Probleme practice cu ecuații și sisteme: mișcare, amestecuri și geometrie

Când două trenuri pornesc unul spre celălalt, când un barman amestecă două sucuri de concentrații diferite sau când un grădinar vrea să afle laturile unei parcele dreptunghiulare, în spatele fiecărei situații stă aceeași idee matematică: transformi enunțul într-o ecuație sau într-un sistem de două ecuații liniare și rezolvi. În această lecție înveți să recunoști tiparele celor mai frecvente probleme practice cu ecuații clasa 7 — de mișcare, de amestec și de geometrie plană — și să redactezi rezolvarea corect, cu unitățile de măsură potrivite. Este momentul în care algebra pe care ai învățat-o devine o unealtă reală pentru probleme din viața de zi cu zi.

Ce vei învăța

• Vei ști să rezolvi probleme de mișcare clasa 7 folosind relația dintre distanță, viteză și timp, atât pentru mobile care se apropie, cât și pentru mobile care se depărtează.
• Vei ști să transpui probleme de amestec clasa 7 (cantități și valori care se combină) într-o ecuație sau într-un sistem.
• Vei ști să rezolvi probleme de geometrie cu ecuații clasa 7: laturi, perimetre și unghiuri.
• Vei ști să alegi corect necunoscutele și să scrii un sistem de două ecuații pornind de la date practice.
• Vei ști să redactezi rezolvarea și să exprimi răspunsul cu unitățile de măsură corecte (km, km/h, litri, %, cm, grade).

Hai să descoperim împreună

Această lecție se sprijină pe tot ce ai construit deja în unitatea despre ecuații și sisteme. Dacă simți că ai nevoie de o recapitulare a pașilor generali, revezi lecția Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuației sau sistemului, iar pentru tehnicile de calcul, lecțiile despre metoda substituției și metoda reducerii. Aici ne concentrăm pe cum traduci un enunț concret în matematică.

Reține de la început schema în cinci pași pe care o vom folosi la fiecare problemă:

1. Citesc și notez datele și ce se cere.
2. Aleg necunoscuta/necunoscutele și scriu ce reprezintă fiecare, cu unitatea de măsură.
3. Scriu ecuația sau sistemul care leagă datele.
4. Rezolv corect din punct de vedere algebric.
5. Verific și interpretez rezultatul: are sens? are unitatea potrivită?

Hai să vedem cum arată această schemă pentru fiecare dintre cele trei tipuri mari de probleme.

1. Probleme de mișcare: distanță, viteză, timp

Toată teoria de care ai nevoie pentru probleme cu distanță viteză timp clasa 7 se sprijină pe o singură formulă, pe care o cunoști de la fizică:

$$d=v\cdot t$$

unde $d$ este distanța parcursă, $v$ este viteza (presupusă constantă), iar $t$ este timpul. Din ea obținem, prin transformări echivalente, celelalte două forme:

$$v=\frac{d}{t}\text{și}t=\frac{d}{v}.$$

Atenție la unități! Dacă viteza este în km/h, atunci timpul trebuie exprimat în ore, iar distanța în kilometri. Dacă un mobil merge cu $60$ km/h timp de $30$ de minute, nu înmulțești $60\cdot 30$; mai întâi transformi $30$ min $=0,5$ h și abia apoi $d=60\cdot 0,5=30$ km. Această mică grijă la unități te scapă de cele mai multe greșeli.

Cele mai interesante probleme apar când avem două mobile. Distingem două situații de bază.

a) Mobile care se apropie (merg unul spre celălalt). Să presupunem că din două orașe aflate la distanța $D$ pornesc, în același moment, două mașini una spre cealaltă, cu vitezele $v_1$ și $v_2$. În fiecare oră, distanța dintre ele scade cu $v_1+v_2$ kilometri, pentru că amândouă „mănâncă" din drum. De aceea viteza de apropiere este suma vitezelor:

$$v_{\text{apropiere}}=v_1+v_2.$$

Ele se întâlnesc după timpul

$$t=\frac{D}{v_1+v_2}.$$

Gândește-te la o analogie: dacă tu și un prieten strângeți simultan o coardă lungă, fiecare dintr-un capăt, coarda se strânge cu suma vitezelor voastre. Exact la fel se „strânge" distanța dintre două mobile care vin unul spre celălalt.

