Proiecții ortogonale pe o dreaptă

Când soarele este exact deasupra ta, la prânz, umbra ta cade drept sub tine, pe pământ. Acea umbră este, de fapt, o proiecție: locul unde „aterizează" fiecare punct al corpului tău dacă îl lăsăm să cadă vertical, perpendicular pe sol. În matematică, ideea aceasta se numește proiecție ortogonală pe o dreaptă și este cheia care deschide unul dintre cele mai importante capitole din geometria clasei a VII-a: relațiile metrice în triunghiul dreptunghic. În această lecție vei învăța ce este proiecția unui punct pe o dreaptă și proiecția unui segment, cum se măsoară lungimea unei proiecții și, mai ales, cum arată proiecțiile catetelor pe ipotenuză, configurația de bază cu care vom lucra în lecțiile următoare.

Ce vei învăța

• Vei ști să construiești proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă dată (piciorul perpendicularei).
• Vei ști să determini proiecția unui segment pe o dreaptă și să compari lungimea proiecției cu lungimea segmentului.
• Vei ști să identifici proiecțiile catetelor pe ipotenuză într-un triunghi dreptunghic.
• Vei ști să exprimi în limbaj matematic relația dintre ipotenuză și proiecțiile catetelor.
• Vei ști să recunoști configurația cu înălțimea din unghiul drept și notațiile ei standard.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „proiecție ortogonală"

Cuvântul ortogonal înseamnă, pur și simplu, „perpendicular". Așa că „proiecție ortogonală pe o dreaptă" se citește „proiecție perpendiculară pe o dreaptă". Ideea este să luăm un punct și să-l lăsăm să „cadă" pe dreaptă pe cel mai scurt drum posibil — adică pe direcția perpendiculară pe acea dreaptă.

Gândește-te din nou la umbra de la prânz: fiecare punct al corpului coboară vertical (perpendicular pe pământ) până atinge solul. Punctul de pe sol unde ajunge este proiecția. În geometrie, „solul" este o dreaptă, iar „direcția verticală" este perpendiculara pe acea dreaptă.

Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă

Să fixăm ideea printr-o definiție clară.

Definiție. Fie $d$ o dreaptă și $A$ un punct. Proiecția ortogonală a punctului $A$ pe dreapta $d$ este punctul $A^{\prime }$ în care perpendiculara dusă din $A$ pe $d$ întâlnește dreapta $d$. Punctul $A^{\prime }$ se numește și piciorul perpendicularei din $A$ pe $d$.

Notăm proiecția lui $A$ pe dreapta $d$ prin $$A^{\prime }={\mathrm{pr}}_{d}A.$$

Câteva observații importante, ca să înțelegi definiția până la capăt:

1. Proiecția unui punct există întotdeauna și este unică. Dintr-un punct exterior unei drepte putem duce o singură perpendiculară pe acea dreaptă. Prin urmare, piciorul perpendicularei este unul singur: fiecărui punct $A$ îi corespunde exact o proiecție $A^{\prime }$ pe dreapta $d$.

2. Dacă punctul se află chiar pe dreaptă, proiecția lui este el însuși. Dacă $A\in d$, atunci „drumul perpendicular" din $A$ până la dreaptă are lungimea $0$: nu trebuie să cobori deloc, ești deja pe dreaptă. Deci ${\mathrm{pr}}_{d}A=A$. Reține acest caz, pentru că este ușor de trecut cu vederea.

3. Distanța de la punct la dreaptă este chiar lungimea $A{A}^{\prime }$. Segmentul $[A{A}^{\prime }]$ este cel mai scurt segment care unește punctul $A$ cu un punct de pe dreapta $d$. Lungimea lui, $A{A}^{\prime }$, se numește distanța de la punctul $A$ la dreapta $d$. Orice alt segment de la $A$ la un punct de pe $d$ este mai lung (este oblic, nu perpendicular).

Cum construim proiecția unui punct — pas cu pas

Ca să desenezi corect proiecția unui punct $A$ pe o dreaptă $d$, procedezi așa:

1. Așază echerul cu o latură pe dreapta $d$.
2. Glisează echerul până când cealaltă latură (cea perpendiculară) trece prin punctul $A$.
3. Trasează, de-a lungul acestei laturi, perpendiculara din $A$ pe $d$.
4. Notează cu $A^{\prime }$ punctul în care perpendiculara întâlnește dreapta $d$. Acesta este ${\mathrm{pr}}_{d}A$.
5. Marchează unghiul drept în $A^{\prime }$ (semnul de pătrățel), ca să se vadă că proiecția este ortogonală.

