Produsul cartezian a două mulțimi nevide

Te-ai gândit vreodată cum se descrie exact locul unui scaun la un meci: „rândul 7, locul 12"? Sau cum apare adresa unei celule într-un tabel electronic, de exemplu „coloana B, linia 4"? De fiecare dată combinăm două informații într-o ordine bine stabilită, iar ordinea contează: „rândul 7, locul 12" nu e același loc cu „rândul 12, locul 7". Exact această idee stă la baza produsului cartezian a două mulțimi, prima noțiune din unitatea despre organizarea datelor și reperul cartezian. În lecția de față vei învăța ce este o pereche ordonată, cum se construiește mulțimea $A\times B$ și cum îi numeri elementele fără să le scrii pe toate.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici ce este o pereche ordonată $(a,b)$ și de ce, în general, $(a,b)\ne (b,a)$.
• Vei ști să scrii toate elementele produsului cartezian $A\times B$ pentru două mulțimi finite date.
• Vei ști să calculezi numărul de elemente al produsului cartezian cu formula $n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)$, fără să le enumeri pe toate.
• Vei ști să compari $A\times B$ cu $B\times A$ și să lucrezi cu produsul unei mulțimi cu ea însăși, $A\times A$.
• Vei ști să reprezinți produsul cartezian într-un tabel cu două intrări.

Hai să descoperim împreună

1. De la mulțimi la perechi: de ce avem nevoie de „ordine"

Îți amintești din clasele trecute că o mulțime este o colecție de obiecte numite elemente, iar la o mulțime ordinea nu contează și elementele nu se repetă. De exemplu, mulțimile $\{3,5\}$ și $\{5,3\}$ sunt egale: conțin exact aceleași elemente, doar scrise altfel.

Dar în viața de zi cu zi întâlnim foarte des situații în care ordinea informațiilor contează:

• La un meci de fotbal, scorul „$2:1$" pentru gazde nu e totuna cu „$1:2$".
• Pe hartă, un punct e dat prin latitudine și longitudine, în această ordine.
• Când completezi un formular scrii întâi prenumele, apoi numele — iar dacă le inversezi, poate ieși cu totul altă persoană.

Pentru astfel de situații matematica folosește un obiect nou, diferit de mulțime: perechea ordonată.

2. Ce este o pereche ordonată

Definiție. O pereche ordonată este un ansamblu format din două elemente, scrise între paranteze rotunde și despărțite prin virgulă, în care se precizează care este primul și care este al doilea. O notăm $(a,b)$, unde:

• $a$ se numește prima componentă (sau primul element al perechii);
• $b$ se numește a doua componentă (sau al doilea element al perechii).

Cuvântul-cheie este „ordonată": perechea „știe" cine e pe primul loc și cine pe al doilea. Tocmai de aceea folosim paranteze rotunde $()$, ca să deosebim perechea de o mulțime, care se scrie cu acolade $\{\}$.

Regula de egalitate a două perechi ordonate. Două perechi ordonate sunt egale dacă și numai dacă au prima componentă egală și a doua componentă egală: $$(a,b)=(c,d)⟺a=c\text{ și }b=d.$$

Această regulă este esențială. Ea ne spune că, la o pereche, contează și valorile, și pozițiile lor.

Consecință: de ce $(a,b)\ne (b,a)$ când $a\ne b$. Să luăm perechea $(3,5)$. Prima componentă este $3$, a doua este $5$. La perechea $(5,3)$ prima componentă este $5$, a doua este $3$. Cum $3\ne 5$, cele două perechi nu sunt egale: $$(3,5)\ne (5,3).$$

Compară acum cu mulțimile: $\{3,5\}=\{5,3\}$. Deci, deși folosesc aceleași două numere, mulțimea nu ține cont de ordine, iar perechea ordonată da. Reține contrastul:

• $\{3,5\}$ și $\{5,3\}$ — egale (mulțimi, ordinea nu contează);
• $(3,5)$ și $(5,3)$ — diferite (perechi ordonate, ordinea contează).

Mai există o diferență importantă: într-o mulțime elementele nu se repetă, dar la o pereche ordonată cele două componente pot fi egale. Perechea $(4,4)$ este perfect corectă: prima componentă $4$, a doua componentă $4$. (În schimb, „mulțimea" $\{4,4\}$ se scrie de fapt $\{4\}$.)