b) Mobile care se depărtează. Dacă cele două mobile pornesc simultan din același loc și merg în sensuri opuse, atunci în fiecare oră distanța dintre ele crește cu $v_1+v_2$. Dacă, în schimb, merg în același sens (unul îl urmărește pe celălalt), diferența dintre ei se schimbă cu diferența vitezelor, $v_1-v_2$ (presupunând $v_1>v_2$). Este exact ce se întâmplă la o cursă: cel mai rapid se distanțează de cel mai lent cu diferența vitezelor lor.

Reține, deci, două reguli de aur:

• sensuri opuse (spre sau dinspre) → lucrezi cu suma vitezelor;
• același sens (urmărire) → lucrezi cu diferența vitezelor.

2. Probleme de amestec: cantități și valori care se combină

La probleme de amestec clasa 7 combinăm două (sau mai multe) componente și urmărim fie cantitatea totală, fie o valoare (o cantitate de substanță, un preț, o sumă de bani). Ideea-cheie este că ceea ce se conservă rămâne egal înainte și după amestec:

• cantitatea totală se păstrează: ${\text{cantitate}}_1+{\text{cantitate}}_2={\text{cantitate}}_{\text{total}}$;
• „valoarea" utilă se păstrează: de exemplu, mililitri de substanță pură, sau lei din prețul total.

Să luăm exemplul clasic al soluțiilor de concentrație. Dacă avem $x$ litri dintr-o soluție de $20\%$ sare, cantitatea de sare din ea este $0,20\cdot x$ litri (adică $20\%$ din $x$). Formula generală a cantității de substanță pură este:

$$\text{substanța˘}=\text{concentrație}\times \text{cantitate de soluție}.$$

Când amesteci două soluții, sarea din prima plus sarea din a doua trebuie să fie egală cu sarea din amestecul final. Aceasta este ecuația de conservare pe care se sprijină aproape toate problemele cu amestecuri rezolvate clasa 7.

Același tipar apare și la amestecuri de mărfuri: dacă un comerciant amestecă $x$ kg de cafea de $30$ lei/kg cu $y$ kg de cafea de $50$ lei/kg, valoarea totală (în lei) se conservă:

$$30x+50y=\text{prețul total al amestecului}.$$

Vei observa că multe probleme de amestec conduc firesc la un sistem de două ecuații: una pentru cantitatea totală, alta pentru valoarea totală. De aceea ele intră perfect în categoria probleme aplicative cu sisteme clasa 7.

3. Probleme de geometrie în plan rezolvate cu ecuații

La probleme de geometrie cu ecuații clasa 7 folosim relații pe care le știi deja din geometria plană și le transformăm în ecuații. Cele mai des întâlnite:

• Perimetrul dreptunghiului: $P=2(L+\ell )$, unde $L$ este lungimea și $\ell$ lățimea.
• Perimetrul triunghiului: $P=a+b+c$ (suma laturilor).
• Suma unghiurilor unui triunghi: $180^{\circ }$.
• Suma unghiurilor unui patrulater convex: $360^{\circ }$ (revezi Patrulaterul convex).
• Unghiuri complementare: două unghiuri a căror sumă este $90^{\circ }$.
• Unghiuri suplementare: două unghiuri a căror sumă este $180^{\circ }$.

Ideea este mereu aceeași: notezi cu literă mărimea necunoscută (o latură, un unghi), exprimi celelalte mărimi în funcție de ea din condițiile problemei și scrii ecuația care leagă totul (de obicei, o formulă de perimetru sau o sumă de unghiuri).

De exemplu, dacă lungimea unui dreptunghi este cu $4$ cm mai mare decât lățimea, notezi lățimea cu $\ell$ și scrii lungimea ca $\ell +4$. Dacă știi perimetrul, ai imediat o ecuație într-o singură necunoscută. Iar dacă știi două relații între laturi, poți folosi un sistem. Vom vedea ambele variante în exemplele rezolvate.

Cum alegi între o ecuație și un sistem?

