Probleme de numărare cu diagrame Venn

Ai fost vreodată într-o situație în care o parte din colegi joacă fotbal, o parte joacă baschet, iar câțiva joacă amândouă sporturile? Cum afli atunci câți elevi sunt în total, fără să numeri pe nimeni de două ori? Exact la asta răspunde lecția de astăzi. Vei descoperi că o diagramă Venn bine completată transformă o problemă încurcată într-o socoteală simplă și clară. Hai să învățăm împreună cum se numără corect elementele când două mulțimi se suprapun.

Ce vei învăța

Vei ști să numeri elementele reuniunii a două mulțimi finite folosind o diagramă Venn.
Vei ști să aplici formula card(A ∪ B) = card A + card B − card(A ∩ B) și să înțelegi de ce funcționează.
Vei ști să completezi corect cele patru zone ale unei diagrame cu două mulțimi, pornind de la datele problemei.
Vei ști să rezolvi probleme practice de numărare din viața de zi cu zi (sport, limbi străine, jocuri, gusturi).
Vei ști să verifici că rezultatul tău este corect, adunând toate zonele diagramei.

Hai să descoperim împreună

De ce nu putem aduna pur și simplu

Să pornim de la o întâmplare reală din clasă. Doamna dirigintă întreabă: „Cine a citit Amintiri din copilărie?". Se ridică 18 mâini. Apoi întreabă: „Cine a citit Vrăjitorul din Oz?". Se ridică 15 mâini. Câți elevi au citit cel puțin una dintre cărți?

Tentația este să spunem repede: 18 + 15 = 33. Dar stai puțin! Unii copii au ridicat mâna de două ori, pentru că au citit amândouă cărțile. Pe aceia i-am numărat de două ori. Dacă în clasă sunt doar 25 de elevi, este clar că 33 e prea mult.

Aici intervine ideea centrală a lecției: când două grupuri se suprapun, simpla adunare numără de două ori elementele comune. Trebuie să scădem o dată ce am numărat în plus.

Îți reamintesc, din lecțiile anterioare, două noțiuni de care avem nevoie:

Reuniunea A ∪ B este mulțimea elementelor care sunt în A sau în B (sau în amândouă). Ai studiat-o la Reuniunea a două mulțimi.
Intersecția A ∩ B este mulțimea elementelor care sunt și în A, și în B (cele comune). Ai studiat-o la Intersecția a două mulțimi.
Cardinalul unei mulțimi finite, notat card A, este numărul de elemente al mulțimii. L-ai întâlnit la Mulțimi finite și infinite. Cardinalul.

Formula care rezolvă totul

Ideea de mai sus se scrie matematic foarte elegant:

card(A ∪ B) = card A + card B − card(A ∩ B)

Citită cu cuvinte: numărul elementelor reuniunii este egal cu numărul elementelor din A, plus numărul elementelor din B, minus numărul elementelor comune (din intersecție).

Această relație se numește, la nivel de gimnaziu, principiul includerii și excluderii (pentru două mulțimi). Nu te speria de numele lung: tot ce spune este „adună cele două mulțimi (incluziune), apoi exclude o dată ce ai numărat dublu (excluziune)".

Hai să verificăm pe povestea cu cărțile. Să presupunem că 8 elevi au citit ambele cărți. Atunci:

card(A ∪ B) = 18 + 15 − 8 = 25.

Deci 25 de elevi au citit cel puțin o carte. Acum totul se potrivește: dacă în clasă sunt fix 25 de elevi, înseamnă că toți au citit măcar una.

Cele patru zone ale diagramei

Diagrama Venn cu două mulțimi împarte „lumea" (mulțimea tuturor elementelor de care discutăm) în patru regiuni distincte. Le numim zone și este foarte util să le ții minte pe toate patru:

Doar A (în A, dar nu în B) — partea din cercul A care nu se suprapune. Se notează A \ B.
A și B (intersecția) — partea de suprapunere a celor două cercuri, adică A ∩ B.
Doar B (în B, dar nu în A) — partea din cercul B care nu se suprapune. Se notează B \ A.
Nici A, nici B — elementele din afara ambelor cercuri, dar care fac parte din mulțimea totală.

