Proprietățile relației de divizibilitate în ℕ

În lecția trecută ai învățat ce înseamnă că un număr divide alt număr și ai pus la punct vocabularul cu „divizori" și „multipli". Acum facem pasul următor și cel mai puternic: descoperim regulile după care se comportă această relație. Aceste proprietăți sunt ca niște unelte care îți permit să tragi concluzii noi fără să mai faci împărțiri obositoare. Cu ele vei putea justifica o relație de divizibilitate doar prin raționament, exact așa cum un detectiv ajunge la concluzie din indicii, nu din presupuneri.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți cele patru proprietăți de bază ale relației de divizibilitate în ℕ.
• Vei ști să folosești reflexivitatea ($a\mid a$) și tranzitivitatea ($a\mid b$ și $b\mid c\Rightarrow a\mid c$).
• Vei ști să aplici regula sumei și a diferenței: dacă $a\mid b$ și $a\mid c$, atunci $a\mid (b+c)$ și $a\mid (b-c)$.
• Vei ști să folosești intuitiv regula: dacă $a\mid b\cdot c$ și $a$ este prim cu $b$, atunci $a\mid c$.
• Vei ști să justifici o relație de divizibilitate folosind proprietățile, fără să faci împărțirea efectivă.

Hai să descoperim împreună

Reamintim limbajul de care avem nevoie

Spunem că numărul natural $a$ divide numărul natural $b$ și scriem $a\mid b$ dacă există un număr natural $k$ astfel încât $b=a\cdot k$. Cu alte cuvinte, $b$ „încape" exact în pachete de câte $a$, fără rest. În acest caz $a$ se numește divizor al lui $b$, iar $b$ se numește multiplu al lui $a$.

Trucul pe care îl vom folosi mereu în această lecție este următorul: „a divide b" înseamnă „b este un produs care îl conține pe a ca factor". Dacă reușești să scrii numărul ca un produs în care apare $a$, ai demonstrat divizibilitatea. Ține minte această idee, fiindcă toate proprietățile de mai jos sunt, de fapt, jocuri cu factori.

Dacă vrei să revezi definiția completă, recapituleaz-o din lecția Relația de divizibilitate. Divizori și multipli.

Proprietatea 1 — Reflexivitatea: orice număr se divide pe el însuși

Prima proprietate este atât de simplă încât pare evidentă, dar merită spusă clar:

Pentru orice număr natural $a$, avem $a\mid a$.

De ce? Pentru că putem scrie $a=a\cdot 1$. Aici factorul $k$ din definiție este chiar $1$. Deci $a$ încape în el însuși exact o dată, fără rest. De exemplu, $7\mid 7$ (fiindcă $7=7\cdot 1$), $100\mid 100$, $1\mid 1$.

Cuvântul „reflexiv" vine de la oglindă (reflexie): numărul se „oglindește" pe sine. Orice număr este divizor al lui însuși și, în același timp, multiplu al lui însuși.

O mică atenție: $0$ este un caz special. Avem $a\mid 0$ pentru orice $a$ (fiindcă $0=a\cdot 0$), dar la împărțire nu împărțim niciodată la $0$. În această lecție lucrăm cu divizori care sunt numere nenule, ca să fim mereu pe teren sigur.

Proprietatea 2 — Tranzitivitatea: divizibilitatea „se transmite mai departe"

Aceasta este una dintre cele mai folositoare proprietăți:

Dacă $a\mid b$ și $b\mid c$, atunci $a\mid c$.

Hai s-o înțelegem cu o analogie. Imaginează-ți o scară cu trei trepte. Dacă treapta de jos ($a$) este cuprinsă exact în treapta din mijloc ($b$), iar treapta din mijloc este cuprinsă exact în treapta de sus ($c$), atunci și treapta de jos este cuprinsă exact în cea de sus. Divizibilitatea „urcă" pe scară.