Analogie utilă: perpendiculara din $A$ este ca un „lift" care coboară drept în jos. $A^{\prime }$ este „parterul", locul exact unde liftul atinge dreapta.

O situație foarte clară: proiecția pe axele reperului cartezian

Îți amintești de la lecția Sistemul de axe ortogonale. Coordonatele unui punct că un punct din plan are coordonate, de exemplu $A(5,3)$. Aici avem o ilustrare perfectă a proiecției, pentru că axele $Ox$ și $Oy$ sunt chiar două drepte perpendiculare.

• Proiecția lui $A(5,3)$ pe axa $Ox$ se obține coborând perpendicular pe $Ox$ (adică vertical). Ajungem în punctul $A_1(5,0)$. Practic, păstrăm abscisa și facem ordonata $0$.
• Proiecția lui $A(5,3)$ pe axa $Oy$ se obține mergând perpendicular pe $Oy$ (adică orizontal). Ajungem în $A_2(0,3)$. Aici păstrăm ordonata și facem abscisa $0$.

Această imagine este foarte utilă: îți arată că a proiecta un punct pe axa $Ox$ înseamnă, de fapt, „a citi doar cât de departe este el pe orizontală". Vom folosi imediat această idee ca să măsurăm proiecția unui segment.

Proiecția ortogonală a unui segment pe o dreaptă

Un segment are două capete. Ca să-l proiectăm pe o dreaptă, proiectăm fiecare capăt și unim proiecțiile.

Definiție. Fie $[AB]$ un segment și $d$ o dreaptă. Dacă $A^{\prime }={\mathrm{pr}}_{d}A$ și $B^{\prime }={\mathrm{pr}}_{d}B$ sunt proiecțiile capetelor, atunci proiecția ortogonală a segmentului $[AB]$ pe dreapta $d$ este segmentul $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$. Notăm $$[A^{\prime }{B}^{\prime }]={\mathrm{pr}}_d[AB].$$

Cu alte cuvinte, „umbra" unui segment pe o dreaptă este tot un segment: cel dintre umbrele capetelor. Acum vine partea interesantă — cât de lungă este această umbră? Aici apar trei situații, în funcție de poziția segmentului față de dreaptă.

Cazul 1: segmentul este paralel cu dreapta (sau chiar pe dreaptă). Atunci proiecția are exact aceeași lungime ca segmentul: $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$. Umbra unei rigle ținute orizontal, deasupra unei mese orizontale, are aceeași lungime ca rigla. Dacă segmentul este chiar pe dreaptă, el se proiectează în el însuși.

Cazul 2: segmentul este perpendicular pe dreaptă. Atunci ambele capete „cad" în același punct! Proiecția se strânge într-un singur punct, deci este un segment de lungime $0$. Umbra unui creion ținut perfect vertical, la prânz, este doar un punct.

Cazul 3: segmentul este oblic (înclinat) față de dreaptă. Acesta este cazul cel mai frecvent. Atunci proiecția este mai scurtă decât segmentul: $A^{\prime }{B}^{\prime }<AB$. Cu cât segmentul este mai înclinat (mai aproape de vertical), cu atât umbra lui este mai scurtă.

Putem strânge toate cele trei cazuri într-o singură regulă ușor de ținut minte:

Proprietate. Proiecția unui segment pe o dreaptă are lungimea cel mult egală cu a segmentului: $$A^{\prime }{B}^{\prime }\le AB.$$ Egalitatea $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$ are loc numai când segmentul este paralel cu dreapta sau se află pe dreaptă.

De ce este umbra mereu mai scurtă (sau la fel de lungă), niciodată mai lungă? Intuiția este simplă: proiecția „taie" din lungime înclinarea segmentului. Partea „pe verticală" a segmentului se pierde complet la proiecție, iar ceea ce rămâne este doar întinderea „pe orizontală", care nu poate depăși lungimea reală. Este exact ca umbra: umbra unui obiect înclinat este mai scurtă decât obiectul; doar când obiectul stă „culcat" paralel cu solul umbra devine egală cu el.

