Proporția și proprietatea fundamentală

Ai învățat deja ce înseamnă raportul a două numere și ai lucrat cu procente. Acum facem un pas important: punem un semn de egal între două rapoarte și obținem un instrument nou și foarte puternic, numit proporție. Cu proporțiile vei putea compara prețuri, mări sau micșora rețete, citi scări de hărți și rezolva o mulțime de probleme din viața reală. În această lecție despre proporții pentru clasa a 6-a descoperim ce este o proporție, cine sunt extremii și mezii și mai ales proprietatea fundamentală, regula care îți spune dintr-o privire dacă două rapoarte chiar sunt egale.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o proporție ca egalitate de două rapoarte și să scrii corect forma a/b = c/d.
• Vei ști să numești termenii proporției: extremii și mezii.
• Vei ști să aplici proprietatea fundamentală a proporțiilor: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.
• Vei ști să verifici dacă două rapoarte formează sau nu o proporție.
• Vei ști să folosești proporțiile în mici probleme din viața de zi cu zi.

Hai să descoperim împreună

Pornim de la ce știm deja: raportul

Îți amintești din lecția despre raportul a două numere: raportul a două numere $a$ și $b$ (cu $b\ne 0$) este câtul lor, adică $\frac{a}{b}$. El ne arată „de câte ori" un număr se cuprinde în celălalt sau „cum se împart" două mărimi una față de cealaltă.

De exemplu, dacă într-o clasă sunt 12 fete și 18 băieți, raportul dintre numărul fetelor și numărul băieților este $\frac{12}{18}$. Acest raport poate fi simplificat: împărțim și sus, și jos cu 6 și obținem $\frac{2}{3}$. Deci $\frac{12}{18}$ și $\frac{2}{3}$ reprezintă aceeași comparație, doar scrisă în două moduri.

Tocmai aici se naște ideea de proporție: avem două rapoarte diferite ca scriere, dar egale ca valoare. Când scriem că ele sunt egale, obținem o proporție.

Ce este o proporție

Hai să fim foarte preciși, ca la matematică.

Definiție. Se numește proporție egalitatea a două rapoarte. Scriem: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$ unde $b\ne 0$ și $d\ne 0$ (numitorii nu pot fi zero, fiindcă nu putem împărți la zero).

Citim această proporție în două feluri, amândouă corecte:

• „$a$ supra $b$ este egal cu $c$ supra $d$";
• „$a$ este către $b$ așa cum $c$ este către $d$".

A doua citire este foarte frumoasă, pentru că surprinde ideea adevărată: cele două perechi de numere au aceeași relație între ele. De exemplu, $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ se citește „2 este către 3 așa cum 4 este către 6" — în ambele cazuri, primul număr reprezintă două treimi din al doilea.

Atenție: o proporție conține un singur semn de egal și două rapoarte. Dacă vezi trei rapoarte legate prin egal, aceea se numește șir de rapoarte egale și o vom studia într-o lecție viitoare, șir de rapoarte egale. Deocamdată lucrăm cu exact două rapoarte.

Termenii proporției: extremi și mezi

O proporție are patru numere, numite termenii proporției. Ei au nume speciale, în funcție de locul pe care îl ocupă. Hai să le punem o etichetă.

În proporția $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

• $a$ și $d$ se numesc extremi (sunt „la margini", la cele două capete);
• $b$ și $c$ se numesc mezi (sunt „la mijloc").

Cum ții minte ușor? Scrie proporția pe un singur rând, cu cele patru numere în ordine: $a$, $b$, $c$, $d$. Atunci primul și ultimul (cei de la extreme) sunt extremii: $a$ și $d$. Cei doi din mijloc sunt mezii: $b$ și $c$. Cuvântul „mez" vine chiar de la „mijloc", la fel ca miezul unui măr.

Să vedem pe un exemplu cu numere concrete. În proporția $$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$$ ordinea celor patru numere este: 3, 4, 9, 12.

