Acasă · Clasa a VI-a · Lecții · Numere prime între ele. Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Numere prime între ele. Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Ai învățat deja să afli cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun a două numere. Acum descoperi o legătură elegantă între ele: o singură formulă care îți spune cât este unul dacă îl cunoști pe celălalt. Pe drum vei întâlni și o categorie aparte de perechi de numere — cele „prime între ele" — care apar peste tot în matematică, de la fracții ireductibile până la roți dințate care se sincronizează. Hai să le punem cap la cap.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști când două numere sunt prime între ele (adică au c.m.m.d.c. egal cu 1).
Vei ști să verifici dacă o pereche de numere este prime între ele, folosind divizorii sau descompunerea în factori primi.
Vei ști să folosești relația (a, b) · [a, b] = a · b pentru a afla rapid un c.m.m.d.c. sau un c.m.m.m.c.
Vei ști să calculezi c.m.m.m.c. al unor numere prime între ele ca simplul lor produs.
Vei ști să eviți greșelile tipice când lucrezi cu această relație.

Hai să descoperim împreună

Reamintim notațiile

Înainte să mergem mai departe, fixăm limbajul. Pentru două numere naturale $a$ și $b$ :

(a, b) înseamnă cel mai mare divizor comun al lor, prescurtat c.m.m.d.c. Este cel mai mare număr care le împarte pe amândouă exact.
[a, b] înseamnă cel mai mic multiplu comun, prescurtat c.m.m.m.c. Este cel mai mic număr (nenul) care se împarte exact la amândouă.

Atenție la paranteze: cele rotunde $(a, b)$ sunt pentru divizorul comun (cel „mare"), cele drepte $[a, b]$ sunt pentru multiplul comun (cel „mic"). Un truc de memorat: paranteza rotundă seamănă cu litera de la „divizor" prin formă închisă, iar paranteza dreaptă, mai „înaltă", ne duce cu gândul la multipli, care cresc mult. Dacă vrei o recapitulare, revezi lecțiile c.m.m.d.c. prin descompunere și c.m.m.m.c. prin descompunere.

Ce înseamnă „numere prime între ele"

Să pornim de la o întrebare simplă. Luăm numerele 8 și 15. Care sunt divizorii lor?

Divizorii lui 8: 1, 2, 4, 8.
Divizorii lui 15: 1, 3, 5, 15.

Ce divizor au în comun? Privește cele două liste. Singurul număr care apare în amândouă este 1. Asta înseamnă că cel mai mare divizor comun al lor este 1, adică $(8, 15) = 1$ .

Când se întâmplă acest lucru — când singurul divizor comun a două numere este 1 — spunem că numerele sunt prime între ele (sau, cu un alt nume des întâlnit, relativ prime).

Definiție. Două numere naturale $a$ și $b$ se numesc prime între ele dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1, adică $(a, b) = 1$ .

Atenție la o capcană de limbaj: „prime între ele" nu înseamnă că fiecare număr este un număr prim! Numărul 8 nu este prim (este $2^{3}$ ), iar 15 nu este prim (este $3 \cdot 5$ ). Și totuși, împreună sunt prime între ele, pentru că nu împart niciun factor. Cuvântul „între ele" e cheia: descrie o relație dintre cele două numere, nu o proprietate a fiecăruia separat.

O imagine intuitivă: factori în comun

Gândește-te la fiecare număr ca la o cutie de cărămizi colorate — cărămizile fiind factorii lui primi. Descompunem:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ → cutia lui 8 conține doar cărămizi de culoarea „2".
$15 = 3 \cdot 5$ → cutia lui 15 conține o cărămidă „3" și una „5".

Compari cele două cutii: nu există nicio culoare de cărămidă care să apară în amândouă. Niciun factor prim comun → singurul divizor comun rămâne 1 → numerele sunt prime între ele.

Acum compară cu 12 și 18:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$

Aici cutiile au în comun o cărămidă „2" și o cărămidă „3". Deci au factori comuni, iar $(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6 \neq = 1$ . Numerele 12 și 18 nu sunt prime între ele.

