereche fără factor prim comun este $14$ și $25$ , deci $(14, 25) = 1$ .
Numerele naturale $a$ și $b$ sunt prime între ele și $a \cdot b = 65$ . Calculează $[a, b]$ .
- a) 5
- b) 15
- c) 65
- d) 13
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 65

Dacă $a$ și $b$ sunt prime între ele, atunci $(a, b) = 1$ . Din relația fundamentală $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$ obținem $1 \cdot [a, b] = 65$ , deci $[a, b] = 65$ . (De altfel, $65 = 5 \cdot 13$ , iar $5$ și $13$ sunt numere prime distincte, deci confirmă că sunt prime între ele.)

Întrebări conexe

Ce cmmdc au un număr și dublul lui?

Chiar numărul mai mic. Orice divizor al lui $a$ îl divide și pe $2 a$ , iar $a$ se divide pe sine, deci nu se poate găsi ceva mai mare. Multiplul comun cel mai mic al celor două numere iese atunci $2 a$ .

Ce fel de fracție dau doi termeni primi între ei?

O fracție ireductibilă, fiindcă nu mai există niciun număr, în afară de $1$ , cu care să împarți deodată sus și jos. De aceea verificarea rapidă a unei simplificări duse până la capăt este chiar întrebarea dacă cei doi termeni sunt primi între ei.

Cum folosesc numerele prime între ele la aducerea la același numitor?

Când numitorii nu au factori comuni, numitorul potrivit este chiar produsul lor. Pentru $\frac{1}{4}$ și $\frac{2}{9}$ lucrezi cu $36$ , fiindcă $4$ și $9$ sunt prime între ele. Când au factori comuni, produsul ar fi prea mare și se folosește multiplul comun cel mai mic.

Poate un număr par să fie prim cu un alt număr par?

Nu, fiindcă amândouă se împart la $2$ , deci au cel puțin acest divizor comun. Din același motiv, două numere care se termină în $0$ sau în $5$ nu pot fi prime între ele. Perechea trebuie să conțină cel puțin un număr impar.

Cum arăt că trei numere sunt prime între ele două câte două?

Iei fiecare pereche în parte și verifici că nu are divizori comuni. Pentru $8$ , $9$ și $25$ obții trei perechi, toate fără factori comuni. Condiția este mai tare decât aceea ca toate trei împreună să nu aibă un divizor comun.

Unde apar numerele prime între ele în problemele cu roți dințate?

Când numerele de dinți ale două roți sunt prime între ele, fiecare dinte al uneia ajunge, pe rând, în contact cu fiecare dinte al celeilalte, iar uzura se împarte uniform. Perechea de dinți de la început se reface abia după ce prin punctul de contact au trecut atâția dinți cât produsul celor două numere.

Oamenii mai întreabă și: numere prime între ele · ce înseamnă prime între ele · numere relativ prime · cmmdc egal cu 1