Proporții derivate

Ai învățat deja ce este o proporție și cum funcționează proprietatea ei fundamentală. Astăzi facem un pas mai departe și descoperim un mic „truc de magician matematic": pornind de la o singură proporție adevărată, putem scrie imediat mai multe alte proporții adevărate, fără să facem niciun calcul greu. Acestea se numesc proporții derivate, iar ele te vor ajuta să rezolvi mai repede probleme cu rapoarte, să simplifici calcule și, peste câteva capitole, să înțelegi mai ușor asemănarea figurilor geometrice. Hai să vedem cum funcționează!

Ce vei învăța

• Vei ști să obții proporții derivate dintr-o proporție dată, prin schimbarea extremilor și a mezilor.
• Vei ști să aplici regulile de derivare pe exemple numerice și să verifici că rezultatul este tot o proporție.
• Vei ști să răstorni o proporție și să o transformi în alte forme echivalente.
• Vei ști să folosești proporțiile derivate pentru a simplifica un calcul sau a afla un termen necunoscut.
• Vei înțelege de ce aceste reguli te pregătesc pentru capitolul de asemănare.

Hai să descoperim împreună

Ne reamintim ce este o proporție

O proporție este egalitatea a două rapoarte. Scriem:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

unde $b\ne 0$ și $d\ne 0$. Citim „a supra b egal c supra d".

Numerele $a$, $b$, $c$, $d$ se numesc termenii proporției. Avem nume speciale pentru ei:

• $a$ și $d$ se numesc extremii proporției (sunt „la margini", la capete).
• $b$ și $c$ se numesc mezii proporției (sunt „la mijloc").

Și mai știm proprietatea fundamentală a proporțiilor: într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺a\cdot d=b\cdot c$$

Această egalitate, $a\cdot d=b\cdot c$, este „cheița" care deschide tot ce facem azi. Ține minte: o egalitate de forma $a\cdot d=b\cdot c$ ascunde de fapt mai multe proporții, nu doar una. Asta vom descoperi acum.

Dacă vrei să-ți reîmprospătezi memoria, poți reciti lecția Proporția și proprietatea fundamentală și lecția Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție.

Ce înseamnă „proporție derivată"

Cuvântul derivat înseamnă „care provine din", „care este obținut din altceva". O proporție derivată este o proporție nouă, pe care o obținem pornind de la o proporție dată, schimbând termenii după niște reguli precise.

Lucrul minunat este următorul: dacă proporția de plecare este adevărată, atunci și proporția derivată este adevărată. Nu trebuie să o demonstrăm de fiecare dată; ne bazăm pe proprietatea fundamentală.

Hai să pornim de la o proporție foarte simplă, cu numere pe care le putem verifica imediat:

$$\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$$

Verificăm că este adevărată cu proprietatea fundamentală: produsul extremilor este $2\cdot 9=18$, iar produsul mezilor este $3\cdot 6=18$. Sunt egale, deci proporția este corectă. Aici extremii sunt $2$ și $9$, iar mezii sunt $3$ și $6$.

Regula 1: schimbăm extremii între ei

Prima regulă spune: dacă schimbăm între ei extremii unei proporții, obținem tot o proporție.

Pornim de la $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Extremii sunt $a$ și $d$. Îi mutăm: $a$ ia locul lui $d$, iar $d$ ia locul lui $a$. Obținem:

$$\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$$

De ce este și aceasta adevărată? Pentru că produsul extremilor noii proporții este $d\cdot a$, iar produsul mezilor este $b\cdot c$. Dar din proporția inițială știm că $a\cdot d=b\cdot c$. Cum $d\cdot a$ este același lucru cu $a\cdot d$ (înmulțirea e comutativă), egalitatea $d\cdot a=b\cdot c$ este adevărată. Gata, proporția derivată este corectă!

Să verificăm pe exemplul nostru numeric. Pornim de la $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$ și schimbăm extremii $2$ și $9$:

$$\frac{9}{3}=\frac{6}{2}$$

Verificăm: $9\cdot 2=18$ și $3\cdot 6=18$. Egale! Putem chiar să le simplificăm: $\frac{9}{3}=3$ și $\frac{6}{2}=3$. Într-adevăr, $3=3$. Funcționează.

Regula 2: schimbăm mezii între ei

A doua regulă spune: dacă schimbăm între ei mezii unei proporții, obținem tot o proporție.

