Probleme rezolvate cu ajutorul sistemelor de două ecuații liniare

Imaginează-ți că ești la magazin și vezi doi prieteni ieșind: unul a plătit 29 de lei pentru 5 kilograme de mere și 3 kilograme de pere, celălalt a plătit 23 de lei pentru 2 kilograme de mere și 5 kilograme de pere. Poți afla, doar din aceste două informații, cât costă un kilogram de mere și cât costă un kilogram de pere? Da — și nu prin ghicit, ci printr-un instrument matematic elegant: sistemul de două ecuații liniare. Când o problemă ascunde două mărimi necunoscute și îți oferă două condiții care le leagă, sistemul este exact unealta potrivită. În această lecție înveți să traduci enunțul în două ecuații, să rezolvi sistemul prin substituție sau reducere și să dai un răspuns complet, verificat.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști problemele care se rezolvă cu un sistem de două ecuații liniare (adică cele cu două necunoscute și două condiții).
• Vei ști să notezi cele două necunoscute cu $x$ și $y$ și să scrii, din enunț, cele două ecuații ale sistemului.
• Vei ști să rezolvi sistemul alegând metoda potrivită (substituție sau reducere) și să obții perechea $(x,y)$.
• Vei ști să verifici soluția în ambele condiții ale problemei, nu doar în ecuații.
• Vei ști să interpretezi valorile găsite și să formulezi un răspuns complet, cu unități de măsură.

Hai să descoperim împreună

Când folosești un sistem și nu o singură ecuație?

În lecția Probleme rezolvate cu ajutorul ecuațiilor de gradul I ai văzut probleme cu o singură necunoscută: notai $x$ și scriai o singură ecuație. Acolo, dacă apărea o a doua mărime, o exprimai tot prin $x$ (de exemplu „al doilea număr este cu 5 mai mare", deci $x+5$).

Uneori însă cele două mărimi sunt legate mai natural prin două condiții separate, iar exprimarea uneia prin cealaltă ar complica lucrurile. În aceste cazuri este mult mai clar să dăm fiecărei necunoscute litera ei: una $x$, cealaltă $y$. Semnalul că ai nevoie de un sistem este simplu:

Regula de recunoaștere: dacă în problemă apar două mărimi necunoscute și enunțul îți oferă două informații (condiții) diferite care le leagă, atunci scrie un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Numărul de ecuații trebuie să fie egal cu numărul de necunoscute. Două necunoscute cer două ecuații — nici mai puține (n-ai putea găsi o soluție unică), nici mai multe (ar fi informație în plus).

Cei cinci pași ai rezolvării

Ca și la problemele cu o ecuație, urmăm un plan clar. Îl ai detaliat în lecția Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuației sau sistemului; aici îl aplicăm mereu la două necunoscute:

1. Notarea necunoscutelor. Citești cu atenție ce se cere și notezi cele două mărimi: „Fie $x$ = ... și $y$ = ...". Scrie clar și unitatea de măsură (lei, ani, kg, cm).
2. Scrierea sistemului. Transformi fiecare condiție din enunț într-o ecuație. Obții două ecuații pe care le grupezi cu acolada de sistem.
3. Rezolvarea sistemului. Alegi metoda substituției sau a reducerii și găsești perechea $(x,y)$.
4. Verificarea. Înlocuiești valorile găsite în ambele condiții ale problemei (nu doar în ecuații) și te asiguri că totul se potrivește.
5. Interpretarea și răspunsul. Traduci numerele înapoi în limbajul problemei și scrii o propoziție completă, cu unități.

Hai să punem planul la lucru pe o problemă mică, pas cu pas.

Prima problemă lucrată foarte lent

Suma a două numere naturale este 40, iar diferența lor este 6. Care sunt numerele?

Pasul 1 — Notăm necunoscutele. Sunt două numere necunoscute. Le dăm câte o literă: Fie $x$ = numărul mai mare și $y$ = numărul mai mic.