Măsurarea proiecției cu ajutorul coordonatelor

Reperul cartezian ne dă o metodă foarte concretă de a măsura lungimea unei proiecții pe o axă. Dacă avem un segment $[MN]$ cu $M(x_M,y_M)$ și $N(x_N,y_N)$, atunci:

• proiecția lui $[MN]$ pe axa $Ox$ are lungimea $|x_M-x_N|$ (diferența absciselor);
• proiecția lui $[MN]$ pe axa $Oy$ are lungimea $|y_M-y_N|$ (diferența ordonatelor).

De exemplu, pentru $M(1,2)$ și $N(6,5)$, proiecția pe $Ox$ merge de la $M_1(1,0)$ la $N_1(6,0)$ și are lungimea $|6-1|=5$. Segmentul $MN$ este oblic, deci umbra lui pe $Ox$ (adică $5$) este mai scurtă decât $MN$ însuși — exact ce spune proprietatea de mai sus.

Configurația-cheie: proiecțiile catetelor pe ipotenuză

Am ajuns la partea pentru care există, de fapt, această lecție. Toate relațiile metrice pe care le vei învăța în lecțiile următoare (teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora) se sprijină pe o singură configurație. Hai s-o construim cu grijă.

Pornim de la un triunghi dreptunghic $ABC$, cu unghiul drept în $A$, adică $m(\angle A)=90^{\circ }$. Reamintim numele laturilor, învățate în clasa a VI-a:

• latura opusă unghiului drept, $[BC]$, este ipotenuza;
• celelalte două laturi, $[AB]$ și $[AC]$, sunt catetele.

Acum ducem înălțimea din vârful unghiului drept: din $A$ coborâm perpendiculara pe ipotenuza $[BC]$. Notăm cu $D$ piciorul acestei perpendiculare, deci $D\in BC$ și $AD\perp BC$. Segmentul $[AD]$ se numește înălțimea din $A$ (înălțimea corespunzătoare ipotenuzei), iar $D$ este piciorul înălțimii.

Observă acum ceva foarte elegant. Dreapta pe care proiectăm este chiar ipotenuza $BC$. Să proiectăm fiecare catetă pe ea:

• Cateta $[AB]$ are capetele $A$ și $B$. Punctul $B$ este deja pe dreapta $BC$, deci ${\mathrm{pr}}_{BC}B=B$. Punctul $A$ se proiectează în piciorul înălțimii, ${\mathrm{pr}}_{BC}A=D$. Prin urmare $${\mathrm{pr}}_{BC}[AB]=[BD].$$
• Cateta $[AC]$ are capetele $A$ și $C$. Punctul $C$ este pe dreapta $BC$, deci ${\mathrm{pr}}_{BC}C=C$, iar $A$ se proiectează tot în $D$. Prin urmare $${\mathrm{pr}}_{BC}[AC]=[DC].$$

Deci proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt cele două bucăți în care piciorul înălțimii $D$ împarte ipotenuza:

• $[BD]$ este proiecția catetei $[AB]$ pe ipotenuză;
• $[DC]$ este proiecția catetei $[AC]$ pe ipotenuză.

Un truc de recunoaștere: proiecția unei catete este bucata de ipotenuză „lipită" de vârful acelei catete de pe ipotenuză. Cateta $[AB]$ „atinge" ipotenuza în $B$, așa că proiecția ei, $[BD]$, pleacă tocmai din $B$. La fel, cateta $[AC]$ atinge ipotenuza în $C$, deci proiecția $[DC]$ pleacă din $C$.

Relația în limbaj matematic

Fiindcă $D$ se află între $B$ și $C$ (piciorul înălțimii din unghiul drept cade întotdeauna în interiorul ipotenuzei), cele două proiecții compun exact ipotenuza. În limbaj matematic, scriem relația fundamentală de care ne vom folosi mereu: $$BD+DC=BC.$$

Adică: suma proiecțiilor celor două catete pe ipotenuză este egală cu ipotenuza. Este o relație simplă, dar foarte puternică: dacă știi ipotenuza și o proiecție, o afli imediat pe cealaltă prin scădere.