Pornim iar de la $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Mezii sunt $b$ și $c$. Îi mutăm unul în locul celuilalt:

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

Verificare cu proprietatea fundamentală: produsul extremilor noii proporții este $a\cdot d$, iar produsul mezilor este $c\cdot b$. Din proporția inițială avem $a\cdot d=b\cdot c$, iar $c\cdot b$ este același lucru cu $b\cdot c$. Deci egalitatea este adevărată și proporția derivată este corectă.

Pe exemplul nostru, pornim de la $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$ și schimbăm mezii $3$ și $6$:

$$\frac{2}{6}=\frac{3}{9}$$

Verificăm: $2\cdot 9=18$ și $6\cdot 3=18$. Egale! Și prin simplificare: $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ și $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. Da, $\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$. Perfect.

Regula 3: răsturnăm proporția (inversăm toate rapoartele)

A treia regulă spune: dacă răsturnăm (inversăm) ambele rapoarte ale unei proporții, obținem tot o proporție. Practic, fiecare fracție se dă „cu capul în jos": numărătorul devine numitor și invers.

Pornim de la $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ și răsturnăm:

$$\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$$

Acum extremii sunt $b$ și $c$, iar mezii sunt $a$ și $d$. Produsul extremilor este $b\cdot c$, produsul mezilor este $a\cdot d$. Din proporția inițială $a\cdot d=b\cdot c$, deci $b\cdot c=a\cdot d$. Adevărat!

Pe exemplu: din $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$ obținem prin răsturnare:

$$\frac{3}{2}=\frac{9}{6}$$

Verificare: $3\cdot 6=18$ și $2\cdot 9=18$. Egale. (Atenție: putem răsturna doar dacă niciun termen nu este $0$; aici toate sunt numere pozitive, deci e în regulă.)

O hartă a tuturor proporțiilor dintr-o singură egalitate

Iată cel mai important lucru de azi. Dintr-o singură egalitate de produse, $a\cdot d=b\cdot c$, putem scrie opt proporții echivalente. Toate sunt „derivate" una din alta și toate sunt adevărate în același timp. Pornind de la $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, le grupăm așa:

Cele patru cu „$a$ sus în stânga" sau perechile lor:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d},\frac{a}{c}=\frac{b}{d},\frac{d}{b}=\frac{c}{a},\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$$

Și răsturnatele lor:

$$\frac{b}{a}=\frac{d}{c},\frac{c}{a}=\frac{d}{b},\frac{b}{d}=\frac{a}{c},\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$$

Nu trebuie să le memorezi pe toate! E mult mai simplu să ții minte un singur lucru: orice proporție în care produsul extremilor este egal cu produsul mezilor este corectă. Așa că, dacă ești sigur că $a\cdot d=b\cdot c$, poți așeza cele patru numere în orice proporție care păstrează acest produs și vei avea dreptate.

Pe exemplul nostru cu $2$, $3$, $6$, $9$ (unde $2\cdot 9=3\cdot 6=18$), toate acestea sunt adevărate:

$$\frac{2}{3}=\frac{6}{9},\frac{2}{6}=\frac{3}{9},\frac{9}{3}=\frac{6}{2},\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$$

și răsturnatele lor. Încearcă să verifici una la întâmplare cu proprietatea fundamentală — vei vedea că dă mereu $18=18$.

Cum verific repede dacă o proporție derivată este corectă

Ai o metodă infailibilă, „arbitrul" care nu greșește niciodată: proprietatea fundamentală. Indiferent cum ai mutat termenii, calculează produsul extremilor și produsul mezilor noii proporții. Dacă sunt egale, proporția este corectă; dacă nu, ai greșit o mutare. Atât.

Hai să prindem o greșeală ca să vezi cum arată. Cineva pornește de la $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$ și scrie, din neatenție:

$$\frac{2}{9}=\frac{6}{3}(?)$$

Verificăm: produsul extremilor $2\cdot 3=6$, produsul mezilor $9\cdot 6=54$. Cum $6\ne 54$, această proporție NU este corectă. Persoana a mutat termenii „aiurea", fără să respecte o regulă. Vezi cât de utilă e verificarea?

De ce ne ajută proporțiile derivate

Poate te întrebi: la ce-mi folosesc atâtea forme? Iată trei motive solide.

