Pornind de la proporția $$\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$$, care dintre variante este obținută prin schimbarea extremilor?

$$\dfrac{18}{6} = \dfrac{15}{5}$$

$$\dfrac{5}{15} = \dfrac{6}{18}$$

$$\dfrac{6}{5} = \dfrac{18}{15}$$

$$\dfrac{5}{18} = \dfrac{15}{6}$$

Se știe că $$4 \cdot 15 = 6 \cdot 10$$ ($$= 60$$). Care dintre următoarele NU este o proporție derivată corectă?

$$\dfrac{4}{10} = \dfrac{15}{6}$$

$$\dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{15}$$

$$\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{15}$$

$$\dfrac{15}{6} = \dfrac{10}{4}$$

Pornind de la proporția $$\dfrac{7}{9} = \dfrac{21}{27}$$, care dintre variante este obținută prin schimbarea mezilor?

$$\dfrac{7}{21} = \dfrac{9}{27}$$

$$\dfrac{27}{9} = \dfrac{21}{7}$$

$$\dfrac{9}{7} = \dfrac{27}{21}$$

$$\dfrac{7}{27} = \dfrac{9}{21}$$

Ce sunt proporțiile derivate?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Proporții derivate: reguli de derivare

Sunt proporții noi, obținute dintr-una dată prin mutarea termenilor, fără ca egalitatea să se strice. Din $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ poți schimba între ele numerele de la margini, pe cele din mijloc sau poți răsturna ambele rapoarte. Toate rămân adevărate fiindcă păstrează același produs în cruce. Din $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ , schimbând mezii, obții $\frac{3}{6} = \frac{4}{8}$ , iar produsele dau tot $24$ .

O proporție derivată este o proporție nouă, obținută dintr-o proporție dată $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ prin mutarea termenilor. Extremii sunt $a$ și $d$ , mezii sunt $b$ și $c$ . Trei reguli de bază:

Schimbarea extremilor: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$
Schimbarea mezilor: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
Răsturnarea: $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Toate rămân adevărate pentru că păstrează egalitatea $a \cdot d = b \cdot c$ (proprietatea fundamentală). Verificarea oricărei forme derivate se face mereu la fel: calculezi produsul extremilor și produsul mezilor noii proporții; dacă sunt egale, forma e corectă.

Exemplu: din $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ (extremii $3, 8$ ; mezii $4, 6$ ), schimbând mezii obținem $\frac{3}{6} = \frac{4}{8}$ . Verificare: $3 \cdot 8 = 24$ și $6 \cdot 4 = 24$ . Egale, deci proporția derivată e corectă.

Aceste reguli te ajută să aduci necunoscuta într-o poziție comodă și să simplifici calculul.

De reținut

schimbarea extremilor: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$
schimbarea mezilor: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
răsturnarea: $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Greșeala tipică

Se mută un singur termen, lăsând restul pe loc, iar egalitatea se strică; derivările schimbă termenii în perechi, astfel încât produsul numerelor de la margini să rămână egal cu al celor din mijloc.

Exerciții din această mini-lecție

Pornind de la proporția $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$ , care dintre variante este obținută prin schimbarea extremilor?
- a) $\frac{18}{6} = \frac{15}{5}$
- b) $\frac{5}{15} = \frac{6}{18}$
- c) $\frac{6}{5} = \frac{18}{15}$
- d) $\frac{5}{18} = \frac{15}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{18}{6} = \frac{15}{5}$

Extremii proporției $\frac{5}{6} = \frac{15}{18}$ sunt $5$ și $18$ (la margini). Schimbându-i între ei obținem $\frac{18}{6} = \frac{15}{5}$ . Verificare: produsul extremilor noii proporții este $18 \cdot 5 = 90$ , produsul mezilor este $6 \cdot 15 = 90$ . Egale, deci varianta a este corectă. Varianta b este obținută prin schimbarea mezilor ( $6$ și $15$ ), iar c prin răsturnare; d amestecă termenii fără regulă și nu respectă egalitatea produselor.
Se știe că $4 \cdot 15 = 6 \cdot 10$ ( $= 60$ ). Care dintre următoarele NU este o proporție derivată corectă?
- a) $\frac{4}{6} = \frac{10}{15}$
- b) $\frac{4}{10} = \frac{6}{15}$
- c) $\frac{15}{6} = \frac{10}{4}$
- d) $\frac{4}{10} = \frac{15}{6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{4}{10} = \frac{15}{6}$