Așadar, regula practică de recunoaștere este:

Cum verifici dacă $a$ și $b$ sunt prime între ele: descompune ambele numere în factori primi. Dacă nu au niciun factor prim comun, atunci $(a, b) = 1$ și sunt prime între ele. Dacă au măcar un factor prim comun, nu sunt prime între ele.

Câteva observații utile

1. Două numere prime distincte sunt mereu prime între ele. De exemplu, 7 și 11 sunt amândouă numere prime, diferite, deci nu pot avea factori comuni: $(7, 11) = 1$ .

2. Numere consecutive sunt mereu prime între ele. De pildă $(20, 21) = 1$ , $(99, 100) = 1$ . Intuiția: dacă un număr $d > 1$ ar împărți și pe $n$ , și pe $n + 1$ , atunci ar trebui să împartă și diferența lor, care este 1 — imposibil. Deci doi „vecini" pe axa numerelor nu au niciodată un divizor comun mai mare ca 1.

3. Numărul 1 este prim cu orice număr. Pentru că singurul divizor al lui 1 este 1 însuși, avem $(1, n) = 1$ pentru orice $n$ .

4. Un număr par și unul impar nu sunt automat prime între ele. Atenție aici! De exemplu 6 (par) și 9 (impar) au factorul comun 3. Și 4 (par) cu 9 (impar) sunt prime între ele. Paritatea singură nu decide nimic — trebuie să te uiți la toți factorii primi.

5. Orice număr și 0 nu sunt prime între ele (cu o singură excepție). Toți divizorii unui număr $n$ împart și pe 0, așa că $(n, 0) = n$ . Doar pentru $n = 1$ obținem $(1, 0) = 1$ . În clasa a VI-a vei lucra aproape mereu cu numere nenule, dar e bine să știi de ce relația fundamentală cere ca $a$ și $b$ să fie nenule.

Un mic tabel de comparație

Ca să prinzi mai bine diferența, hai să așezăm câteva perechi una lângă alta și să decidem rapid:

Perechea	Descompunere	Factor comun?	Prime între ele?	$(a, b)$
8 și 15	$2^{3}$ și $3 \cdot 5$	niciunul	DA	1
12 și 18	$2^{2} \cdot 3$ și $2 \cdot 3^{2}$	2 și 3	NU	6
7 și 11	prim și prim	niciunul	DA	1
20 și 21	$2^{2} \cdot 5$ și $3 \cdot 7$	niciunul	DA	1
9 și 15	$3^{2}$ și $3 \cdot 5$	3	NU	3
16 și 25	$2^{4}$ și $5^{2}$	niciunul	DA	1

Observă tiparul: de fiecare dată când coloana „factor comun" arată „niciunul", c.m.m.d.c. este 1 și numerele sunt prime între ele. E exact metoda de lucru pe care o vei folosi mereu — descompui, compari factorii, decizi.

Acum, marea legătură: relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Iată inima lecției. Există o formulă frumoasă care leagă cele două mărimi pe care le-ai învățat:

Teoremă (relația fundamentală). Pentru orice două numere naturale nenule $a$ și $b$ : $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$

În cuvinte: produsul dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. este egal cu produsul celor două numere.

De ce funcționează? Să o vedem cu descompunerea în factori primi. Luăm 12 și 18:

$12 = 2^{2} \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3^{2}$

Pentru c.m.m.d.c. luăm factorii comuni la puterea cea mai mică: $(12, 18) = 2^{1} \cdot 3^{1} = 6$ .

Pentru c.m.m.m.c. luăm toți factorii la puterea cea mai mare: $[12, 18] = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ .

Acum înmulțim: $(12, 18) \cdot [12, 18] = 6 \cdot 36 = 216.$ $12 \cdot 18 = 216.$

Egale! Și nu e o coincidență. Privește cu atenție: pentru fiecare factor prim, c.m.m.d.c. ia puterea mai mică, iar c.m.m.m.c. ia puterea mai mare. Când le înmulțești, pentru fiecare factor obții „puterea mai mică + puterea mai mare", adică exact suma celor doi exponenți. Dar suma exponentului din $a$ și a celui din $b$ este exact ce ai în produsul $a \cdot b$ . De aceea cele două produse coincid întotdeauna.