Notațiile standard pe care le vei întâlni

Ca să scrii mai ușor relațiile metrice din lecțiile viitoare, se folosesc adesea notații scurte. Într-un triunghi $ABC$ dreptunghic în $A$, cu piciorul înălțimii $D$ pe ipotenuză:

• $h=AD$ — înălțimea din unghiul drept;
• $m=BD$ — proiecția catetei $[AB]$ pe ipotenuză;
• $n=DC$ — proiecția catetei $[AC]$ pe ipotenuză;
• $a=BC$ — ipotenuza; $b=AC$ și $c=AB$ — catetele.

Cu aceste notații, relația de mai sus devine, foarte compact: $$m+n=a.$$

Reține configurația și notațiile ca pe o „hartă": în lecțiile Teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic și Teorema catetei în triunghiul dreptunghic vei lega între ele $h$, $m$, $n$, catetele și ipotenuza. Astăzi ne oprim la a le recunoaște și a le denumi corect — dar ai pus deja temelia întregului capitol de relații metrice în triunghiul dreptunghic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Proiecția unui punct pe o dreaptă

Enunț. Fie o dreaptă $d$ și un punct $P$ care nu se află pe $d$. Descrie proiecția lui $P$ pe $d$ și explică de ce este unică.

Rezolvare. Ducem din $P$ perpendiculara pe $d$. Aceasta întâlnește dreapta $d$ într-un singur punct, notat $P^{\prime }$. Atunci $P^{\prime }={\mathrm{pr}}_{d}P$ este piciorul perpendicularei. Proiecția este unică deoarece dintr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură perpendiculară pe acea dreaptă; deci există un singur picior al perpendicularei. Segmentul $[P{P}^{\prime }]$ este cel mai scurt segment de la $P$ la dreapta $d$, iar lungimea lui este distanța de la $P$ la $d$.

Exemplul 2 — Proiecția unui punct de pe dreaptă

Enunț. Punctul $M$ se află pe dreapta $d$. Care este proiecția lui $M$ pe $d$?

Rezolvare. Deoarece $M\in d$, punctul este deja pe dreaptă. „Drumul perpendicular" până la dreaptă are lungimea $0$, deci piciorul perpendicularei coincide cu punctul însuși: $${\mathrm{pr}}_{d}M=M.$$ Concluzie: proiecția unui punct de pe dreaptă este chiar acel punct. Distanța de la $M$ la $d$ este $0$.

Exemplul 3 — Proiecții pe axele reperului cartezian

Enunț. Se dă punctul $A(7,4)$ în reperul cartezian $xOy$. Află proiecția lui $A$ pe axa $Ox$ și pe axa $Oy$.

Rezolvare. Pentru proiecția pe $Ox$ coborâm perpendicular pe axa $Ox$ (vertical). Păstrăm abscisa și facem ordonata $0$: $${\mathrm{pr}}_{Ox}A=A_1(7,0).$$ Pentru proiecția pe $Oy$ mergem perpendicular pe axa $Oy$ (orizontal). Păstrăm ordonata și facem abscisa $0$: $${\mathrm{pr}}_{Oy}A=A_2(0,4).$$ Distanța de la $A$ la axa $Ox$ este $4$ (ordonata), iar distanța de la $A$ la axa $Oy$ este $7$ (abscisa).

Exemplul 4 — Lungimea proiecției unui segment pe o axă

Enunț. Se dau punctele $M(2,1)$ și $N(9,5)$. Cât de lungă este proiecția segmentului $[MN]$ pe axa $Ox$? Este ea mai scurtă decât $MN$?

Rezolvare. Proiecțiile capetelor pe $Ox$ sunt $M_1(2,0)$ și $N_1(9,0)$. Lungimea proiecției este diferența absciselor: $$M_1{N}_1=|9-2|=7.$$ Segmentul $[MN]$ este oblic (capetele au și abscise, și ordonate diferite), deci umbra lui pe $Ox$ este mai scurtă decât segmentul: $M_1{N}_1=7<MN$. Acest lucru confirmă proprietatea „proiecția $\le$ segment", cu inegalitate strictă pentru un segment oblic.

Exemplul 5 — Identificarea proiecțiilor catetelor

Enunț. Fie triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$. Ducem înălțimea $AD\perp BC$, $D\in BC$. Care este proiecția catetei $[AC]$ pe ipotenuză? Dar a catetei $[AB]$?