De ce funcționează (justificare cu factori): Dacă $a\mid b$, înseamnă $b=a\cdot k$ pentru un număr natural $k$. Dacă $b\mid c$, înseamnă $c=b\cdot m$ pentru un număr natural $m$. Acum înlocuim $b$ în a doua scriere: $$c=b\cdot m=(a\cdot k)\cdot m=a\cdot (k\cdot m).$$ Am scris $c$ ca produs dintre $a$ și numărul natural $k\cdot m$. Deci $a\mid c$. Gata, am demonstrat!

Un exemplu concret: știm că $3\mid 12$ (căci $12=3\cdot 4$) și $12\mid 60$ (căci $60=12\cdot 5$). Atunci, fără să mai împărțim, putem trage concluzia $3\mid 60$. Și într-adevăr $60=3\cdot 20$. Tranzitivitatea ne-a scutit de calcul.

Proprietatea 3 — Suma și diferența: dacă a împarte două numere, împarte și suma/diferența lor

Aceasta este vedeta lecției, fiindcă apare în foarte multe probleme:

Dacă $a\mid b$ și $a\mid c$, atunci $a\mid (b+c)$ și, dacă $b\ge c$, atunci $a\mid (b-c)$.

Analogia banilor este perfectă aici. Dacă ai două sume de bani și fiecare se poate plăti exact în bancnote de câte $a$ lei, atunci și suma lor totală se plătește exact în bancnote de câte $a$ lei, fără să rămână rest. La fel, dacă plătești ceva și primești rest, diferența rămâne tot un număr „rotund" de pachete de câte $a$.

De ce funcționează (justificare): Dacă $a\mid b$, atunci $b=a\cdot k$. Dacă $a\mid c$, atunci $c=a\cdot p$. Adunăm: $$b+c=a\cdot k+a\cdot p=a\cdot (k+p).$$ Am dat factor comun pe $a$! Deci $b+c$ este produsul dintre $a$ și numărul natural $k+p$, adică $a\mid (b+c)$. La fel, pentru diferență: $$b-c=a\cdot k-a\cdot p=a\cdot (k-p),$$ și cum $b\ge c$ avem $k\ge p$, deci $k-p$ este tot un număr natural, prin urmare $a\mid (b-c)$.

Exemplu: $7\mid 21$ și $7\mid 14$. Atunci $7\mid (21+14)$, adică $7\mid 35$ (corect, $35=7\cdot 5$), și $7\mid (21-14)$, adică $7\mid 7$.

Această proprietate are o extindere foarte utilă: dacă $a\mid b$ și $a\mid c$, atunci $a$ divide și orice expresie de forma $b\cdot x+c\cdot y$ (numită „combinație" a lor). Motivul e același: $a\mid b\cdot x$ și $a\mid c\cdot y$, apoi aplici regula sumei. Vom folosi această idee în exemple.

⚠️ Atenție la o capcană foarte importantă: regula merge într-un singur sens. Dacă $a\mid (b+c)$, NU rezultă neapărat că $a\mid b$ și $a\mid c$ separat. De exemplu, $5\mid 10$ (suma lui $3+7$), dar $5\nmid 3$ și $5\nmid 7$. Citește regula exact așa cum e scrisă!

O regulă-soră: dacă a divide unul dintre termeni, dar nu pe celălalt

Din proprietatea sumei se naște o consecință practică pe care o folosim des:

Dacă $a\mid b$ dar $a\nmid c$, atunci $a\nmid (b+c)$.

Cu alte cuvinte, dacă unul dintre termeni „strică" divizibilitatea, atunci și suma o strică. Gândește-te din nou la bani: dacă o sumă se plătește exact în bancnote de $a$ lei, dar a doua sumă lasă un rest, atunci totalul va lăsa același rest. De exemplu, $4\mid 20$ dar $4\nmid 7$; atunci $4\nmid 27$ (într-adevăr $27=4\cdot 6+3$). Această observație ne ajută să arătăm rapid când un număr nu este divizibil.

