Este $$\dfrac{16}{9} = \dfrac{20}{11}$$ o proporție?

Nu, pentru că $$16 \cdot 11 \neq 9 \cdot 20$$

Da, pentru că $$16 \cdot 11 = 9 \cdot 20$$

Da, pentru că $$16 > 9$$ și $$20 > 11$$

Nu se poate stabili fără simplificare

Ce este o proporție în matematică?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Proprietatea fundamentală a proporțiilor

Este egalitatea a două rapoarte, scrisă $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , cu numitorii diferiți de zero. Numerele de la margini se numesc extremi, iar cele din mijloc mezi, denumirile venind din locul pe care îl ocupă. Regula de bază spune că produsul extremilor este cât produsul mezilor. Pentru $\frac{9}{15}$ și $\frac{6}{10}$ obții $9 \cdot 10 = 90$ și $15 \cdot 6 = 90$ , deci egalitatea este o proporție.

O proporție este egalitatea a două rapoarte: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , cu $b \neq = 0$ și $d \neq = 0$ . Cele patru numere se numesc termenii proporției: $a$ și $d$ sunt extremii (la margini), iar $b$ și $c$ sunt mezii (la mijloc) — numele vin din poziție, nu din mărime.

Proprietatea fundamentală spune că, într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $a \cdot d = b \cdot c$ . Regula merge în ambele sensuri: dintr-o proporție rezultă produse egale, iar din produse egale putem forma o proporție.

Exemplu: verificăm dacă $\frac{9}{15} = \frac{6}{10}$ este o proporție. Produsul extremilor: $9 \cdot 10 = 90$ . Produsul mezilor: $15 \cdot 6 = 90$ . Fiind egale, da, este o proporție.

De reținut

proporție: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , cu $b \neq = 0$ și $d \neq = 0$
$a$ și $d$ sunt extremii, $b$ și $c$ sunt mezii
proprietatea fundamentală: $a \cdot d = b \cdot c$

Greșeala tipică

Se înmulțesc numerele așezate unul sub altul, nu cele de pe diagonale; regula compară produsul celor două numere de la margini cu produsul celor două din mijloc, iar orice altă pereche duce la un rezultat greșit.

Exerciții din această mini-lecție

În proporția $\frac{6}{11} = \frac{18}{33}$ , care sunt extremii?
- a) 6 și 33
- b) 11 și 18
- c) 6 și 18
- d) 11 și 33
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 6 și 33

Scriem termenii în ordine: 6, 11, 18, 33. Extremii sunt primul și ultimul termen, adică 6 și 33. Mezii (11 și 18) sunt cei din mijloc. Numele vine din poziție, nu din mărime.
Este $\frac{16}{9} = \frac{20}{11}$ o proporție?
- a) Da, pentru că $16 \cdot 11 = 9 \cdot 20$
- b) Nu, pentru că $16 \cdot 11 \neq = 9 \cdot 20$
- c) Da, pentru că $16 > 9$ și $20 > 11$
- d) Nu se poate stabili fără simplificare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu, pentru că $16 \cdot 11 \neq = 9 \cdot 20$

Aplicăm proprietatea fundamentală: produsul extremilor este $16 \cdot 11 = 176$ , iar produsul mezilor este $9 \cdot 20 = 180$ . Deoarece $176 \neq = 180$ , cele două rapoarte nu formează o proporție. Mărimea numerelor nu contează, doar egalitatea celor două produse.
În proporția $\frac{4}{9} = \frac{12}{27}$ , care sunt mezii?
- a) 9 și 12
- b) 4 și 27
- c) 4 și 12
- d) 9 și 27
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) 9 și 12

Scriem termenii în ordine: 4, 9, 12, 27. Mezii sunt termenii din mijloc, adică 9 și 12. Extremii (4 și 27) sunt primul și ultimul termen. Numele vine din poziție, nu din mărime.

Întrebări conexe

Se păstrează proporția dacă înmulțesc toți termenii cu același număr?

Da. Amândouă produsele se înmulțesc atunci cu pătratul acelui număr, deci egalitatea dintre ele rămâne. La fel se întâmplă și dacă amplifici un singur raport, sus și jos, cu același număr nenul: valoarea raportului nu se schimbă.

Ce se întâmplă cu proporția dacă schimb între ei mezii?

Rămâne adevărată. Din $a \cdot d = b \cdot c$ se vede că produsul nu se schimbă mutându-i pe $b$ și $c$ unul în locul celuilalt, deci $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ . La fel se pot muta extremii sau se poate răsturna fiecare raport, egalitatea ținându-se tot pe același produs.

Cum construiesc o proporție pornind de la o înmulțire?

Pui cei doi factori dintr-un produs la extremi și pe ceilalți doi la mezi. Din $3 \cdot 20 = 4 \cdot 15$ obții, de exemplu, $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ . Fiindcă pozițiile se pot alege în mai multe feluri, dintr-o singură egalitate ies mai multe proporții.

Ce se întâmplă dacă unul dintre termenii proporției este zero?

Numitorii unei proporții trebuie să fie nenuli, altfel rapoartele nu au sens. Dacă un numărător este zero, atunci și celălalt trebuie să fie zero, fiindcă produsele în cruce ar ieși unul nul și celălalt nu, iar egalitatea ar cădea.

Ce se schimbă dacă răstorn amândouă rapoartele unei proporții?

Nimic: egalitatea rămâne adevărată. Din $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ rezultă $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ , cu condiția ca toate patru numerele să fie nenule. Produsele în cruce sunt aceleași, doar că extremii și mezii își schimbă rolurile.

Ce înseamnă că patru numere sunt în proporție?

Că se pot așeza în două rapoarte egale, în ordinea dată. Numerele $2$ , $3$ , $8$ și $12$ sunt în proporție, fiindcă $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ . Ordinea contează: aceleași patru numere puse altfel pot să nu mai formeze o proporție.

Oamenii mai întreabă și: ce este o proporție · proprietatea fundamentală a proporțiilor · extremii și mezii unei proporții · înmulțirea în cruce