Rezolvare. Proiectăm fiecare catetă pe dreapta $BC$.

• Cateta $[AC]$: capătul $C$ este pe $BC$, deci ${\mathrm{pr}}_{BC}C=C$; capătul $A$ se proiectează în $D$, deci ${\mathrm{pr}}_{BC}A=D$. Așadar ${\mathrm{pr}}_{BC}[AC]=[DC]$.
• Cateta $[AB]$: analog, ${\mathrm{pr}}_{BC}B=B$ și ${\mathrm{pr}}_{BC}A=D$, deci ${\mathrm{pr}}_{BC}[AB]=[BD]$.

Concluzie: proiecția catetei $[AC]$ pe ipotenuză este $[DC]$, iar proiecția catetei $[AB]$ este $[BD]$.

Exemplul 6 — Calculul unei proiecții din ipotenuză și cealaltă proiecție

Enunț. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu înălțimea $AD$ ($D\in BC$), se știe că ipotenuza $BC=30$ cm și proiecția $BD=11$ cm. Află proiecția $DC$.

Rezolvare. Folosim relația fundamentală dintre ipotenuză și proiecțiile catetelor: $$BD+DC=BC.$$ Înlocuim datele: $$11+DC=30⟹DC=30-11=19\text{ cm}.$$ Deci proiecția catetei $[AC]$ pe ipotenuză este $DC=19$ cm. Verificare: $11+19=30=BC$. Corect.

Exemplul 7 — Aflarea ipotenuzei din cele două proiecții

Enunț. Într-un triunghi dreptunghic, piciorul înălțimii din unghiul drept împarte ipotenuza în două proiecții: $BD=9$ cm și $DC=16$ cm. Cât este ipotenuza?

Rezolvare. Ipotenuza este suma celor două proiecții: $$BC=BD+DC=9+16=25\text{ cm}.$$ Deci ipotenuza are $25$ cm. (Aceste numere, $9$, $16$ și $25$, nu sunt alese la întâmplare: vei descoperi legătura dintre ele în lecția despre teorema înălțimii — dar deocamdată ne interesează doar suma proiecțiilor.)

Să exersăm

Rezolvă exercițiile în ordine; sunt aranjate de la ușor la greu. La geometrie, fă întotdeauna un desen mare și clar.

1. Completează: proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă se numește și piciorul ______.

2. Adevărat sau fals, cu justificare: „Proiecția unui punct care se află pe dreaptă este chiar acel punct."

3. Se dă punctul $A(6,2)$. Scrie proiecția lui pe axa $Ox$ și pe axa $Oy$.

4. Se dă punctul $B(-4,5)$. Care este proiecția lui pe axa $Ox$? Care este distanța de la $B$ la axa $Ox$?

5. Un segment $[PQ]$ este paralel cu dreapta $d$ și are lungimea $8$ cm. Cât de lungă este proiecția lui $[PQ]$ pe $d$?

6. Un segment $[MN]$ este perpendicular pe dreapta $d$. Ce este proiecția lui $[MN]$ pe $d$ și ce lungime are?

7. Adevărat sau fals, cu justificare: „Proiecția unui segment pe o dreaptă poate fi mai lungă decât segmentul."

8. Se dau $M(1,3)$ și $N(8,3)$. Ce lungime are proiecția segmentului $[MN]$ pe axa $Ox$? Segmentul este paralel cu $Ox$? Justifică.

9. Se dau $E(2,1)$ și $F(2,7)$. Ce este proiecția segmentului $[EF]$ pe axa $Ox$? Explică poziția segmentului față de $Ox$.

10. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu înălțimea $AD$ ($D\in BC$), numește: ipotenuza, catetele, înălțimea din unghiul drept și piciorul înălțimii.

11. În aceeași configurație de la exercițiul 10, scrie proiecția catetei $[AB]$ pe ipotenuză și proiecția catetei $[AC]$ pe ipotenuză.

12. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AD\perp BC$, se dau $BC=40$ cm și $DC=15$ cm. Află proiecția $BD$.

13. Piciorul înălțimii împarte ipotenuza în proiecțiile $BD=7,2$ cm și $DC=12,8$ cm. Cât este ipotenuza?

14. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AD\perp BC$, se dă ipotenuza $BC=26$ cm, iar proiecția catetei $[AB]$ este de trei ori mai mare decât proiecția catetei $[AC]$. Află cele două proiecții $BD$ și $DC$.