Pasul 2 — Scriem sistemul. Enunțul are două condiții:

• „Suma lor este 40" → $x+y=40$.
• „Diferența lor este 6" → $x-y=6$.

Le adunăm sub acoladă:

$$\{\begin{array}{l}x+y=40\\ x-y=6\end{array}$$

Pasul 3 — Rezolvăm. Aici cea mai rapidă cale este metoda reducerii: dacă adunăm cele două ecuații, termenii $+y$ și $-y$ se anulează:

$$(x+y)+(x-y)=40+6⟹2x=46⟹x=23.$$

Înlocuim $x=23$ în prima ecuație: $23+y=40⟹y=17$.

Pasul 4 — Verificăm în condițiile problemei. Suma: $23+17=40$ ✓. Diferența: $23-17=6$ ✓. Perfect.

Pasul 5 — Răspuns. Cele două numere sunt 23 și 17.

Observi cât de curat a ieșit? Fiecare condiție a devenit o ecuație, iar reducerea a topit una dintre necunoscute. Aceasta este ideea centrală a întregii lecții.

Cum alegi metoda: substituție sau reducere?

Ambele metode duc la același rezultat corect; alegi după forma sistemului, ca să ai cât mai puțin calcul.

• Metoda substituției este comodă când una dintre necunoscute este deja „singură" sau ușor de izolat: apare cu coeficientul $1$ sau $-1$, ori enunțul spune direct „unul este dublul celuilalt" ($x=2y$). Exprimi acea necunoscută și o înlocuiești în cealaltă ecuație.
• Metoda reducerii este comodă când aceeași necunoscută apare cu coeficienți egali sau opuși (ca $+y$ și $-y$ mai sus), sau când îi poți face egali înmulțind o ecuație cu un număr. Aduni sau scazi ecuațiile ca să elimini o necunoscută.

Sfat de aur: nu contează ce metodă alegi, contează să ajungi corect la $(x,y)$. Dacă te blochezi cu una, încearcă cealaltă — soluția este aceeași.

Capcana traducerii: „cu ... mai mult", „de ... ori", „împreună"

Cea mai frecventă greșeală nu este la calcul, ci la traducerea cuvintelor în simboluri. Reține aceste corespondențe:

Fii atent mai ales la ordinea din scădere: „$x$ cu 6 mai mare decât $y$" înseamnă $x-y=6$, nu $y-x=6$. Dacă greșești semnul, îți iese o necunoscută negativă acolo unde nu ar trebui.

De ce merită să verifici în enunț, nu doar în ecuații

S-ar putea să rezolvi corect sistemul, dar să fi tradus greșit o condiție. De aceea, la pasul 4, revii la textul original și te întrebi: „Se potrivesc numerele mele cu ce spune problema?" Dacă enunțul cerea numere naturale și îți iese $y=-3$, ceva e în neregulă la traducere. Verificarea în enunț te prinde exact aceste greșeli, nu doar erorile de calcul.

Acum că ai planul complet, hai să vedem mai multe tipuri de probleme rezolvate integral.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Prețuri (metoda reducerii)

La o papetărie, 3 caiete și 2 pixuri costă 23 de lei. Cinci caiete și 2 pixuri costă 33 de lei. Cât costă un caiet și cât costă un pix?

Notăm: Fie $x$ = prețul unui caiet (lei) și $y$ = prețul unui pix (lei).

Sistemul: $$\{\begin{array}{l}3x+2y=23\\ 5x+2y=33\end{array}$$

Rezolvăm prin reducere. Necunoscuta $y$ apare de două ori cu același coeficient, $2$. Scădem prima ecuație din a doua:

$$(5x+2y)-(3x+2y)=33-23⟹2x=10⟹x=5.$$

Înlocuim $x=5$ în prima ecuație: $3\cdot 5+2y=23⟹15+2y=23⟹2y=8⟹y=4$.