La ce e bună această relație?

Formula $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$ îți dă o scurtătură puternică. Dacă știi trei dintre cele patru mărimi ( $a$ , $b$ , c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.), o poți afla pe a patra prin simplă înmulțire sau împărțire:

$[a, b] = \frac{a \cdot b}{( a , b )} ș i (a, b) = \frac{a \cdot b}{[ a , b ]} .$

Asta e foarte util: de obicei c.m.m.d.c. este ușor de aflat (numere mici, descompunere scurtă), iar c.m.m.m.c. ar cere mai multă muncă. În loc să-l calculezi separat, îl obții instant împărțind produsul la c.m.m.d.c.

Metodă pas cu pas — aflarea lui $[a, b]$ folosind relația:

Calculează produsul $a \cdot b$ .

Află c.m.m.d.c. $(a, b)$ (prin divizori sau descompunere — de obicei e mic și rapid).

Împarte: $[a, b] = (a \cdot b) : (a, b)$ .

(Opțional, dar recomandat) Verifică rezultatul printr-o descompunere scurtă.

Pentru a afla invers c.m.m.d.c.-ul când cunoști c.m.m.m.c.-ul, înlocuiești pașii 2 și 3 cu: împarte produsul $a \cdot b$ la $[a, b]$ .

Cazul special: numere prime între ele

Acum combinăm cele două idei mari ale lecției. Ce se întâmplă cu formula când $a$ și $b$ sunt prime între ele?

Atunci $(a, b) = 1$ . Înlocuim în relație: $1 \cdot [a, b] = a \cdot b \Rightarrow [a, b] = a \cdot b .$

Deci avem un rezultat foarte comod:

Regulă. Dacă $a$ și $b$ sunt prime între ele, atunci cel mai mic multiplu comun al lor este chiar produsul lor: $(a, b) = 1 \Rightarrow [a, b] = a \cdot b .$

De exemplu, 8 și 15 sunt prime între ele, deci $[8, 15] = 8 \cdot 15 = 120$ . Nu mai e nevoie de nicio descompunere lungă — doar înmulțești.

Are sens și intuitiv: dacă cele două numere nu împart niciun factor, cel mai mic număr care „le cuprinde" pe amândouă trebuie să conțină toți factorii fiecăruia, deci tot produsul. Nimic nu se poate „suprapune" ca să micșoreze rezultatul.

Reține contrastul: la numere prime între ele, c.m.m.m.c. este mare (cât tot produsul), tocmai pentru că c.m.m.d.c. este mic (doar 1). Cele două se „compensează": când una este minimă, cealaltă este maximă, fiindcă produsul lor rămâne mereu $a \cdot b$ .

Această proprietate o vei folosi din plin în lecția următoare, despre fracții ireductibile: o fracție este ireductibilă exact atunci când numărătorul și numitorul sunt prime între ele.

Unde întâlnim numere prime între ele în viața reală

Poate pare o noțiune doar „de manual", dar perechile prime între ele apar surprinzător de des în jurul nostru:

Roți dințate și angrenaje. Inginerii aleg deseori numere de dinți prime între ele pentru două roți care se rotesc împreună. Astfel, fiecare dinte de pe o roată ajunge în contact cu fiecare dinte de pe cealaltă înainte ca un anumit dinte să se repete. Uzura se distribuie uniform, iar roata durează mai mult. Reîntâlnirea celor două marcaje se face abia după $[a, b]$ dinți — și cum sunt prime între ele, asta înseamnă tot produsul.
Fracții ireductibile. Când scrii o fracție „cât mai simplă posibil", numărătorul și numitorul ajung să fie prime între ele. De pildă $\frac{8}{15}$ este deja ireductibilă, fiindcă $(8, 15) = 1$ .
Cicluri care se sincronizează. Dacă două lumini de semnalizare clipesc la fiecare 4 și respectiv 9 secunde și pornesc odată, vor clipi din nou simultan abia după $[4, 9] = 36$ de secunde, fiindcă 4 și 9 sunt prime între ele.
Criptografie. La un nivel mai avansat (pe care îl vei studia mai târziu), securitatea unor coduri folosite zilnic pe internet se bazează tocmai pe numere mari prime între ele. E un exemplu că o idee simplă din clasa a VI-a stă la baza unor tehnologii moderne.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștem numere prime între ele

Cerință: Sunt numerele 14 și 25 prime între ele?