15. Adevărat sau fals, cu justificare: „Într-un triunghi dreptunghic, suma proiecțiilor catetelor pe ipotenuză este egală cu ipotenuza."

16. O scară de $3$ m stă sprijinită înclinat de un perete, pe un teren orizontal. Proiecția ortogonală a scării pe sol are $2$ m. Este proiecția mai scurtă sau mai lungă decât scara? Explică folosind ce ai învățat despre proiecția unui segment.

17. Desenează o dreaptă $d$ și un punct $A$ la aproximativ $3$ cm deasupra ei. Construiește cu echerul proiecția $A^{\prime }$ și un al doilea punct $M$ pe $d$, diferit de $A^{\prime }$. Compară, prin măsurare, $A{A}^{\prime }$ cu $AM$. Ce observi?

18. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AD\perp BC$, proiecția $BD$ este cu $6$ cm mai mică decât proiecția $DC$, iar ipotenuza este $BC=34$ cm. Află $BD$ și $DC$.

Răspunsuri și explicații

1. Piciorul perpendicularei. (Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă = piciorul perpendicularei duse din punct pe dreaptă.)

2. Adevărat. Dacă punctul este pe dreaptă, distanța până la dreaptă este $0$, deci perpendiculara „nu coboară" deloc, iar piciorul ei coincide cu punctul: ${\mathrm{pr}}_{d}A=A$.

3. Pe $Ox$: $A_1(6,0)$ (păstrăm abscisa, ordonata devine $0$). Pe $Oy$: $A_2(0,2)$ (păstrăm ordonata, abscisa devine $0$).

4. Proiecția pe $Ox$ este $B_1(-4,0)$. Distanța de la $B$ la $Ox$ este valoarea absolută a ordonatei: $|5|=5$.

5. $8$ cm. Când segmentul este paralel cu dreapta, proiecția are aceeași lungime ca segmentul: $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$.

6. Proiecția este un singur punct (un segment de lungime $0$). Ambele capete se proiectează în același punct de pe $d$, pentru că segmentul are direcția perpendicularei.

7. Fals. Proiecția unui segment este întotdeauna cel mult egală cu segmentul: $A^{\prime }{B}^{\prime }\le AB$. Egalitatea apare doar când segmentul este paralel cu dreapta (sau pe ea); pentru un segment oblic, proiecția este strict mai scurtă. Mai lungă nu poate fi niciodată.

8. Lungimea proiecției pe $Ox$ este $|8-1|=7$. Segmentul este paralel cu $Ox$, deoarece capetele au aceeași ordonată ($y=3$), deci segmentul este orizontal. Fiind paralel cu $Ox$, proiecția lui pe $Ox$ este chiar egală cu lungimea segmentului ($MN=7$).

9. Proiecția este un singur punct, $(2,0)$, deci un segment de lungime $0$. Capetele au aceeași abscisă ($x=2$), deci segmentul este vertical, adică perpendicular pe $Ox$; de aceea ambele capete se proiectează în același punct.

10. Ipotenuza: $[BC]$; catetele: $[AB]$ și $[AC]$; înălțimea din unghiul drept: $[AD]$; piciorul înălțimii: $D$.

11. Proiecția catetei $[AB]$ pe ipotenuză este $[BD]$; proiecția catetei $[AC]$ pe ipotenuză este $[DC]$.

12. $BD+DC=BC\Rightarrow BD=BC-DC=40-15=25$ cm.

13. $BC=BD+DC=7,2+12,8=20$ cm.

14. Notăm proiecția mai mică $DC=x$; atunci $BD=3x$. Din $BD+DC=BC$ avem $3x+x=26$, deci $4x=26$, adică $x=6,5$ cm. Rezultă $DC=6,5$ cm și $BD=3\cdot 6,5=19,5$ cm. Verificare: $19,5+6,5=26$. Corect.

15. Adevărat. Piciorul înălțimii $D$ se află între $B$ și $C$, deci $[BD]$ și $[DC]$ compun exact ipotenuza: $BD+DC=BC$. Cum $[BD]$ și $[DC]$ sunt proiecțiile catetelor, suma proiecțiilor este ipotenuza.