1. Aducem necunoscuta unde ne convine. Dacă într-o problemă necunoscuta $x$ stă „incomod" (de exemplu jos, la numitor), putem deriva o proporție echivalentă în care $x$ ajunge sus, mai ușor de calculat.

2. Simplificăm calcule. Uneori o formă derivată are numere care se simplifică frumos, iar calculul devine mult mai scurt. Vom vedea un exemplu clar mai jos.

3. Pregătim asemănarea. În clasele următoare vei studia triunghiuri asemenea, unde laturile sunt proporționale. Acolo vei scrie tot timpul proporții de forma $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{CA}{C^{\prime }{A}^{\prime }}$ și va fi nevoie să le rescrii în forme derivate (de exemplu $\frac{AB}{BC}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$). Cine stăpânește azi derivarea proporțiilor va înțelege mult mai ușor asemănarea de mâine.

Putem combina regulile

Un lucru frumos este că cele trei reguli nu sunt „izolate": le poți aplica una după alta. De exemplu, pornind de la $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$, schimbi întâi mezii și obții $\frac{2}{6}=\frac{3}{9}$; apoi răsturnezi această nouă proporție și obții $\frac{6}{2}=\frac{9}{3}$. Ambele sunt adevărate, pentru că la fiecare pas am respectat egalitatea produselor. Așa se explică de ce dintr-o singură proporție ies până la opt forme: ele nu sunt opt reguli diferite, ci doar combinații ale acelorași trei mișcări de bază. Nu te speria de numărul lor — important este să poți verifica orice formă, nu să le ții minte pe de rost.

Și încă o observație utilă: ordinea în care aplici regulile nu schimbă faptul că rezultatul rămâne o proporție adevărată. Poți schimba mai întâi extremii și apoi mezii, sau invers; atâta timp cât fiecare pas păstrează produsul extremilor egal cu produsul mezilor, ajungi mereu la o proporție corectă. Această libertate îți dă „spațiu de manevră" când cauți forma cea mai comodă pentru un calcul.

O poveste scurtă ca să rămână

Imaginează-ți patru prieteni — Ana, Bogdan, Carla și Dan — care stau la o masă pătrată, fiecare pe o latură. Ana și Dan stau față în față (sunt „extremii"), iar Bogdan și Carla stau față în față (sunt „mezii"). Regula jocului lor: „produsul celor de pe o diagonală trebuie să fie mereu egal cu produsul celor de pe cealaltă diagonală". Atâta timp cât această regulă e respectată, ei pot să-și schimbe locurile cum vor — Ana cu Dan, Bogdan cu Carla, sau toți să se uite în oglindă (răsturnare) — și masa rămâne „echilibrată". Exact așa funcționează proporțiile derivate: termenii își schimbă locurile, dar produsul diagonalelor (extremi și mezi) rămâne neschimbat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicăm regula schimbării extremilor

Enunț: Pornind de la proporția $\frac{4}{5}=\frac{12}{15}$, scrie proporția obținută prin schimbarea extremilor și verific-o.

Rezolvare: Mai întâi identificăm termenii. Extremii sunt $4$ și $15$, mezii sunt $5$ și $12$. Schimbăm extremii între ei: $4$ ia locul lui $15$, iar $15$ ia locul lui $4$. Obținem:

$$\frac{15}{5}=\frac{12}{4}$$

Verificăm cu proprietatea fundamentală: produsul extremilor $15\cdot 4=60$; produsul mezilor $5\cdot 12=60$. Sunt egale, deci proporția derivată este corectă. (Putem chiar simplifica: $\frac{15}{5}=3$ și $\frac{12}{4}=3$, deci $3=3$.) ✅

Exemplul 2 — Aplicăm regula schimbării mezilor

Enunț: Pornind de la $\frac{10}{4}=\frac{15}{6}$, scrie proporția obținută prin schimbarea mezilor.

Rezolvare: Extremii sunt $10$ și $6$, iar mezii sunt $4$ și $15$. Schimbăm mezii între ei:

$$\frac{10}{15}=\frac{4}{6}$$

Verificăm: produsul extremilor $10\cdot 6=60$; produsul mezilor $15\cdot 4=60$. Egale, deci proporția este corectă. Și simplificând: $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ și $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Da, $\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$. ✅

Exemplul 3 — Răsturnarea proporției

Enunț: Se dă $\frac{7}{2}=\frac{21}{6}$. Scrie proporția obținută prin răsturnarea ambelor rapoarte.