Rezolvare. Descompunem fiecare număr în factori primi:

$14 = 2 \cdot 7$
$25 = 5^{2}$

Comparăm cărămizile: 14 are factorii 2 și 7, iar 25 are doar factorul 5. Niciun factor prim comun. Prin urmare $(14, 25) = 1$ , deci da, 14 și 25 sunt prime între ele.

Exemplul 2 — Două numere care NU sunt prime între ele

Cerință: Sunt numerele 21 și 35 prime între ele?

Rezolvare. Descompunem:

$21 = 3 \cdot 7$
$35 = 5 \cdot 7$

Amândouă conțin factorul 7. Deci au un divizor comun mai mare ca 1: $(21, 35) = 7$ . Nu, numerele 21 și 35 nu sunt prime între ele.

Observă cum o singură potrivire de factor strică totul — e suficient un singur factor comun ca numerele să nu mai fie prime între ele.

Exemplul 3 — Aflăm c.m.m.m.c. cu relația

Cerință: Știind că $(24, 36) = 12$ , află $[24, 36]$ fără să faci descompunerea pentru multiplu.

Rezolvare. Folosim relația fundamentală: $(24, 36) \cdot [24, 36] = 24 \cdot 36.$

Calculăm produsul numerelor: $24 \cdot 36 = 864$ .

Acum izolăm c.m.m.m.c.: $[24, 36] = \frac{24 \cdot 36}{( 24 , 36 )} = \frac{864}{12} = 72.$

Deci $[24, 36] = 72$ .

Verificare rapidă prin descompunere: $24 = 2^{3} \cdot 3$ , $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ , deci $[24, 36] = 2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72$ . Se confirmă.

Exemplul 4 — c.m.m.m.c. al unor numere prime între ele

Cerință: Calculează $[9, 16]$ .

Rezolvare. Mai întâi verificăm dacă sunt prime între ele:

$9 = 3^{2}$
$16 = 2^{4}$

Nu au niciun factor comun, deci $(9, 16) = 1$ — sunt prime între ele. Atunci, conform regulii, c.m.m.m.c. este chiar produsul: $[9, 16] = 9 \cdot 16 = 144.$

Simplu și rapid: pentru numere prime între ele, c.m.m.m.c. = produsul lor.

Exemplul 5 — Aflăm c.m.m.d.c. din relație

Cerință: Pentru numerele 40 și 60 se știe că $[40, 60] = 120$ . Află $(40, 60)$ .

Rezolvare. Din relația fundamentală: $(40, 60) = \frac{40 \cdot 60}{[ 40 , 60 ]} = \frac{2400}{120} = 20.$

Deci $(40, 60) = 20$ .

Verificare: $40 = 2^{3} \cdot 5$ , $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ . Factorii comuni la puterea minimă: $2^{2} \cdot 5 = 20$ . Corect.

Exemplul 6 — Problemă cu necunoscut

Cerință: Două numere au produsul $a \cdot b = 600$ și cel mai mare divizor comun $(a, b) = 10$ . Care este cel mai mic multiplu comun al lor?

Rezolvare. Nu avem nevoie să aflăm efectiv $a$ și $b$ ! Folosim direct relația: $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b \Rightarrow 10 \cdot [a, b] = 600 \Rightarrow [a, b] = \frac{600}{10} = 60.$

Deci $[a, b] = 60$ . Frumusețea relației este că leagă patru mărimi, iar dacă cunoști trei, a patra apare imediat.

Exemplul 7 — Trei verificări într-una

Cerință: Pentru numerele 18 și 30, calculează $(18, 30)$ și $[18, 30]$ prin descompunere, apoi verifică relația fundamentală.