3. Definiția produsului cartezian $A\times B$

Acum că știm ce e o pereche ordonată, putem construi obiectul principal al lecției.

Definiție. Fie $A$ și $B$ două mulțimi nevide. Produsul cartezian al mulțimii $A$ cu mulțimea $B$, notat $A\times B$ (se citește „$A$ ori $B$" sau „$A$ produs cartezian $B$"), este mulțimea tuturor perechilor ordonate $(a,b)$ în care:

• prima componentă $a$ este element din $A$;
• a doua componentă $b$ este element din $B$.

Pe scurt, scriem: $$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\text{ și }b\in B\}.$$

Bara verticală „$\mid$" se citește „astfel încât" sau „cu proprietatea că". Deci $A\times B$ este mulțimea perechilor $(a,b)$ „astfel încât $a$ aparține lui $A$ și $b$ aparține lui $B$".

Numele „cartezian" vine de la matematicianul și filozoful francez René Descartes (în latină, Cartesius), care a folosit primul astfel de perechi pentru a lega geometria de numere. Vom folosi această idee în lecția următoare, Sistemul de axe ortogonale. Coordonatele unui punct, unde fiecare punct din plan va fi descris printr-o pereche ordonată de coordonate.

4. Cum construim concret elementele lui $A\times B$

Hai să vedem pe un exemplu clar cum obținem toate perechile. Fie: $$A=\{1,2,3\},B=\{a,b\}.$$

Ca să scriem $A\times B$, procedăm sistematic, ca să nu uităm nicio pereche și să nu scriem de două ori aceeași:

• Fixăm prima componentă din $A$ și o combinăm, pe rând, cu fiecare element din $B$.

Fixăm $1$ (din $A$) și îl combinăm cu fiecare element din $B$: $$(1,a),(1,b).$$ Fixăm $2$ și facem la fel: $$(2,a),(2,b).$$ Fixăm $3$: $$(3,a),(3,b).$$

Adunând toate perechile, obținem: $$A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}.$$

Observă „rețeta": am luat fiecare element din $A$ și l-am potrivit cu fiecare element din $B$. De aceea metoda se numește uneori „fiecare cu fiecare".

5. Numărul de elemente: formula $n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)$

Reia exemplul de mai sus. Mulțimea $A$ are $3$ elemente, deci $n(A)=3$. Mulțimea $B$ are $2$ elemente, deci $n(B)=2$. Câte perechi am obținut? Le numărăm: sunt $6$.

Nu e o întâmplare că $6=3\cdot 2$. Gândește-te de ce: pentru fiecare dintre cele $3$ alegeri ale primei componente avem câte $2$ alegeri pentru a doua componentă. Deci, în total: $$\underset{3\text{ grupe}}{\underbrace{2+2+2}}=3\cdot 2=6\text{ perechi}.$$

Acest raționament funcționează pentru orice două mulțimi finite. Obținem astfel o formulă foarte utilă.

Regula numărului de elemente. Dacă $A$ și $B$ sunt mulțimi finite, atunci: $$n(A\times B)=n(A)\cdot n(B).$$

Cu alte cuvinte, numărul de perechi este produsul numărului de elemente ale celor două mulțimi. Marele avantaj: poți afla câte elemente are $A\times B$ fără să le scrii pe toate. Dacă $A$ are $10$ elemente și $B$ are $7$, atunci $A\times B$ are $10\cdot 7=70$ de perechi — și nu e nevoie să le enumeri ca să știi asta.

6. Reprezentarea prin tabel cu două intrări

Produsul cartezian se organizează foarte frumos într-un tabel cu două intrări. Punem elementele primei mulțimi pe un cap de tabel (de exemplu, pe rândul de sus) și elementele celei de-a doua mulțimi pe celălalt cap (coloana din stânga). În fiecare căsuță scriem perechea formată din elementul de pe coloana respectivă și elementul de pe rândul respectiv.

Pentru $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{a,b\}$, tabelul produsului $A\times B$ (prima componentă din $A$, pe orizontală; a doua din $B$, pe verticală) arată așa:

Tabelul are $3$ coloane (câte un element din $A$) și $2$ rânduri (câte un element din $B$), deci $3\cdot 2=6$ căsuțe — exact numărul de perechi. Această reprezentare arată din nou de ce funcționează formula $n(A)\cdot n(B)$: numărul de căsuțe ale unui tabel dreptunghiular este numărul de coloane înmulțit cu numărul de rânduri.