• Extremii sunt 3 și 12 (primul și ultimul).
• Mezii sunt 4 și 9 (cei din mijloc).

Repetăm cu altă proporție, ca să se așeze bine ideea. În $$\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$$ extremii sunt 10 și 3, iar mezii sunt 15 și 2. Observă: extremii nu trebuie să fie numerele mari și mezii cele mici! Numele vine doar din poziție, nu din mărime. Aici extremul 3 este mai mic decât mezul 15. Reține bine acest lucru, pentru că este una dintre cele mai frecvente confuzii.

Marea descoperire: proprietatea fundamentală

Acum ajungem la inima lecției. Hai să facem un mic experiment, ca niște detectivi ai numerelor.

Luăm proporția adevărată $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ și calculăm două produse:

• produsul extremilor: $2\cdot 6=12$;
• produsul mezilor: $3\cdot 4=12$.

Surpriză! Cele două produse sunt egale: $12=12$.

Să mai încercăm o dată cu altă proporție adevărată, $\frac{5}{10}=\frac{3}{6}$:

• produsul extremilor: $5\cdot 6=30$;
• produsul mezilor: $10\cdot 3=30$.

Din nou egale! $30=30$. Nu este o coincidență. De fiecare dată când două rapoarte chiar sunt egale, se întâmplă același lucru. Această regulă se numește proprietatea fundamentală a proporțiilor.

Proprietatea fundamentală. Într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺a\cdot d=b\cdot c$$

Săgeata dublă $⟺$ înseamnă „dacă și numai dacă": regula merge în ambele sensuri. Adică:

• dacă $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ este o proporție, atunci sigur $a\cdot d=b\cdot c$;
• și invers, dacă pentru patru numere avem $a\cdot d=b\cdot c$, atunci ele formează proporția $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

De ce funcționează? (o explicație simplă)

Poate te întrebi: de ce sunt mereu egale cele două produse? Hai să înțelegem, nu doar să memorăm.

Pornim de la proporția $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Asta înseamnă că cele două fracții au exact aceeași valoare. Dacă două fracții sunt egale și le înmulțim pe amândouă cu același număr, ele rămân egale. Înmulțim ambele fracții cu $b\cdot d$ (produsul numitorilor): $$\frac{a}{b}\cdot (b\cdot d)=\frac{c}{d}\cdot (b\cdot d).$$ În stânga, $b$ de la numitor se simplifică cu $b$, și rămâne $a\cdot d$. În dreapta, $d$ de la numitor se simplifică cu $d$, și rămâne $c\cdot b$. Obținem: $$a\cdot d=c\cdot b,$$ adică exact „produsul extremilor egal cu produsul mezilor". Frumos, nu? Regula nu a căzut din cer — vine direct din faptul că fracțiile sunt egale.

O imagine care ajută: balanța în echilibru

Dacă vrei o imagine simplă care să-ți rămână în minte, gândește-te la o balanță (un cântar cu două talere). Pe talerul din stânga punem produsul extremilor, $a\cdot d$, iar pe talerul din dreapta punem produsul mezilor, $b\cdot c$. Atunci când cele două rapoarte formează cu adevărat o proporție, balanța stă în echilibru: cele două talere cântăresc exact la fel, $a\cdot d=b\cdot c$.

Dacă rapoartele nu sunt egale, balanța se înclină într-o parte — un produs este mai mare decât celălalt, iar tu vezi imediat că nu ai o proporție. Așa poți „simți" proprietatea fundamentală: a verifica o proporție înseamnă, de fapt, a cântări dacă cele două produse se echilibrează.

Aceeași proporție, scrisă în mai multe feluri

Iată o mică descoperire care îți arată cât de „vie" este o proporție. Pornim de la proporția adevărată $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$. Produsul extremilor este $2\cdot 6=12$, iar al mezilor $3\cdot 4=12$.