Rezolvare. Descompunem:

$18 = 2 \cdot 3^{2}$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

c.m.m.d.c. = factorii comuni la puterea cea mai mică. Comuni sunt 2 și 3, ambii la puterea 1: $(18, 30) = 2 \cdot 3 = 6$ .

c.m.m.m.c. = toți factorii la puterea cea mai mare: $[18, 30] = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5 = 90$ .

Verificarea relației: $(18, 30) \cdot [18, 30] = 6 \cdot 90 = 540, 18 \cdot 30 = 540.$

Cele două produse coincid — relația se confirmă. Observă că aici numerele nu sunt prime între ele (au $(18, 30) = 6$ ), deci c.m.m.m.c. este mai mic decât produsul: $90 < 540$ . Tocmai factorul comun 6 a „strâns" multiplul.

Exemplul 8 — Câte perechi prime între ele?

Cerință: Dintre numerele 2, 3, 4 și 9, câte perechi distincte de două numere sunt prime între ele?

Rezolvare. Perechile posibile sunt: (2,3), (2,4), (2,9), (3,4), (3,9), (4,9). Verificăm fiecare:

$(2, 3) = 1$ → prime între ele ✓
$(2, 4) = 2$ → nu (4 conține factorul 2)
$(2, 9) = 1$ → prime între ele ✓ (9 = $3^{2}$ , fără factorul 2)
$(3, 4) = 1$ → prime între ele ✓
$(3, 9) = 3$ → nu (9 conține factorul 3)
$(4, 9) = 1$ → prime între ele ✓ ( $4 = 2^{2}$ , $9 = 3^{2}$ )

Deci 4 perechi sunt prime între ele: (2,3), (2,9), (3,4) și (4,9). Acest tip de exercițiu te antrenează să iei fiecare pereche pe rând și să cauți factorul comun — fără grabă, una câte una.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare.

1. Scrie divizorii lui 16 și divizorii lui 21. Care este singurul lor divizor comun? Sunt 16 și 21 prime între ele?

2. Adevărat sau fals: „Două numere prime între ele trebuie să fie amândouă numere prime."

3. Descompune în factori primi și spune dacă perechile sunt prime între ele: a) 10 și 9; b) 15 și 20; c) 8 și 27; d) 14 și 21.

4. Încercuiește perechile de numere prime între ele: (6, 25), (12, 18), (7, 13), (10, 15), (11, 22).

5. Completează: dacă $(a, b) = 1$ , atunci $[a, b] =$ .

6. Calculează $[5, 8]$ folosind faptul că sunt prime între ele.

7. Calculează $[9, 10]$ și $[11, 4]$ (ambele perechi sunt prime între ele).

8. Se știe că $(18, 24) = 6$ . Află $[18, 24]$ folosind relația $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$ .

9. Se știe că $[15, 20] = 60$ . Află $(15, 20)$ folosind relația fundamentală.

10. Potrivește fiecare pereche cu c.m.m.m.c.-ul corect: Perechi: (4, 9), (6, 10), (3, 7). Valori: 30, 21, 36.

11. Două numere au $a \cdot b = 360$ și $(a, b) = 6$ . Cât este $[a, b]$ ?

12. Două numere au $a \cdot b = 504$ și $[a, b] = 84$ . Cât este $(a, b)$ ?

13. Adevărat sau fals: „Numerele consecutive 35 și 36 sunt prime între ele."

14. Găsește un număr natural $n$ , cuprins între 2 și 10, astfel încât $n$ și 12 să fie prime între ele. Dă toate variantele.

15. Verifică relația $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$ pentru numerele 16 și 24: calculează separat c.m.m.d.c., c.m.m.m.c., apoi compară cele două produse.

16. (Mică problemă) Pentru numerele 30 și 7, fără descompunere lungă, află $[30, 7]$ . Explică într-o propoziție de ce poți face asta direct.