Diferența de mulțimi (A \ B și B \ A) ai învățat-o la Diferența a două mulțimi. Acum o folosim practic.

Observă o legătură foarte importantă între zone și cardinaluri:

card A = (doar A) + (A și B). Adică tot cercul A se compune din partea lui exclusivă plus partea comună.
card B = (doar B) + (A și B). La fel pentru cercul B.
card(A ∪ B) = (doar A) + (A și B) + (doar B). Reuniunea înseamnă tot ce e în cele două cercuri, fără a număra de două ori mijlocul.

De aici iese, încă o dată, formula noastră:

(doar A) + (A și B) + (doar B) = [(doar A) + (A și B)] + [(A și B) + (doar B)] − (A și B) = card A + card B − card(A ∩ B).

Strategia de completare a zonelor

Când primești o problemă practică, metoda cea mai sigură nu este să bagi direct numerele în formulă, ci să completezi zonele diagramei. Iată rețeta în pași mărunți:

Pasul 1 — Începe ÎNTOTDEAUNA cu mijlocul. Scrie în zona de suprapunere (A ∩ B) numărul celor care sunt în amândouă. De obicei, problema îți dă acest număr direct („… dintre care 5 fac și una, și alta").

Pasul 2 — Calculează zonele exclusive prin scădere.

doar A = card A − card(A ∩ B)
doar B = card B − card(A ∩ B)

Cu alte cuvinte: iei tot cercul și scoți partea comună, ca să rămână partea „pură".

Pasul 3 — Adună cele trei zone din interiorul cercurilor pentru a afla card(A ∪ B): card(A ∪ B) = (doar A) + (A și B) + (doar B).

Pasul 4 — Dacă există o mulțime totală, calculează zona din afară: (nici A, nici B) = total − card(A ∪ B).

Pasul 5 — Verifică. Suma tuturor celor patru zone trebuie să fie egală cu totalul. Dacă nu este, ai greșit pe undeva.

O analogie cu banii de buzunar

Imaginează-ți doi frați, Andrei și Bianca, care pun bani într-o pușculiță comună pentru un cadou. Andrei a pus 30 de lei, Bianca a pus 40 de lei. Dar 10 lei dintre aceștia provin dintr-o bancnotă pe care au primit-o împreună de la bunici și pe care au trecut-o, din greșeală, la amândoi în socoteală. Câți lei sunt de fapt în pușculiță?

Dacă adunăm naiv: 30 + 40 = 70 lei. Dar cei 10 lei comuni sunt numărați de două ori! Real: 30 + 40 − 10 = 60 lei. Vezi? Exact aceeași idee ca la diagramele Venn. Partea comună se scade o singură dată.

O analogie cu aplicațiile de pe telefon

Pe telefonul tău sunt 12 aplicații care folosesc internetul și 9 aplicații care îți trimit notificări. Multe folosesc și internet, și trimit notificări. Dacă spui că ai 12 + 9 = 21 de aplicații „speciale", greșești, fiindcă o aplicație ca aceea de mesaje este și pe o listă, și pe cealaltă. Ca să afli câte aplicații sunt pe cel puțin o listă, trebuie să scazi câte sunt pe ambele. Tehnologia din jurul tău este plină de astfel de socoteli.

Cuvintele-cheie din enunț: „și", „sau", „doar", „nici"

Un secret pentru problemele de numărare cu mulțimi finite este să citești atent cuvintele-cheie:

„și amândouă" / „și … și …" → intersecția (mijlocul diagramei).
„sau" / „cel puțin una" → reuniunea (tot interiorul cercurilor).
„doar" / „numai" → o zonă exclusivă (un cerc fără mijloc).
„nici … nici …" → zona din afara cercurilor.
„în total" / „toți" → mulțimea totală (tot dreptunghiul).