Ce se întâmplă dacă schimbăm între ei mezii (adică pe 3 cu 4)? Obținem $\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$. Verificăm: extremii $2\cdot 6=12$, mezii $4\cdot 3=12$ — tot egale! Avem din nou o proporție. Asta se întâmplă fiindcă produsul celor patru numere rămâne același, indiferent de ordinea în care îi înmulțim. Vei studia pe larg aceste „rearanjări" în lecția despre proporții derivate; deocamdată reține doar ideea: dintr-o proporție adevărată putem obține altele, mutând cu grijă termenii. Tocmai pentru asta proprietatea fundamentală este un instrument atât de puternic.

Metoda „înmulțirii în cruce"

În practică, proprietatea fundamentală se mai numește și înmulțire în cruce (sau „regula crucii"). Numele vine de la felul în care înmulțești: pleci de la un termen și mergi pe diagonală până la cel din colțul opus, desenând în minte un X.

Pașii sunt simpli:

1. Înmulțești numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua: $a\cdot d$.
2. Înmulțești numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua: $b\cdot c$.
3. Compari cele două rezultate.

Dacă rezultatele sunt egale, ai o proporție. Dacă sunt diferite, nu ai o proporție.

Cum verificăm dacă două rapoarte formează o proporție

Acum avem o metodă rapidă și sigură pentru verificarea unei proporții. Ai două rapoarte și vrei să afli dacă, puse cu egal între ele, formează o proporție adevărată? Faci așa:

1. Scrie cele două rapoarte cu un semn de egal între ele, de probă: $\frac{a}{b}\stackrel{?}{=}\frac{c}{d}$.
2. Calculează produsul extremilor: $a\cdot d$.
3. Calculează produsul mezilor: $b\cdot c$.
4. Compară:
   • dacă $a\cdot d=b\cdot c$ → DA, este o proporție;
   • dacă $a\cdot d\ne b\cdot c$ → NU, nu este o proporție.

Hai pe un exemplu rapid: este $\frac{6}{8}=\frac{9}{12}$ o proporție? Produsul extremilor: $6\cdot 12=72$. Produsul mezilor: $8\cdot 9=72$. Egale → DA, este o proporție.

Și un contraexemplu: este $\frac{2}{5}=\frac{3}{7}$ o proporție? Extremii: $2\cdot 7=14$. Mezii: $5\cdot 3=15$. $14\ne 15$ → NU este o proporție.

Există și o a doua metodă de verificare, prin simplificare: aduci ambele rapoarte la forma ireductibilă și vezi dacă obții același rezultat. De exemplu $\frac{6}{8}$ se simplifică (cu 2) la $\frac{3}{4}$, iar $\frac{9}{12}$ se simplifică (cu 3) tot la $\frac{3}{4}$ — deci sunt egale, formează o proporție. Această metodă se leagă de lecția despre fracții ireductibile. Totuși, proprietatea fundamentală este de obicei mai rapidă și mai sigură, mai ales când numerele nu se simplifică ușor.

O poveste scurtă care leagă totul

Andrei și Bianca fac limonadă pentru un târg al clasei. Rețeta Biancăi cere 2 lămâi la 3 căni de apă. Andrei vrea să facă mai multă limonadă și folosește 6 lămâi la 9 căni de apă. Vor avea cele două limonade același gust?

„Același gust" înseamnă „aceeași proporție între lămâi și apă". Verificăm dacă $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$ este o proporție. Extremii: $2\cdot 9=18$. Mezii: $3\cdot 6=18$. Egale! Deci da, gustul este identic — Andrei a păstrat exact aceeași rețetă, doar a triplat cantitățile. Vezi cât de utilă este proporția în viața de zi cu zi? Cu ea, o rețetă poate fi mărită fără să i se strice gustul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Identificarea extremilor și a mezilor

Enunț. În proporția $\frac{7}{8}=\frac{21}{24}$, numește extremii și mezii.

Rezolvare. Scriem cei patru termeni în ordine: 7, 8, 21, 24.

• Extremii sunt primul și ultimul: 7 și 24.
• Mezii sunt cei din mijloc: 8 și 21.