17. Numerele $a$ și $b$ sunt prime între ele și $a \cdot b = 143$ . Descompune 143 în factori primi și află $[a, b]$ .

18. (Provocare) Două roți dințate au 8 și respectiv 15 dinți și pornesc cu un anumit dinte „marcat" în contact. După câți dinți rotiți cele două marcaje se reîntâlnesc în același punct de contact? (Indiciu: este c.m.m.m.c. al numerelor de dinți.)

19. Dintre numerele 4, 5, 6 și 25, scrie toate perechile de două numere care sunt prime între ele.

20. (Provocare) Două numere prime între ele au c.m.m.m.c. egal cu 77. Care pot fi cele două numere? (Indiciu: dacă sunt prime între ele, c.m.m.m.c. este chiar produsul lor, deci descompune 77.)

Răspunsuri și explicații

1. Divizorii lui 16: 1, 2, 4, 8, 16. Divizorii lui 21: 1, 3, 7, 21. Singurul divizor comun este 1, deci $(16, 21) = 1$ — da, sunt prime între ele.

2. Fals. Exemplu: 8 și 9 sunt prime între ele, dar niciunul nu este număr prim. „Prime între ele" descrie relația dintre numere, nu fiecare număr separat.

3. a) $10 = 2 \cdot 5$ , $9 = 3^{2}$ → niciun factor comun → prime între ele. b) $15 = 3 \cdot 5$ , $20 = 2^{2} \cdot 5$ → factor comun 5 → NU. c) $8 = 2^{3}$ , $27 = 3^{3}$ → niciun factor comun → prime între ele. d) $14 = 2 \cdot 7$ , $21 = 3 \cdot 7$ → factor comun 7 → NU.

4. Verificăm fiecare pereche:

(6, 25): $6 = 2 \cdot 3$ , $25 = 5^{2}$ → prime între ele. ✓
(12, 18): factor comun 6 → nu.
(7, 13): două prime distincte → prime între ele. ✓
(10, 15): factor comun 5 → nu.
(11, 22): $22 = 2 \cdot 11$ , factor comun 11 → nu. Deci se încercuiesc (6, 25) și (7, 13).

5. $[a, b] = a \cdot b$ (produsul celor două numere).

6. 5 și 8 sunt prime între ele ( $5$ prim, $8 = 2^{3}$ ), deci $[5, 8] = 5 \cdot 8 = 40$ .

7. $[9, 10] = 9 \cdot 10 = 90$ (consecutive → prime între ele). $[11, 4] = 11 \cdot 4 = 44$ (11 prim, 4 = $2^{2}$ , fără factor comun).

8. $[18, 24] = \frac{18 \cdot 24}{( 18 , 24 )} = \frac{432}{6} = 72$ .

9. $(15, 20) = \frac{15 \cdot 20}{[ 15 , 20 ]} = \frac{300}{60} = 5$ .

10. $[4, 9] = 36$ (prime între ele, $4 \cdot 9$ ); $[6, 10] = 30$ ( $6 = 2 \cdot 3$ , $10 = 2 \cdot 5$ , c.m.m.m.c. $= 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ ); $[3, 7] = 21$ (prime între ele). Deci: (4,9)→36, (6,10)→30, (3,7)→21.

11. $[a, b] = \frac{360}{6} = 60$ .

12. $(a, b) = \frac{504}{84} = 6$ .

13. Adevărat. Numerele consecutive sunt mereu prime între ele; un divizor comun ar trebui să împartă și diferența lor, care este 1.

14. $12 = 2^{2} \cdot 3$ , deci $n$ trebuie să nu conțină factorii 2 sau 3. Între 2 și 10, valorile potrivite sunt 5 și 7. (Verifică: $(5, 12) = 1$ , $(7, 12) = 1$ ; în schimb 4, 6, 8, 9, 10 au factor comun cu 12.)

15. $16 = 2^{4}$ , $24 = 2^{3} \cdot 3$ . c.m.m.d.c. $= 2^{3} = 8$ ; c.m.m.m.c. $= 2^{4} \cdot 3 = 48$ . Produs c.m.m.d.c.·c.m.m.m.c. $= 8 \cdot 48 = 384$ . Produs numere $= 16 \cdot 24 = 384$ . Egale — relația se verifică.