O întrebare firească: când folosesc o singură ecuație și când un sistem?

• Dacă poți exprima toate mărimile în funcție de o singură necunoscută, scrii o ecuație. (Exemplu: lungimea = lățime + 4.)
• Dacă ai două mărimi independente și două condiții care le leagă, este mai comod un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Ambele drumuri sunt corecte; alegerea ține de cât de comod ți se pare. Cu experiență, vei simți repede care variantă e mai scurtă. Pentru probleme cu două mobile, două cantități de amestecat sau două laturi cu două condiții, sistemul este de obicei cel mai natural — de aici numele probleme de mișcare rezolvate cu sisteme clasa a 7-a.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Mișcare, mobile care se apropie

Enunț. Două orașe, A și B, sunt la distanța de $210$ km. Din A pleacă un autocar cu $60$ km/h, iar în același moment din B pleacă un autoturism cu $80$ km/h, unul spre celălalt. După cât timp se întâlnesc și la ce distanță de A?

Rezolvare.

Pasul 1 — datele. $D=210$ km, $v_1=60$ km/h (din A), $v_2=80$ km/h (din B). Se cere timpul până la întâlnire și distanța de la A.

Pasul 2 — necunoscuta. Fie $t$ (în ore) timpul până la întâlnire.

Pasul 3 — ecuația. Cele două vehicule se apropie, deci în timpul $t$ acoperă împreună toată distanța:

$$60t+80t=210.$$

Pasul 4 — rezolvarea.

$$140t=210⟹t=\frac{210}{140}=1,5\text{ h}.$$

Distanța de la A este parcursă de autocar: $d_A=60\cdot 1,5=90$ km.

Pasul 5 — verificare. Autoturismul din B parcurge $80\cdot 1,5=120$ km, iar $90+120=210$ km. Corect.

Răspuns. Se întâlnesc după $1,5$ ore (adică $1$ h și $30$ min), la $90$ km de A.

Exemplul 2 — Mișcare, urmărire (același sens)

Enunț. Un biciclist pornește din oraș cu $15$ km/h. După $2$ ore, pe același drum și în același sens, pleacă un motociclist cu $45$ km/h. După cât timp de la plecarea motociclistului îl ajunge pe biciclist?

Rezolvare.

Datele. $v_1=15$ km/h (biciclist), $v_2=45$ km/h (motociclist), avans de $2$ ore pentru biciclist.

Necunoscuta. Fie $t$ timpul (în ore) de la plecarea motociclistului până la întâlnire.

Avansul. În cele $2$ ore de avans, biciclistul a parcurs $15\cdot 2=30$ km. Deci motociclistul are de recuperat $30$ km.

Ecuația. Merg în același sens, deci contează diferența vitezelor: motociclistul se apropie de biciclist cu $45-15=30$ km/h. El recuperează cei $30$ km în timpul $t$:

$$(45-15)\cdot t=30⟹30t=30⟹t=1\text{ h}.$$

Verificare. În ora de urmărire, biciclistul mai face $15$ km (total $30+15=45$ km de la plecarea lui). Motociclistul face $45\cdot 1=45$ km. Egale — se întâlnesc.

Răspuns. Motociclistul îl ajunge pe biciclist după $1$ oră de la plecarea sa.

Exemplul 3 — Amestec de soluții (concentrații)

Enunț. Un laborant amestecă o soluție de $10\%$ sare cu o soluție de $30\%$ sare și obține $8$ litri de soluție de $25\%$ sare. Câți litri din fiecare soluție a folosit?

Rezolvare.

Necunoscutele. Fie $x$ = litri de soluție de $10\%$ și $y$ = litri de soluție de $30\%$.

Ecuația cantităților. Cantitatea totală de soluție este $8$ litri:

$$x+y=8.$$

Ecuația sării (valoarea conservată). Sarea din prima soluție ($0,10x$) plus sarea din a doua ($0,30y$) egalează sarea din amestecul final ($0,25\cdot 8=2$ litri de sare):

$$0,10x+0,30y=2.$$

Sistemul. $$ \begin{cases} x + y = 8 \ 0{,}10x + 0{,}30y = 2 \end{cases} $$

Înmulțim a doua ecuație cu $10$ ca să scăpăm de zecimale: $x+3y=20$. Din prima, $x=8-y$. Substituim:

$$(8-y)+3y=20⟹8+2y=20⟹2y=12⟹y=6.$$

Atunci $x=8-6=2$.