Verificăm în enunț: 3 caiete și 2 pixuri: $3\cdot 5+2\cdot 4=15+8=23$ lei ✓. 5 caiete și 2 pixuri: $5\cdot 5+2\cdot 4=25+8=33$ lei ✓.

Răspuns: Un caiet costă 5 lei, iar un pix costă 4 lei.

Exemplul 2 — Fructe cu doi coeficienți diferiți (reducere cu amplificare)

Cinci kilograme de mere și 3 kilograme de pere costă 29 de lei. Două kilograme de mere și 5 kilograme de pere costă 23 de lei. Cât costă un kilogram din fiecare?

Notăm: Fie $x$ = prețul unui kilogram de mere (lei) și $y$ = prețul unui kilogram de pere (lei).

Sistemul: $$\{\begin{array}{l}5x+3y=29\\ 2x+5y=23\end{array}$$

Rezolvăm prin reducere. De data aceasta niciun coeficient nu e egal, așa că îi „potrivim" noi. Ca să eliminăm $x$, îi facem coeficienții egali: înmulțim prima ecuație cu $2$ și pe a doua cu $5$ (fiindcă $5\cdot 2=2\cdot 5=10$):

$$\{\begin{array}{l}10x+6y=58\\ 10x+25y=115\end{array}$$

Scădem prima din a doua, iar termenii $10x$ se anulează:

$$(10x+25y)-(10x+6y)=115-58⟹19y=57⟹y=3.$$

Înlocuim $y=3$ în prima ecuație a sistemului inițial: $5x+3\cdot 3=29⟹5x+9=29⟹5x=20⟹x=4$.

Verificăm în enunț: $5\cdot 4+3\cdot 3=20+9=29$ lei ✓; $2\cdot 4+5\cdot 3=8+15=23$ lei ✓.

Răspuns: Un kilogram de mere costă 4 lei, iar unul de pere 3 lei. (Reține tehnica: când coeficienții nu se potrivesc, înmulțești fiecare ecuație cu un număr ales astfel încât o necunoscută să apară cu același coeficient, apoi reduci.)

Exemplul 3 — Dreptunghi (metoda substituției)

Un teren dreptunghiular are perimetrul de 54 m. Lungimea este cu 7 m mai mare decât lățimea. Află dimensiunile terenului.

Notăm: Fie $L$ = lungimea (m) și $l$ = lățimea (m).

Sistemul. Perimetrul dreptunghiului este $P=2(L+l)$, deci $2(L+l)=54$, adică $L+l=27$. A doua condiție: $L=l+7$.

$$\{\begin{array}{l}L+l=27\\ L=l+7\end{array}$$

Rezolvăm prin substituție. A doua ecuație ne dă deja $L$ exprimat prin $l$. Îl înlocuim în prima:

$$(l+7)+l=27⟹2l+7=27⟹2l=20⟹l=10.$$

Atunci $L=l+7=10+7=17$.

Verificăm în enunț: Perimetrul: $2(17+10)=2\cdot 27=54$ m ✓. Lungimea depășește lățimea cu $17-10=7$ m ✓.

Răspuns: Terenul are lungimea de 17 m și lățimea de 10 m.

Exemplul 4 — Problemă de vârste (substituție cu o condiție „peste ani")

Astăzi, un tată are de 4 ori vârsta fiului său. Peste 5 ani, tatăl va avea de 3 ori vârsta fiului. Ce vârstă are fiecare acum?

Notăm: Fie $x$ = vârsta tatălui azi (ani) și $y$ = vârsta fiului azi (ani).

Sistemul. Prima condiție (azi): $x=4y$. A doua condiție (peste 5 ani, fiecare are cu 5 ani mai mult): $x+5=3(y+5)$.

$$\{\begin{array}{l}x=4y\\ x+5=3(y+5)\end{array}$$

Rezolvăm prin substituție. Prima ne dă $x=4y$. Înlocuim în a doua:

$$4y+5=3(y+5)⟹4y+5=3y+15⟹4y-3y=15-5⟹y=10.$$

Atunci $x=4\cdot 10=40$.

