Cum rezolv o problemă cu două necunoscute?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Probleme cu sisteme de ecuații

Când enunțul ascunde două mărimi și îți dă două informații despre ele, notezi mărimile cu $x$ și $y$ și transformi fiecare informație într-o egalitate. Împreună se traduce prin $x + y$ , iar cu atât mai mare prin scăderea celor două. Rezolvi sistemul prin substituție sau prin reducere, apoi controlezi perechea găsită direct în text. Din sumă $20$ și diferență $4$ ies $x = 12$ și $y = 8$ .

O problemă are nevoie de un sistem de două ecuații exact atunci când ascunde două necunoscute și îți oferă două condiții separate care le leagă. Pasul cheie e traducerea: notezi fiecare necunoscută cu o literă ( $x$ și $y$ ), apoi transformi fiecare condiție a enunțului într-o ecuație — „împreună/suma" devine $x + y = total$ , iar „cu $d$ mai mare" devine $x - y = d$ . După ce ai sistemul, îl rezolvi prin substituție (când o necunoscută e ușor de izolat) sau reducere (când coeficienții aceleiași necunoscute sunt egali sau opuși). Nu uita ultimul pas, cel mai des sărit: verifici perechea $(x, y)$ direct în enunț, nu doar în ecuații, ca să prinzi și greșelile de traducere.

Exemplu minimal: suma a două numere e 20, diferența lor e 4. ${x + y = 20 x - y = 4$ . Adunând ecuațiile: $2 x = 24 \Rightarrow x = 12$ , apoi $y = 8$ .

De reținut

două necunoscute și două condiții cer un sistem
împreună dă $x + y$ , iar cu $d$ mai mare dă $x - y = d$
perechea $(x, y)$ se verifică în enunț, nu doar în ecuații

Greșeala tipică

Se folosește aceeași literă pentru două mărimi diferite, iar cele două condiții se strâng într-o singură ecuație. Fiecare mărime necunoscută cere litera ei.

Exerciții din această mini-lecție

Suma a două numere este 50, iar diferența lor este 12. Care este numărul mai mare?
- a) 19
- b) 25
- c) 31
- d) 38
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 31

Sistemul este ${x + y = 50 x - y = 12$ . Adunând ecuațiile: $2 x = 62 \Rightarrow x = 31$ , apoi $y = 19$ . Numărul mai mare este 31.
Suma vârstelor a doi frați este 45 de ani, iar fratele mai mare are cu 5 ani mai mult decât cel mic. Notând $x$ = vârsta fratelui mare și $y$ = vârsta fratelui mic, care sistem descrie corect problema?
- a) $x + y = 45, x - y = 5$
- b) $x + y = 45, y - x = 5$
- c) $x - y = 45, x + y = 5$
- d) $x + y = 5, x - y = 45$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x + y = 45, x - y = 5$

„Suma" devine $x + y = 45$ . „Fratele mare are cu 5 ani mai mult" înseamnă $x - y = 5$ (mare minus mic), nu invers. Varianta corectă este a.
Suma a două numere este 60, iar diferența lor este 8. Care este numărul mai mare?
- a) 24
- b) 26
- c) 34
- d) 44
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) 34

Sistemul este ${x + y = 60 x - y = 8$ . Adunând ecuațiile: $2 x = 68 \Rightarrow x = 34$ , apoi $y = 26$ . Numărul mai mare este 34.

Întrebări conexe

Cum rezolv problema cu găini și iepuri în aceeași curte?

Notezi cu $x$ numărul de găini și cu $y$ pe cel de iepuri. Capetele dau $x + y$ , iar picioarele $2 x + 4 y$ . Pentru $20$ de capete și $56$ de picioare obții $x + y = 20$ și $2 x + 4 y = 56$ , de unde $y = 8$ iepuri și $x = 12$ găini.

Cum scriu sistemul pentru două tipuri de bilete vândute?

Prima ecuație numără biletele, a doua adună banii. La $x$ bilete de $10$ lei și $y$ bilete de $25$ de lei, cu $30$ de bilete vândute și $525$ de lei încasați, scrii $x + y = 30$ și $10 x + 25 y = 525$ .

Ce fac dacă a doua condiție repetă prima?

Atunci sistemul nu are informații de ajuns și perechile care îl verifică sunt nesfârșite. Se vede când o ecuație este multiplul celeilalte, cum se întâmplă la $x + y = 10$ și $2 x + 2 y = 20$ . Într-o problemă reală, semnalul e că o condiție a fost citită de două ori.

Cum aflu două numere știind suma și raportul lor?

Scrii suma ca o ecuație și raportul ca a doua. Dacă totalul este $45$ și unul este de patru ori celălalt, ai $x + y = 45$ și $x = 4 y$ . Înlocuind, obții $5 y = 45$ , deci $y = 9$ și $x = 36$ . Raportul se traduce printr-o înmulțire, nu printr-o scădere.

Cum scriu sistemul unei probleme cu perimetru și diferență de laturi?

Perimetrul dă prima ecuație, iar comparația dintre laturi o dă pe a doua. La un dreptunghi cu perimetrul $36$ cm și lungimea cu $4$ cm mai mare decât lățimea, scrii $2 (x + y) = 36$ și $x - y = 4$ . Rezultă $x = 11$ cm și $y = 7$ cm.

Ce unități pun lângă x și y într-o problemă cu sistem?

Aceleași unități cu ale mărimilor pe care le înlocuiesc. Dacă $x$ înseamnă un număr de creioane, rămâne un întreg fără unitate; dacă înseamnă un preț, se măsoară în lei. Scrise lângă litere de la început, unitățile îți arată imediat dacă ai adunat lucruri de feluri diferite.

Oamenii mai întreabă și: probleme cu sisteme de ecuații · probleme cu două necunoscute · sistem de două ecuații probleme rezolvate · cum scriu sistemul dintr-o problemă · problema cu capete și picioare