Verificare. $0,10\cdot 2+0,30\cdot 6=0,2+1,8=2$ litri de sare, exact $25\%$ din $8$. Corect.

Răspuns. $2$ litri de soluție de $10\%$ și $6$ litri de soluție de $30\%$.

Exemplul 4 — Amestec de mărfuri

Enunț. Un comerciant amestecă două sortimente de cafea: unul de $40$ lei/kg și unul de $60$ lei/kg. Vrea $10$ kg de amestec care să coste $54$ lei/kg. Câte kilograme din fiecare sortiment îi trebuie?

Rezolvare.

Necunoscutele. $x$ = kg de cafea de $40$ lei/kg, $y$ = kg de cafea de $60$ lei/kg.

Ecuațiile. Cantitatea totală: $x+y=10$. Valoarea totală (în lei): $40x+60y=54\cdot 10=540$.

Din prima, $x=10-y$. Substituim în a doua:

$$40(10-y)+60y=540⟹400-40y+60y=540⟹400+20y=540.$$

$$20y=140⟹y=7,x=10-7=3.$$

Verificare. $40\cdot 3+60\cdot 7=120+420=540$ lei, adică $54$ lei/kg. Corect.

Răspuns. $3$ kg de cafea de $40$ lei/kg și $7$ kg de cafea de $60$ lei/kg.

Exemplul 5 — Geometrie: laturi și perimetru (dreptunghi)

Enunț. Un teren dreptunghiular are perimetrul de $84$ m. Lungimea este cu $6$ m mai mare decât dublul lățimii. Află dimensiunile terenului și aria lui.

Rezolvare.

Necunoscuta. Fie $\ell$ lățimea (în metri). Atunci lungimea este $L=2\ell +6$.

Ecuația. Perimetrul dreptunghiului este $P=2(L+\ell )=84$, deci $L+\ell =42$. Înlocuim:

$$(2\ell +6)+\ell =42⟹3\ell +6=42⟹3\ell =36⟹\ell =12.$$

Atunci $L=2\cdot 12+6=30$ m.

Verificare. $P=2(30+12)=2\cdot 42=84$ m. Corect. Lungimea, $30$, este într-adevăr cu $6$ mai mare decât dublul lățimii ($2\cdot 12=24$, iar $24+6=30$).

Aria. $\mathcal{A}=L\cdot \ell =30\cdot 12=360{\text{ m}}^2$.

Răspuns. Lățimea $12$ m, lungimea $30$ m, aria $360$ m².

Exemplul 6 — Geometrie: unghiuri într-un triunghi

Enunț. Într-un triunghi, al doilea unghi este cu $20^{\circ }$ mai mare decât primul, iar al treilea este de trei ori cât primul. Află măsurile celor trei unghiuri.

Rezolvare.

Necunoscuta. Fie $x$ măsura primului unghi (în grade). Atunci al doilea este $x+20$, iar al treilea $3x$.

Ecuația. Suma unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ }$:

$$x+(x+20)+3x=180⟹5x+20=180⟹5x=160⟹x=32.$$

Deci unghiurile sunt: $32^{\circ }$, $32+20=52^{\circ }$ și $3\cdot 32=96^{\circ }$.

Verificare. $32+52+96=180^{\circ }$. Corect.

Răspuns. Măsurile unghiurilor sunt $32^{\circ }$, $52^{\circ }$ și $96^{\circ }$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, respectând cei cinci pași (date → necunoscută → ecuație/sistem → rezolvare → verificare). Exercițiile sunt gradate de la ușor la greu.

1. Un tren merge cu $90$ km/h. Ce distanță parcurge în $40$ de minute? (Atenție la unități!)

2. Un pieton parcurge $12$ km în $3$ ore. Cu ce viteză (constantă) merge?

3. Din două localități aflate la $150$ km distanță pornesc, în același moment și una spre cealaltă, o mașină cu $50$ km/h și una cu $70$ km/h. După cât timp se întâlnesc?

