Punctul $$A$$ aparține dreptei $$d$$. Ce reprezintă proiecția ortogonală a lui $$A$$ pe $$d$$?

Este chiar punctul $$A$$, adică $$A' = A$$

Este piciorul perpendicularei duse din $$A$$ pe o altă dreaptă

Nu există proiecție dacă punctul se află deja pe dreaptă

Este un punct oarecare al dreptei $$d$$, diferit de $$A$$

Ce este proiecția ortogonală pe o dreaptă?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Proiecții ortogonale pe o dreaptă

Proiecția unui punct pe o dreaptă este locul unde ajunge perpendiculara coborâtă din el, adică umbra lui la prânz. Dacă punctul se află deja pe dreaptă, rămâne pe loc. Un segment se proiectează în segmentul dintre proiecțiile capetelor și nu poate ieși mai lung decât originalul: rămâne la fel doar când e paralel cu dreapta și se strânge într-un punct când e perpendicular pe ea.

Gândește-te la umbra ta la prânz: fiecare punct „cade” perpendicular pe pământ. Exact asta e o proiecție ortogonală. Proiecția unui punct $A$ pe o dreaptă $d$ este piciorul perpendicularei din $A$ pe $d$ , notat $A^{'} = pr_{d} A$ ; dacă $A$ e deja pe $d$ , atunci $A^{'} = A$ .

Proiecția unui segment $[A B]$ este segmentul $[A^{'} B^{'}]$ dintre proiecțiile capetelor, și mereu $A^{'} B^{'} \leq A B$ : egal doar dacă segmentul e paralel cu dreapta, un punct (lungime $0$ ) dacă e perpendicular pe ea.

În triunghiul dreptunghic $A B C$ (unghi drept în $A$ ), cu înălțimea $A D ⊥ B C$ , proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $[B D]$ (pentru $[A B]$ ) și $[D C]$ (pentru $[A C]$ ), iar $B D + D C = B C$ .

Exemplu: dacă $B C = 20$ cm și $B D = 8$ cm, atunci $D C = 20 - 8 = 12$ cm.

De reținut

proiecția unui punct este piciorul perpendicularei coborâte din el
proiecția unui segment nu depășește lungimea segmentului
în triunghiul dreptunghic: $B D + D C = B C$

Greșeala tipică

Se coboară o linie oarecare din punct spre dreaptă și se numește proiecție. Numai perpendiculara dă proiecția, iar orice altă linie duce la un segment mai lung.

Exerciții din această mini-lecție

Segmentul $[M N]$ este paralel cu dreapta $d$ și are lungimea $M N = 12$ cm. Ce lungime are proiecția lui $[M N]$ pe $d$ ?
- a) $0$ cm
- b) $6$ cm
- c) $12$ cm
- d) mai mare de $12$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $12$ cm

Când segmentul este paralel cu dreapta (sau pe ea), proiecția are exact aceeași lungime ca segmentul: $A^{'} B^{'} = A B = 12$ cm.
Segmentul $[P Q]$ este perpendicular pe dreapta $d$ și are lungimea $P Q = 15$ cm. Ce lungime are proiecția lui $[P Q]$ pe $d$ ?
- a) $0$ cm
- b) $7, 5$ cm
- c) $15$ cm
- d) mai mare de $15$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $0$ cm

Când segmentul este perpendicular pe dreaptă, ambele lui capete se proiectează în același punct, deci lungimea proiecției este $0$ cm.
Punctul $A$ aparține dreptei $d$ . Ce reprezintă proiecția ortogonală a lui $A$ pe $d$ ?
- a) Este chiar punctul $A$ , adică $A^{'} = A$
- b) Este piciorul perpendicularei duse din $A$ pe o altă dreaptă
- c) Nu există proiecție dacă punctul se află deja pe dreaptă
- d) Este un punct oarecare al dreptei $d$ , diferit de $A$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Este chiar punctul $A$ , adică $A^{'} = A$

Proiecția unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei din acel punct pe dreaptă. Dacă punctul e deja pe dreaptă, perpendiculara „cade" chiar în el, deci $A^{'} = A$ .

Întrebări conexe

Cum aflu proiecția unei catete dacă știu ipotenuza?

Ridici cateta la pătrat și împarți la ipotenuză, după teorema catetei. Pentru o ipotenuză de $25$ cm și o catetă de $15$ cm, proiecția ei este $\frac{225}{25} = 9$ cm. Cealaltă proiecție iese prin scădere, adică $25 - 9 = 16$ cm.

Ce lungime are proiecția unui segment înclinat la 60 de grade?

Jumătate din lungimea lui. Segmentul devine ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu un unghi de $3 0^{\circ}$ , iar cateta alipită dreptei este proiecția căutată. Pentru un segment de $12$ cm, proiecția are $6$ cm; cu cât înclinarea crește, cu atât umbra se scurtează.

Cum se proiectează o dreaptă pe altă dreaptă?

Dacă cele două se intersectează sau sunt oblice, proiecția acoperă toată dreapta pe care proiectezi. Dacă sunt perpendiculare, totul se strânge într-un singur punct, chiar piciorul perpendicularei. Cazul paralel duce la o suprapunere completă, fiecare punct căzând drept sub el.

De ce distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară perpendicular?

Fiindcă orice alt drum de la punct la dreaptă devine ipotenuză într-un triunghi dreptunghic care are perpendiculara drept catetă. Ipotenuza fiind mereu mai lungă decât cateta, segmentul perpendicular rămâne cel mai scurt. De aceea distanța se măsoară pe el.

Ce înseamnă proiecție ortogonală în desenul tehnic?

Un obiect se desenează privit drept din față, de sus și din lateral, iar fiecare imagine este o proiecție pe un plan. Constructorii și inginerii citesc astfel dimensiunile reale, fără deformări. Ideea rămâne aceeași ca la geometrie: razele de proiecție cad perpendicular pe planul de desen.

Cum verific pe desen că am construit corect proiecția?

Pui echerul cu o latură pe dreaptă și verifici că segmentul trasat se lipește exact de cealaltă latură. Unghiul dintre ele trebuie să fie drept, marcat cu pătrățel. Dacă piciorul perpendicularei cade în afara desenului, prelungești dreapta până acolo.

Oamenii mai întreabă și: proiecția ortogonală a unui punct · proiecții ortogonale pe o dreaptă · piciorul perpendicularei · proiecția unui segment pe o dreaptă · proiecțiile catetelor pe ipotenuză