Proprietatea 4 — Regula produsului cu factor prim între: dacă a | b·c și a este prim cu b, atunci a | c

Aceasta este cea mai subtilă proprietate, așa că o introducem intuitiv. Mai întâi, ce înseamnă „$a$ este prim cu $b$"? Înseamnă că $a$ și $b$ nu au niciun divizor comun în afară de 1 — nu se „amestecă" deloc, nu împart nicio piesă comună. Vei studia în detaliu acest lucru în lecția Numere prime între ele.

Dacă $a\mid b\cdot c$ și $a$ este prim cu $b$, atunci $a\mid c$.

Ideea intuitivă: $a$ împarte produsul $b\cdot c$. Dacă $a$ nu are nimic în comun cu $b$ (sunt prime între ele), atunci $a$ nu poate „lua nimic" din partea lui $b$; tot ce-i trebuie lui $a$ trebuie să se găsească în $c$. Așadar $a$ trebuie să dividă pe $c$.

Exemplu: $3\mid 5\cdot 12$? Da, fiindcă $5\cdot 12=60$ și $3\mid 60$. Numărul $3$ este prim cu $5$ (nu au divizori comuni în afară de 1). Atunci regula spune că $3\mid 12$ — și chiar așa este. Aici $3$ „a sărit peste" factorul $5$ și a intrat direct în $12$.

Atenție la condiție: condiția „$a$ prim cu $b$" este esențială! De exemplu, $6\mid 4\cdot 3$ (căci $4\cdot 3=12$ și $6\mid 12$), dar $6\nmid 4$ și $6\nmid 3$. Aici $6$ NU este prim nici cu $4$ (au divizorul comun $2$), nici cu $3$ (au divizorul comun $3$), deci regula nu se aplică. Fără condiția de „prim cu", concluzia se poate rupe.

Cum punem toate aceste unelte la treabă

Marea putere a acestor proprietăți este că ne lasă să justificăm divizibilitatea prin raționament. În loc să facem o împărțire grea, scriem numărul ca o combinație de bucăți pe care le cunoaștem. Iată planul de atac pe care îl vei folosi:

1. Caut factorul comun. Dacă vreau să arăt că $a$ divide o expresie, încerc să dau factor comun pe $a$ sau să scriu expresia ca produs care îl conține pe $a$.
2. Sparg expresia în bucăți divizibile. Dacă fiecare bucată e divizibilă cu $a$, atunci (prin regula sumei) și întregul e divizibil cu $a$.
3. Folosesc tranzitivitatea ca scurtătură. Dacă știu $a\mid b$ și $b\mid c$, sar direct la $a\mid c$.
4. Verific sensul regulii. Mă asigur că folosesc proprietatea în direcția corectă, nu invers.

Hai să vedem aceste idei în acțiune în exemplele rezolvate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tranzitivitate în lanț

Cerință: Știind că $4\mid 20$ și $20\mid 100$, arată că $4\mid 100$ fără să faci împărțirea.

Rezolvare: Avem două verigi de divizibilitate care se înlănțuie: $4\mid 20$ și $20\mid 100$. Observăm că numărul din mijloc, $20$, apare în ambele. Aceasta este exact situația tranzitivității. Aplicăm proprietatea: din $4\mid 20$ și $20\mid 100$ rezultă $4\mid 100$.

Putem chiar urmări factorii: $20=4\cdot 5$ și $100=20\cdot 5$, deci $100=(4\cdot 5)\cdot 5=4\cdot 25$. Într-adevăr $4\mid 100$. Răspuns: $4\mid 100$.

Exemplul 2 — Regula sumei

Cerință: Numerele $b$ și $c$ sunt multipli ai lui $9$. Arată că $b+c$ este și el multiplu al lui $9$.