Verificare bonus (ca să fim siguri că este chiar o proporție): $7\cdot 24=168$ și $8\cdot 21=168$. Egale, deci totul este corect.

Exemplul 2 — Verificarea unei proporții cu proprietatea fundamentală

Enunț. Formează rapoartele $\frac{15}{20}$ și $\frac{12}{16}$ o proporție?

Rezolvare. Punem semnul de egal de probă: $\frac{15}{20}\stackrel{?}{=}\frac{12}{16}$.

• Produsul extremilor: $15\cdot 16=240$.
• Produsul mezilor: $20\cdot 12=240$.

Cele două produse sunt egale ($240=240$), deci DA, rapoartele formează o proporție.

Exemplul 3 — Când NU avem o proporție

Enunț. Verifică dacă $\frac{4}{9}=\frac{6}{12}$ este o proporție.

Rezolvare.

• Produsul extremilor: $4\cdot 12=48$.
• Produsul mezilor: $9\cdot 6=54$.

Deoarece $48\ne 54$, NU este o proporție. Cele două rapoarte nu sunt egale: $\frac{4}{9}\approx 0,44$, în timp ce $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}=0,5$.

Exemplul 4 — De la o egalitate de produse la o proporție

Enunț. Se știe că $5\cdot 12=6\cdot 10$. Scrie o proporție folosind aceste numere.

Rezolvare. Calculăm: $5\cdot 12=60$ și $6\cdot 10=60$. Egalitatea este adevărată. Conform proprietății fundamentale (citită „invers"), dacă produsul a două numere este egal cu produsul altor două, ele formează o proporție în care acele două numere sunt extremii, iar celelalte sunt mezii.

Alegem $5$ și $12$ să fie extremii, iar $6$ și $10$ mezii. Atunci proporția este: $$\frac{5}{6}=\frac{10}{12}.$$ Verificăm: extremii $5\cdot 12=60$, mezii $6\cdot 10=60$. Corect. (Există și alte așezări valabile, de exemplu $\frac{5}{10}=\frac{6}{12}$ — verific-o tu!)

Exemplul 5 — Proporție cu o necunoscută (verificare)

Enunț. Este adevărat că $\frac{x}{6}=\frac{10}{15}$ pentru $x=4$? Verifică folosind proprietatea fundamentală.

Rezolvare. Înlocuim $x$ cu 4 și verificăm proporția $\frac{4}{6}=\frac{10}{15}$.

• Produsul extremilor: $4\cdot 15=60$.
• Produsul mezilor: $6\cdot 10=60$.

Egale, deci $x=4$ chiar este valoarea care face egalitatea adevărată. (În lecția următoare, aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție, vei învăța să găsești singur acest $x$, nu doar să-l verifici.)

Exemplul 6 — Aplicație practică

Enunț. Un magazin vinde 3 caiete cu 12 lei. La un alt raft, 5 caiete identice costă 20 de lei. Au caietele același preț pe bucată (adică formează cantitățile o proporție)?

Rezolvare. Comparăm raportul caiete/lei la cele două rafturi: $\frac{3}{12}\stackrel{?}{=}\frac{5}{20}$.

• Produsul extremilor: $3\cdot 20=60$.
• Produsul mezilor: $12\cdot 5=60$.

Egale, deci DA, este o proporție — caietele au exact același preț pe bucată (1 caiet = 4 lei la ambele rafturi). Proporția ne-a confirmat că prețul unitar este același, fără să fi calculat efectiv prețul unei bucăți.

Exemplul 7 — Verificare cu numere mai mari

Enunț. Verifică dacă $\frac{18}{24}=\frac{27}{36}$ este o proporție.

Rezolvare. Numerele sunt mai mari, dar metoda este exact aceeași — aici se vede de ce înmulțirea în cruce e adesea mai rapidă decât simplificarea.

• Produsul extremilor: $18\cdot 36=648$.
• Produsul mezilor: $24\cdot 27=648$.