Antrenează-te să „traduci" enunțul în limbaj de zone. Aceasta este chiar competența 6.1: transpunerea unei situații reale în limbaj matematic.

Atenție la o capcană des întâlnită

Uneori problema îți spune că „20 de elevi joacă fotbal", dar din context se înțelege „numai fotbal" (doar A), iar alteori înseamnă „fotbal în total" (tot cercul A, inclusiv cei care joacă și baschet). Trebuie să fii foarte atent la formulare. Dacă scrie „joacă fotbal" fără alt cuvânt, de obicei înseamnă tot cercul. Dacă scrie „joacă doar fotbal", înseamnă zona exclusivă. O să exersăm amândouă variantele, ca să nu te mai păcălească nimeni.

Acum că ai înțeles ideea și strategia, hai să le punem la treabă pe exemple complet rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicarea directă a formulei

Într-o tabără, 24 de copii știu să înoate, 18 copii știu să meargă cu bicicleta, iar 11 copii știu amândouă. Câți copii știu cel puțin una dintre cele două activități?

Rezolvare. Notăm cu A mulțimea celor care înoată și cu B mulțimea celor care merg cu bicicleta. Avem:

card A = 24
card B = 18
card(A ∩ B) = 11 (cei care știu amândouă)

„Cel puțin una" înseamnă reuniunea. Aplicăm formula:

card(A ∪ B) = card A + card B − card(A ∩ B) = 24 + 18 − 11 = 31.

Răspuns: 31 de copii știu cel puțin una dintre activități. Observă cum, dacă am fi adunat naiv 24 + 18 = 42, am fi numărat de două ori cei 11 care le fac pe amândouă.

Exemplul 2 — Completarea celor patru zone

Clasa a VI-a B are 28 de elevi. Dintre ei, 16 fac engleză, 14 fac franceză, iar 7 fac amândouă limbile. Câți elevi fac doar engleză? Câți fac doar franceză? Câți nu fac nicio limbă dintre acestea două?

Rezolvare. Fie E mulțimea celor care fac engleză și F mulțimea celor care fac franceză.

card E = 16, card F = 14, card(E ∩ F) = 7, total = 28.

Pasul 1 — mijlocul: E ∩ F = 7.

Pasul 2 — zonele exclusive:

doar engleză = 16 − 7 = 9.
doar franceză = 14 − 7 = 7.

Pasul 3 — reuniunea: card(E ∪ F) = 9 + 7 + 7 = 23. (Sau, cu formula: 16 + 14 − 7 = 23. Coincide!)

Pasul 4 — zona din afară: nicio limbă = 28 − 23 = 5.

Pasul 5 — verificare: 9 + 7 + 7 + 5 = 28. ✓ Egal cu totalul, deci e corect.

Răspuns: 9 elevi fac doar engleză, 7 fac doar franceză, 5 nu fac niciuna.

Exemplul 3 — Când nu cunoaștem direct intersecția

La un concurs au participat 50 de elevi. La proba de matematică au luat premiu 30 de elevi, la proba de informatică au luat premiu 22 de elevi, iar 8 elevi nu au luat niciun premiu. Câți elevi au luat premiu la ambele probe?

Rezolvare. Fie M mulțimea premianților la matematică și I mulțimea premianților la informatică.

card M = 30, card I = 22, total = 50, fără premiu = 8.

Mai întâi aflăm câți au luat cel puțin un premiu (reuniunea): card(M ∪ I) = total − (fără premiu) = 50 − 8 = 42.

Acum folosim formula, dar de data aceasta ca să scoatem intersecția. Din card(M ∪ I) = card M + card I − card(M ∩ I) rezultă card(M ∩ I) = card M + card I − card(M ∪ I) = 30 + 22 − 42 = 10.