Rezolvare: Răsturnăm fiecare fracție (numărătorul devine numitor):

$$\frac{2}{7}=\frac{6}{21}$$

Verificăm: $2\cdot 21=42$ și $7\cdot 6=42$. Egale. Proporția răsturnată este corectă. ✅ Observă că, deși fracțiile arată diferit, ele exprimă aceeași relație ca proporția inițială.

Exemplul 4 — Folosim o proporție derivată ca să simplificăm un calcul

Enunț: Știind că $\frac{x}{8}=\frac{35}{56}$, află $x$, folosind o formă convenabilă.

Rezolvare: Am putea aplica direct proprietatea fundamentală: $x\cdot 56=8\cdot 35$, deci $x=\frac{8\cdot 35}{56}=\frac{280}{56}=5$. Corect, dar hai să vedem cum o proporție derivată face calculul și mai ușor.

Schimbăm mezii ($8$ și $35$) între ei. Obținem proporția derivată:

$$\frac{x}{35}=\frac{8}{56}$$

Acum simplificăm raportul din dreapta: $\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$. Deci $\frac{x}{35}=\frac{1}{7}$, de unde, prin proprietatea fundamentală, $x\cdot 7=35\cdot 1$, adică $x=5$. Am ajuns la același rezultat, dar cu numere mai mici și mai prietenoase. Acesta este avantajul derivării: alegem forma în care calculul e cel mai simplu. ✅

Exemplul 5 — Scriem toate formele dintr-o egalitate de produse

Enunț: Se știe că $3\cdot 20=4\cdot 15$. Scrie patru proporții adevărate care folosesc numerele $3$, $4$, $15$ și $20$.

Rezolvare: Avem $3\cdot 20=60$ și $4\cdot 15=60$, deci egalitatea este adevărată. Vrem ca în fiecare proporție produsul extremilor să fie egal cu produsul mezilor. Putem alege ca extremi perechea $\{3,20\}$ și ca mezi perechea $\{4,15\}$. Atunci:

$$\frac{3}{4}=\frac{15}{20},\frac{3}{15}=\frac{4}{20},\frac{20}{4}=\frac{15}{3},\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$$

Toate au produsul extremilor egal cu produsul mezilor ($=60$), deci toate sunt corecte. ✅ Ai obținut patru proporții derivate pornind de la o singură egalitate de produse — exact „harta" despre care am vorbit.

Exemplul 6 — Problemă mică din viața reală

Enunț: La un magazin de tehnologie, $3$ căști costă la fel cât $2$ boxe (au aceeași valoare totală). Scrie o proporție care leagă numărul de produse de prețuri și apoi o formă derivată utilă. (Notăm prețul unei căști cu $c$ și prețul unei boxe cu $b$.)

Rezolvare: „$3$ căști costă cât $2$ boxe" înseamnă că valoarea lor totală e aceeași: $3\cdot c=2\cdot b$. Aceasta este o egalitate de produse — deci ascunde proporții! Putem scrie, de exemplu:

$$\frac{c}{b}=\frac{2}{3}$$

(Verificare: produsul extremilor $c\cdot 3=3c$; produsul mezilor $b\cdot 2=2b$; din enunț $3c=2b$, deci e corect.) Această formă ne spune ceva util: raportul dintre prețul unei căști și al unei boxe este $\frac{2}{3}$, adică o cască e mai ieftină decât o boxă. O formă derivată convenabilă este $\frac{c}{2}=\frac{b}{3}$ (am schimbat mezii), în care fiecare preț apare la numărător — așa putem afla ușor un preț când îl cunoaștem pe celălalt. Dacă, de exemplu, o boxă costă $90$ lei, atunci din $\frac{c}{2}=\frac{90}{3}=30$ obținem $c=2\cdot 30=60$, deci o cască costă $60$ de lei. ✅

Exemplul 7 — Alegem forma derivată care aduce necunoscuta „sus"

Enunț: Se dă $\frac{6}{x}=\frac{18}{15}$. Află $x$, alegând o formă derivată în care necunoscuta să nu mai fie la numitor.