Rezolvare: „$b$ este multiplu al lui $9$" înseamnă $9\mid b$, deci $b=9\cdot k$. La fel, $9\mid c$, deci $c=9\cdot p$, cu $k,p$ numere naturale. Adunăm: $$b+c=9k+9p=9\cdot (k+p).$$ Am dat factor comun pe $9$, iar $k+p$ este număr natural. Prin urmare $9\mid (b+c)$, adică suma este multiplu al lui $9$. Răspuns: Da, $b+c$ este multiplu al lui $9$.

Exemplul 3 — Regula diferenței într-o problemă concretă

Cerință: Andrei are un număr de jetoane care este divizibil cu $6$. El dă deoparte un teanc tot divizibil cu $6$. Arată că ce-i rămâne este tot divizibil cu $6$.

Rezolvare: Fie $b$ numărul total de jetoane, cu $6\mid b$, și $c$ numărul de jetoane date deoparte, cu $6\mid c$ și $c\le b$. Numărul rămas este $b-c$. Scriem $b=6k$ și $c=6p$. Atunci: $$b-c=6k-6p=6\cdot (k-p).$$ Cum $b\ge c$, avem $k\ge p$, deci $k-p$ este natural. Așadar $6\mid (b-c)$. Răspuns: Restul de jetoane este tot divizibil cu $6$.

Exemplul 4 — Divizibilitatea unei expresii (combinație de termeni)

Cerință: Arată că numărul $N=35+49+14$ este divizibil cu $7$, folosind proprietățile (nu prin calculul sumei).

Rezolvare: Verificăm fiecare termen în parte. Avem $7\mid 35$ (căci $35=7\cdot 5$), $7\mid 49$ (căci $49=7\cdot 7$) și $7\mid 14$ (căci $14=7\cdot 2$). Toți cei trei termeni sunt divizibili cu $7$. Aplicând regula sumei (extinsă la trei termeni), rezultă că $7\mid (35+49+14)$, deci $7\mid N$.

Putem da chiar factor comun: $N=7\cdot 5+7\cdot 7+7\cdot 2=7\cdot (5+7+2)=7\cdot 14$. Răspuns: $7\mid N$ (și de fapt $N=98=7\cdot 14$).

Exemplul 5 — Cum arătăm că un număr NU este divizibil

Cerință: Arată că $M=40+11$ NU este divizibil cu $5$.

Rezolvare: Privim cei doi termeni. Avem $5\mid 40$ (căci $40=5\cdot 8$), dar $5\nmid 11$ (fiindcă $11=5\cdot 2+1$, lasă rest). Folosim regula-soră: dacă $5$ divide un termen, dar nu pe celălalt, atunci nu divide suma. Deci $5\nmid (40+11)$, adică $5\nmid M$. Verificare: $M=51=5\cdot 10+1$, lasă rest $1$. Răspuns: $5\nmid M$.

Exemplul 6 — Regula produsului cu factor prim între

Cerință: Se știe că $a\mid 8\cdot c$ și că $a=3$. Ce putem spune despre relația dintre $3$ și $c$?

Rezolvare: Avem $3\mid 8\cdot c$. Verificăm dacă $3$ este prim cu $8$: divizorii lui $8$ sunt $1,2,4,8$; singurul divizor comun cu $3$ este $1$. Deci $3$ și $8$ sunt prime între ele. Atunci regula produsului spune: dacă $3\mid 8\cdot c$ și $3$ este prim cu $8$, atunci $3\mid c$. Răspuns: $3\mid c$, adică $c$ este obligatoriu un multiplu al lui $3$.

Exemplul 7 — Justificare combinată (mai dificil)

Cerință: Numerele $x$ și $y$ sunt astfel încât $11\mid x$ și $11\mid y$. Arată că $11\mid (3x+5y)$.