Cele două produse sunt egale ($648=648$), deci DA, este o proporție. (Dacă ai fi vrut, puteai simplifica: $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$ și $\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$ — același rezultat, dar cu mai mult calcul.)

Exemplul 8 — Aceeași proporție rearanjată

Enunț. Se știe că $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$ este o proporție. Arată că și $\frac{3}{6}=\frac{5}{10}$ este o proporție.

Rezolvare. În a doua scriere am schimbat între ei mezii din prima proporție (pe 5 cu 6). Verificăm cu proprietatea fundamentală:

• Produsul extremilor: $3\cdot 10=30$.
• Produsul mezilor: $6\cdot 5=30$.

Egale, deci DA, este tot o proporție. Observă cum, pornind de la o proporție adevărată, am construit alta validă doar rearanjând termenii. Produsul celor patru numere ($3\cdot 5\cdot 6\cdot 10$) rămâne neschimbat, de aceea echilibrul se păstrează.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Pentru fiecare cerință, arată calculele atunci când e nevoie. Exercițiile sunt așezate de la ușor la mai greu.

1. Completează: o proporție este o egalitate de două ______ .

2. În proporția $\frac{4}{5}=\frac{8}{10}$, scrie: a) extremii; b) mezii.

3. În proporția $\frac{14}{6}=\frac{21}{9}$, care sunt extremii și care sunt mezii?

4. Adevărat sau fals? În orice proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

5. Adevărat sau fals? Extremii sunt întotdeauna numerele cele mai mari dintr-o proporție.

6. Încercuiește proporția adevărată: a) $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ b) $\frac{2}{3}=\frac{8}{10}$

7. Verifică, folosind proprietatea fundamentală, dacă $\frac{9}{12}=\frac{6}{8}$ este o proporție.

8. Verifică dacă $\frac{7}{10}=\frac{14}{20}$ este o proporție.

9. Verifică dacă $\frac{3}{8}=\frac{5}{12}$ formează o proporție.

10. Completează produsele și spune dacă este proporție: pentru $\frac{6}{15}=\frac{8}{20}$, produsul extremilor = ____ , produsul mezilor = ____ .

11. Potrivește fiecare proporție din coloana A cu valoarea produsului extremilor din coloana B. A: (I) $\frac{2}{4}=\frac{5}{10}$ (II) $\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$ (III) $\frac{5}{2}=\frac{10}{4}$ B: ( ) 20 ( ) 24 ( ) 20

12. Se dă egalitatea $4\cdot 9=6\cdot 6$. Scrie o proporție folosind aceste patru numere.

13. Pentru ce valoare a lui $a$ este adevărată proporția $\frac{a}{4}=\frac{15}{12}$? (Încearcă $a=5$ și verifică.)

14. Andra spune că $\frac{12}{18}=\frac{10}{15}$. Are dreptate? Justifică prin proprietatea fundamentală.

15. Scrie o proporție adevărată proprie (inventată de tine) în care extremii să fie 2 și 18. (Indicație: alege mezii astfel încât produsul lor să fie $2\cdot 18$.)

16. Mică problemă. La un test, Mihai a rezolvat 8 din 10 exerciții, iar Sara 12 din 15. Au rezolvat ei aceeași parte din test (adică $\frac{8}{10}=\frac{12}{15}$)? Verifică.

17. Mică problemă. O hartă folosește 2 cm pentru 5 km. Pe o altă hartă, 6 cm înseamnă 15 km. Au cele două hărți aceeași scară (adică $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$)? Vei vedea mai multe în lecția scara hărții.

18. Provocare. Din numerele 3, 4, 6 și 8 se poate forma o proporție? Dacă da, scrie-o. (Indicație: caută două perechi cu același produs.)