7. Compararea lui $A\times B$ cu $B\times A$

Fiindcă ordinea componentelor contează, ne așteptăm ca și ordinea mulțimilor în produs să conteze. Să verificăm. Luăm din nou $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{a,b\}$ și calculăm acum $B\times A$: acum prima componentă trebuie luată din $B$, iar a doua din $A$: $$B\times A=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}.$$

Compară cele două mulțimi: $$A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\},$$ $$B\times A=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}.$$

Perechea $(1,a)$ din $A\times B$ nu apare în $B\times A$ — acolo găsim în schimb $(a,1)$, care este o pereche diferită. Concluzia: $$A\times B\ne B\times A\text{(ıˆn general)}.$$

Deci produsul cartezian nu este comutativ: nu poți schimba ordinea mulțimilor fără să schimbi rezultatul. Reține totuși un lucru important despre numărul de elemente: chiar dacă mulțimile $A\times B$ și $B\times A$ sunt diferite, ele au același număr de elemente, pentru că $$n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)=n(B)\cdot n(A)=n(B\times A).$$ Înmulțirea numerelor este comutativă, deci numărul de perechi e același; doar perechile propriu-zise diferă.

(Când $A\times B=B\times A$? Doar în cazul special în care cele două mulțimi sunt egale, adică $A=B$. În toate celelalte situații reținem regula generală: de obicei sunt diferite.)

8. Produsul unei mulțimi cu ea însăși: $A\times A$

Un caz special și foarte important este produsul unei mulțimi cu ea însăși, notat $A\times A$. El conține toate perechile ordonate cu ambele componente din $A$: $$A\times A=\{(a,b)\mid a\in A\text{ și }b\in A\}.$$

De exemplu, pentru $A=\{1,2\}$: $$A\times A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}.$$

Observă că apar și perechile cu componente egale, $(1,1)$ și $(2,2)$, și că $(1,2)\ne (2,1)$. Numărul de elemente este $$n(A\times A)=n(A)\cdot n(A).$$ Aici $n(A)=2$, deci $n(A\times A)=2\cdot 2=4$ — exact câte perechi am scris.

Produsul unei mulțimi cu ea însăși este chiar ideea din spatele planului cartezian: mulțimea $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ (perechile de numere reale) descrie toate punctele din plan. Vom folosi asta imediat în lecțiile următoare despre reperul cartezian.

9. Rezumatul metodei

Ori de câte ori ai de scris un produs cartezian, urmează pașii:

1. Identifică cele două mulțimi și ordinea lor (cine e prima, cine a doua).
2. Numără elementele: $n(A)$ și $n(B)$; produsul $n(A)\cdot n(B)$ îți spune câte perechi trebuie să obții — e un control util.
3. Fixează pe rând fiecare element al primei mulțimi și combină-l cu fiecare element al celei de-a doua.
4. Verifică la final că numărul de perechi scrise coincide cu $n(A)\cdot n(B)$ și că nicio pereche nu s-a repetat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Scrierea tuturor perechilor

Enunț. Fie $A=\{5,7\}$ și $B=\{2,4,6\}$. Scrie toate elementele mulțimii $A\times B$ și verifică numărul lor.

Rezolvare. Prima componentă se ia din $A$, a doua din $B$. Fixăm pe rând elementele lui $A$:

• $5$ combinat cu $2,4,6$: $(5,2),(5,4),(5,6)$;
• $7$ combinat cu $2,4,6$: $(7,2),(7,4),(7,6)$.

Deci $$A\times B=\{(5,2),(5,4),(5,6),(7,2),(7,4),(7,6)\}.$$

Verificare. $n(A)=2$, $n(B)=3$, deci $n(A\times B)=2\cdot 3=6$. Am scris exact $6$ perechi. ✓

Exemplul 2 — Numărul de elemente fără enumerare

Enunț. Mulțimea $M$ are $8$ elemente, iar mulțimea $N$ are $5$ elemente. Câte elemente au $M\times N$ și $N\times M$?