Rezolvare: În proporția dată, $x$ stă „incomod", jos, la numitor. Schimbăm extremii ($6$ și $15$) între ei. Extremii sunt $6$ și $15$, deci obținem:

$$\frac{15}{x}=\frac{18}{6}$$

Hmm, $x$ tot la numitor a rămas. Încercăm altă formă: schimbăm mezii ($x$ și $18$) între ei, pornind de la proporția inițială $\frac{6}{x}=\frac{18}{15}$:

$$\frac{6}{18}=\frac{x}{15}$$

Acum $x$ este sus, la numărător — exact ce voiam. Simplificăm raportul din stânga: $\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$. Deci $\frac{1}{3}=\frac{x}{15}$, de unde, prin proprietatea fundamentală, $1\cdot 15=3\cdot x$, adică $3x=15$ și $x=5$. (Verificare în proporția inițială: $\frac{6}{5}=1,2$ și $\frac{18}{15}=1,2$. ✅) Morala: nu orice formă derivată ajută la fel de mult — alegem forma în care necunoscuta ajunge într-o poziție comodă.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Verifică-ți fiecare răspuns cu proprietatea fundamentală (produsul extremilor = produsul mezilor).

1. În proporția $\frac{5}{8}=\frac{10}{16}$, numește extremii și mezii.

2. Verifică, prin proprietatea fundamentală, dacă $\frac{6}{9}=\frac{8}{12}$ este o proporție adevărată.

3. Pornind de la $\frac{3}{7}=\frac{9}{21}$, scrie proporția obținută prin schimbarea extremilor.

4. Pornind de la $\frac{12}{8}=\frac{9}{6}$, scrie proporția obținută prin schimbarea mezilor.

5. Scrie proporția obținută prin răsturnarea rapoartelor din $\frac{4}{9}=\frac{20}{45}$.

6. Adevărat sau fals? Pornind de la $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$, proporția $\frac{5}{2}=\frac{15}{6}$ este o proporție derivată corectă.

7. Adevărat sau fals? Pornind de la $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}$, proporția $\frac{2}{15}=\frac{6}{5}$ este corectă.

8. Încercuiește forma care NU este o proporție derivată corectă din $\frac{10}{4}=\frac{25}{10}$: a) $\frac{10}{25}=\frac{4}{10}$ b) $\frac{4}{10}=\frac{10}{25}$ c) $\frac{10}{10}=\frac{25}{4}$ d) $\frac{25}{10}=\frac{10}{4}$

9. Completează termenul care lipsește astfel încât proporția să rămână adevărată, pornind de la $\frac{6}{15}=\frac{8}{20}$ prin schimbarea mezilor: $\frac{6}{8}=\frac{\square }{20}$.

10. Se știe că $2\cdot 18=4\cdot 9$. Scrie patru proporții adevărate cu numerele $2$, $4$, $9$ și $18$.

11. Află $x$ folosind o proporție derivată convenabilă: $\frac{x}{9}=\frac{14}{63}$.

12. Potrivește fiecare operație din coloana A cu rezultatul ei din coloana B, pornind de la $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$:

Coloana A: (I) schimbarea extremilor; (II) schimbarea mezilor; (III) răsturnarea.

Coloana B: (P) $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}$; (Q) $\frac{8}{4}=\frac{6}{3}$; (R) $\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$.

13. Desenează un dreptunghi împărțit în patru căsuțe, scrie în el proporția $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ și arată cu săgeți cum schimbi extremii pentru a obține o proporție derivată. Scrie și proporția obținută.

14. Folosind proporția $\frac{x}{5}=\frac{12}{10}$, află $x$ în două moduri: (a) direct cu proprietatea fundamentală; (b) printr-o proporție derivată în care simplifici raportul $\frac{12}{10}$.

15. Pornind de la $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (cu toți termenii nenuli), scrie trei proporții derivate diferite folosind litere.

16. La un atelier, $5$ tablete costă cât $4$ telefoane (aceeași valoare totală). Scrie o proporție între prețul unei tablete ($t$) și al unui telefon ($f$). Dacă un telefon costă $250$ lei, cât costă o tabletă?

17. Problemă de gândire: Maria spune că din $\frac{6}{8}=\frac{9}{12}$ poate obține proporția $\frac{6}{9}=\frac{8}{12}$. Are dreptate? Ce regulă a folosit?

18. Provocare: Se dă proporția $\frac{x}{4}=\frac{6}{y}$ (cu $y\ne 0$). Este adevărat că $x\cdot y=48$? Verifică afirmația și explică folosind proprietatea fundamentală.

