Cum rezolv o problemă cu diagrame Venn?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Numărare cu diagrame Venn

Desenezi două cercuri care se suprapun și completezi întâi mijlocul, cu numărul celor care intră în ambele grupe. Apoi scazi acest număr din fiecare total și obții părțile rămase, adică pe cei care fac doar un lucru. Dacă $20$ de elevi joacă fotbal, $14$ joacă baschet și $6$ joacă amândouă, atunci cel puțin un sport practică $20 + 14 - 6 = 28$ de elevi.

Când două mulțimi finite $A$ și $B$ se suprapun, nu putem afla $c a r d (A \cup B)$ adunând pur și simplu $c a r d A + c a r d B$ , pentru că elementele comune (cele din $A \cap B$ ) ar fi numărate de două ori. Formula corectă, numită principiul includerii și excluderii, este:

$c a r d (A \cup B) = c a r d A + c a r d B - c a r d (A \cap B)$

Diagrama Venn cu două mulțimi are patru zone: doar $A$ , intersecția $A \cap B$ (mijlocul), doar $B$ și zona din afara cercurilor (nici $A$ , nici $B$ ). Strategia sigură: completează întâi mijlocul, apoi calculează zonele exclusive prin scădere ( $d o a r A = c a r d A - c a r d (A \cap B)$ ), apoi adună.

Exemplu: Într-o clasă, 20 de elevi joacă fotbal, 14 joacă baschet, iar 6 joacă amândouă. Cel puțin un sport: $c a r d (A \cup B) = 20 + 14 - 6 = 28$ de elevi.

De reținut

$c a r d (A \cup B) = c a r d A + c a r d B - c a r d (A \cap B)$
doar $A$ = $c a r d A - c a r d (A \cap B)$
suma celor patru zone ale diagramei = totalul grupului

Greșeala tipică

Se scriu totalurile din enunț direct în părțile exterioare ale cercurilor, deși ele cuprind și zona comună; numărul din mijloc se scade întâi, altfel elementele comune ajung numărate de două ori.

Exerciții din această mini-lecție

Într-o școală, 40 de elevi participă la cercul de atletism, 25 de elevi participă la cercul de înot, iar 12 elevi participă la ambele cercuri. Câți elevi participă la cel puțin unul dintre cele două cercuri?
- a) 65
- b) 53
- c) 77
- d) 41
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 53

Notăm $A$ = atletism, $B$ = înot. Avem $c a r d A = 40$ , $c a r d B = 25$ , $c a r d (A \cap B) = 12$ . Aplicăm formula: $c a r d (A \cup B) = 40 + 25 - 12 = 53$ . Dacă am fi adunat naiv $40 + 25 = 65$ , i-am fi numărat de două ori pe cei 12 elevi care fac ambele activități.
Într-un cerc de teatru, 15 elevi fac doar dans, 9 elevi fac doar canto, iar 6 elevi fac și dans, și canto. Toți elevii din cerc practică cel puțin una dintre cele două activități. Câți elevi are cercul de teatru în total?
- a) 24
- b) 30
- c) 15
- d) 21
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 30

Aici numerele date sunt deja zonele exclusive ale diagramei: doar dans = 15, doar canto = 9, mijlocul (ambele) = 6. Cum toți elevii fac cel puțin o activitate, zona „niciunul” este 0, iar totalul este suma celor trei zone interioare: $15 + 9 + 6 = 30$ de elevi.
Într-o tabără, 32 de copii merg la înot, 18 copii merg la tenis, iar 45 de copii merg la cel puțin una dintre activități. Câți copii merg la ambele activități?
- a) 5
- b) 50
- c) 45
- d) 15
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 5

Notăm $A$ = înot, $B$ = tenis. Din formula $c a r d (A \cup B) = c a r d A + c a r d B - c a r d (A \cap B)$ obținem $c a r d (A \cap B) = c a r d A + c a r d B - c a r d (A \cup B) = 32 + 18 - 45 = 5$ . Varianta b) este suma naivă $32 + 18$ , fără să scădem uniunea.

Întrebări conexe

De unde încep completarea unei diagrame cu două cercuri?

De la zona din mijloc, adică de la numărul celor care aparțin ambelor grupe. Toate celelalte valori se obțin apoi prin scădere. Dacă ai porni de la marginile cercurilor, ai risca să numeri de două ori elementele comune și totalul ar ieși greșit.

Ce zone are o diagramă cu două cercuri?

Patru: partea numai a primului cerc, partea numai a celui de-al doilea, zona comună din mijloc și spațiul din afara amândurora, rămas înăuntrul dreptunghiului. Adunate, cele patru dau totalul grupului, iar aceasta este verificarea desenului.

Ce înseamnă că un număr din enunț se referă la tot cercul?

Înseamnă că el include și elementele comune, deci nu se trece direct în zona exclusivă. Formularea douăzeci joacă fotbal cuprinde și pe cei care joacă și baschet. Când enunțul spune numai fotbal, numărul se scrie direct în partea din afara suprapunerii.

Cum aflu numărul elementelor comune când cunosc totalul reuniunii?

Aduni cardinalele celor două grupe și scazi numărul celor care fac cel puțin una dintre activități. Din $20 + 14 - 28$ obții $6$ elemente comune. Este întrebarea inversă a formulei obișnuite și apare des în enunțuri, sub forma câți practică amândouă sporturile.

Cum rezolv o problemă cu trei cercuri care se suprapun?

Începi tot din mijloc, cu zona comună tuturor celor trei grupe, și te extinzi spre exterior, scăzând de fiecare dată ce ai completat deja. Diagrama are opt zone, iar suma lor trebuie să dea numărul total de persoane din enunț.

Ce înseamnă formularea cel puțin una dintre activități?

Înseamnă reuniunea celor două grupe, deci toți cei care fac fie una, fie cealaltă, fie amândouă. Se calculează adunând totalurile și scăzând o dată partea comună. Formularea nu se confundă cu numai una, care lasă deoparte zona de mijloc.

Oamenii mai întreabă și: probleme cu diagrame Venn · cum se rezolvă problemele cu două mulțimi · numărarea elementelor din două grupe · principiul includerii și excluderii