Cum rezolv o problemă de mișcare cu ecuații?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Mișcare, amestecuri și geometrie

Pleci de la legătura dintre distanță, viteză și timp, adică $d = v \cdot t$ , și pui pe hârtie ce se cunoaște. Când două mobile vin unul spre celălalt, se apropie cu suma vitezelor; când unul îl urmărește pe celălalt, contează diferența lor. Verifică unitățile și transformă minutele în ore. La $100$ km între ele, cu $40$ și $60$ km/h, întâlnirea are loc după o oră.

Ideea centrală a lecției: orice problemă practică — mișcare, amestec sau geometrie — se traduce în aceeași unealtă, o ecuație sau un sistem. La mișcare folosești $d = v \cdot t$ : dacă două mobile pornesc unul spre celălalt, viteza de apropiere este suma vitezelor, iar $t = \frac{D}{v _{1} + v _{2}}$ ; dacă merg în același sens (urmărire), contează diferența vitezelor. La amestecuri, ceea ce se conservă este cantitatea totală și substanța pură (nu procentele!): substanță = concentrație × cantitate, ceea ce dă de obicei un sistem de două ecuații. La geometrie, transformi în ecuație relații cunoscute: perimetrul $P = 2 (L + ℓ)$ sau suma unghiurilor ( $180°$ în triunghi, $360°$ în patrulater).

Exemplu minimal. Două mașini pornesc una spre cealaltă de la $100$ km distanță, cu $40$ km/h și $60$ km/h. Se apropie cu $40 + 60 = 100$ km/h, deci se întâlnesc după $t = \frac{100}{100} = 1$ oră.

De reținut

$d = v \cdot t$ , cu $v = \frac{d}{t}$ și $t = \frac{d}{v}$
apropiere: $v_{1} + v_{2}$ ; urmărire: $v_{1} - v_{2}$
amestec: substanță $=$ concentrație $\times$ cantitate

Greșeala tipică

Se adună procentele a două soluții, ca și cum ar fi cantități. Se adună doar substanța pură și volumul total, iar concentrația nouă iese din împărțirea lor.

Exerciții din această mini-lecție

Din două orașe aflate la $160$ km distanță pornesc, în același moment, unul spre celălalt, un autocar cu $50$ km/h și o mașină cu $30$ km/h. După cât timp se întâlnesc?
- a) $2$ ore
- b) $1, 5$ ore
- c) $2, 5$ ore
- d) $3$ ore
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$ ore

Cele două mobile se apropie, deci lucrezi cu suma vitezelor: $50 t + 30 t = 160 \Rightarrow 80 t = 160 \Rightarrow t = 2$ ore.
Într-un triunghi, al doilea unghi este cu $2 0^{\circ}$ mai mare decât primul, iar al treilea este de două ori cât primul. Care este măsura primului unghi?
- a) $3 0^{\circ}$
- b) $4 0^{\circ}$
- c) $5 0^{\circ}$
- d) $6 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4 0^{\circ}$

Fie $x$ primul unghi. Al doilea este $x + 20$ , al treilea $2 x$ . Suma unghiurilor unui triunghi este $18 0^{\circ}$ : $x + (x + 20) + 2 x = 180 \Rightarrow 4 x + 20 = 180 \Rightarrow x = 4 0^{\circ}$ .
Doi bicicliști pornesc din același loc, în același moment și în același sens, unul cu $20$ km/h și celălalt cu $12$ km/h. După cât timp vor fi la o distanță de $32$ km unul de celălalt?
- a) 2 ore
- b) 4 ore
- c) 6 ore
- d) 8 ore
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 4 ore

Fiind în același sens (urmărire), se depărtează cu diferența vitezelor: $20 - 12 = 8$ km/h. Timpul este $t = \frac{32}{8} = 4$ ore.

Întrebări conexe

Cum transform 45 de minute în ore pentru formula vitezei?

Împarți numărul de minute la $60$ , fiindcă ora are $60$ de minute. Astfel $45$ de minute înseamnă $\frac{45}{60} = 0, 75$ ore, iar $20$ de minute înseamnă $\frac{1}{3}$ de oră. Dacă lași minutele nepotrivite cu kilometrii pe oră, rezultatul iese de câteva zeci de ori mai mare.

Cum scriu ecuația unui amestec de două soluții?

Scrii două egalități: una pentru cantitatea totală, alta pentru substanța pură. Dacă amesteci $x$ litri de $10%$ cu $y$ litri de $30%$ și obții $20$ litri de $25%$ , atunci $x + y = 20$ și $0, 1 x + 0, 3 y = 5$ . Sistemul dă $x = 5$ și $y = 15$ .

Cât timp îi trebuie unui tren să treacă complet un pod?

Trenul parcurge lungimea podului plus propria lungime, fiindcă trebuie să iasă cu totul de pe el. Pentru un tren de $150$ m care trece un pod de $450$ m cu $20$ m/s, distanța este $600$ m, deci timpul iese $600 : 20 = 30$ de secunde.

Ce fac dacă mobilele pornesc la ore diferite?

Alegi ca necunoscută timpul mersului celui care pleacă al doilea și îi adaugi întârzierea celuilalt. Dacă primul are un avans de o oră, atunci el merge $x + 1$ ore, iar al doilea $x$ ore. Egalezi apoi distanțele parcurse sau suma lor, după cum cere enunțul.

Cum aflu viteza medie pe un drum dus-întors?

Împarți distanța totală la timpul total, nu media aritmetică a celor două viteze. La $60$ km dus cu $60$ km/h și întors cu $30$ km/h faci o oră plus două ore, deci $120 : 3 = 40$ km/h. Media simplă ar fi dat greșit $45$ .

Cum leg un enunț cu perimetru de o ecuație?

Notezi cu $x$ latura despre care enunțul spune cel mai puțin, apoi scrii celelalte laturi prin ea. Aduni tot conturul și egalezi cu perimetrul dat. La un triunghi cu laturile $x$ , $x + 2$ și $x + 4$ și perimetrul $24$ cm, iese $3 x + 6 = 24$ , deci $x = 6$ cm.

Oamenii mai întreabă și: probleme de mișcare cu ecuații · formula distanță viteză timp · probleme cu două mobile · probleme de amestec cu ecuații · când adun vitezele