Fie mulțimile $$A = \{2, 3\}$$ și $$B = \{7, 8\}$$. Care dintre următoarele este chiar mulțimea $$A \times B$$?

$$\{(2,7), (2,8), (3,7), (3,8)\}$$

$$\{(7,2), (7,3), (8,2), (8,3)\}$$

Fie perechile ordonate $$(4, 6)$$ și $$(6, 4)$$. Ce este adevărat?

Nu sunt egale, deoarece au prima componentă diferită ($$4$$, respectiv $$6$$)

Sunt egale, pentru că au aceleași numere

Sunt egale, pentru că $$4 + 6 = 6 + 4$$

Sunt egale, pentru că formează aceeași mulțime $$\{4, 6\}$$

Fie mulțimile $$A = \{5, 9\}$$ și $$B = \{1, 2\}$$. Care dintre următoarele este chiar mulțimea $$A \times B$$?

$$\{(5,1), (5,2), (9,1), (9,2)\}$$

$$\{(1,5), (1,9), (2,5), (2,9)\}$$

Ce este produsul cartezian a două mulțimi?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Produsul cartezian a două mulțimi

Este mulțimea formată din toate perechile ordonate care iau prima componentă din prima mulțime și a doua componentă din a doua. Practic, combini fiecare element de la stânga cu fiecare element de la dreapta. Pentru $A = {1, 2}$ și $B = {x, y}$ obții ${(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}$ . Numărul perechilor se află înmulțind cardinalele: $n (A \times B) = n (A) \cdot n (B)$ , aici $2 \cdot 2 = 4$ .

O pereche ordonată $(a, b)$ este ca o adresă cu două cifre în care contează cine e primul și cine al doilea: $a$ e prima componentă, $b$ e a doua. De aceea, dacă $a \neq = b$ , atunci $(a, b) \neq = (b, a)$ — spre deosebire de mulțimi, unde ${a, b} = {b, a}$ .

Produsul cartezian $A \times B$ este mulțimea tuturor perechilor ordonate $(a, b)$ cu $a \in A$ și $b \in B$ : combini fiecare element din $A$ cu fiecare element din $B$ , „fiecare cu fiecare".

Exemplu. Pentru $A = {1, 2}$ și $B = {x, y}$ : $A \times B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}$ .

Ca să afli rapid câte perechi sunt, fără să le scrii pe toate, folosești formula $n (A \times B) = n (A) \cdot n (B)$ . Aici, $2 \cdot 2 = 4$ , exact cât am scris.

Reține că, de regulă, $A \times B \neq = B \times A$ (ordinea mulțimilor contează), deși cele două produse au același număr de elemente.

De reținut

$A \times B = {(a, b) ∣ a \in A, b \in B}$
$n (A \times B) = n (A) \cdot n (B)$
de regulă $A \times B \neq = B \times A$

Greșeala tipică

Se scriu perechile ca la mulțimi și se pierde ordinea, deci $(1, 2)$ ajunge la fel cu $(2, 1)$ . Într-o pereche ordonată locul fiecărei componente este fix.

Exerciții din această mini-lecție

Fie mulțimile $A = {2, 3}$ și $B = {7, 8}$ . Care dintre următoarele este chiar mulțimea $A \times B$ ?
- a) ${(2, 7), (2, 8), (3, 7), (3, 8)}$
- b) ${(7, 2), (7, 3), (8, 2), (8, 3)}$
- c) ${(2, 3), (7, 8)}$
- d) ${2, 3, 7, 8}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${(2, 7), (2, 8), (3, 7), (3, 8)}$