Rezolvare: Pornim de la ipoteze. Din $11\mid x$ și proprietatea că un divizor al unui număr divide și multiplii lui, avem $11\mid 3x$ (fiindcă $3x=3\cdot x$ și $11\mid x$, deci $3x=11\cdot (3k)$ dacă $x=11k$). Analog, $11\mid 5y$. Acum avem doi termeni, $3x$ și $5y$, ambii divizibili cu $11$. Aplicăm regula sumei: $11\mid (3x+5y)$.

Mai explicit: $x=11k$, $y=11p$, deci $3x+5y=33k+55p=11\cdot (3k+5p)$. Răspuns: $11\mid (3x+5y)$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Acolo unde ți se cere, justifică folosind proprietățile, nu doar prin împărțire.

1. Completează: pentru orice număr natural $a$, are loc $a\mid \underline{}$, deoarece $a=a\cdot 1$.

2. Adevărat sau fals? $13\mid 13$.

3. Știind că $5\mid 15$ și $15\mid 45$, ce proprietate folosești pentru a deduce $5\mid 45$?

4. Adevărat sau fals? Dacă $a\mid b$ și $b\mid c$, atunci sigur $a\mid c$.

5. Completează: dacă $8\mid 24$ și $8\mid 16$, atunci $8\mid (24+16)$, adică $8\mid \underline{}$.

6. Se dau $6\mid 30$ și $6\mid 18$. Arată, dând factor comun, că $6\mid (30-18)$.

7. Încercuiește expresiile divizibile cu $4$: a) $12+20$; b) $16+9$; c) $40-24$; d) $8+8+8$.

8. Adevărat sau fals? Dacă $7\mid (a+b)$, atunci sigur $7\mid a$ și $7\mid b$. Dă un contraexemplu dacă e fals.

9. Arată că $N=27+36+81$ este divizibil cu $9$, justificând cu proprietatea sumei.

10. Folosind regula-soră, arată că $30+7$ NU este divizibil cu $5$.

11. Numerele $b$ și $c$ sunt multipli ai lui $12$. Justifică de ce $b+c$ este multiplu al lui $12$.

12. Se știe că $a\mid x$ și $a\mid y$, cu $x\ge y$. Bifează ce putem afirma cu siguranță: a) $a\mid (x+y)$; b) $a\mid (x-y)$; c) $a\mid (x\cdot y)$; d) $a\mid 1$.

13. Potrivește fiecare situație cu proprietatea folosită:

    • (I) $a\mid a$
    • (II) $a\mid b$ și $b\mid c\Rightarrow a\mid c$
    • (III) $a\mid b$ și $a\mid c\Rightarrow a\mid (b+c)$
    • (IV) $a\mid bc$ și $a$ prim cu $b\Rightarrow a\mid c$

    A) Tranzitivitate; B) Reflexivitate; C) Regula produsului cu factor prim între; D) Regula sumei.

14. Se știe că $5\mid 7\cdot c$. Arată că $5\mid c$, precizând de ce se poate aplica regula produsului.

15. Numerele $x$ și $y$ verifică $10\mid x$ și $10\mid y$. Arată că $10\mid (4x+9y)$.

16. (Mică problemă) Maria pune acadele în pungi de câte $8$. Are un stoc $S$ divizibil cu $8$ și mai primește un transport $T$ divizibil cu $8$. Justifică de ce poate împărți tot, $S+T$, exact în pungi de câte $8$.

17. (Mai greu) Arată că dacă $a\mid b$, atunci $a\mid (b+a)$ și $a\mid (b-a)$ (pentru $b\ge a$). Indiciu: folosește că $a\mid a$.

18. (Provocare) Numărul $n$ are proprietatea că $n\mid 24$ și $n\mid 36$. Arată că $n\mid 12$. (Indiciu: $36-24=12$ și folosește regula diferenței.)

Răspunsuri și explicații

1. $a\mid a$. Reflexivitatea: orice număr se divide pe el însuși, fiindcă $a=a\cdot 1$.