19. Verifică, folosind proprietatea fundamentală, dacă $\frac{16}{10}=\frac{24}{15}$ formează o proporție.

20. Pentru ce valoare a lui $b$ este adevărată proporția $\frac{9}{b}=\frac{3}{4}$? (Încearcă $b=12$ și verifică.)

21. Mică problemă. Un alergător parcurge 3 km în 15 minute, iar altul 4 km în 20 de minute. Au ei aceeași viteză (adică $\frac{3}{15}=\frac{4}{20}$)? Verifică.

22. Provocare. Din numerele 2, 5, 6 și 15 se poate forma o proporție? Dacă da, scrie-o și verific-o.

Răspunsuri și explicații

1. rapoarte. (Proporția este egalitatea a două rapoarte, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.)

2. a) extremii: 4 și 10; b) mezii: 5 și 8. (Primul și ultimul sunt extremi; cei din mijloc sunt mezi.)

3. Extremii: 14 și 9; mezii: 6 și 21. (Poziție, nu mărime — observă că extremul 9 e mai mic decât mezul 21.)

4. Adevărat. Aceasta este chiar proprietatea fundamentală.

5. Fals. Numele „extremi" și „mezi" vin din poziție (margini, respectiv mijloc), nu din mărimea numerelor.

6. Corectă este a). Verificare: $2\cdot 12=24$ și $3\cdot 8=24$ → egale, deci proporție. La b): $2\cdot 10=20$, $3\cdot 8=24$, $20\ne 24$ → nu e proporție.

7. Extremii: $9\cdot 8=72$. Mezii: $12\cdot 6=72$. Egale → DA, este o proporție.

8. Extremii: $7\cdot 20=140$. Mezii: $10\cdot 14=140$. Egale → DA, este o proporție.

9. Extremii: $3\cdot 12=36$. Mezii: $8\cdot 5=40$. $36\ne 40$ → NU este o proporție.

10. Produsul extremilor: $6\cdot 20=120$. Produsul mezilor: $15\cdot 8=120$. Egale → DA, este o proporție.

11. (I) $2\cdot 10=20$ → 20; (II) $3\cdot 8=24$ → 24; (III) $5\cdot 4=20$ → 20. Deci I↔20, II↔24, III↔20.

12. $4\cdot 9=36$ și $6\cdot 6=36$, egale. O proporție validă: $\frac{4}{6}=\frac{6}{9}$ (extremii 4 și 9, mezii 6 și 6). Verificare: $4\cdot 9=36=6\cdot 6$. Corect.

13. Verificăm $a=5$: $\frac{5}{4}=\frac{15}{12}$. Extremii: $5\cdot 12=60$. Mezii: $4\cdot 15=60$. Egale → da, $a=5$.

14. Extremii: $12\cdot 15=180$. Mezii: $18\cdot 10=180$. Egale → Andra are dreptate, este o proporție.

15. Trebuie ca produsul mezilor să fie $2\cdot 18=36$. Putem alege mezii 4 și 9 (căci $4\cdot 9=36$). O proporție validă: $\frac{2}{4}=\frac{9}{18}$. Verificare: $2\cdot 18=36=4\cdot 9$. (Alte răspunsuri sunt posibile, de exemplu cu mezii 6 și 6: $\frac{2}{6}=\frac{6}{18}$.)

16. Extremii: $8\cdot 15=120$. Mezii: $10\cdot 12=120$. Egale → DA, au rezolvat aceeași parte din test (amândoi $\frac{4}{5}$).

17. Extremii: $2\cdot 15=30$. Mezii: $5\cdot 6=30$. Egale → DA, hărțile au aceeași scară.

18. Căutăm două perechi cu același produs din 3, 4, 6, 8. Avem $3\cdot 8=24$ și $4\cdot 6=24$ — egale! Deci se poate forma proporția $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$ (extremii 3 și 8, mezii 4 și 6). Verificare: $3\cdot 8=24=4\cdot 6$. Corect.

19. Extremii: $16\cdot 15=240$. Mezii: $10\cdot 24=240$. Egale → DA, este o proporție.

20. Verificăm $b=12$: $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$. Extremii: $9\cdot 4=36$. Mezii: $12\cdot 3=36$. Egale → da, $b=12$.