Verificăm în enunț: Azi tatăl are $40$, fiul $10$; $40=4\cdot 10$ ✓. Peste 5 ani: tatăl $45$, fiul $15$; $45=3\cdot 15$ ✓.

Răspuns: Acum tatăl are 40 de ani, iar fiul 10 ani.

Exemplul 5 — Bilete la meci (reducere după simplificare)

La un meci s-au vândut 180 de bilete, unele pentru adulți (30 lei) și altele pentru copii (15 lei). Încasările totale au fost 4200 de lei. Câte bilete de fiecare fel s-au vândut?

Notăm: Fie $x$ = numărul biletelor de adult și $y$ = numărul biletelor de copil.

Sistemul: $$\{\begin{array}{l}x+y=180\\ 30x+15y=4200\end{array}$$

Rezolvăm. Împărțim a doua ecuație la $15$ (ca să lucrăm cu numere mici): $2x+y=280$. Sistemul devine:

$$\{\begin{array}{l}x+y=180\\ 2x+y=280\end{array}$$

Scădem prima din a doua: $(2x+y)-(x+y)=280-180⟹x=100$. Apoi din prima: $100+y=180⟹y=80$.

Verificăm în enunț: Total bilete: $100+80=180$ ✓. Încasări: $30\cdot 100+15\cdot 80=3000+1200=4200$ lei ✓.

Răspuns: S-au vândut 100 de bilete de adult și 80 de bilete de copil.

Exemplul 6 — Găini și iepuri (capete și picioare)

Într-o curte sunt găini și iepuri, în total 35 de capete și 94 de picioare. Câte găini și câți iepuri sunt?

Notăm: Fie $g$ = numărul de găini și $i$ = numărul de iepuri.

Sistemul. Fiecare animal are un cap: $g+i=35$. Găina are 2 picioare, iepurele 4: $2g+4i=94$.

$$\{\begin{array}{l}g+i=35\\ 2g+4i=94\end{array}$$

Rezolvăm prin substituție. Din prima: $g=35-i$. Înlocuim în a doua:

$$2(35-i)+4i=94⟹70-2i+4i=94⟹70+2i=94⟹2i=24⟹i=12.$$

Atunci $g=35-12=23$.

Verificăm în enunț: Capete: $23+12=35$ ✓. Picioare: $2\cdot 23+4\cdot 12=46+48=94$ ✓.

Răspuns: În curte sunt 23 de găini și 12 iepuri.

Să exersăm

Rezolvă fiecare problemă parcurgând toți pașii: notează necunoscutele, scrie sistemul, rezolvă-l și verifică. Sunt gradate de la ușor la mai greu.

1. Suma a două numere este 30, iar diferența lor este 8. Află numerele.
2. Suma a două numere este 100, iar unul este cu 20 mai mare decât celălalt. Care sunt numerele?
3. Două caiete și un pix costă 17 lei; un caiet și un pix costă 11 lei. Cât costă un caiet și cât un pix?
4. Fie sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=25\\ 2x+3y=60\end{array}$. Rezolvă-l prin metoda substituției.
5. Rezolvă prin reducere: $\{\begin{array}{l}3x+2y=16\\ x+2y=8\end{array}$.
6. Perimetrul unui dreptunghi este 40 cm, iar lungimea este de 3 ori cât lățimea. Află dimensiunile.
7. Suma vârstelor unei mame și a fiicei este 40 de ani, iar mama are de 3 ori vârsta fiicei. Ce vârstă are fiecare?
8. La un spectacol s-au vândut 150 de bilete: adulți (20 lei) și copii (10 lei). Încasările au fost 2600 lei. Câte bilete de fiecare fel s-au vândut?
9. Un număr de două cifre are suma cifrelor 12, iar cifra zecilor este cu 2 mai mare decât cifra unităților. Află numărul.
10. Rezolvă: $\{\begin{array}{l}x-y=5\\ x+y=23\end{array}$.
11. Rezolvă prin reducere: $\{\begin{array}{l}5x+2y=34\\ 3x+2y=26\end{array}$.
12. Doi prieteni au împreună 90 de lei; primul are de două ori mai mult decât al doilea. Câți lei are fiecare?
13. Rezolvă prin substituție: $\{\begin{array}{l}y=2x\\ x+y=27\end{array}$.
14. Rezolvă: $\{\begin{array}{l}4x-y=10\\ x+y=15\end{array}$.
15. Rezolvă prin reducere: $\{\begin{array}{l}3x+4y=27\\ 5x-4y=13\end{array}$.
16. Adevărat sau fals (justifică): perechea $(2,3)$ este soluția sistemului $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 2x-y=1\end{array}$.
17. Adevărat sau fals (justifică): sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=10\\ x+y=7\end{array}$ are cel puțin o soluție.
18. Trei kilograme de portocale și 2 de banane costă 26 lei; 1 kilogram de portocale și 2 de banane costă 14 lei. Cât costă un kilogram din fiecare?