19. Află $x$ alegând o formă derivată convenabilă: $\frac{15}{x}=\frac{45}{12}$.

20. Adevărat sau fals? Pornind de la $\frac{8}{12}=\frac{10}{15}$, prin schimbarea extremilor se obține $\frac{15}{12}=\frac{10}{8}$.

Răspunsuri și explicații

1. Extremii sunt $5$ și $16$ (de la capete); mezii sunt $8$ și $10$ (de la mijloc).

2. Produsul extremilor: $6\cdot 12=72$. Produsul mezilor: $9\cdot 8=72$. Egale, deci da, este o proporție adevărată.

3. Extremii lui $\frac{3}{7}=\frac{9}{21}$ sunt $3$ și $21$. Schimbați: $\frac{21}{7}=\frac{9}{3}$. Verificare: $21\cdot 3=63$ și $7\cdot 9=63$. ✅

4. Mezii lui $\frac{12}{8}=\frac{9}{6}$ sunt $8$ și $9$. Schimbați: $\frac{12}{9}=\frac{8}{6}$. Verificare: $12\cdot 6=72$ și $9\cdot 8=72$. ✅

5. Răsturnăm fiecare fracție: $\frac{9}{4}=\frac{45}{20}$. Verificare: $9\cdot 20=180$ și $4\cdot 45=180$. ✅

6. Adevărat. Este chiar răsturnarea proporției inițiale. Verificare: $5\cdot 6=30$ și $2\cdot 15=30$. ✅

7. Fals. Verificare: produsul extremilor $2\cdot 5=10$; produsul mezilor $15\cdot 6=90$. Cum $10\ne 90$, nu este o proporție. Termenii au fost mutați greșit.

8. Răspuns: c). Verificăm fiecare. La c) $\frac{10}{10}=\frac{25}{4}$: produsul extremilor $10\cdot 4=40$, produsul mezilor $10\cdot 25=250$; $40\ne 250$, deci e greșită. (a, b, d sunt corecte: toate dau $100=100$.)

9. Schimbarea mezilor lui $\frac{6}{15}=\frac{8}{20}$ (mezii sunt $15$ și $8$) dă $\frac{6}{8}=\frac{15}{20}$. Deci $\square =15$. Verificare: $6\cdot 20=120$ și $8\cdot 15=120$. ✅

10. Cum $2\cdot 18=4\cdot 9=36$, luăm extremii $\{2,18\}$ și mezii $\{4,9\}$: $\frac{2}{4}=\frac{9}{18}$, $\frac{2}{9}=\frac{4}{18}$, $\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$, $\frac{18}{9}=\frac{4}{2}$. (Sunt acceptate și răsturnatele lor.) Toate dau $36=36$. ✅

11. Simplificăm raportul din dreapta: $\frac{14}{63}=\frac{2}{9}$ (am împărțit cu $7$). Deci $\frac{x}{9}=\frac{2}{9}$, de unde $x=2$. (Verificare directă: $x\cdot 63=9\cdot 14=126$, deci $x=126:63=2$.) ✅

12. (I) → (Q): schimbarea extremilor $3$ și $8$ dă $\frac{8}{4}=\frac{6}{3}$. (II) → (R): schimbarea mezilor $4$ și $6$ dă $\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$. (III) → (P): răsturnarea dă $\frac{4}{3}=\frac{8}{6}$. Deci I-Q, II-R, III-P.

13. Desen liber. Proporția obținută prin schimbarea extremilor $2$ și $12$ este $\frac{12}{3}=\frac{8}{2}$. Verificare: $12\cdot 2=24$ și $3\cdot 8=24$. ✅

14. (a) $x\cdot 10=5\cdot 12=60$, deci $x=6$. (b) Simplificăm $\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$, deci $\frac{x}{5}=\frac{6}{5}$, de unde $x=6$. Același rezultat. ✅

15. Exemple corecte (oricare trei): $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$ (extremi schimbați); $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ (mezi schimbați); $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ (răsturnată). Toate respectă $a\cdot d=b\cdot c$.