2. Adevărat. $13=13\cdot 1$, deci $13\mid 13$ (reflexivitate).

3. Tranzitivitatea. Din $5\mid 15$ și $15\mid 45$ urcăm la $5\mid 45$.

4. Adevărat. Aceasta este chiar enunțul tranzitivității.

5. $8\mid 40$. Suma este $24+16=40$, iar $8\mid 40$ (regula sumei).

6. $30=6\cdot 5$, $18=6\cdot 3$, deci $30-18=6\cdot 5-6\cdot 3=6\cdot (5-3)=6\cdot 2=12$. Așadar $6\mid 12$.

7. Divizibile cu $4$: a) $12+20=32=4\cdot 8$ (ambii termeni divizibili cu 4); c) $40-24=16=4\cdot 4$; d) $8+8+8=24=4\cdot 6$. La b) $16+9=25$, iar $4\nmid 9$, deci $4\nmid 25$ (rest 1). Răspuns: a, c, d.

8. Fals. Contraexemplu: $7\mid (5+9)$? $5+9=14$ și $7\mid 14$, dar $7\nmid 5$ și $7\nmid 9$. Regula sumei merge doar într-un sens.

9. $9\mid 27$ ($27=9\cdot 3$), $9\mid 36$ ($36=9\cdot 4$), $9\mid 81$ ($81=9\cdot 9$). Toți termenii sunt divizibili cu $9$, deci suma $N=9\cdot (3+4+9)=9\cdot 16=144$ este divizibilă cu $9$.

10. $5\mid 30$ ($30=5\cdot 6$), dar $5\nmid 7$ ($7=5\cdot 1+2$). Un termen e divizibil, celălalt nu, deci suma $30+7=37$ NU este divizibilă cu $5$ (regula-soră). Verificare: $37=5\cdot 7+2$.

11. $12\mid b\Rightarrow b=12k$; $12\mid c\Rightarrow c=12p$. Atunci $b+c=12k+12p=12(k+p)$, deci $12\mid (b+c)$. Suma este multiplu al lui $12$.

12. Adevărate: a), b) și c); falsă: d). Pentru a) și b) folosim direct regula sumei și a diferenței ($x\ge y$). Pentru c): cum $a\mid x$, iar $x\cdot y$ este multiplu al lui $x$, prin tranzitivitate $a\mid (x\cdot y)$. Pentru d): $a\mid 1$ ar însemna $a=1$, ceea ce nu e garantat (de exemplu $a=6$ divide pe $x$ și $y$, dar $6\nmid 1$).

13. I → B (Reflexivitate); II → A (Tranzitivitate); III → D (Regula sumei); IV → C (Regula produsului cu factor prim între).

14. $5$ este prim cu $7$ (singurul divizor comun este $1$). Cum $5\mid 7\cdot c$ și $5$ e prim cu $7$, regula produsului dă $5\mid c$.

15. $10\mid x\Rightarrow 10\mid 4x$; $10\mid y\Rightarrow 10\mid 9y$. Doi termeni divizibili cu $10$, deci suma $4x+9y$ e divizibilă cu $10$. Explicit: $x=10k$, $y=10p$, $4x+9y=40k+90p=10(4k+9p)$.

16. $8\mid S$ și $8\mid T$, deci $S=8k$, $T=8m$, iar $S+T=8k+8m=8(k+m)$. Așadar $8\mid (S+T)$ și totul se împarte exact în pungi de câte $8$.

17. Știm $a\mid b$ și, prin reflexivitate, $a\mid a$. Doi termeni divizibili cu $a$ → prin regula sumei $a\mid (b+a)$, iar prin regula diferenței (pentru $b\ge a$) $a\mid (b-a)$. Explicit: $b=a\cdot k$, deci $b+a=a\cdot k+a=a(k+1)$ și $b-a=a(k-1)$.