Verificare prin zone: doar M = 30 − 10 = 20; doar I = 22 − 10 = 12. Suma: 20 + 10 + 12 + 8 = 50. ✓

Răspuns: 10 elevi au luat premiu la ambele probe.

Exemplul 4 — Problemă „inversă": aflăm un total

Într-un magazin, 35 de clienți au cumpărat pâine, 28 au cumpărat lapte, 12 au cumpărat și pâine, și lapte, iar 9 clienți nu au cumpărat niciunul dintre aceste două produse. Câți clienți au intrat în magazin?

Rezolvare. Fie P = cumpărători de pâine, L = cumpărători de lapte.

card P = 35, card L = 28, card(P ∩ L) = 12, niciunul = 9.

Calculăm reuniunea: card(P ∪ L) = 35 + 28 − 12 = 51.

Numărul total de clienți = cei care au cumpărat cel puțin un produs + cei care nu au cumpărat niciunul: total = 51 + 9 = 60.

Verificare prin zone: doar pâine = 35 − 12 = 23; doar lapte = 28 − 12 = 16. Suma: 23 + 12 + 16 + 9 = 60. ✓

Răspuns: 60 de clienți au intrat în magazin.

Exemplul 5 — Atenție la cuvântul „doar"

Într-un club de jocuri, 13 copii joacă doar șah, 9 copii joacă doar table, iar 6 copii joacă și șah, și table. Câți copii joacă șah (în total)? Câți copii sunt în club, dacă 4 copii nu joacă niciunul dintre cele două jocuri?

Rezolvare. Aici, atenție! Numerele 13 și 9 sunt deja zonele exclusive, nu cercurile întregi.

doar șah = 13
doar table = 9
ambele = 6

Câți joacă șah în total? Tot cercul șah = doar șah + ambele = 13 + 6 = 19. Câți joacă table în total? Tot cercul table = doar table + ambele = 9 + 6 = 15.

Reuniunea = 13 + 6 + 9 = 28 de copii joacă cel puțin un joc.

Total club = 28 + 4 = 32 de copii.

Verificare: 13 + 6 + 9 + 4 = 32. ✓

Răspuns: 19 copii joacă șah în total, iar clubul are 32 de copii.

Exemplul 6 — Folosirea unei necunoscute

Într-o clasă de 30 de elevi, fiecare are cel puțin un animal de companie dintre câine și pisică. 18 elevi au câine, iar numărul celor care au și câine, și pisică este jumătate din numărul celor care au doar pisică. Câți elevi au pisică în total?

Rezolvare. Pentru că fiecare are cel puțin un animal, zona „niciun animal" este 0, deci reuniunea celor trei zone interioare este chiar 30.

Aici nu cunoaștem direct nicio zonă, așa că folosim o necunoscută. Notăm cu x numărul celor care au doar pisică. Cei care au amândouă animalele sunt jumătate din ei, adică x : 2 (notăm pe scurt x/2).

Cei care au câine (tot cercul câine) sunt 18. Tot cercul câine se compune din „doar câine" plus „amândouă", deci: doar câine + amândouă = 18 ⟹ doar câine = 18 − x/2.

Reuniunea (cele trei zone interioare) este 30: (doar câine) + (amândouă) + (doar pisică) = 30 (18 − x/2) + x/2 + x = 30 18 + x = 30 x = 12.

Deci: doar pisică = 12, amândouă = 12 : 2 = 6, doar câine = 18 − 6 = 12.

Verificare: 12 + 6 + 12 = 30. ✓ Pisică în total = doar pisică + amândouă = 12 + 6 = 18.

Răspuns: 18 elevi au pisică în total.