16. „$5$ tablete costă cât $4$ telefoane" înseamnă $5t=4f$, deci $\frac{t}{f}=\frac{4}{5}$. O formă derivată utilă: $\frac{t}{4}=\frac{f}{5}$. Dacă $f=250$ lei, atunci $\frac{f}{5}=\frac{250}{5}=50$, deci $\frac{t}{4}=50$, adică $t=200$ lei. O tabletă costă 200 lei. (Verificare: $5\cdot 200=1000$ și $4\cdot 250=1000$. ✅)

17. Are dreptate. A schimbat mezii ($8$ și $9$) între ei: din $\frac{6}{8}=\frac{9}{12}$ obține $\frac{6}{9}=\frac{8}{12}$. Verificare: $6\cdot 12=72$ și $9\cdot 8=72$. ✅ Regula folosită: schimbarea mezilor.

18. Fals. Din $\frac{x}{4}=\frac{6}{y}$, proprietatea fundamentală spune că produsul extremilor ($x\cdot y$) este egal cu produsul mezilor ($4\cdot 6=24$). Deci $x\cdot y=24$, nu $48$. Afirmația din enunț ($x\cdot y=48$) este, prin urmare, falsă; valoarea corectă este $x\cdot y=24$. Era o capcană — verificarea cu proprietatea fundamentală te salvează.

19. Schimbăm mezii ($x$ și $45$) ca să aducem $x$ sus: din $\frac{15}{x}=\frac{45}{12}$ obținem $\frac{15}{45}=\frac{x}{12}$. Simplificăm $\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$, deci $\frac{x}{12}=\frac{1}{3}$, de unde $3x=12$ și $x=4$. (Verificare directă: $15\cdot 12=180$ și $x\cdot 45=4\cdot 45=180$.) ✅

20. Adevărat. Extremii lui $\frac{8}{12}=\frac{10}{15}$ sunt $8$ și $15$; schimbați, dau $\frac{15}{12}=\frac{10}{8}$. Verificare: $15\cdot 8=120$ și $12\cdot 10=120$. ✅

De reținut

• Într-o proporție $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, extremii sunt $a$ și $d$, iar mezii sunt $b$ și $c$.
• O proporție derivată se obține schimbând termenii după reguli: schimbarea extremilor, schimbarea mezilor sau răsturnarea ambelor rapoarte.
• Toate aceste forme sunt adevărate pentru că păstrează egalitatea $a\cdot d=b\cdot c$ (proprietatea fundamentală).
• Dintr-o singură egalitate de produse poți scrie mai multe proporții; verifici corectitudinea oricăreia comparând produsul extremilor cu produsul mezilor.
• Proporțiile derivate îți permit să alegi forma cea mai comodă pentru calcul și te pregătesc pentru asemănare.

Greșeli frecvente

• Muți termenii „la întâmplare". Nu orice rearanjare e corectă! Verifică mereu cu proprietatea fundamentală: dacă produsul extremilor nu este egal cu produsul mezilor, ai greșit (vezi exercițiul 7).
• Confunzi extremii cu mezii. Ține minte: extremii sunt „la margini" (primul și ultimul termen), mezii sunt „la mijloc". Un desen cu săgeți pe diagonale te ajută să nu te încurci.
• Răsturni doar o fracție, nu pe amândouă. La răsturnare, ambele rapoarte se inversează. Dacă întorci doar unul, obții o egalitate falsă.
• Uiți condiția ca numitorii să fie nenuli. Poți răsturna o proporție doar dacă niciun termen care ajunge la numitor nu este $0$. Verifică întotdeauna.

Joc acasă

1. Cartonașele magice. Scrie pe patru cartonașe numerele $4$, $6$, $10$ și $15$ (observă: $4\cdot 15=6\cdot 10=60$). Așază-le pe masă în forma unei proporții $\frac{\square }{\square }=\frac{\square }{\square }$. Apoi schimbă cartonașele între ele și, de fiecare dată, verifică cu proprietatea fundamentală dacă proporția rămâne adevărată. Câte proporții corecte diferite poți forma? (Indiciu: sunt 8.)

2. Provocarea răsturnării. Ia o proporție pe care o știi adevărată, de exemplu $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, scrie-o cu marker pe o foaie, apoi întoarce foaia cu capul în jos și citește-o. Surpriză: vei „vedea" tot o proporție adevărată? Scrie ce ai observat și verifică prin calcul.

3. Magazinul din bucătărie. Alege două produse din casă (de exemplu, $3$ mere „costă cât" $2$ banane — tu hotărăști). Scrie egalitatea de produse, transform-o într-o proporție și apoi într-o formă derivată. Inventează un preț pentru un produs și află prețul celuilalt, ca în Exemplul 6.