21. Extremii: $3\cdot 20=60$. Mezii: $15\cdot 4=60$. Egale → DA, alergătorii au aceeași viteză (amândoi câte 1 km la fiecare 5 minute).

22. Căutăm două perechi cu același produs din 2, 5, 6, 15. Avem $2\cdot 15=30$ și $5\cdot 6=30$ — egale! Deci se poate forma proporția $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$ (extremii 2 și 15, mezii 5 și 6). Verificare: $2\cdot 15=30=5\cdot 6$. Corect. (O altă așezare validă: $\frac{2}{6}=\frac{5}{15}$.)

De reținut

• O proporție este egalitatea a două rapoarte: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, cu $b\ne 0$ și $d\ne 0$.
• Extremii sunt $a$ și $d$ (la margini), iar mezii sunt $b$ și $c$ (la mijloc) — numele vin din poziție, nu din mărime.
• Proprietatea fundamentală: într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $a\cdot d=b\cdot c$.
• Pentru a verifica o proporție, înmulțești „în cruce": dacă produsele sunt egale, ai o proporție; dacă nu, nu ai.
• Regula merge în ambele sensuri: din $a\cdot d=b\cdot c$ poți reconstrui o proporție.

Greșeli frecvente

• Confunzi extremii cu mezii. Mulți cred că extremii sunt numerele mari. Greșit! Privește poziția: primul și ultimul sunt extremi, cei din mijloc sunt mezi. Scrie mereu termenii în ordine (a, b, c, d) și etichetează-i.
• Înmulțești pe orizontală în loc de „în cruce". Atenție, nu se înmulțește numărătorul cu numitorul propriei fracții, ci pe diagonală: numărătorul unei fracții cu numitorul celeilalte. Desenează litera X ca să nu greșești.
• Uiți că numitorul nu poate fi zero. Un raport are sens doar dacă numitorul este diferit de zero. Verifică mereu ca $b\ne 0$ și $d\ne 0$.
• Tragi concluzia după un singur produs. Trebuie să compari ambele produse (al extremilor și al mezilor). Un singur calcul nu îți spune nimic; abia comparația lor decide.

Joc acasă

1. Detectivul proporțiilor cu cartonașe. Scrie pe bilețele perechi de rapoarte (de exemplu $\frac{2}{3}$ și $\frac{6}{9}$, $\frac{4}{5}$ și $\frac{8}{9}$, $\frac{3}{4}$ și $\frac{9}{12}$). Amestecă-le într-o cutie. Trage câte o pereche, înmulțește „în cruce" și pune bilețelul în grămada „ESTE proporție" sau „NU este proporție". La final, verifică împreună cu un părinte. Câștigi un punct pentru fiecare clasare corectă.

2. Rețeta care se dublează. Alege o rețetă simplă din casă (de exemplu 2 căni de făină la 3 ouă, sau orice raport îți place). Scrie raportul. Apoi „mărește" rețeta de 2, de 3 și de 4 ori și scrie de fiecare dată noul raport. Verifică prin proprietatea fundamentală că fiecare rețetă mărită formează o proporție cu cea originală — adică gustul rămâne același.

3. Vânătoarea de proporții prin casă. Caută în jurul tău perechi de numere care formează proporții: prețuri pe etichete (3 produse la X lei vs. 6 produse la 2X lei), trepte și înălțime, ferestre cu ochiuri egale. Notează cel puțin trei „proporții din viața reală" și demonstrează-le cu înmulțirea în cruce.

Pentru părinți și învățători

Această lecție face trecerea de la raport (o singură comparație) la proporție (egalitatea a două rapoarte). Ideea centrală pe care copilul trebuie să o stăpânească este proprietatea fundamentală: produsul extremilor egal cu produsul mezilor. Ea este cheia pentru aproape tot ce urmează în acest capitol (aflarea unui termen necunoscut, proporții derivate, mărimi proporționale, regula de trei simplă).