4. Două șalupe pleacă în același moment din același port, în sensuri opuse, cu $25$ km/h și $35$ km/h. După câte ore distanța dintre ele va fi de $180$ km?

5. Un camion pleacă cu $50$ km/h. După $1$ oră pleacă din același loc, în același sens, o mașină cu $80$ km/h. După cât timp de la plecarea mașinii ajunge aceasta camionul din urmă?

6. Adevărat sau fals, cu motivare: „Dacă două mobile merg în același sens, viteza cu care se apropie este suma vitezelor lor."

7. Se amestecă $3$ litri de suc de $100\%$ fructe cu $2$ litri de apă. Ce concentrație (procent de fructe) are amestecul final?

8. Câți litri de soluție de $10\%$ trebuie amestecați cu $4$ litri de soluție de $40\%$ pentru a obține o soluție de $25\%$?

9. Un vânzător amestecă bomboane de $20$ lei/kg cu bomboane de $32$ lei/kg și obține $9$ kg de amestec de $28$ lei/kg. Câte kilograme din fiecare a folosit?

10. Un dreptunghi are perimetrul $60$ cm, iar lungimea este de $4$ ori cât lățimea. Află dimensiunile și aria lui.

11. Perimetrul unui triunghi este $48$ cm. A doua latură este cu $3$ cm mai lungă decât prima, iar a treia este cu $6$ cm mai lungă decât prima. Află lungimile laturilor.

12. Două unghiuri sunt suplementare. Unul este cu $40^{\circ }$ mai mare decât celălalt. Află măsurile lor.

13. Într-un patrulater convex, unghiurile sunt exprimate ca $x$, $x+10^{\circ }$, $x+20^{\circ }$ și $x+30^{\circ }$. Află valoarea lui $x$ și cele patru unghiuri.

14. Perimetrul unui dreptunghi este $46$ m. Dacă lungimea scade cu $2$ m și lățimea crește cu $3$ m, obținem un pătrat. Află dimensiunile inițiale ale dreptunghiului. (Indicație: scrie un sistem.)

15. Un biciclist parcurge distanța dintre două sate în $2$ ore, iar la întoarcere, din cauza vântului, cu o viteză cu $6$ km/h mai mică, în $3$ ore. Află distanța dintre sate și cele două viteze. (Indicație: distanța dus este egală cu distanța întors.)

16. Se toarnă $x$ litri dintr-o soluție de $60\%$ alcool peste $6$ litri de soluție de $20\%$ alcool și se obține o soluție de $32\%$. Află $x$.

17. Justifică, printr-un raționament: de ce, la două mobile care pornesc simultan unul spre celălalt de la distanța $D$, timpul până la întâlnire este $t=\frac{D}{v_1+v_2}$?

18. Un teren dreptunghiular are lungimea cu $5$ m mai mare decât lățimea. Dacă mărim fiecare latură cu $1$ m, aria crește cu $28$ m². Află dimensiunile inițiale. (Indicație: exprimă aria nouă și scade aria veche; produsul lățimilor se simplifică și rămâne o ecuație liniară.)

Răspunsuri și explicații

1. $40$ min $=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$ h. $d=90\cdot \frac{2}{3}=60$ km. Răspuns: $60$ km. (Fără transformarea unităților ai fi greșit total.)

2. $v=\frac{d}{t}=\frac{12}{3}=4$ km/h. Răspuns: $4$ km/h.

3. Se apropie: $50t+70t=150\Rightarrow 120t=150\Rightarrow t=1,25$ h $=1$ h $15$ min. Răspuns: $1,25$ ore.

4. Sensuri opuse → suma: $25t+35t=180\Rightarrow 60t=180\Rightarrow t=3$ h. Răspuns: după $3$ ore.

5. Atenție la logica enunțului: camionul (mai lent, $50$ km/h) pleacă primul; mașina (mai rapidă, $80$ km/h) pleacă după $1$ oră și îl ajunge din urmă. În ora de avans, camionul face $50$ km. Mașina recuperează cu diferența $80-50=30$ km/h: $(80-50)t=50\Rightarrow 30t=50\Rightarrow t=\frac{50}{30}=\frac{5}{3}$ h $=1$ h $40$ min. Răspuns: după $\frac{5}{3}$ ore (1 h și 40 min) de la plecarea mașinii.