Un avertisment util. Când lucrezi cu o necunoscută, verifică mereu că toate zonele ies numere pozitive. Dacă, de exemplu, enunțul ar fi spus că „amândouă" este de două ori mai mare decât „doar pisică", am fi obținut amândouă = 2x și doar câine = 18 − 2x; din 18 + x = 30 ar ieși x = 12, deci amândouă = 24 și doar câine = 18 − 24 = −6, ceea ce este imposibil (nu există −6 elevi!). Un rezultat negativ este un semnal de alarmă: ori ai tradus greșit enunțul, ori datele problemei nu se potrivesc între ele. În astfel de cazuri, recitește cu atenție și caută greșeala.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Desenează de fiecare dată o diagramă Venn și completează zonele. La final, verifică adunând toate zonele.

1. Calculează card(A ∪ B) dacă card A = 20, card B = 15 și card(A ∩ B) = 6.

2. Calculează card(A ∪ B) dacă card A = 12, card B = 9 și mulțimile sunt disjuncte (nu au elemente comune).

3. Se știe că card A = 25, card B = 18 și card(A ∪ B) = 35. Cât este card(A ∩ B)?

4. Completează zonele: card A = 17, card B = 13, card(A ∩ B) = 5. Cât este „doar A"? Cât este „doar B"?

5. Adevărat sau fals: „Dacă două mulțimi nu au elemente comune, atunci card(A ∪ B) = card A + card B." Justifică.

6. Adevărat sau fals: „Întotdeauna card(A ∪ B) este mai mare decât card A + card B." Justifică.

7. Într-o echipă, 14 sportivi aleargă, 11 înoată, iar 5 fac amândouă. Câți sportivi fac cel puțin una dintre activități?

8. La o petrecere, 22 de copii au mâncat înghețată, 17 au mâncat tort, 9 au mâncat amândouă. Câți copii au mâncat doar tort?

9. Într-o clasă de 26 de elevi, 15 au telefon Android, 14 au telefon iPhone, iar 6 au amândouă tipurile de telefoane în casă. Câți elevi nu au niciunul dintre aceste tipuri?

10. La un test cu două probleme, 30 de elevi au rezolvat problema 1, 25 au rezolvat problema 2, iar fiecare elev a rezolvat cel puțin o problemă. Dacă în clasă sunt 40 de elevi, câți au rezolvat ambele probleme?

11. Potrivește fiecare expresie din enunț cu zona corespunzătoare a diagramei: (a) „joacă și fotbal, și tenis"; (b) „joacă doar fotbal"; (c) „nu joacă niciunul"; (d) „joacă cel puțin unul". Zone: (I) reuniunea; (II) intersecția; (III) o zonă exclusivă; (IV) afara cercurilor.

12. Într-o bibliotecă, 40 de cititori au împrumutat romane, 28 au împrumutat cărți de istorie, 13 au împrumutat din ambele categorii, iar 7 cititori nu au împrumutat nimic din aceste categorii. Câți cititori au trecut prin bibliotecă?

13. Încercuiește răspunsul corect. Dacă „doar A" = 8, „A și B" = 4, „doar B" = 6, atunci card(A ∪ B) este: (a) 18; (b) 14; (c) 22; (d) 12.

14. Desenează o diagramă Venn pentru: 12 elevi cântă la chitară, 9 cântă la pian, 4 cântă la amândouă instrumentele, iar 3 elevi nu cântă la niciunul. Scrie numărul în fiecare dintre cele patru zone și află câți elevi sunt în total.

15. Într-o clasă de 32 de elevi, 20 merg la cercul de robotică, iar numărul celor care merg și la robotică, și la cercul de pictură este egal cu numărul celor care merg doar la pictură. Dacă 6 elevi nu merg la niciun cerc, câți elevi merg la pictură în total?

16. O firmă are 50 de angajați. 31 vorbesc engleză, 23 vorbesc germană, iar 9 nu vorbesc niciuna dintre aceste limbi. Câți angajați vorbesc ambele limbi?