Pentru fiecare formă calculăm produsul extremilor și produsul mezilor: a) $4 \cdot 15 = 60$ , $6 \cdot 10 = 60$ — corectă; b) $4 \cdot 15 = 60$ , $10 \cdot 6 = 60$ — corectă; c) $15 \cdot 4 = 60$ , $6 \cdot 10 = 60$ — corectă. La d) extremii sunt $4$ și $6$ , deci produsul lor este $4 \cdot 6 = 24$ , iar mezii sunt $10$ și $15$ , cu produsul $10 \cdot 15 = 150$ . Cum $24 \neq = 150$ , forma d nu este o proporție adevărată — termenii au fost mutați fără să respecte nicio regulă de derivare.
Pornind de la proporția $\frac{7}{9} = \frac{21}{27}$ , care dintre variante este obținută prin schimbarea mezilor?
- a) $\frac{7}{21} = \frac{9}{27}$
- b) $\frac{27}{9} = \frac{21}{7}$
- c) $\frac{9}{7} = \frac{27}{21}$
- d) $\frac{7}{27} = \frac{9}{21}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{7}{21} = \frac{9}{27}$

Mezii proporției $\frac{7}{9} = \frac{21}{27}$ sunt $9$ și $21$ (la mijloc). Schimbându-i între ei obținem $\frac{7}{21} = \frac{9}{27}$ . Verificare: produsul extremilor rămâne $7 \cdot 27 = 189$ , iar produsul mezilor noii proporții este $21 \cdot 9 = 189$ . Egale, deci varianta a este corectă. Varianta b este schimbarea extremilor ( $7$ și $27$ ), c este răsturnarea, iar d amestecă termenii fără regulă ( $7 \cdot 21 = 147 \neq = 27 \cdot 9 = 243$ ).

Întrebări conexe

Ce înseamnă schimbarea extremilor unei proporții?

Înseamnă că numerele de la margini își schimbă locurile între ele, iar cele din mijloc rămân pe poziții. Din $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ obții $\frac{8}{4} = \frac{6}{3}$ . Produsul în cruce rămâne același, deci noua egalitate este tot adevărată.

Ce condiție trebuie îndeplinită ca să pot răsturna o proporție?

Niciunul dintre cei patru termeni nu are voie să fie zero, fiindcă numerele care ajung la numitor trebuie să rămână nenule. Când condiția este îndeplinită, ambele rapoarte se scriu invers, iar egalitatea se păstrează: din $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ rezultă $\frac{4}{3} = \frac{8}{6}$ .

Cum verific dacă o formă derivată este corectă?

Calculezi produsul numerelor de la marginile noii proporții și pe cel al numerelor din mijloc. Dacă ies egale, forma este bună. Verificarea este aceeași indiferent de mutarea făcută, deci nu trebuie ținute minte toate regulile pe de rost.

La ce îmi folosește o proporție derivată într-un exercițiu?

Aduce necunoscuta într-o poziție mai comodă, de obicei la numărător, ca împărțirea finală să fie mai simplă. În loc să lucrezi cu o necunoscută la numitor, o muți printr-o derivare potrivită și obții direct valoarea căutată.

Ce spune proprietatea proporțiilor derivate cu sume?

Că suma numărătorilor împărțită la suma numitorilor dă aceeași valoare ca fiecare raport în parte. Din $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ rezultă că și $\frac{a + c}{b + d}$ este egal cu ele. Proprietatea se folosește la împărțirea unei sume în părți proporționale.

Ce legătură au proporțiile derivate cu figurile asemenea?

La figuri asemenea, laturile care se corespund formează rapoarte egale, iar derivările permit rescrierea lor într-o formă mai potrivită problemei. Astfel se trece ușor de la raportul laturilor unei figuri la raportul dintre laturile corespondente ale celor două.

Oamenii mai întreabă și: proporții derivate · cum se derivă o proporție · schimbarea extremilor și a mezilor · răsturnarea unei proporții