16. $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ , $7$ prim; nu au factori comuni, deci sunt prime între ele și $[30, 7] = 30 \cdot 7 = 210$ . Pot face direct pentru că la numere prime între ele c.m.m.m.c. este chiar produsul.

17. $143 = 11 \cdot 13$ . Cum 11 și 13 sunt prime distincte, $(a, b) = 1$ , deci $[a, b] = a \cdot b = 143$ .

18. Numerele de dinți sunt 8 și 15, prime între ele, deci $[8, 15] = 8 \cdot 15 = 120$ . După 120 de dinți rotiți, cele două marcaje se reîntâlnesc în același punct de contact.

19. Perechile prime între ele sunt: (4, 5) ( $4 = 2^{2}$ , 5 prim), (4, 25) ( $4 = 2^{2}$ , $25 = 5^{2}$ ), (5, 6) (5 prim, $6 = 2 \cdot 3$ ), (6, 25) ( $6 = 2 \cdot 3$ , $25 = 5^{2}$ ). NU sunt prime între ele: (4, 6) — factor comun 2; (5, 25) — factor comun 5. Deci patru perechi: (4,5), (4,25), (5,6), (6,25).

20. $77 = 7 \cdot 11$ . Cum 7 și 11 sunt prime distincte, ele sunt prime între ele și $[7, 11] = 7 \cdot 11 = 77$ . Deci numerele pot fi 7 și 11. (Mai există și perechea banală 1 și 77, fiindcă $(1, 77) = 1$ și $[1, 77] = 77$ .)

De reținut

Două numere sunt prime între ele dacă $(a, b) = 1$ , adică nu au niciun factor prim comun — chiar dacă, fiecare separat, nu e număr prim.
Relația fundamentală: $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$ — produsul c.m.m.d.c. cu c.m.m.m.c. este egal cu produsul celor două numere.
De aici: $[a, b] = \frac{a \cdot b}{( a , b )}$ și $(a, b) = \frac{a \cdot b}{[ a , b ]}$ — afli a patra mărime dacă o cunoști pe celelalte trei.
Dacă numerele sunt prime între ele, atunci $[a, b] = a \cdot b$ (c.m.m.m.c. este chiar produsul).
Numerele consecutive și două numere prime distincte sunt mereu prime între ele.

Greșeli frecvente

Confuzia „prime între ele" cu „numere prime". A spune că 9 nu poate fi prim cu 8 fiindcă 9 nu e prim este greșit. Numerele nu trebuie să fie prime ele însele; contează doar să nu împartă factori. Verifică mereu prin descompunere.
Inversarea parantezelor. Parantezele rotunde $(a, b)$ sunt c.m.m.d.c. (numărul mic), cele drepte $[a, b]$ sunt c.m.m.m.c. (numărul mare). Dacă obții un „c.m.m.d.c." mai mare decât numerele, sigur ai inversat.
Aplicarea relației la c.m.m.d.c. în loc de produs. Formula leagă produsul $a \cdot b$ , nu suma sau diferența. Nu scrie $(a, b) \cdot [a, b] = a + b$ — este $a \cdot b$ .
Presupunerea că un număr par și unul impar sunt automat prime între ele. Fals: 6 (par) și 9 (impar) au factorul comun 3. Paritatea nu hotărăște — uită-te la toți factorii primi.

Joc acasă

1. Cărțile cu factori. Scrie pe bilețele numerele de la 4 la 30. Amestecă-le și extrage câte două. De fiecare dată descompune-le în factori primi și decide: sunt prime între ele sau nu? Ține scor — 1 punct pentru fiecare răspuns corect verificat cu un adult. Care perechi prime între ele găsești cel mai repede?

2. Cele două roți dințate (cu capace de borcan). Marchează cu carioca câte un punct pe marginea a două capace de mărimi diferite. Numără pe fiecare câte „pași" faci ca să le rotești o tură (alege tu, de exemplu, 6 pași la unul și 10 la altul). Calculează $[6, 10]$ și verifică după câți pași marcajele revin „în pas". Compară cu cazul a două capace prime între ele, de pildă 5 și 8 pași — vezi că răspunsul e chiar produsul.