17. Adevărat sau fals: „Dacă A ⊆ B, atunci card(A ∪ B) = card B." Justifică folosind o diagramă.

18. Problemă de gândire: Într-un grup, numărul celor care practică doar fotbal este de 3 ori mai mare decât numărul celor care practică și fotbal, și baschet. Știind că 24 de persoane practică fotbal (în total) și 10 practică doar baschet, câte persoane sunt în grup, dacă toți practică cel puțin un sport?

Răspunsuri și explicații

1. card(A ∪ B) = 20 + 15 − 6 = 29. Scădem o dată cele 6 elemente comune.

2. Disjuncte înseamnă card(A ∩ B) = 0. Deci card(A ∪ B) = 12 + 9 − 0 = 21. Când nu există suprapunere, simpla adunare este corectă.

3. Din formulă: card(A ∩ B) = card A + card B − card(A ∪ B) = 25 + 18 − 35 = 8.

4. doar A = 17 − 5 = 12; doar B = 13 − 5 = 8. (Reuniunea ar fi 12 + 5 + 8 = 25.)

5. Adevărat. Dacă nu au elemente comune, card(A ∩ B) = 0, deci formula devine card(A ∪ B) = card A + card B − 0 = card A + card B.

6. Fals. card(A ∪ B) = card A + card B − card(A ∩ B). Deoarece scădem un număr mai mare sau egal cu 0, reuniunea este mai mică sau egală cu card A + card B, niciodată mai mare. Egalitatea apare doar când mulțimile sunt disjuncte.

7. Reuniunea: 14 + 11 − 5 = 20 de sportivi.

8. doar tort = 17 − 9 = 8 copii. (Cei 9 mănâncă și înghețată, și tort, deci nu sunt „doar tort".)

9. Reuniunea: 15 + 14 − 6 = 23. Niciunul = 26 − 23 = 3 elevi.

10. Reuniunea = 40 (fiecare a rezolvat cel puțin una). Atunci card(ambele) = 30 + 25 − 40 = 15 elevi.

11. (a) → II (intersecția); (b) → III (zonă exclusivă); (c) → IV (afara cercurilor); (d) → I (reuniunea).

12. Reuniunea: 40 + 28 − 13 = 55. Total = 55 + 7 = 62 de cititori. Verificare zone: doar romane 27, ambele 13, doar istorie 15, niciuna 7 → 27 + 13 + 15 + 7 = 62. ✓

13. card(A ∪ B) = 8 + 4 + 6 = 18. Răspuns corect: (a) 18.

14. doar chitară = 12 − 4 = 8; mijloc = 4; doar pian = 9 − 4 = 5; niciunul = 3. Total = 8 + 4 + 5 + 3 = 20 de elevi. (Reuniunea = 17.)

15. Notăm cu x numărul celor de la „doar pictură", egal cu numărul de la „ambele", deci ambele = x. Cei de la robotică în total = 20, deci doar robotică = 20 − x. Reuniunea = total − (niciunul) = 32 − 6 = 26. (doar robotică) + (ambele) + (doar pictură) = 26 ⟹ (20 − x) + x + x = 26 ⟹ 20 + x = 26 ⟹ x = 6. Pictură în total = doar pictură + ambele = 6 + 6 = 12 elevi. Verificare: doar robotică = 14, ambele 6, doar pictură 6, niciunul 6 → 14 + 6 + 6 + 6 = 32. ✓

16. Reuniunea = 50 − 9 = 41. Ambele = 31 + 23 − 41 = 13 angajați.

17. Adevărat. Dacă A ⊆ B, atunci tot ce e în A e și în B, deci A ∪ B = B (reuniunea nu adaugă nimic nou). Pe diagramă, cercul A este complet în interiorul cercului B, deci „suprafața totală" a celor două cercuri este chiar cercul B. Prin urmare card(A ∪ B) = card B.

un cerc mic A desenat complet în interiorul unui cerc mare B; reuniunea lor este exact cercul B.