Rezolvare. Aplicăm direct formula, fără să scriem perechile: $$n(M\times N)=n(M)\cdot n(N)=8\cdot 5=40.$$ $$n(N\times M)=n(N)\cdot n(M)=5\cdot 8=40.$$

Ambele au $40$ de elemente. Deși mulțimile $M\times N$ și $N\times M$ sunt diferite (au perechi diferite), au același număr de elemente, pentru că înmulțirea este comutativă.

Exemplul 3 — Comparația $A\times B$ cu $B\times A$

Enunț. Fie $A=\{0,1\}$ și $B=\{9\}$. Scrie $A\times B$ și $B\times A$. Sunt egale?

Rezolvare. $$A\times B=\{(0,9),(1,9)\},B\times A=\{(9,0),(9,1)\}.$$

Perechea $(0,9)$ din $A\times B$ nu se regăsește în $B\times A$ (acolo apare $(9,0)$, altă pereche). Prin urmare: $$A\times B\ne B\times A.$$

Amândouă au $n=2\cdot 1=2$ elemente, dar perechile diferă. Observă și că, atunci când una dintre mulțimi are un singur element, tot obținem un produs cartezian corect.

Exemplul 4 — Produsul unei mulțimi cu ea însăși

Enunț. Fie $A=\{-1,0,3\}$. Scrie $A\times A$ și precizează numărul de elemente.

Rezolvare. Ambele componente se iau din $A$. Fixăm pe rând:

• $-1$: $(-1,-1),(-1,0),(-1,3)$;
• $0$: $(0,-1),(0,0),(0,3)$;
• $3$: $(3,-1),(3,0),(3,3)$.

Deci $$A\times A=\{(-1,-1),(-1,0),(-1,3),(0,-1),(0,0),(0,3),(3,-1),(3,0),(3,3)\}.$$

$n(A\times A)=n(A)\cdot n(A)=3\cdot 3=9$. Am scris exact $9$ perechi. ✓ Observă perechile cu componente egale, $(-1,-1)$, $(0,0)$, $(3,3)$, și că $(-1,0)\ne (0,-1)$.

Exemplul 5 — Aflarea unei mulțimi când cunoști numărul de perechi

Enunț. Mulțimea $B=\{p,q,r,s\}$. Mulțimea $A$ este necunoscută, dar știm că $A\times B$ are $20$ de elemente. Câte elemente are $A$?

Rezolvare. Folosim formula: $$n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)\Rightarrow 20=n(A)\cdot 4.$$ De aici $$n(A)=\frac{20}{4}=5.$$ Mulțimea $A$ are $5$ elemente. (Nu putem spune care sunt elementele, doar câte sunt — informația din enunț ajunge doar pentru numărul lor.)

Exemplul 6 — Găsirea componentelor dintr-o egalitate de perechi

Enunț. Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care perechile ordonate sunt egale: $$(x+1,7)=(4,y-2).$$

Rezolvare. Două perechi ordonate sunt egale dacă și numai dacă au prima componentă egală și a doua componentă egală. Scriem cele două condiții: $$x+1=4\text{și}7=y-2.$$ Rezolvăm fiecare ecuație liniară (folosind ce știi din unitatea despre ecuații de forma ax + b = 0): $$x+1=4\Rightarrow x=3;$$ $$7=y-2\Rightarrow y=9.$$ Deci $x=3$ și $y=9$. Verificare: $(3+1,7)=(4,7)$ și $(4,9-2)=(4,7)$ — perechile coincid. ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Scrie perechile ordonate corect, cu paranteze rotunde.

1. Fie $A=\{1,2\}$ și $B=\{5,6,7\}$. Scrie toate elementele mulțimii $A\times B$.

2. Pentru aceleași mulțimi de la exercițiul 1, scrie $B\times A$.

3. Câte elemente are $A\times B$ dacă $n(A)=6$ și $n(B)=9$? (Nu le enumera, folosește formula.)

4. Fie $C=\{a,b,c,d\}$. Câte elemente are $C\times C$?

5. Adevărat sau fals (motivează): $(2,3)=(3,2)$.

6. Adevărat sau fals (motivează): $\{2,3\}=\{3,2\}$.

7. Fie $M=\{x\}$ o mulțime cu un singur element și $N=\{1,2,3,4\}$. Scrie $M\times N$ și precizează numărul de elemente.

8. Mulțimea $A\times B$ are $28$ de elemente, iar $n(B)=7$. Câte elemente are $A$?

9. Determină numerele reale $x$ și $y$ astfel încât $(x-2,5)=(6,y+1)$.

10. Fie $A=\{0,1\}$ și $B=\{0,1\}$. Scrie $A\times B$. Câte perechi au cele două componente egale?

11. Completează tabelul cu două intrări pentru $A\times B$, unde $A=\{p,q\}$ (pe orizontală) și $B=\{3,4\}$ (pe verticală). Scrie perechile din fiecare căsuță.