6. Fals. La același sens, ele se apropie (unul pe altul) cu diferența vitezelor, nu cu suma. Suma vitezelor apare la sensuri opuse.

7. Fructele se conservă: $3$ litri de suc pur de fructe într-un amestec total de $3+2=5$ litri. Concentrația $=\frac{3}{5}=0,6=60\%$. Răspuns: $60\%$.

8. Fie $x$ litri de soluție de $10\%$. Ecuația substanței: $0,10x+0,40\cdot 4=0,25(x+4)$. Deci $0,10x+1,6=0,25x+1$. Rezultă $0,6=0,15x\Rightarrow x=4$. Răspuns: $4$ litri. (Verificare: $0,1\cdot 4+1,6=2$; $0,25\cdot 8=2$.)

9. $x+y=9$ și $20x+32y=28\cdot 9=252$. Din prima $x=9-y$: $20(9-y)+32y=252\Rightarrow 180+12y=252\Rightarrow 12y=72\Rightarrow y=6$, $x=3$. Răspuns: $3$ kg de $20$ lei/kg și $6$ kg de $32$ lei/kg.

10. $\ell$ = lățimea, $L=4\ell$. $P=2(4\ell +\ell )=10\ell =60\Rightarrow \ell =6$ cm, $L=24$ cm. Aria $=24\cdot 6=144$ cm². Răspuns: $6$ cm × $24$ cm, aria $144$ cm².

11. Prima latură $a$; a doua $a+3$; a treia $a+6$. $a+(a+3)+(a+6)=48\Rightarrow 3a+9=48\Rightarrow 3a=39\Rightarrow a=13$. Laturile: $13$, $16$, $19$ cm. (Verificare: $13+16+19=48$.) Răspuns: $13$ cm, $16$ cm, $19$ cm.

12. Suplementare → sumă $180^{\circ }$. $x+(x+40)=180\Rightarrow 2x=140\Rightarrow x=70$. Unghiurile: $70^{\circ }$ și $110^{\circ }$. Răspuns: $70^{\circ }$ și $110^{\circ }$.

13. Suma unghiurilor unui patrulater convex este $360^{\circ }$: $x+(x+10)+(x+20)+(x+30)=360\Rightarrow 4x+60=360\Rightarrow 4x=300\Rightarrow x=75$. Unghiurile: $75^{\circ },85^{\circ },95^{\circ },105^{\circ }$. Răspuns: $x=75^{\circ }$; unghiurile $75^{\circ },85^{\circ },95^{\circ },105^{\circ }$.

14. Fie $L$ lungimea și $\ell$ lățimea. Din perimetru: $2(L+\ell )=46\Rightarrow L+\ell =23$. Condiția de pătrat: $L-2=\ell +3\Rightarrow L-\ell =5$. Sistem: $L+\ell =23$, $L-\ell =5$. Adunând: $2L=28\Rightarrow L=14$, $\ell =9$. Răspuns: lungimea $14$ m, lățimea $9$ m. (Verificare: pătratul ar avea latura $14-2=12=9+3$. Corect.)

15. Distanța la dus = distanța la întors. Fie $v$ viteza la dus; la întoarcere $v-6$. Distanța dus: $2v$; distanța întors: $3(v-6)$. Egalăm: $2v=3(v-6)\Rightarrow 2v=3v-18\Rightarrow v=18$ km/h. Întoarcere: $18-6=12$ km/h. Distanța: $2\cdot 18=36$ km. (Verificare: $3\cdot 12=36$ km.) Răspuns: distanța $36$ km, vitezele $18$ km/h și $12$ km/h.

16. Substanța (alcoolul) se conservă: $0,60x+0,20\cdot 6=0,32(x+6)$. Deci $0,60x+1,2=0,32x+1,92\Rightarrow 0,28x=0,72\Rightarrow x=\frac{0,72}{0,28}=\frac{72}{28}=\frac{18}{7}\approx 2,57$ litri. Răspuns: $x=\frac{18}{7}$ litri $\approx 2,57$ litri.