18. Notăm cu y numărul celor care fac „și fotbal, și baschet" (ambele). Atunci doar fotbal = 3y. Fotbal în total = doar fotbal + ambele = 3y + y = 4y = 24, deci y = 6. Atunci ambele = 6, doar fotbal = 18, doar baschet = 10. Toți practică cel puțin un sport, deci total = 18 + 6 + 10 = 34 de persoane. Verificare: baschet în total = 10 + 6 = 16, fotbal în total = 24, reuniunea = 24 + 16 − 6 = 34. ✓

De reținut

Formula de aur: card(A ∪ B) = card A + card B − card(A ∩ B). Scădem intersecția fiindcă altfel o numărăm de două ori.
Diagrama Venn cu două mulțimi are patru zone: doar A, A ∩ B (mijlocul), doar B și afara cercurilor (nici A, nici B).
Începe mereu cu mijlocul (intersecția), apoi scade pentru zonele exclusive: doar A = card A − card(A ∩ B).
Verifică întotdeauna: suma celor patru zone trebuie să fie egală cu totalul.
Citește cuvintele-cheie: „și" = intersecție, „sau / cel puțin una" = reuniune, „doar / numai" = zonă exclusivă, „nici … nici" = afara cercurilor.

Greșeli frecvente

Aduni fără să scazi intersecția. Scrii card(A ∪ B) = card A + card B și uiți de „− card(A ∩ B)". Rezultatul iese prea mare. Cum eviți: desenează diagrama și întreabă-te „cine a fost numărat de două ori?".
Confunzi „doar A" cu „tot cercul A". Când scrii zona exclusivă, ții minte că tot cercul A = doar A + mijloc. „Doar A" se obține scăzând mijlocul. Cum eviți: subliniază în enunț cuvintele „doar" și „numai".
Uiți zona din afară. La totalul clasei/grupului trebuie să adaugi și pe cei care nu sunt în niciunul dintre cercuri. Cum eviți: după ce afli reuniunea, întreabă-te „mai există cineva în afara cercurilor?".
Nu verifici și accepți un rezultat negativ. Dacă o zonă îți iese număr negativ, ceva e greșit: ori ai citit prost enunțul, ori datele nu se potrivesc. Cum eviți: la final, adună toate zonele și compară cu totalul.

Joc acasă

Jocul 1 — Diagrama familiei. Pe o coală mare, desenează două cercuri care se suprapun. Etichetează un cerc „Îmi place ciocolata", celălalt „Îmi place înghețata". Întreabă fiecare membru al familiei și scrie numele lor în zona potrivită (doar ciocolată, amândouă, doar înghețată, niciuna). La final, numără fiecare zonă și verifică formula: card(A ∪ B) = card A + card B − card(A ∩ B).

Jocul 2 — Jocul cu zaruri. Aruncă două zaruri de mai multe ori (de exemplu 20 de ori). Notează de câte ori a apărut un număr par pe primul zar (mulțimea A) și de câte ori a apărut un număr mai mare ca 3 pe al doilea zar (mulțimea B). Pune fiecare aruncare în zona corectă a unei diagrame Venn și verifică numărătoarea.

Jocul 3 — Inventarul sertarului. Deschide un sertar cu jucării sau obiecte. Alege două proprietăți, de exemplu „este roșu" și „este de plastic". Sortează obiectele în cele patru zone ale unei diagrame desenate pe podea cu sfoară sau bandă adezivă. Numără zonele și scrie relația dintre cardinaluri.

Pentru părinți și învățători

Această lecție dezvoltă competențele 5.1 (analiza unor situații în contextul mulțimilor) și 6.1 (transpunerea în limbaj matematic). Esența nu este memorarea formulei, ci înțelegerea de ce scădem intersecția.