18. $n\mid 24$ și $n\mid 36$. Prin regula diferenței, $n\mid (36-24)$, adică $n\mid 12$. (De exemplu, dacă $n=12$: $12\mid 24$, $12\mid 36$ și $12\mid 12$.)

De reținut

• Reflexivitate: $a\mid a$ pentru orice număr natural $a$ (fiindcă $a=a\cdot 1$).
• Tranzitivitate: dacă $a\mid b$ și $b\mid c$, atunci $a\mid c$ — divizibilitatea „urcă scara".
• Suma și diferența: dacă $a\mid b$ și $a\mid c$, atunci $a\mid (b+c)$ și $a\mid (b-c)$ (când $b\ge c$). Trucul: dai factor comun pe $a$.
• Produs cu factor prim între: dacă $a\mid b\cdot c$ și $a$ este prim cu $b$, atunci $a\mid c$.
• A justifica o divizibilitate înseamnă a scrie numărul ca produs sau combinație care îl conține pe divizor — nu e nevoie de împărțire efectivă.

Greșeli frecvente

• Inversezi sensul regulii sumei. Din $a\mid (b+c)$ NU rezultă că $a\mid b$ și $a\mid c$ separat. Regula merge doar de la termeni către sumă, nu invers. Exemplu: $5\mid 10$, dar $5\nmid 3$ și $5\nmid 7$.
• Uiți condiția „prim cu" la regula produsului. Fără ca $a$ să fie prim cu $b$, concluzia $a\mid c$ se poate rupe: $6\mid 4\cdot 3$, dar $6\nmid 4$ și $6\nmid 3$. Verifică mereu că nu există divizori comuni.
• Confunzi divizorul cu multiplul. „$a\mid b$" se citește „$a$ divide $b$", adică $a$ este cel mic (divizorul), iar $b$ este cel mare (multiplul). Bara „$\mid$" arată mereu de la divizor către multiplu.
• Aplici diferența când scăzătorul e mai mare. În ℕ scădem doar $b-c$ cu $b\ge c$, altfel ieșim din numerele naturale. Verifică ordinea înainte de a folosi regula diferenței.

Joc acasă

Jocul 1 — Lanțul tranzitivității. Scrie pe trei bilețele trei numere unde primul divide al doilea și al doilea divide al treilea (de exemplu $2$, $6$, $30$). Așază-le ca o scară pe masă. Provoacă un membru al familiei să verifice că primul îl divide pe al treilea fără să facă împărțirea — doar înmulțind factorii. Schimbă numerele și repetă.

Jocul 2 — Pachete de monede. Ia două grămezi de monede (sau nasturi). Aranjează prima grămadă în teancuri egale de câte $5$ și a doua tot în teancuri de câte $5$, fără rest. Pune-le la un loc și arată că totalul se aranjează tot în teancuri de câte $5$. Apoi încearcă să adaugi o grămadă care lasă rest și observă cum „se strică" divizibilitatea sumei — exact regula-soră din lecție.

Jocul 3 — Detectivul divizibilității. Un jucător scrie o sumă de forma „număr divizibil cu 3 + alt număr" (de exemplu $24+8$). Celălalt trebuie să spună rapid, fără să adune, dacă rezultatul e divizibil cu $3$, justificând: „$3\mid 24$, dar $3\nmid 8$, deci $3\nmid$ sumă". Cine ghicește corect 5 sume la rând câștigă.

Pentru părinți și învățători

Această lecție trece de la „a verifica" divizibilitatea (prin împărțire) la „a o justifica" (prin proprietăți) — un pas important spre gândirea deductivă cerută la gimnaziu și la Evaluarea Națională. Accentul nu este pe calcul, ci pe raționament.