12. Fie $A=\{2,4,6\}$. Scrie toate perechile din $A\times A$ care au suma componentelor egală cu $8$.

13. Se știe că $n(A\times B)=15$, unde $A$ și $B$ sunt mulțimi nevide de numere naturale. Scrie toate perechile posibile $(n(A),n(B))$ care dau acest rezultat.

14. Adevărat sau fals (motivează): dacă $A\ne B$, atunci întotdeauna $n(A\times B)\ne n(B\times A)$.

15. La un bufet, se poate alege o băutură din mulțimea $B=\{\text{ceai},\text{apa˘},\text{suc}\}$ și un desert din mulțimea $D=\{\text{pra˘jitura˘},\text{fruct}\}$. Câte meniuri „băutură + desert" (în această ordine) se pot forma? Scrie-le folosind perechi ordonate.

16. Fie $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{1,2\}$. Scrie toate elementele lui $A\times B$ care au prima componentă mai mare decât a doua.

17. O mulțime $A$ are $n(A)=5$. Compară numerele $n(A\times A)$ și $2\cdot n(A)$. Care este mai mare și cu cât?

18. Fie $A=\{-2,-1,0,1,2\}$. Câte perechi din $A\times A$ au ambele componente egale? (Sunt perechile de forma $(a,a)$.)

Răspunsuri și explicații

1. $A\times B=\{(1,5),(1,6),(1,7),(2,5),(2,6),(2,7)\}$. Verificare: $n(A)\cdot n(B)=2\cdot 3=6$ perechi. ✓

2. $B\times A=\{(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(7,1),(7,2)\}$. Tot $6$ perechi, dar diferite de cele din exercițiul 1 (aici prima componentă e din $B$).

3. $n(A\times B)=6\cdot 9=54$.

4. $n(C\times C)=n(C)\cdot n(C)=4\cdot 4=16$.

5. Fals. $(2,3)$ are prima componentă $2$, a doua $3$; $(3,2)$ are prima $3$, a doua $2$. Cum $2\ne 3$, perechile sunt diferite: $(2,3)\ne (3,2)$.

6. Adevărat. La mulțimi ordinea nu contează, deci $\{2,3\}$ și $\{3,2\}$ au aceleași elemente și sunt egale. (Atenție la contrastul cu exercițiul 5!)

7. $M\times N=\{(x,1),(x,2),(x,3),(x,4)\}$; are $1\cdot 4=4$ elemente.

8. Din $n(A)\cdot 7=28$ rezultă $n(A)=28:7=4$ elemente.

9. $x-2=6\Rightarrow x=8$; $5=y+1\Rightarrow y=4$. Verificare: $(8-2,5)=(6,5)$ și $(6,4+1)=(6,5)$. ✓

10. $A\times B=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$. Perechile cu componente egale sunt $(0,0)$ și $(1,1)$ — deci $2$ perechi.

11. Tabelul (prima componentă din $A$, pe orizontală; a doua din $B$, pe verticală):

Sunt $2\cdot 2=4$ perechi: $(p,3),(q,3),(p,4),(q,4)$.

12. Din $A=\{2,4,6\}$ căutăm perechi $(a,b)$ cu $a+b=8$: $(2,6),(4,4),(6,2)$. Deci $3$ perechi. (Atenție: $(2,6)$ și $(6,2)$ sunt perechi diferite, ambele valabile.)

13. $15=n(A)\cdot n(B)$, cu $n(A),n(B)$ numere naturale nenule. Perechile de factori ai lui $15$ sunt: $(1,15),(3,5),(5,3),(15,1)$. Deci $(n(A),n(B))\in \{(1,15),(3,5),(5,3),(15,1)\}$.