17. În fiecare oră, primul mobil parcurge $v_1$ km, iar al doilea $v_2$ km, deci distanța dintre ele scade cu $v_1+v_2$ km/h — aceasta este viteza de apropiere. Împreună au de acoperit toată distanța $D$. Din $d=v\cdot t$ aplicat vitezei de apropiere: $D=(v_1+v_2)\cdot t$, de unde $t=\frac{D}{v_1+v_2}$.

18. Fie $\ell$ lățimea; lungimea $\ell +5$. Aria veche: $\ell (\ell +5)$. După mărire, laturile devin $\ell +1$ și $\ell +6$; aria nouă: $(\ell +1)(\ell +6)$. Diferența este $28$: $$(\ell +1)(\ell +6)-\ell (\ell +5)=28.$$ Desfacem parantezele (doar înmulțiri de numere și litere, permis la clasa a VII-a): $({\ell }^2+6\ell +\ell +6)-({\ell }^2+5\ell )={\ell }^2+7\ell +6-{\ell }^2-5\ell =2\ell +6$. Deci $2\ell +6=28\Rightarrow 2\ell =22\Rightarrow \ell =11$ m, lungimea $16$ m. Răspuns: lățimea $11$ m, lungimea $16$ m. (Verificare: aria veche $11\cdot 16=176$; aria nouă $12\cdot 17=204$; $204-176=28$. Corect. Termenul ${\ell }^2$ s-a simplificat, deci rămâne o ecuație liniară.)

De reținut

• Formula mișcării: $d=v\cdot t$, cu $v=\frac{d}{t}$ și $t=\frac{d}{v}$. Verifică mereu unitățile (transformă minutele în ore).
• Două mobile: sensuri opuse (spre/dinspre) → suma vitezelor; același sens (urmărire) → diferența vitezelor. Timpul de întâlnire la apropiere: $t=\frac{D}{v_1+v_2}$.
• Amestecuri: ceea ce se conservă (cantitatea totală, substanța pură, valoarea în lei) dă ecuația. Substanță $=$ concentrație $\times$ cantitate. Deseori rezultă un sistem de două ecuații.
• Geometrie cu ecuații: folosește $P=2(L+\ell )$, suma unghiurilor $=180^{\circ }$ (triunghi) sau $360^{\circ }$ (patrulater), unghiuri complementare $90^{\circ }$ și suplementare $180^{\circ }$.
• Redactare: notează necunoscuta cu unitatea ei, verifică soluția în enunț și scrie răspunsul cu unitatea corectă.

Greșeli frecvente

• Uiți să transformi unitățile. Înmulțești $60$ km/h cu $30$ (minute) și obții un număr fără sens. Corect: $30$ min $=0,5$ h. Verifică întotdeauna ca viteza, distanța și timpul să fie în unități compatibile.
• Confuzi suma cu diferența vitezelor. La mobile care se apropie sau se depărtează folosești suma; la urmărire (același sens) folosești diferența. Fă-ți un mic desen cu săgeți ca să vezi sensurile.
• La amestecuri, aduni procentele. Nu aduni $10\%$ cu $40\%$ ca să obții concentrația finală! Aduni cantitățile de substanță (litri de sare, kg de zahăr), nu procentele. Concentrația finală se obține împărțind substanța totală la cantitatea totală.
• La geometrie, confunzi perimetrul cu aria sau folosești formula greșită. Perimetrul dreptunghiului este $2(L+\ell )$, nu $L+\ell$; aria este $L\cdot \ell$. Scrie clar ce cere problema înainte de a alege formula.