Cum să sprijiniți elevul:

• Insistați pe trucul cu factorul comun. De fiecare dată când elevul vrea să arate că $a$ divide o sumă, întrebați-l: „Poți da factor comun pe $a$?". Scrierea $9k+9p=9(k+p)$ este cheia întregii lecții.
• Folosiți analogia banilor pentru regula sumei și diferenței; este cea mai naturală pentru această vârstă.
• La tranzitivitate, desenați scara cu trei trepte și cereți elevului să „urce" săgeata.

Întrebări bune de pus:

• „De ce este adevărat că $a\mid a$?" (răspuns așteptat: $a=a\cdot 1$).
• „Dacă $a\mid (b+c)$, putem fi siguri că $a\mid b$? De ce nu?" (verifică înțelegerea sensului unic al regulii).
• „De ce avem nevoie de condiția prim cu la ultima proprietate?" (cereți un contraexemplu).

Cum verificați înțelegerea: dați o expresie de tip exercițiul 9 sau 15 și cereți NU rezultatul numeric, ci justificarea în cuvinte. Dacă elevul spune „dau factor comun" sau „ambii termeni se divid cu numărul, deci și suma", a prins esența. Dacă recurge mereu la împărțire, mai exersați partea cu factorul comun.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă proprietatea de reflexivitate a divizibilității? Înseamnă că orice număr natural se divide pe el însuși: $a\mid a$. Motivul este simplu — putem scrie $a=a\cdot 1$, deci $a$ încape în el însuși exact o dată, fără rest. De exemplu, $15\mid 15$.

Ce este tranzitivitatea divizibilității la clasa a 6-a? Tranzitivitatea spune că dacă $a\mid b$ și $b\mid c$, atunci $a\mid c$. Divizibilitatea „se transmite" prin numărul din mijloc. De exemplu, din $2\mid 6$ și $6\mid 30$ rezultă $2\mid 30$, fără să mai facem împărțirea.

Dacă a divide b și a divide c, divide a și suma b plus c? Da. Aceasta este regula sumei: dacă $a\mid b$ și $a\mid c$, atunci $a\mid (b+c)$ și, când $b\ge c$, și $a\mid (b-c)$. Justificarea se face dând factor comun: $b+c=a\cdot k+a\cdot p=a(k+p)$.

Din a divide (b + c) rezultă că a divide b? Nu neapărat. Regula sumei funcționează doar într-un sens, de la termeni către sumă. De exemplu, $4\mid 12$, unde $12=5+7$, dar $4\nmid 5$ și $4\nmid 7$. De aceea trebuie citită regula exact așa cum este enunțată.

Cum justific o relație de divizibilitate fără să fac împărțirea? Scrie numărul ca un produs sau ca o sumă de termeni care îl conțin pe divizor ca factor. Dacă reușești să dai factor comun pe $a$ sau să arăți că fiecare termen e divizibil cu $a$, ai justificat divizibilitatea prin proprietăți, fără calcul de împărțire.

Ce înseamnă „a este prim cu b" în regula produsului? Înseamnă că $a$ și $b$ nu au niciun divizor comun în afară de $1$. În acest caz, dacă $a\mid b\cdot c$, atunci $a$ trebuie să dividă pe $c$, pentru că nu poate „lua nimic" din factorul $b$. Vei aprofunda noțiunea în lecția despre numere prime între ele.

De ce este importantă condiția prim cu la ultima proprietate? Fără ea, concluzia poate fi falsă. De exemplu, $6\mid 4\cdot 3=12$, dar $6\nmid 4$ și $6\nmid 3$, fiindcă $6$ are divizori comuni atât cu $4$, cât și cu $3$. Doar când divizorul este prim cu unul dintre factori putem „sări" peste el.

La ce îmi folosesc proprietățile divizibilității? Îți permit să tragi concluzii rapide, fără calcule lungi, și sunt baza pentru lecțiile următoare: criteriile de divizibilitate, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., descompunerea în factori primi și problemele de divizibilitate din viața cotidiană. Sunt unelte de raționament pe care le vei folosi tot anul.