Știind că $$9 \mid 27$$ și $$27 \mid 108$$, ce proprietate folosești pentru a deduce direct $$9 \mid 108$$, fără să faci împărțirea?

Regula produsului cu factor prim între

Se știe că $$7 \mid 6 \cdot c$$, unde $$c$$ este un număr natural. Deoarece $$7$$ este prim cu $$6$$ (nu au niciun divizor comun în afară de $$1$$), ce putem afirma cu siguranță?

Nu putem afirma nimic despre $$c$$

Știind că $$8 \mid 24$$ și $$8 \mid 56$$, ce proprietate folosești pentru a deduce direct $$8 \mid 80$$ (suma $$24+56$$), fără să faci împărțirea?

Regula produsului cu factor prim între

Care sunt proprietățile divizibilității?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Proprietățile relației de divizibilitate

Sunt patru și îți permit să justifici o divizibilitate fără să faci împărțirea. Orice număr se divide pe sine. Dacă primul divide pe al doilea, iar al doilea pe al treilea, atunci primul îl divide și pe al treilea. Un divizor comun al două numere le divide și suma, și diferența, fiindcă se poate da factor comun. În sfârșit, dacă un număr divide un produs și este prim cu unul dintre factori, atunci îl divide pe celălalt.

Relația de divizibilitate în $N$ are patru proprietăți de bază, care ne permit să justificăm o divizibilitate prin raționament, fără să mai facem împărțirea efectivă.

Reflexivitate: $a ∣ a$ , pentru orice $a$ natural, deoarece $a = a \cdot 1$ .
Tranzitivitate: dacă $a ∣ b$ și $b ∣ c$ , atunci $a ∣ c$ .
Suma și diferența: dacă $a ∣ b$ și $a ∣ c$ , atunci $a ∣ (b + c)$ și $a ∣ (b - c)$ (când $b \geq c$ ); trucul este să dai factor comun pe $a$ .
Produs cu factor prim între: dacă $a ∣ b \cdot c$ și $a$ este prim cu $b$ , atunci $a ∣ c$ .

Exemplu: din $4 ∣ 20$ și $4 ∣ 12$ rezultă $4 ∣ (20 + 12)$ , adică $4 ∣ 32$ , fiindcă $20 + 12 = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 3 = 4 \cdot 8 = 32$ .

Atenție: regula sumei merge doar într-un sens — din $a ∣ (b + c)$ nu rezultă neapărat că $a ∣ b$ sau $a ∣ c$ separat.

De reținut

$a ∣ a$ pentru orice număr natural
din $a ∣ b$ și $b ∣ c$ rezultă $a ∣ c$
din $a ∣ b$ și $a ∣ c$ rezultă $a ∣ (b + c)$ și $a ∣ (b - c)$

Greșeala tipică

Se folosește regula sumei în sens invers și se conchide că un divizor al sumei divide fiecare termen; afirmația este falsă, cum arată $5$ , care divide $15$ , dar nu divide nici pe $7$ , nici pe $8$ .

Exerciții din această mini-lecție

Știind că $9 ∣ 27$ și $27 ∣ 108$ , ce proprietate folosești pentru a deduce direct $9 ∣ 108$ , fără să faci împărțirea?
- a) Reflexivitatea
- b) Tranzitivitatea
- c) Regula sumei
- d) Regula produsului cu factor prim între
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Tranzitivitatea

Avem un „lanț” de divizibilitate: $9 ∣ 27$ și $27 ∣ 108$ , iar numărul $27$ apare în ambele relații, la mijloc. Aceasta este exact situația tranzitivității: dacă $a ∣ b$ și $b ∣ c$ , atunci $a ∣ c$ . Verificare cu factori: $27 = 9 \cdot 3$ și $108 = 27 \cdot 4$ , deci $108 = (9 \cdot 3) \cdot 4 = 9 \cdot 12$ , adică $9 ∣ 108$ .
Se știe că $7 ∣ 6 \cdot c$ , unde $c$ este un număr natural. Deoarece $7$ este prim cu $6$ (nu au niciun divizor comun în afară de $1$ ), ce putem afirma cu siguranță?
- a) $7 ∣ 6$
- b) $7 ∣ c$
- c) $c ∣ 7$
- d) Nu putem afirma nimic despre $c$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7 ∣ c$