16. Proiecția este mai scurtă ($2$ m $<3$ m). Scara este înclinată, deci oblică față de sol; proiecția unui segment oblic pe o dreaptă este strict mai scurtă decât segmentul, ceea ce se potrivește cu proprietatea $A^{\prime }{B}^{\prime }\le AB$.

17. După construcție și măsurare vei observa că $A{A}^{\prime }<AM$: segmentul perpendicular $[A{A}^{\prime }]$ este cel mai scurt drum de la $A$ la dreaptă, iar orice segment oblic $[AM]$ este mai lung. (Numeric, depinde de desenul tău, dar inegalitatea $A{A}^{\prime }<AM$ este mereu valabilă.)

18. Notăm $BD=x$; atunci $DC=x+6$. Din $BD+DC=34$ obținem $x+(x+6)=34$, deci $2x+6=34$, $2x=28$, $x=14$. Rezultă $BD=14$ cm și $DC=20$ cm. Verificare: $14+20=34$. Corect.

De reținut

• Proiecția ortogonală a unui punct $A$ pe dreapta $d$ este piciorul perpendicularei din $A$ pe $d$; se notează ${\mathrm{pr}}_{d}A$ și este unică. Dacă $A\in d$, atunci ${\mathrm{pr}}_{d}A=A$.
• Proiecția unui segment $[AB]$ este segmentul $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$ dintre proiecțiile capetelor. Mereu $A^{\prime }{B}^{\prime }\le AB$; egalitatea are loc doar când segmentul este paralel cu dreapta (sau pe ea). Dacă segmentul este perpendicular pe dreaptă, proiecția este un punct (lungime $0$).
• În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($m(\angle A)=90^{\circ }$) cu înălțimea $AD\perp BC$: proiecția catetei $[AB]$ pe ipotenuză este $[BD]$, iar proiecția catetei $[AC]$ este $[DC]$.
• Relația fundamentală, în limbaj matematic: $BD+DC=BC$, adică suma proiecțiilor catetelor este egală cu ipotenuza (pe scurt, $m+n=a$).
• Notațiile standard ale configurației: $h=AD$ (înălțimea din unghiul drept), $m=BD$ și $n=DC$ (proiecțiile catetelor), $a=BC$ (ipotenuza).

Greșeli frecvente

• Confuzia „proiecție = umbră mai lungă". Proiecția pe o dreaptă nu poate fi niciodată mai lungă decât segmentul; este cel mult egală (când segmentul e paralel cu dreapta). Verifică mereu: dacă îți iese o proiecție mai mare decât segmentul, ai greșit undeva.
• Uitarea cazului „punct pe dreaptă". Când punctul este chiar pe dreaptă, proiecția lui este el însuși, nu un alt punct. Nu construi o perpendiculară „inutilă".
• Încurcarea proiecțiilor catetelor. Proiecția catetei $[AB]$ este $[BD]$ (bucata de lângă $B$), nu $[DC]$. Regula sigură: proiecția unei catete pornește din vârful pe care cateta îl are pe ipotenuză ($B$, respectiv $C$).
• Scrierea greșită a relației de sumă. Corect este $BD+DC=BC$ (proiecțiile compun ipotenuza). O greșeală tipică este să scrii $BD+DC=AD$ sau să aduni catetele; nu, se adună doar cele două proiecții de pe ipotenuză.