Aplică acasă

• Cronometrează o deplasare. Când mergi cu părinții cu mașina pe autostradă, notează distanța dintre două indicatoare kilometrice și timpul dintre ele; calculează viteza medie cu $v=d/t$. Compară cu ce arată bordul.
• Fă-ți propria limonadă „cu procente". Prepară o băutură amestecând suc concentrat cu apă în proporții cunoscute (de exemplu $2$ părți suc la $3$ părți apă) și calculează concentrația finală de suc, ca la problemele de amestec. Schimbă proporțiile și recalculează.
• Măsoară o cameră. Măsoară lungimea și lățimea camerei tale, calculează perimetrul și aria, apoi inventează o problemă de tipul „lungimea e cu atât mai mare decât lățimea" și verifică dacă ecuația ta dă exact dimensiunile măsurate.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, elevul consolidează cea mai importantă competență a temei: traducerea unui enunț practic în limbaj matematic. Sprijinul cel mai util nu este să-i dați răspunsul, ci să-l ajutați să parcurgă cei cinci pași: Ce știm? Ce notăm cu literă? Ce relație leagă datele?

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „De ce ai ales aici suma vitezelor și acolo diferența?" (verifică înțelegerea sensurilor de mișcare)
• „La amestec, ce mărime se păstrează egală înainte și după?" (răspunsul corect: cantitatea de substanță/valoare, nu procentul)
• „Ai verificat soluția în enunțul inițial, nu doar în ecuație?"
• „Răspunsul tău are unitatea de măsură corectă?"

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: desenează spontan o schemă (drum cu săgeți, pahare de amestec, figura geometrică) înainte să scrie ecuația; poate explica cu cuvintele lui ce reprezintă fiecare necunoscută; verifică singur rezultatul. Dacă se blochează, reveniți la o problemă mai simplă cu o singură necunoscută înainte de a trece la sisteme.

Întrebări frecvente

Cum recunosc o problemă de mișcare la clasa a VII-a? Apar cuvinte precum viteză, distanță, timp, „pornesc unul spre celălalt", „îl ajunge din urmă", „dus-întors". Cheia este mereu relația $d=v\cdot t$. Dacă sunt două mobile, decide întâi dacă se apropie/depărtează (suma vitezelor) sau dacă e urmărire (diferența vitezelor).

Când folosesc suma și când diferența vitezelor? Folosești suma vitezelor când mobilele merg în sensuri opuse (una spre cealaltă sau depărtându-se). Folosești diferența vitezelor când merg în același sens și unul îl urmărește pe celălalt. Un desen cu săgeți te ajută să nu greșești.

De ce nu am voie să adun procentele la problemele de amestec? Pentru că procentul se raportează la cantități diferite. $10\%$ dintr-un litru înseamnă altceva decât $40\%$ din alt litru. Ceea ce se adună este cantitatea reală de substanță (litri de sare, kg de zahăr), iar concentrația finală se obține împărțind substanța totală la cantitatea totală de amestec.

Cum îmi dau seama dacă folosesc o ecuație sau un sistem? Dacă poți exprima tot în funcție de o singură necunoscută (de exemplu, lungimea = lățime + 4), scrii o singură ecuație. Dacă ai două mărimi independente și două condiții separate care le leagă, este mai comod un sistem de două ecuații. Ambele metode dau același răspuns corect.

Ce fac dacă în ecuația de amestec apar zecimale? Înmulțește toată ecuația cu $10$, $100$ etc., ca să elimini virgulele. De exemplu, $0,10x+0,30y=2$ devine $x+3y=20$ după înmulțire cu $10$. Calculul devine mult mai simplu și eviți greșelile cu zecimalele.

Trebuie neapărat să verific rezultatul? Da, este pasul care te salvează de multe greșeli. Înlocuiește soluția găsită în enunțul original, nu doar în ecuație, și vezi dacă totul se potrivește. Verifică și dacă răspunsul are sens practic (o viteză nu poate fi negativă, o latură nu poate fi $0$).

Se pot rezolva problemele de geometrie fără ecuații? Unele, mai simple, da — prin raționament direct. Dar ecuațiile îți oferă o metodă sigură și organizată, mai ales când sunt mai multe condiții. La clasa a VII-a folosim relații cunoscute (perimetru, sumă de unghiuri) și le transformăm în ecuații, ceea ce reprezintă exact competența cerută de programă.

Unde mai găsesc probleme de acest tip pentru exersat? Revezi și lecțiile conexe: Probleme rezolvate cu ecuații de gradul I, Probleme rezolvate cu sisteme de două ecuații liniare și Probleme practice cu vârste și bani. Toate folosesc aceeași schemă în cinci pași, doar contextul diferă.