14. Fals. Chiar dacă $A\ne B$, avem mereu $n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)=n(B)\cdot n(A)=n(B\times A)$. Numărul de elemente este întotdeauna egal; doar perechile diferă. Contraexemplu: $A=\{1,2\}$, $B=\{5\}$: ambele produse au $2$ elemente.

15. $B\times D=\{(\text{ceai},\text{pra˘jitura˘}),(\text{ceai},\text{fruct}),(\text{apa˘},\text{pra˘jitura˘}),(\text{apa˘},\text{fruct}),(\text{suc},\text{pra˘jitura˘}),(\text{suc},\text{fruct})\}$. Sunt $3\cdot 2=6$ meniuri.

16. $A\times B$ cu $a>b$: verificăm perechile. Cu prima din $\{1,2,3\}$ și a doua din $\{1,2\}$, cele cu prima $>$ a doua sunt: $(2,1),(3,1),(3,2)$. Deci $3$ perechi.

17. $n(A\times A)=5\cdot 5=25$, iar $2\cdot n(A)=2\cdot 5=10$. Mai mare este $n(A\times A)$, cu $25-10=15$.

18. Perechile de forma $(a,a)$ au câte una pentru fiecare element din $A$. Cum $A$ are $5$ elemente, sunt $5$ astfel de perechi: $(-2,-2),(-1,-1),(0,0),(1,1),(2,2)$.

De reținut

• O pereche ordonată $(a,b)$ ține cont de ordine: $a$ e prima componentă, $b$ a doua. Egalitate: $(a,b)=(c,d)⟺a=c$ și $b=d$. În general, dacă $a\ne b$, atunci $(a,b)\ne (b,a)$.
• Produsul cartezian: $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$ — mulțimea tuturor perechilor cu prima componentă din $A$ și a doua din $B$.
• Numărul de elemente: $n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)$. Îl poți afla fără să enumeri perechile.
• Necomutativ: de regulă $A\times B\ne B\times A$, dar $n(A\times B)=n(B\times A)$ (același număr, perechi diferite).
• $A\times A$ conține toate perechile cu ambele componente din $A$; $n(A\times A)=n(A)\cdot n(A)$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre pereche și mulțime. Elevii scriu uneori $(3,5)$ cu acolade sau consideră $(3,5)=(5,3)$. Reține: paranteze rotunde $\Rightarrow$ ordinea contează; acolade $\Rightarrow$ ordinea nu contează. $\{3,5\}=\{5,3\}$, dar $(3,5)\ne (5,3)$.
• Inversarea ordinii mulțimilor. La $A\times B$ prima componentă e întotdeauna din $A$. Dacă începi perechile cu elemente din $B$, ai calculat de fapt $B\times A$. Citește atent care mulțime e scrisă prima.
• Uitarea unor perechi. Dacă nu lucrezi sistematic („fiecare cu fiecare"), poți sări peste perechi sau repeta unele. Controlează mereu la final: numărul de perechi scrise trebuie să fie exact $n(A)\cdot n(B)$.
• Greșeala cu componentele egale. La $A\times A$ unii uită perechile de tipul $(a,a)$. Ele sunt corecte și trebuie incluse — o pereche poate avea cele două componente egale, spre deosebire de o mulțime, unde elementele nu se repetă.

Aplică acasă

• Harta locurilor din clasă. Notează rândurile clasei tale cu mulțimea $R=\{1,2,3,4\}$ și locurile pe rând cu $L=\{1,2,3\}$. Scrie mulțimea $R\times L$ a tuturor perechilor „(rând, loc)" și verifică prin formula $n(R)\cdot n(L)$ câte locuri are clasa. Marchează pe o schiță unde stai tu.
• Meniul de la prânz. Scrie mulțimea felurilor principale $P$ pe care le mănânci de obicei (de exemplu $\{$paste, orez, cartofi$\}$) și mulțimea garniturilor sau salatelor $S$. Formează produsul cartezian $P\times S$ ca să vezi câte combinații „(fel principal, salată)" poți face într-o săptămână și scrie-le pe toate ca perechi ordonate.
• Cod din două caractere. Alege o mulțime de $3$ litere și una de $3$ cifre. Câte coduri „(literă, cifră)" diferite poți forma? Calculează întâi cu formula, apoi scrie-le pe toate într-un tabel cu două intrări și confirmă că numărul de căsuțe coincide cu $3\cdot 3=9$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este poarta de intrare către reperul cartezian și lucrul cu coordonate, așa că merită consolidată bine. Ideea centrală, deloc evidentă la început, este distincția dintre mulțime și pereche ordonată: la mulțime ordinea nu contează, la pereche da. Un mod bun de a testa înțelegerea este să cereți copilului să explice, cu cuvintele lui, de ce $\{3,5\}=\{5,3\}$, dar $(3,5)\ne (5,3)$.