Răspunsuri și explicații

1. $\{\begin{array}{l}x+y=30\\ x-y=8\end{array}$. Adunând: $2x=38\Rightarrow x=19$; apoi $y=11$. Numerele sunt 19 și 11. (Verificare: $19+11=30$, $19-11=8$.)

2. $\{\begin{array}{l}x+y=100\\ x-y=20\end{array}$. Adunând: $2x=120\Rightarrow x=60$, $y=40$. Numerele sunt 60 și 40.

3. $\{\begin{array}{l}2x+y=17\\ x+y=11\end{array}$ ($x$ = caiet, $y$ = pix). Scădem a doua din prima: $x=6$; apoi $y=5$. Caietul 6 lei, pixul 5 lei. (Verificare: $2\cdot 6+5=17$.)

4. Din prima, $x=25-y$. În a doua: $2(25-y)+3y=60\Rightarrow 50+y=60\Rightarrow y=10$, $x=15$. Soluția: $(15,10)$.

5. Scădem a doua din prima: $2x=8\Rightarrow x=4$; apoi $4+2y=8\Rightarrow y=2$. Soluția: $(4,2)$.

6. $\{\begin{array}{l}L+l=20\\ L=3l\end{array}$. Substituție: $3l+l=20\Rightarrow l=5$, $L=15$. Lungimea 15 cm, lățimea 5 cm. (Perimetru: $2(15+5)=40$ ✓.)

7. $\{\begin{array}{l}x+y=40\\ x=3y\end{array}$ ($x$ = mama, $y$ = fiica). Substituție: $3y+y=40\Rightarrow y=10$, $x=30$. Mama 30 de ani, fiica 10 ani.

8. $\{\begin{array}{l}x+y=150\\ 20x+10y=2600\end{array}$. Împărțim a doua la 10: $2x+y=260$. Scădem prima: $x=110$, $y=40$. 110 bilete de adult, 40 de copil. (Încasări: $20\cdot 110+10\cdot 40=2600$ ✓.)

9. $\{\begin{array}{l}z+u=12\\ z-u=2\end{array}$ ($z$ = cifra zecilor, $u$ = a unităților). Adunând: $2z=14\Rightarrow z=7$, $u=5$. Numărul este 75. (Suma cifrelor $7+5=12$; $7-5=2$ ✓.)

10. Adunând ecuațiile: $2x=28\Rightarrow x=14$; apoi $y=9$. Soluția: $(14,9)$.

11. Scădem a doua din prima: $2x=8\Rightarrow x=4$; apoi $20+2y=34\Rightarrow y=7$. Soluția: $(4,7)$.

12. $\{\begin{array}{l}x+y=90\\ x=2y\end{array}$. Substituție: $2y+y=90\Rightarrow y=30$, $x=60$. Primul 60 lei, al doilea 30 lei.