3. Verifică formula. Alege împreună cu un părinte trei perechi de numere între 10 și 50. Pentru fiecare, calculează c.m.m.d.c., c.m.m.m.c., apoi cele două produse: $(a, b) \cdot [a, b]$ și $a \cdot b$ . Țineți un tabel. Câștigă cine prezice primul, fără să calculeze c.m.m.m.c., cât va fi el — folosind împărțirea $a \cdot b : (a, b)$ .

Pentru părinți și învățători

Această lecție unește două noțiuni deja predate (c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.) printr-o relație elegantă și foarte utilă. Scopul nu este memorarea mecanică a formulei, ci înțelegerea de ce funcționează, prin imaginea factorilor primi: pentru fiecare factor, c.m.m.d.c. ia exponentul minim, c.m.m.m.c. ia maximul, iar min + max = suma exponenților din cele două numere.

Întrebări bune de adresat elevului:

„Dă-mi un exemplu de două numere prime între ele care nu sunt numere prime." (Testează că a depășit confuzia clasică.)
„Dacă $(a, b) = 1$ , cât este $[a, b]$ și de ce?" (Verifică legătura logică, nu doar formula.)
„Cum afli c.m.m.m.c. fără descompunere, dacă știi c.m.m.d.c.?" (Verifică folosirea relației inverse.)

Sprijin practic: cereți-i să verifice mereu rezultatul printr-o descompunere scurtă (ca în exemplele 3 și 5). Această dublă verificare construiește încredere și prinde erorile de paranteze. Dacă elevul confundă rotund cu drept, reveniți la sensul cuvintelor „divizor" (mic, împarte numerele) versus „multiplu" (mare, conține numerele). Semn că a înțeles: poate prezice c.m.m.m.c. al unei perechi prime între ele instant, ca produs, și poate folosi relația în ambele sensuri.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că două numere sunt prime între ele? Înseamnă că cel mai mare divizor comun al lor este 1, adică $(a, b) = 1$ . Practic, nu împart niciun factor prim comun. Sinonim folosit des: numere „relativ prime".

Numerele prime între ele trebuie să fie ele însele numere prime? Nu. De exemplu 8 și 15 sunt prime între ele, deși niciunul nu e număr prim. Contează doar ca cele două să nu aibă factori primi comuni, nu ca fiecare să fie prim.

Care este relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.? Pentru orice două numere naturale nenule: $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$ . Produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul celor două numere.

Cum aflu c.m.m.m.c. dacă știu c.m.m.d.c.? Împarți produsul numerelor la c.m.m.d.c.: $[a, b] = \frac{a \cdot b}{( a , b )}$ . La fel, $(a, b) = \frac{a \cdot b}{[ a , b ]}$ dacă vrei c.m.m.d.c. din c.m.m.m.c.

Cât este c.m.m.m.c. a două numere prime între ele? Este chiar produsul lor: dacă $(a, b) = 1$ , atunci $[a, b] = a \cdot b$ . De exemplu $[7, 10] = 70$ , fiindcă 7 și 10 sunt prime între ele.

Două numere consecutive sunt prime între ele? Da, întotdeauna. Un eventual divizor comun ar trebui să împartă și diferența lor, care este 1, ceea ce e imposibil pentru un număr mai mare ca 1. Deci $(n, n + 1) = 1$ .

Cum verific repede dacă două numere sunt prime între ele? Descompune ambele în factori primi și compară. Dacă nu apare niciun factor prim comun, sunt prime între ele; dacă apare măcar unul, nu sunt. Alternativ, calculează c.m.m.d.c. și vezi dacă este 1.

La ce folosesc numerele prime între ele? Sunt esențiale la fracțiile ireductibile (numărător și numitor prime între ele), la sincronizarea unor cicluri (roți dințate, evenimente repetate) și simplifică mult calculul c.m.m.m.c. Vei reveni la ele în lecția despre fracții ireductibile.