Studiați paritatea funcției $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=3x^2-5$$.

nu se poate stabili fără grafic

Cum știu dacă o funcție e pară sau impară?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Funcții pare și impare: simetrii ale graficului

Verifici întâi dacă domeniul este simetric față de zero; dacă nu este, discuția se oprește acolo. Apoi calculezi $f (- x)$ și îl compari cu $f (x)$ : dacă ies la fel, funcția este pară, iar dacă iese opusul, este impară. Pentru $f (x) = 3 x^{2} - 5$ obții $3 (- x)^{2} - 5 = 3 x^{2} - 5$ , deci o funcție pară. Ca să infirmi, îți ajunge o singură valoare în care egalitatea cade.

Discuția despre paritate cere întâi un domeniu $D$ simetric față de $0$ (dacă $x \in D$ , atunci $- x \in D$ ); altfel funcția nu e nici pară, nici impară. O funcție $f : D \to R$ este pară dacă $f (- x) = f (x)$ pentru orice $x \in D$ , iar graficul ei este simetric față de axa $O y$ . Este impară dacă $f (- x) = - f (x)$ pentru orice $x$ , iar graficul ei este simetric față de origine; dacă $0 \in D$ , o funcție impară verifică obligatoriu $f (0) = 0$ , din $f (0) = - f (0) \Rightarrow 2 f (0) = 0$ .

Pentru funcția afină $f (x) = a x + b$ : este pară doar dacă $a = 0$ (funcțiile constante) și impară doar dacă $b = 0$ (dreaptă prin origine); singura funcție și pară, și impară este cea nulă. Reguli de calcul: produsul a două funcții pare (sau a două impare) este par, produsul dintre o funcție pară și una impară este impar; suma a două funcții pare e pară, suma a două impare e impară. Orice funcție se descompune unic într-o parte pară, $p (x) = \frac{f ( x ) + f ( - x )}{2}$ , plus una impară, $i (x) = \frac{f ( x ) - f ( - x )}{2}$ . Verificarea „este pară/impară” cere calcul general; pentru a infirma, un singur contraexemplu numeric este suficient.

De reținut

pară: $f (- x) = f (x)$ , grafic simetric față de $O y$
impară: $f (- x) = - f (x)$ , grafic simetric față de origine
domeniul trebuie să fie simetric față de zero
funcție impară cu $0$ în domeniu are $f (0) = 0$

Greșeala tipică

Se calculează $f (- x)$ doar pentru un număr și se trage concluzia că funcția este pară; o valoare poate cel mult infirma, iar demonstrația cere calculul cu $x$ oarecare.

Exerciții din această mini-lecție

Studiați paritatea funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} - 5$ .
- a) pară
- b) impară
- c) nici pară, nici impară
- d) nu se poate stabili fără grafic
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) pară

Domeniul $R$ e simetric. Calculăm $f (- x) = 3 (- x)^{2} - 5 = 3 x^{2} - 5 = f (x)$ pentru orice $x$ , deci $f$ este pară. Graficul este o parabolă simetrică față de axa $O y$ .
Care dintre următoarele mulțimi NU este simetrică față de $0$ ?
- a) $[- 4, 4]$
- b) $R ∖ {0}$
- c) $(- 3, 7]$
- d) ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(- 3, 7]$

O mulțime e simetrică față de $0$ dacă, pentru orice element $x$ , conține și $- x$ . Mulțimea $(- 3, 7]$ conține $7$ , dar nu conține $- 7$ (care ar trebui, ca opusul lui $7$ ), deci nu este simetrică. Celelalte trei mulțimi respectă condiția pentru fiecare element al lor.
Funcția $f (x) = a x + b$ este impară dacă și numai dacă:
- a) $a = 0$
- b) $b = 0$
- c) $a = b$
- d) $a = - b$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $b = 0$

Din $f (- x) = - a x + b$ , condiția $f (- x) = - f (x)$ devine $- a x + b = - a x - b \Rightarrow 2 b = 0 \Rightarrow b = 0$ , iar $a$ rămâne arbitrar. Graficul funcțiilor $f (x) = a x$ trece prin origine, confirmând simetria față de $O$ .

Întrebări conexe

Ce simetrie are graficul unei funcții pare?

Graficul se oglindește față de axa verticală. Dacă îndoi foaia pe axa $O y$ , cele două jumătăți se suprapun, fiindcă punctele $(x, y)$ și $(- x, y)$ apar amândouă. Parabola $y = x^{2}$ și funcția modul sunt exemplele obișnuite.

Ce simetrie are graficul unei funcții impare?

Graficul este simetric față de origine: rotit cu o sută optzeci de grade în jurul punctului $O$ , se suprapune peste el însuși. Alături de punctul $(x, y)$ apare mereu și $(- x, - y)$ . Dacă zero aparține domeniului, curba trece obligatoriu prin origine.

De ce domeniul trebuie să fie simetric față de zero?

Condiția de paritate compară valoarea în $x$ cu valoarea în $- x$ , deci amândouă trebuie să existe. Pe intervalul $(- 3, 7]$ ai numărul $7$ , dar nu și opusul lui, așa că egalitatea nici nu se poate scrie. Într-un asemenea caz funcția nu este nici pară, nici impară.

Este suma a două funcții impare tot o funcție impară?

Da. Dacă fiecare termen își schimbă semnul la înlocuirea variabilei cu opusul ei, suma face la fel, fiindcă semnul minus se dă factor comun. La fel, suma a două funcții pare rămâne pară. Amestecul dintre una pară și una impară nu are, în general, nicio paritate.

Cum se comportă produsul unei funcții pare cu una impară?

Iese o funcție impară. La înlocuirea variabilei cu opusul ei, primul factor rămâne neschimbat, al doilea își schimbă semnul, deci produsul își schimbă semnul. De exemplu $x ∣ x ∣$ este impară. Produsul a două funcții de aceeași paritate iese, în schimb, par.

Este funcția cosinus pară sau impară?

Cosinusul este par: pe cercul trigonometric, numerele $t$ și $- t$ dau puncte simetrice față de axa orizontală, deci au aceeași abscisă. Sinusul este impar, fiindcă ordonatele acelor puncte sunt opuse. De aici vin și relațiile folosite la unghiurile negative.

Oamenii mai întreabă și: funcții pare și impare · cum verific paritatea unei funcții · ce înseamnă f de minus x egal f de x · test de paritate pentru funcții