13. Substituție directă: $x+2x=27\Rightarrow 3x=27\Rightarrow x=9$, $y=18$. Soluția: $(9,18)$.

14. Adunând cele două ecuații: $5x=25\Rightarrow x=5$; apoi $5+y=15\Rightarrow y=10$. Soluția: $(5,10)$. (Verificare: $4\cdot 5-10=10$ ✓.)

15. Adunând ecuațiile ($+4y$ cu $-4y$ se anulează): $8x=40\Rightarrow x=5$; apoi $15+4y=27\Rightarrow 4y=12\Rightarrow y=3$. Soluția: $(5,3)$.

16. Adevărat. Verificăm ambele ecuații cu $x=2$, $y=3$: $x+y=2+3=5$ ✓ și $2x-y=4-3=1$ ✓. Cum perechea verifică ambele ecuații, este soluția sistemului.

17. Fals. Un număr $x+y$ nu poate fi în același timp egal cu $10$ și cu $7$. Cele două condiții se contrazic, deci sistemul nu are nicio soluție (este incompatibil).

18. $\{\begin{array}{l}3x+2y=26\\ x+2y=14\end{array}$ ($x$ = portocale, $y$ = banane). Scădem a doua din prima: $2x=12\Rightarrow x=6$; apoi $6+2y=14\Rightarrow 2y=8\Rightarrow y=4$. Portocalele 6 lei/kg, bananele 4 lei/kg. (Verificare: $3\cdot 6+2\cdot 4=26$ ✓; $6+2\cdot 4=14$ ✓.)

De reținut

• Folosești un sistem de două ecuații când problema are două necunoscute și două condiții distincte care le leagă. Notezi $x$ și $y$, apoi transformi fiecare condiție într-o ecuație.
• Substituția e comodă când o necunoscută e ușor de izolat ($x=2y$, coeficient $1$ sau $-1$); reducerea e comodă când o necunoscută apare cu coeficienți egali sau opuși (sau îi poți face astfel prin înmulțire).
• Traduceri-cheie: „împreună/suma" $\to x+y$; „cu $d$ mai mare" $\to x-y=d$; „de $k$ ori mai mare" $\to x=ky$; „$a$ de tip 1 și $b$ de tip 2 costă $S$" $\to ax+by=S$.
• Verifici mereu perechea $(x,y)$ în ambele condiții ale problemei, nu doar în ecuații.
• Închei cu un răspuns complet, cu unități de măsură și cu sens în contextul problemei.

Greșeli frecvente

• Traducerea greșită a scăderii. „$x$ cu 6 mai mare decât $y$" înseamnă $x-y=6$, nu $y-x=6$. Un semn greșit te duce la o necunoscută negativă fără sens. Cum eviți: întreabă-te „cine e mai mare?" și scazi în ordinea corectă.
• Verificarea doar în ecuații, nu în enunț. Poți rezolva perfect un sistem tradus greșit. Cum eviți: la pasul 4 revino la textul original și confruntă numerele cu ce spune problema (numere naturale, prețuri pozitive, vârste realiste).
• Uitarea unei condiții. Cu două necunoscute ai nevoie de exact două ecuații. Cum eviți: subliniază în enunț cele două informații numerice înainte să scrii sistemul.
• Răspuns fără interpretare. A scrie doar „$x=100$, $y=80$" nu e un răspuns la o problemă cu bilete. Cum eviți: tradu numerele înapoi: „100 de bilete de adult și 80 de copil".

Aplică acasă

• Coșul de cumpărături. Cere două bonuri de la aceleași două produse (de exemplu pâine și lapte) cu cantități diferite. Notează cantitățile și totalul de pe fiecare bon, scrie sistemul și află prețul unitar al fiecărui produs. Compară cu prețul de pe raft — ar trebui să coincidă.
• Vârste în familie. Alege doi membri ai familiei. Notează suma vârstelor lor și de câte ori e unul mai mare (aproximativ). Scrie sistemul, rezolvă-l și verifică cu vârstele reale cât de bine se potrivește.
• Provocare de logică. Numără câte biciclete (2 roți) și câte triciclete/mașinuțe (3 roți/4 roți) sunt într-un desen sau într-un joc, folosind doar „câte vehicule în total" și „câte roți în total". Formulează problema tip „capete și picioare" și rezolv-o cu un sistem.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, elevul aplică sistemele de ecuații pe probleme din viața reală, integrând tot ce a învățat despre substituție și reducere. Cel mai important obiectiv nu este viteza de calcul, ci traducerea corectă a enunțului în ecuații și interpretarea răspunsului.