Aceasta este regula produsului cu factor prim între: dacă $a ∣ b \cdot c$ și $a$ este prim cu $b$ , atunci $a ∣ c$ . Aici $a = 7$ , $b = 6$ ; cum $7$ nu are niciun divizor comun cu $6$ în afară de $1$ , tot ce-i trebuie lui $7$ ca să dividă produsul $6 \cdot c$ trebuie să se găsească în $c$ . Deci $7 ∣ c$ .
Știind că $8 ∣ 24$ și $8 ∣ 56$ , ce proprietate folosești pentru a deduce direct $8 ∣ 80$ (suma $24 + 56$ ), fără să faci împărțirea?
- a) Reflexivitatea
- b) Tranzitivitatea
- c) Regula sumei
- d) Regula produsului cu factor prim între
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) Regula sumei

Avem $8 ∣ 24$ și $8 ∣ 56$ , adică $24 = 8 \cdot 3$ și $56 = 8 \cdot 7$ . Adunând, $24 + 56 = 8 \cdot 3 + 8 \cdot 7 = 8 \cdot (3 + 7) = 8 \cdot 10 = 80$ . Aceasta este exact regula sumei: dacă $a ∣ b$ și $a ∣ c$ , atunci $a ∣ (b + c)$ , fără să mai fie nevoie de vreo împărțire efectivă.

Întrebări conexe

Cum arăt că un număr divide o sumă, fără să calculez suma?

Scrii fiecare termen ca produs dintre divizor și un alt număr, apoi dai factor comun. Din $20 = 4 \cdot 5$ și $12 = 4 \cdot 3$ obții $20 + 12 = 4 \cdot 8$ , deci $4$ divide suma. Raționamentul funcționează oricât de mari ar fi numerele.

Ce numere îl divid pe zero?

Toate numerele naturale nenule, fiindcă $0 = a \cdot 0$ pentru orice $a$ . Zero este deci multiplu al oricărui număr, dar el nu divide pe nimeni în afară de sine, ceea ce face din zero un caz aparte în orice discuție de divizibilitate.

La ce folosește tranzitivitatea într-o problemă de divizibilitate?

Îți permite să sari peste pași: dacă $3$ divide $12$ , iar $12$ divide $144$ , atunci $3$ divide $144$ , fără să faci împărțirea. Proprietatea se folosește des la lanțurile de divizori și la justificarea rapidă a unor divizibilități cu numere mari.

Ce înseamnă că relația de divizibilitate este antisimetrică?

Că, dacă un număr natural îl divide pe altul, iar al doilea îl divide pe primul, atunci ele sunt egale. Fiecare fiind cel mult cât celălalt, nu au altă ieșire. Proprietatea se folosește ca să arăți că două numere coincid, fără să le calculezi.

Cum folosesc proprietățile divizibilității la o justificare scrisă?

Pornești de la ipoteză, scrii fiecare divizibilitate sub formă de produs și aplici proprietatea potrivită, numind-o. Concluzia se obține printr-un lanț de pași justificați, nu printr-un calcul. Acesta este felul în care se cere rezolvarea la clasă și la examen.

Se divide diferența a două numere care au același divizor comun?

Da, dacă scăderea are sens în mulțimea numerelor naturale, adică primul număr este mai mare. Din $4$ care divide $20$ și $12$ rezultă că $4$ divide și $8$ . Justificarea este aceeași ca la sumă, prin darea factorului comun.

Oamenii mai întreabă și: proprietățile relației de divizibilitate · reflexivitate și tranzitivitate la divizibilitate · divizibilitatea sumei și a diferenței · cum justific o divizibilitate