Pentru părinți și învățători

Această lecție construiește direct peste proprietatea fundamentală a proporțiilor. Înainte de a începe, asigurați-vă că elevul recunoaște extremii și mezii și știe să verifice o proporție prin egalitatea produselor. Dacă acest pas nu e solid, reluați pe scurt lecția anterioară.

Ideea-cheie pe care să o întăriți este una singură și foarte puternică: o proporție este corectă dacă și numai dacă produsul extremilor este egal cu produsul mezilor. Nu cereți elevului să memoreze toate cele opt forme; cereți-i să le poată verifica. Astfel, derivarea devine un proces logic, nu un efort de memorare.

Întrebări utile de pus: „Care sunt extremii aici? Dar mezii?", „Dacă schimbi extremii, cât face produsul lor acum?", „Cum poți fi sigur că noua proporție e adevărată?", „Există o formă în care calculul ar fi mai ușor?". Ultima întrebare dezvoltă flexibilitatea, foarte utilă mai târziu la asemănare și la regula de trei simplă.

Pentru a verifica înțelegerea, dați-i o egalitate de produse (de exemplu $3\cdot 8=4\cdot 6$) și rugați-l să scrie cât mai multe proporții adevărate cu acele patru numere. Dacă reușește să genereze mai multe forme și să le verifice singur, lecția a fost înțeleasă. O greșeală tipică de urmărit: răsturnarea unei singure fracții — corectați-o imediat cu un contraexemplu numeric.

Legați lecția de viața reală (rețete, prețuri, hărți) și amintiți-i că aceste deprinderi vor reapărea la mărimi direct proporționale, la regula de trei simplă și la geometria de mai târziu.

Întrebări frecvente

Ce sunt proporțiile derivate la clasa a 6-a? Proporțiile derivate sunt proporții noi, adevărate, pe care le obții pornind de la o proporție dată, schimbând locul termenilor după reguli precise (schimbarea extremilor, schimbarea mezilor sau răsturnarea rapoartelor). Ele rămân corecte pentru că păstrează egalitatea dintre produsul extremilor și produsul mezilor.

Care sunt regulile de derivare a proporțiilor? Cele trei reguli de bază sunt: schimbarea extremilor între ei, schimbarea mezilor între ei și răsturnarea ambelor rapoarte (fiecare fracție „cu capul în jos"). Din combinarea lor obții, dintr-o singură proporție, până la opt forme echivalente, toate adevărate.

Cum verific dacă o proporție derivată este corectă? Folosești proprietatea fundamentală: calculezi produsul extremilor și produsul mezilor noii proporții. Dacă cele două produse sunt egale, proporția este corectă; dacă nu, înseamnă că ai mutat greșit un termen.

Ce înseamnă să schimbi extremii unei proporții? Înseamnă să muți primul și ultimul termen (cei „de la margini") unul în locul celuilalt, lăsând mezii neschimbați. De exemplu, din $\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$ obții $\frac{9}{3}=\frac{6}{2}$, care este tot o proporție adevărată.

La ce folosesc proporțiile derivate? Te ajută să aduci necunoscuta într-o poziție comodă, să simplifici calculele alegând forma cu numere mai mici și să rezolvi mai rapid probleme cu rapoarte și proporții. În plus, te pregătesc pentru capitolul de asemănare a triunghiurilor, unde vei rescrie des proporții în forme derivate.

Pot obține mai multe proporții dintr-o singură egalitate de produse? Da. O egalitate de forma $a\cdot d=b\cdot c$ ascunde mai multe proporții. Atâta timp cât într-o proporție produsul extremilor rămâne egal cu produsul mezilor, ea este corectă, așa că poți forma mai multe variante cu aceleași patru numere.

Pot răsturna orice proporție? Poți răsturna o proporție doar dacă, după inversare, niciun termen care ajunge la numitor nu este zero. Dacă toți termenii sunt nenuli, răsturnarea este permisă și dă întotdeauna tot o proporție adevărată.

De ce sunt importante proporțiile derivate pentru asemănare? La asemănarea triunghiurilor laturile corespunzătoare sunt proporționale, iar pentru a rezolva problemele trebuie adesea să rescrii proporția laturilor în forme derivate. Dacă stăpânești acum derivarea, vei înțelege mult mai ușor relațiile dintre laturile figurilor asemenea.