În $A \times B$ prima componentă vine din $A$ , a doua din $B$ . Fixăm pe rând $2$ și $3$ din $A$ și le combinăm cu $7, 8$ din $B$ : obținem $(2, 7), (2, 8), (3, 7), (3, 8)$ . Varianta b) e de fapt $B \times A$ .
Fie perechile ordonate $(4, 6)$ și $(6, 4)$ . Ce este adevărat?
- a) Sunt egale, pentru că au aceleași numere
- b) Sunt egale, pentru că $4 + 6 = 6 + 4$
- c) Nu sunt egale, deoarece au prima componentă diferită ( $4$ , respectiv $6$ )
- d) Sunt egale, pentru că formează aceeași mulțime ${4, 6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Nu sunt egale, deoarece au prima componentă diferită ( $4$ , respectiv $6$ )

Două perechi ordonate sunt egale doar dacă au aceeași primă componentă și aceeași a doua componentă. Aici prima componentă a lui $(4, 6)$ este $4$ , iar a lui $(6, 4)$ este $6$ ; cum $4 \neq = 6$ , perechile sunt diferite, deși formează aceeași mulțime ${4, 6}$ .
Fie mulțimile $A = {5, 9}$ și $B = {1, 2}$ . Care dintre următoarele este chiar mulțimea $A \times B$ ?
- a) ${(5, 1), (5, 2), (9, 1), (9, 2)}$
- b) ${(1, 5), (1, 9), (2, 5), (2, 9)}$
- c) ${(5, 9), (1, 2)}$
- d) ${5, 9, 1, 2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${(5, 1), (5, 2), (9, 1), (9, 2)}$

În $A \times B$ prima componentă vine din $A$ , a doua din $B$ . Fixăm pe rând $5$ și $9$ din $A$ și le combinăm cu $1, 2$ din $B$ : obținem $(5, 1), (5, 2), (9, 1), (9, 2)$ . Varianta b) e de fapt $B \times A$ .

Întrebări conexe

Câte perechi are produsul a două mulțimi cu 3 și 5 elemente?

Exact $15$ , fiindcă înmulțești numărul de elemente: $3 \cdot 5 = 15$ . Fiecare element din prima mulțime se combină cu toate cele cinci din a doua, deci apar cinci perechi pentru fiecare. Nu trebuie să le scrii pe toate ca să afli câte sunt.

Ce se obține când una dintre mulțimi este vidă?

Rezultatul este tot mulțimea vidă. Ca să formezi o pereche îți trebuie câte un element din fiecare parte, iar dacă una nu are niciunul, nu se poate alcătui nimic. Formula confirmă: înmulțind cu zero, numărul perechilor iese zero.

Cum reprezint produsul cartezian într-un tabel?

Desenezi un tabel cu elementele primei mulțimi pe rânduri și ale celei de-a doua pe coloane. În fiecare căsuță treci perechea formată din capul rândului și capul coloanei. Numărul căsuțelor arată direct câte perechi are produsul, iar nicio combinație nu rămâne uitată.

Ce legătură are produsul cartezian cu reperul cartezian?

Fiecare punct din plan este o pereche ordonată de numere, adică un element al produsului dintre mulțimea numerelor reale și ea însăși. Prima componentă spune cât mergi pe orizontală, a doua cât urci. De aceea planul se mai notează cu produsul acestor două axe.

Cum scriu elementele produsului întors, pornind de la primul?

Întorci fiecare pereche pe dos, punând a doua componentă pe primul loc. Din $(1, x)$ obții $(x, 1)$ , din $(2, y)$ obții $(y, 2)$ și așa mai departe. Numărul perechilor rămâne același, dar mulțimile diferă, fiindcă ordinea din interiorul fiecărei perechi contează.

Se pot repeta perechile în produsul cartezian?

Nu, fiindcă rezultatul este tot o mulțime, iar o mulțime nu conține de două ori același element. Fiecare combinație apare o singură dată. Poți însă întâlni perechi care seamănă, precum $(1, 2)$ și $(2, 1)$ , ele fiind elemente diferite tocmai prin ordinea componentelor.

Oamenii mai întreabă și: produsul cartezian · produs cartezian exemple · ce înseamnă A ori B la mulțimi · perechi ordonate matematică · câte elemente are produsul cartezian