Aplică acasă

• Umbra în timpul zilei. Alege o zi însorită și un obiect vertical (un băț înfipt în pământ, o sticlă). Măsoară înălțimea obiectului și lungimea umbrei lui pe sol la ore diferite. Observă cum se schimbă umbra: dimineața și seara poate fi chiar mai lungă decât obiectul, pentru că razele soarelui cad oblic — umbra este o proiecție ortogonală doar când razele sunt verticale (soarele exact deasupra), caz în care umbra bățului vertical s-ar strânge într-un punct.
• Proiecții pe caiet. Pe o foaie cu pătrățele, desenează axele $Ox$ și $Oy$ și marchează $4$–$5$ puncte cu coordonate întregi. Pentru fiecare, construiește cu echerul proiecția pe $Ox$ și pe $Oy$ și scrie coordonatele proiecțiilor. Verifică regula: pe $Ox$ ordonata devine $0$, pe $Oy$ abscisa devine $0$.
• Triunghiul dreptunghic din carton. Decupează un triunghi dreptunghic din carton. Trasează înălțimea din unghiul drept până la ipotenuză și marchează piciorul $D$. Măsoară cu rigla proiecțiile $BD$ și $DC$, apoi ipotenuza $BC$, și verifică prin măsurare că $BD+DC=BC$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este „poarta de intrare" în capitolul relațiilor metrice: dacă elevul stăpânește bine proiecțiile, teorema înălțimii și teorema catetei vor veni natural. Sprijiniți-l mai întâi pe partea vizuală, cu desene mari și un echer la îndemână — proiecția este un concept care se înțelege mult mai ușor desenând decât citind.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „Ce este proiecția unui punct pe o dreaptă și de ce este unică?" (Așteptați: piciorul perpendicularei; unică pentru că există o singură perpendiculară dintr-un punct pe o dreaptă.)
• „Poate proiecția unui segment să fie mai lungă decât segmentul? Când sunt egale?" (Nu; egale doar când segmentul e paralel cu dreapta.)
• „În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$ și înălțimea $AD$, care este proiecția catetei $AB$?" (Răspuns: $BD$.)
• „Cât fac cele două proiecții adunate?" (Ipotenuza: $BD+DC=BC$.)

Semne că elevul a înțeles: identifică rapid piciorul înălțimii $D$, nu confundă proiecțiile catetelor între ele, folosește corect relația $BD+DC=BC$ pentru a afla o proiecție necunoscută și explică (nu doar memorează) de ce proiecția unui segment oblic este mai scurtă. Dacă apar ezitări, reveniți la analogia cu umbra și la exemplul proiecțiilor pe axele reperului cartezian.

Întrebări frecvente

Ce este proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă? Este punctul în care perpendiculara dusă din acel punct pe dreaptă întâlnește dreapta, adică piciorul perpendicularei. Se notează ${\mathrm{pr}}_{d}A$ și este unic, pentru că dintr-un punct se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă.

Cum construiesc proiecția unui punct pe o dreaptă? Așezi echerul cu o latură pe dreaptă, îl glisezi până când cealaltă latură (perpendiculară) trece prin punct, trasezi perpendiculara și notezi cu $A^{\prime }$ punctul de întâlnire cu dreapta. Acolo marchezi unghiul drept.

Poate proiecția unui segment să fie mai lungă decât segmentul? Nu. Proiecția are mereu lungimea cel mult egală cu a segmentului: $A^{\prime }{B}^{\prime }\le AB$. Este egală doar când segmentul este paralel cu dreapta (sau se află pe ea), și strict mai scurtă pentru un segment oblic.

Care sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză? Într-un triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$ și înălțimea $AD$ pe ipotenuză, proiecția catetei $[AB]$ este segmentul $[BD]$, iar proiecția catetei $[AC]$ este segmentul $[DC]$. Piciorul înălțimii $D$ împarte ipotenuza în aceste două proiecții.

De ce este $BD+DC=BC$? Pentru că piciorul înălțimii din unghiul drept, $D$, se află între $B$ și $C$ pe ipotenuză. Cele două proiecții $[BD]$ și $[DC]$ compun astfel întreaga ipotenuză, deci suma lungimilor lor este chiar $BC$.

Ce este piciorul perpendicularei? Este punctul în care o perpendiculară dusă dintr-un punct atinge dreapta. Pentru proiecția unui punct, piciorul perpendicularei este chiar proiecția lui. Pentru înălțimea din unghiul drept, piciorul înălțimii este punctul $D$ de pe ipotenuză.

La ce folosesc proiecțiile în triunghiul dreptunghic? Ele sunt baza relațiilor metrice: în lecțiile următoare, proiecțiile catetelor pe ipotenuză și înălțimea din unghiul drept se leagă prin teorema înălțimii și teorema catetei, care permit calculul lungimilor necunoscute într-un triunghi dreptunghic.

Cum aflu proiecția unui punct pe axa Ox sau Oy? Pentru proiecția pe $Ox$ păstrezi abscisa și faci ordonata $0$: din $A(x,y)$ obții $(x,0)$. Pentru proiecția pe $Oy$ păstrezi ordonata și faci abscisa $0$: obții $(0,y)$. Distanța de la punct la $Ox$ este $|y|$, iar la $Oy$ este $|x|$.