Cum să predați pas cu pas. Începeți cu o întrebare concretă din realitatea copilului: „Câți colegi joacă fotbal SAU baschet?". Lăsați-l să adune naiv, apoi provocați-l: „Dar pe Mihai, care joacă amândouă, de câte ori l-ai numărat?". Această contradicție creează nevoia formulei. Abia apoi introduceți diagrama și relația.

Întrebări utile de pus:

„Arată-mi pe desen unde stau cei care fac amândouă."
„Dacă tot cercul are 16 și mijlocul are 5, câți sunt doar în partea stângă? De ce?"
„Cum verificăm că rezultatul e corect?" (Răspuns: adunăm toate zonele și comparăm cu totalul.)
„Ce înseamnă cuvântul «doar» în această problemă?"

Cum sprijiniți elevul. Insistați ca elevul să deseneze întotdeauna diagrama și să completeze mijlocul primul. Mulți copii sar direct la formulă și greșesc la cuvântul „doar". Dacă obține un număr negativ, nu corectați voi — întrebați-l „poate exista un grup cu −3 persoane?" și lăsați-l să descopere greșeala.

Cum verificați că a înțeles. Dați-i o problemă „inversă" (cunoaște reuniunea și cere intersecția, ca în Exemplul 3). Dacă reușește să rearanjeze formula, a înțeles cu adevărat. Pentru aprofundare, reveniți la lecția Operații combinate cu mulțimi. Probleme.

Întrebări frecvente

Care este formula pentru numărul elementelor reuniunii a două mulțimi? Formula este card(A ∪ B) = card A + card B − card(A ∩ B). Adunăm numărul elementelor din fiecare mulțime și scădem numărul elementelor comune (intersecția), pentru că altfel le-am număra de două ori.

De ce trebuie să scădem intersecția când adunăm două mulțimi? Pentru că elementele comune apar în amândouă mulțimile. Când facem card A + card B, le numărăm o dată în A și încă o dată în B, deci de două ori. Scădem o dată card(A ∩ B) ca să le numărăm corect, o singură dată.

Ce este o diagramă Venn cu două mulțimi? Este un desen cu două cercuri care se pot suprapune, plasate într-un dreptunghi care reprezintă mulțimea totală. Cele două cercuri împart spațiul în patru zone: doar A, intersecția A ∩ B, doar B și zona din afara cercurilor (nici A, nici B).

Cum aflu câte elemente sunt „doar în A"? Iei numărul total de elemente din cercul A și scazi elementele comune: doar A = card A − card(A ∩ B). Practic, din tot cercul A scoți partea care se suprapune cu B și rămâne partea exclusivă a lui A.

Ce înseamnă „cel puțin una" în problemele cu mulțimi? „Cel puțin una" înseamnă reuniunea A ∪ B: elementele care sunt în A, în B sau în amândouă. Cuprinde toate cele trei zone din interiorul cercurilor, dar nu și zona din afară.

Cum calculez câte elemente nu sunt în niciuna dintre mulțimi? Scazi reuniunea din totalul tuturor elementelor: (nici A, nici B) = total − card(A ∪ B). Aceste elemente stau în afara ambelor cercuri, în restul dreptunghiului.

Ce fac dacă mi se cere intersecția, dar nu o cunosc? Rearanjezi formula: card(A ∩ B) = card A + card B − card(A ∪ B). De obicei afli mai întâi reuniunea (de exemplu, total minus cei care nu sunt în niciuna), apoi calculezi intersecția cu această relație.

De unde știu dacă un număr din enunț este „tot cercul" sau „doar zona exclusivă"? Te uiți la cuvinte. Dacă scrie „14 joacă fotbal", de obicei e tot cercul (inclusiv cei care fac și altceva). Dacă scrie „14 joacă doar fotbal" sau „numai fotbal", este zona exclusivă. La final, verifică adunând toate zonele: dacă suma nu dă totalul, ai interpretat greșit.