Cum să sprijiniți elevul:

• Cereți-i să citească proporția cu glas tare în forma „a este către b așa cum c este către d". Verbalizarea fixează sensul de „aceeași relație".
• Insistați pe poziție, nu pe mărime, când vine vorba de extremi și mezi. O capcană tipică este să creadă că extremii sunt numerele mari. Dați-i exemple în care extremul este mai mic decât mezul (de exemplu $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$).
• Întrebări utile de pus: „Care sunt extremii și care mezii aici?", „Care e produsul extremilor? Dar al mezilor?", „Sunt egale? Atunci ce putem spune?", „Poți să-mi scrii o proporție falsă și să-mi arăți de ce e falsă?".
• Verificarea înțelegerii: dați-i patru numere (de exemplu 2, 3, 4, 6) și rugați-l să formeze, dacă se poate, o proporție și să o justifice. Dacă reușește să caute perechile cu același produs, a înțeles esența.

Legături cu lecțiile vecine: această lecție se sprijină pe raportul a două numere și pregătește direct aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție.

Întrebări frecvente

Ce este o proporție la clasa a 6-a? O proporție este o egalitate între două rapoarte, scrisă sub forma $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, unde numitorii $b$ și $d$ sunt diferiți de zero. Practic, spui că două comparații (rapoarte) au exact aceeași valoare.

Care sunt extremii și mezii unei proporții? În proporția $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, extremii sunt termenii de la capete, $a$ și $d$, iar mezii sunt termenii din mijloc, $b$ și $c$. Numele vin din poziția lor, nu din cât de mari sunt numerele.

Ce spune proprietatea fundamentală a proporțiilor? Spune că, într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $a\cdot d=b\cdot c$. Este regula care leagă cei patru termeni și se folosește la verificarea și la rezolvarea proporțiilor.

Cum verific dacă două rapoarte formează o proporție? Le scrii cu egal între ele și înmulțești „în cruce": calculezi produsul extremilor și produsul mezilor. Dacă cele două produse sunt egale, rapoartele formează o proporție; dacă sunt diferite, nu formează.

Ce înseamnă „înmulțirea în cruce"? Este o altă denumire pentru proprietatea fundamentală: înmulțești numărătorul unei fracții cu numitorul celeilalte, pe diagonală, formând în minte litera X. Compari apoi cele două produse obținute.

Pot extremii să fie numere mai mici decât mezii? Da. Numele de extrem sau mez depinde doar de poziție. De exemplu, în $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$, extremii sunt 10 și 3, iar mezul 15 este mai mare decât extremul 3.

Care e diferența dintre raport și proporție? Un raport este o singură comparație, $\frac{a}{b}$. O proporție este egalitatea a două rapoarte, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Pe scurt: proporția este formată din două rapoarte egale.

La ce folosesc proporțiile în viața reală? Le folosești ca să mărești sau să micșorezi rețete păstrând gustul, să compari prețuri pe bucată, să citești scara unei hărți sau să verifici dacă două situații respectă aceeași regulă de creștere. Sunt baza pentru regula de trei simplă și pentru mărimile proporționale.

Câți termeni are o proporție? O proporție are exact patru termeni: $a$, $b$, $c$ și $d$ din scrierea $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Doi dintre ei sunt extremii (la capete), iar ceilalți doi sunt mezii (la mijloc). Dacă vezi mai mult de patru numere legate prin egal, ai de-a face cu un șir de rapoarte egale, nu cu o proporție obișnuită.

Cum scriu o proporție pornind de la o înmulțire? Dacă ai o egalitate de produse, de exemplu $a\cdot d=b\cdot c$, atunci cele patru numere formează o proporție în care numerele dintr-un produs devin extremii, iar celelalte două devin mezii: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. De exemplu, din $4\cdot 9=6\cdot 6$ scrii proporția $\frac{4}{6}=\frac{6}{9}$. De obicei sunt posibile mai multe așezări corecte.