Cum îl puteți sprijini:

• Cereți-i mai întâi să spună ce reprezintă $x$ și ce reprezintă $y$, cu voce tare, înainte de orice calcul. Dacă poate defini clar necunoscutele, jumătate din problemă e rezolvată.
• Puneți întrebări de verificare a înțelegerii: „Care sunt cele două condiții din problemă?", „Ce metodă alegi și de ce?", „Ce înseamnă rezultatul tău în cuvinte?".
• Semnul că a înțeles cu adevărat: poate verifica singur perechea găsită în textul problemei (nu doar în ecuații) și poate formula un răspuns complet, cu unități de măsură.
• Dacă greșește, cel mai des e la traducerea lui „cu ... mai mult / mai puțin" sau la o condiție uitată. Reveniți la enunț și subliniați împreună informațiile numerice.

Întrebări frecvente

Când folosesc un sistem de ecuații și când o singură ecuație? Folosești un sistem când problema are două mărimi necunoscute și îți dă două condiții care le leagă. Dacă poți exprima ușor una prin cealaltă și rămâi cu o singură necunoscută, e suficientă o ecuație. Ambele abordări sunt corecte; sistemul e adesea mai clar când cele două condiții sunt „naturale" separat.

Ce metodă e mai bună la probleme, substituția sau reducerea? Niciuna nu e „mai bună" în general — alegi după forma sistemului. Substituția e comodă când o necunoscută e deja izolată (de exemplu $x=2y$); reducerea e comodă când o necunoscută apare cu coeficienți egali sau opuși. Amândouă dau același rezultat corect.

Cum scriu sistemul pornind de la enunțul problemei? Notează cele două necunoscute cu $x$ și $y$ (spune clar ce reprezintă fiecare), apoi transformă fiecare condiție din text într-o ecuație. „Împreună" devine adunare, „cu ... mai mult" devine o diferență, „de ... ori" devine o înmulțire, iar „$a$ bucăți și $b$ bucăți costă $S$" devine $ax+by=S$.

De ce trebuie să verific soluția în enunț, nu doar în ecuații? Pentru că poți rezolva perfect un sistem care a fost tradus greșit din text. Verificarea în ecuații prinde doar erorile de calcul; verificarea în enunț prinde și erorile de traducere (de exemplu un preț negativ sau o vârstă imposibilă).

Ce fac dacă îmi iese o necunoscută negativă la o problemă cu prețuri sau vârste? Este semnalul că undeva ai tradus greșit o condiție, cel mai probabil ordinea unei scăderi. Revino la enunț, verifică cine e mai mare și rescrie ecuația respectivă. La prețuri, cantități sau vârste, soluțiile trebuie să fie numere pozitive.

Problema „capete și picioare" chiar se rezolvă cu sistem? Da, este exemplul clasic. Notezi numărul fiecărui tip de animal, scrii o ecuație pentru capete ($g+i=\text{total capete}$) și una pentru picioare ($2g+4i=\text{total picioare}$), apoi rezolvi prin substituție sau reducere.

Cât de multe exerciții ar trebui să rezolv ca să stăpânesc tema? După ce parcurgi exemplele din lecție, rezolvă toate cele 18 probleme din secțiunea „Să exersăm" și compară cu răspunsurile. Dacă la 3–4 la rând notezi corect necunoscutele și verifici singur soluția în enunț, ești pe drumul bun. Poți continua cu lecțiile Probleme practice: vârste și bani și Probleme practice: mișcare, amestecuri și geometrie.