Întrebări de verificare utile:

• „Scrie-mi toate perechile din $A\times B$ pentru două mulțimi mici pe care le aleg eu." (Verifică metoda sistematică „fiecare cu fiecare".)
• „Fără să le scrii pe toate, câte perechi are $A\times B$ dacă $A$ are 4 și $B$ are 6 elemente?" (Verifică folosirea formulei $n(A)\cdot n(B)$.)
• „Sunt $A\times B$ și $B\times A$ aceeași mulțime? Dar au același număr de elemente?" (Verifică înțelegerea necomutativității și a egalității numărului de elemente.)

Semne că elevul a înțeles: folosește corect parantezele rotunde, nu inversează ordinea mulțimilor, verifică singur numărul de perechi cu formula și include perechile de forma $(a,a)$ la $A\times A$. Dacă apar ezitări, reveniți la tabelul cu două intrări — el face vizibil de ce numărul de perechi este produsul dimensiunilor.

Întrebări frecvente

Ce este produsul cartezian a două mulțimi la clasa a 7-a? Este mulțimea tuturor perechilor ordonate $(a,b)$ în care prima componentă $a$ vine din prima mulțime $A$, iar a doua componentă $b$ din a doua mulțime $B$. Se notează $A\times B$ și se citește „$A$ ori $B$".

Cum aflu numărul de elemente ale lui $A\times B$? Se folosește formula $n(A\times B)=n(A)\cdot n(B)$: înmulțești numărul de elemente al primei mulțimi cu al celei de-a doua. De exemplu, dacă $A$ are 5 elemente și $B$ are 3, atunci $A\times B$ are $5\cdot 3=15$ perechi, fără să fie nevoie să le scrii pe toate.

De ce $(a,b)$ nu este egal cu $(b,a)$? Pentru că o pereche ordonată ține cont de ordine: la $(a,b)$ prima componentă este $a$, iar la $(b,a)$ prima componentă este $b$. Dacă $a\ne b$, cele două perechi au prime componente diferite, deci nu sunt egale. Doar când $a=b$ ele coincid.

Care este diferența dintre o mulțime și o pereche ordonată? La o mulțime, scrisă cu acolade $\{\}$, ordinea elementelor nu contează și elementele nu se repetă. La o pereche ordonată, scrisă cu paranteze rotunde $()$, ordinea contează și cele două componente pot fi egale. Astfel $\{3,5\}=\{5,3\}$, dar $(3,5)\ne (5,3)$.

$A\times B$ este egal cu $B\times A$? În general nu, pentru că perechile își schimbă ordinea componentelor: $(a,b)$ din $A\times B$ devine $(b,a)$ în $B\times A$, care este o pereche diferită. Cele două mulțimi au însă același număr de elemente, deoarece $n(A)\cdot n(B)=n(B)\cdot n(A)$.

Ce înseamnă $A\times A$? Este produsul unei mulțimi cu ea însăși: mulțimea tuturor perechilor ordonate cu ambele componente luate din $A$. Are $n(A)\cdot n(A)$ elemente și include și perechile de forma $(a,a)$, cu cele două componente egale.

Cine a inventat noțiunea și de ce se numește „cartezian"? Numele vine de la matematicianul francez René Descartes (Cartesius, în latină), care a folosit perechi de numere pentru a descrie puncte în plan. Această idee stă la baza reperului cartezian, pe care îl vei studia în lecțiile următoare.

La ce folosește produsul cartezian în viața reală? Ori de câte ori combini două informații într-o ordine fixă: locul la un spectacol (rând, loc), o celulă dintr-un tabel (coloană, linie), coordonatele unui punct pe hartă sau un meniu format dintr-o băutură și un desert. Toate acestea sunt perechi ordonate, adică elemente ale unui produs cartezian.